Calcul du Facteur de Sécurité d’un Bloc Rocheux
Contexte : La stabilité des pentes en mécanique des roches.
L'analyse de la stabilité des pentes est un enjeu majeur en génie civil et minier pour prévenir les risques d'éboulement. Cet exercice se concentre sur une méthode fondamentale : le calcul du Facteur de Sécurité (FS)Rapport entre les forces résistantes (qui retiennent le bloc) et les forces motrices (qui poussent le bloc à glisser). Un FS > 1 indique la stabilité. pour un bloc rocheux unique susceptible de glisser le long d'un plan de discontinuité. Nous utiliserons le critère de rupture de Mohr-Coulomb pour évaluer l'équilibre des forces.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe de stabilité en forces simples (poids, friction, cohésion) et à quantifier la marge de sécurité vis-à-vis d'une rupture.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier et calculer les forces agissant sur un bloc rocheux (poids, forces normales et tangentielles).
- Appliquer le critère de Mohr-Coulomb pour déterminer la résistance au cisaillement.
- Calculer l'impact de la pression de l'eau dans les fractures sur la stabilité.
- Déterminer et interpréter le facteur de sécurité d'un versant rocheux.
Données de l'étude
Modélisation du bloc rocheux et des forces en jeu
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur du bloc | \(H\) | 12 | m |
| Pente du plan de glissement | \(β\) | 35 | ° |
| Profondeur (largeur du bloc) | - | 1 (pour un mètre linéaire) | m |
| Angle de frottement interne | \(ϕ'\) | 40 | ° |
| Cohésion effective | \(c'\) | 25 | kPa |
| Poids volumique de la roche | \(γ_r\) | 26 | kN/m³ |
| Poids volumique de l'eau | \(γ_e\) | 9.81 | kN/m³ |
| Hauteur d'eau dans la fissure | \(z_e\) | 6 | m |
Questions à traiter
- Calculer le poids du bloc rocheux (W) pour un mètre linéaire de largeur.
- Décomposer le poids W en une composante normale (N) et une composante tangentielle (T) au plan de glissement.
- Calculer les forces hydrostatiques (poussée U sur le plan de glissement et poussée V sur la fissure de traction).
- Déterminer la force résistante totale (FR) le long du plan de glissement.
- Calculer le facteur de sécurité (FS) et conclure sur la stabilité du bloc.
Les bases de la Stabilité des Pentes Rocheuses
La stabilité d'un bloc rocheux est évaluée en comparant les forces qui tendent à retenir le bloc (forces résistantes) à celles qui tendent à le faire glisser (forces motrices). Ce rapport est le Facteur de Sécurité (FS).
1. Facteur de Sécurité (FS)
C'est le principal indicateur de stabilité. Un facteur supérieur à 1 signifie que les forces résistantes sont plus grandes que les forces motrices, et le bloc est donc stable. S'il est inférieur à 1, le bloc est instable.
\[ \text{FS} = \frac{\sum \text{Forces résistantes}}{\sum \text{Forces motrices}} \]
2. Critère de Rupture de Mohr-Coulomb
La résistance au cisaillement (\(\tau\)) le long du plan de glissement est la somme de deux composantes : la cohésion"Colle" naturelle de la roche, sa résistance intrinsèque au cisaillement même sans contrainte normale. (\(c'\)) et la friction. La friction dépend de la contrainte normale effectiveLa force perpendiculaire au plan de glissement, qui "presse" les deux surfaces l'une contre l'autre. La pression d'eau la réduit. (\(\sigma'_n\)) et de l'angle de frottementCaractérise la rugosité du plan de glissement. Un angle plus élevé signifie plus de friction et donc une meilleure résistance. (\(\phi'\)).
\[ \tau = c' + \sigma'_n \tan(\phi') \]
Correction : Calcul du Facteur de Sécurité d’un Bloc Rocheux
Question 1 : Calculer le poids du bloc rocheux (W)
Principe
Le poids (\(W\)) est la force de gravité exercée sur le bloc. On le calcule en multipliant son volume par le poids volumique de la roche. Le bloc étant un prisme à base triangulaire, on calcule d'abord l'aire de ce triangle.
Mini-Cours
Le poids volumique (\(\gamma\)) d'un matériau est son poids par unité de volume (en \(kN/m³\)). Le volume d'un prisme est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur (ici, sa largeur linéaire).
Remarque Pédagogique
La première étape de tout calcul de stabilité est toujours de bien définir la géométrie du problème. Ici, identifier la forme triangulaire du bloc est crucial pour calculer correctement son volume, et donc son poids, qui est la force motrice initiale.
Normes
Le calcul du poids d'un corps est un principe fondamental de la physique (Deuxième loi de Newton, F=mg) et ne dépend pas d'une norme de construction spécifique. Les poids volumiques des matériaux sont cependant standardisés (par ex. dans l'Eurocode 1).
Formule(s)
Formule générale du poids
Formule du volume du bloc
Hypothèses
- Le bloc rocheux a une forme de prisme triangulaire parfaite.
- Le poids volumique de la roche est constant et homogène dans tout le bloc.
- Nous effectuons le calcul pour une "tranche" de 1 mètre de largeur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur du bloc | \(H\) | 12 | m |
| Pente du plan | \(β\) | 35 | ° |
| Poids Volumique Roche | \(γ_r\) | 26 | kN/m³ |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, on peut imaginer un cube de roche de 1m de côté. Son poids serait de 26 kN (environ 2,6 tonnes). Notre bloc est beaucoup plus grand, donc on s'attend à un poids de plusieurs milliers de kN.
Schéma (Avant les calculs)
Géométrie du bloc pour le calcul du volume
Calcul(s)
Calcul de l'aire de la section (\(A_{\text{bloc}}\))
Calcul du Poids (\(W\))
Schéma (Après les calculs)
Application de la force Poids (W)
Réflexions
Le poids total du bloc est d'environ 2674 kN, soit près de 270 tonnes. C'est une force considérable qui constituera la source principale des efforts tendant à faire glisser le bloc.
Points de vigilance
La principale source d'erreur ici est le calcul de la base du triangle. Il faut bien utiliser la fonction tangente et ne pas se tromper dans l'application de la trigonométrie. Une erreur sur le volume se répercutera sur tous les calculs suivants.
Points à retenir
La détermination du poids d'un volume instable est la première étape de toute analyse de stabilité. La méthode consiste à décomposer la géométrie en formes simples (ici, un triangle), calculer le volume, puis multiplier par le poids volumique.
Le saviez-vous ?
Le poids volumique des roches varie considérablement. Le granite est autour de 27 kN/m³, le calcaire autour de 25 kN/m³ et le basalte peut atteindre 30 kN/m³. Ce paramètre, qui semble simple, est essentiel et doit être mesuré précisément sur site.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur du bloc (\(H\)) était de 15 m au lieu de 12 m, quel serait le nouveau poids \(W\) (en kN) ?
Question 2 : Décomposer le poids W en composantes normale (N) et tangentielle (T)
Principe
La force verticale \(W\) est "projetée" sur le repère lié au plan de glissement. Cela donne deux composantes : une force \(N\) perpendiculaire (normale) au plan, qui crée la friction, et une force \(T\) parallèle (tangentielle) au plan, qui est la principale force motrice.
Mini-Cours
La décomposition de vecteurs est une opération fondamentale en statique. Pour un plan incliné d'un angle \(β\) par rapport à l'horizontale, un vecteur vertical se décompose en utilisant les fonctions cosinus (pour la composante normale) et sinus (pour la composante tangentielle) de cet angle \(β\).
Remarque Pédagogique
Faites un schéma clair et identifiez bien l'angle \(β\). Une erreur fréquente est d'inverser le sinus et le cosinus. Visualiser le triangle des forces aide à s'assurer que la composante normale est bien la plus grande pour les pentes faibles (\(β < 45°\)).
Normes
Cette décomposition relève des lois de la statique et de la trigonométrie, des principes universels en physique et ingénierie.
Formule(s)
Composante normale
Composante tangentielle
Hypothèses
- Le plan de glissement est parfaitement plan.
- L'angle \(β\) est constant sur toute la longueur du plan.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids du bloc | \(W\) | 2673.6 | kN |
| Pente du plan | \(β\) | 35 | ° |
Astuces
Une vérification rapide : la somme des carrés des composantes doit redonner le carré du vecteur initial : \(N^2 + T^2 = W^2\). C'est une application du théorème de Pythagore sur le triangle des forces.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du vecteur Poids W
Calcul(s)
Calcul de la composante normale (\(N\))
Calcul de la composante tangentielle (\(T\))
Schéma (Après les calculs)
Schéma des forces décomposées
Réflexions
La force \(T\) (1534 kN), parallèle à la pente, est la principale force qui "pousse" le bloc vers le bas. La force \(N\) (2190 kN) "plaque" le bloc contre la pente et sera essentielle pour générer la résistance au frottement.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians" pour les calculs trigonométriques. L'inversion de sin() et cos() est l'erreur la plus commune à cette étape.
Points à retenir
Toute force agissant sur un plan incliné peut être décomposée en une composante normale (avec cos β) et une composante tangentielle (avec sin β). Cette décomposition est la clé de la résolution.
Le saviez-vous ?
Ce principe de décomposition des forces sur un plan incliné a été étudié et formalisé par Galilée au début du 17ème siècle dans ses études sur la chute des corps, bien avant que cela ne soit appliqué au génie civil.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pente était plus forte, à \(β=45°\), que deviendrait la force motrice \(T\) (en kN) ?
Question 3 : Calculer les forces hydrostatiques (U et V)
Principe
L'eau dans les fissures exerce une pression qui génère des forces perpendiculaires aux surfaces. \(U\), la sous-pression, agit sous le bloc et le "soulève", réduisant la friction. \(V\), la pression dans la fissure, "pousse" le bloc horizontalement.
Mini-Cours
La pression hydrostatique augmente linéairement avec la profondeur (\(p = \gamma_e \cdot z\)). La force résultante sur une surface est l'aire du diagramme de pression. Pour un diagramme triangulaire, cette force est \(F = \frac{1}{2} \times \text{pression max} \times \text{longueur surface}\).
Remarque Pédagogique
L'eau est souvent le facteur déclenchant des glissements de terrain. Sa présence réduit les forces résistantes (via \(U\)) et augmente les forces motrices (via \(V\)). C'est pourquoi le drainage est une solution courante pour stabiliser les pentes.
Normes
Les calculs de pression hydrostatique sont basés sur les principes de la mécanique des fluides (Principe de Pascal). Les méthodes pour estimer les niveaux d'eau dans un massif rocheux sont décrites dans les guides de conception géotechnique comme l'Eurocode 7.
Formule(s)
Force de poussée dans la fissure
Force de sous-pression
Longueur du plan de glissement
Hypothèses
- La distribution de la pression de l'eau est hydrostatique (triangulaire), ce qui est une simplification courante.
- La pression de l'eau à la base du bloc varie de son maximum à l'arrière à zéro à l'avant du bloc.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur d'eau | \(z_e\) | 6 | m |
| Poids Volumique Eau | \(γ_e\) | 9.81 | kN/m³ |
| Hauteur du bloc | \(H\) | 12 | m |
| Pente du plan | \(β\) | 35 | ° |
Astuces
Retenez que la force \(V\) ne dépend que de la hauteur d'eau au carré. Doubler la hauteur d'eau quadruple cette force de poussée, montrant son impact non-linéaire et très dangereux.
Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes de pression de l'eau
Calcul(s)
Calcul de la force de poussée dans la fissure (\(V\))
Calcul de la longueur du plan de glissement (\(L_b\))
Calcul de la force de sous-pression (\(U\))
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs des forces hydrostatiques
Réflexions
La force de sous-pression \(U\) (616 kN) est très importante, elle va annuler une part significative de la force normale \(N\) (2190 kN), réduisant ainsi fortement la résistance due à la friction. La force \(V\) (177 kN) s'ajoute directement aux forces motrices.
Points de vigilance
Ne pas confondre la hauteur d'eau \(z_e\) avec la hauteur totale \(H\) du bloc. De plus, la force \(U\) s'applique sur la longueur du plan de glissement \(L_b\), et non sur la base horizontale du bloc. C'est une erreur commune.
Points à retenir
L'eau a un double effet déstabilisateur : elle ajoute une force motrice (\(V\)) et réduit la force résistante de friction en diminuant la force normale effective par la sous-pression (\(U\)).
Le saviez-vous ?
La catastrophe du barrage de Vajont en Italie en 1963, le plus grand glissement de terrain d'origine humaine, a été déclenchée par la montée de l'eau dans le réservoir, qui a augmenté les pressions interstitielles dans le versant de la montagne et l'a mis en mouvement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si une crue faisait monter l'eau à \(z_e = 9\) m, quelle serait la nouvelle valeur de la force \(V\) (en kN) ?
Question 4 : Déterminer la force résistante totale (FR)
Principe
La force résistante est la force maximale que le sol peut opposer au glissement. Elle provient de deux phénomènes : la cohésion (la "colle" entre les grains) et le frottement (la "rugosité"). Le frottement dépend de la force qui plaque les surfaces l'une contre l'autre, qui est la force normale effective (\(N-U\)).
Mini-Cours
Le critère de Mohr-Coulomb est la loi fondamentale qui décrit la résistance au cisaillement d'un sol ou d'une roche. La résistance est la somme d'un terme de cohésion (\(c' \cdot A\)) et d'un terme de friction (\((N-U) \cdot \tan(\phi')\)).
Remarque Pédagogique
L'étape la plus importante ici est de penser en termes de contrainte "effective". C'est Karl von Terzaghi qui a introduit ce concept fondamental : ce n'est pas la force normale totale qui compte pour la friction, mais la force effective, c'est-à-dire la force totale moins la pression de l'eau.
Normes
L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) définit les méthodes de calcul et les facteurs de sécurité partiels à appliquer sur les paramètres du sol (\(c'\), \(\tan(\phi')\)) pour les calculs de stabilité.
Formule(s)
Hypothèses
- Les paramètres \(c'\) et \(ϕ'\) sont constants et représentatifs de l'ensemble de la surface de glissement.
- Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est applicable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Cohésion | \(c'\) | 25 | kPa |
| Angle de Frottement | \(ϕ'\) | 40 | ° |
| Force Normale | \(N\) | 2189.7 | kN |
| Sous-Pression | \(U\) | 615.8 | kN |
| Aire du plan | \(A\) | 20.92 | m² |
Astuces
Convertissez toujours la cohésion en kN/m² avant le calcul (\(1 \text{ kPa} = 1 \text{ kN/m²}\)). Cela évite les erreurs d'unités car toutes les autres forces sont en kN.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation du critère de Mohr-Coulomb
Calcul(s)
Calcul de la composante cohésive (\(F_{\text{cohésion}}\))
Calcul de la composante de friction (\(F_{\text{friction}}\))
Calcul de la Force Résistante Totale (\(\text{FR}\))
Schéma (Après les calculs)
Bilan des forces sur le plan de glissement
Réflexions
La résistance totale de 1843,5 kN est composée d'une part de cohésion (523 kN, soit ~28%) et d'une part de friction (1320,5 kN, soit ~72%). La friction est donc la composante majoritaire de la résistance dans ce cas.
Points de vigilance
L'erreur la plus grave et la plus fréquente est d'oublier de soustraire la sous-pression U de la force normale N avant de calculer la force de friction. Cela mènerait à une surestimation très dangereuse de la force résistante.
Points à retenir
La résistance au glissement a deux sources : la cohésion (constante) et la friction (proportionnelle à la force normale effective). L'eau, en créant une sous-pression, réduit la force normale effective et donc la friction.
Le saviez-vous ?
Le critère de Mohr-Coulomb est une simplification. En réalité, les surfaces de discontinuité rocheuse ne sont pas planes et leur résistance peut dépendre d'autres facteurs, comme la rugosité (critères de Barton-Bandis) ou l'usure de la surface.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le plan de glissement était de moins bonne qualité (\(ϕ'=30°\) au lieu de 40°), quelle serait la nouvelle force résistante \(FR\) (en kN) ?
Question 5 : Calculer le facteur de sécurité (FS) et conclure
Principe
Le facteur de sécurité est le bilan final de l'analyse. Il compare les forces qui retiennent le bloc (\(\text{FR}\), la résistance maximale) aux forces qui le poussent à glisser (\(\text{FM}\), les forces motrices). Si \(\text{FR} > \text{FM}\), le bloc est stable.
Mini-Cours
La force motrice totale (\(\text{FM}\)) est la somme de toutes les composantes de force agissant parallèlement au plan de glissement et dans le sens de la pente. Ici, il s'agit de la composante tangentielle du poids (\(T\)) et de la poussée de l'eau (\(V\)).
Remarque Pédagogique
Le FS n'est pas juste un chiffre. L'interpréter est essentiel. Un FS de 1.01 est techniquement "stable", mais en pratique inacceptable à cause des incertitudes sur les données. On vise toujours une marge de sécurité confortable (FS ≥ 1.3 ou 1.5).
Normes
L'Eurocode 7 et d'autres codes de construction internationaux prescrivent les valeurs minimales du facteur de sécurité à obtenir en fonction de la situation du projet (temporaire, permanent) et des conséquences d'une rupture.
Formule(s)
Formule du Facteur de Sécurité
Formule de la Force Motrice
Hypothèses
- Le mécanisme de rupture considéré (glissement plan) est le plus probable.
- Les forces calculées sont représentatives de l'état réel du massif.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force Résistante | FR | 1843.5 | kN |
| Force Tangentielle | T | 1534.2 | kN |
| Force Poussée d'Eau | V | 176.6 | kN |
Astuces
Le FS est un nombre sans dimension. Si vous obtenez une unité, c'est qu'il y a une erreur dans votre raisonnement ou vos calculs. C'est un bon moyen de s'auto-corriger.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces motrices et résistantes
Calcul(s)
Calcul de la Force Motrice totale (\(\text{FM}\))
Calcul du Facteur de Sécurité (\(\text{FS}\))
Schéma (Après les calculs)
Position du Facteur de Sécurité
Réflexions
Un facteur de sécurité de 1.08 est très faible. En ingénierie géotechnique, les valeurs requises sont généralement de 1,3 à 1,5, voire plus selon le niveau de risque. Ce résultat indique que le bloc est dans un état d'équilibre limite. Une légère augmentation des forces motrices (par ex. une montée du niveau d'eau) ou une diminution de la résistance (par ex. dégradation de la cohésion) pourrait provoquer la rupture.
Points de vigilance
Attention, la formule \(\text{FM} = T + V\) est une simplification qui additionne directement une force parallèle à la pente (\(T\)) et une force horizontale (\(V\)). Une analyse plus rigoureuse projetterait \(V\) sur les axes du plan de glissement, mais cette approche est courante pour sa simplicité et son caractère conservatif.
Points à retenir
Le facteur de sécurité est le ratio final qui synthétise toute l'analyse. Il se calcule en divisant la somme de toutes les forces résistantes (cohésion + friction effective) par la somme de toutes les forces motrices (composante du poids + poussées externes).
Le saviez-vous ?
Le concept de "Facteur de Sécurité" a été popularisé au 19ème siècle dans l'ingénierie des ponts métalliques pour tenir compte des incertitudes sur la qualité de l'acier et sur les charges appliquées. Il a ensuite été adopté dans toutes les branches du génie civil, y compris la géotechnique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Des ancrages sont installés, ajoutant une force résistante de 400 kN. Quel est le nouveau facteur de sécurité ?
Outil Interactif : Simulateur de Stabilité
Utilisez les curseurs pour voir comment l'angle de frottement et la hauteur d'eau dans la fissure influencent le facteur de sécurité.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si le facteur de sécurité (FS) est de 0.95, que peut-on conclure ?
2. Quelle est la principale conséquence d'une augmentation de la pression d'eau dans la fissure ?
3. Laquelle de ces propriétés représente la "colle" naturelle d'un plan de discontinuité ?
4. Si l'on draine complètement l'eau de la fissure (\(z_e = 0\)), comment le facteur de sécurité va-t-il évoluer ?
5. La force de friction qui s'oppose au glissement dépend directement de :
- Facteur de Sécurité (FS)
- Rapport des forces résistantes sur les forces motrices. Un FS > 1 indique la stabilité. Un FS < 1 indique l'instabilité.
- Cohésion (\(c'\))
- Résistance intrinsèque au cisaillement d'un matériau, indépendante de la contrainte normale. C'est l'adhésion ou la "colle" le long d'un plan.
- Angle de Frottement (\(ϕ'\))
- Angle qui caractérise la résistance au glissement due à la friction entre deux surfaces. Il dépend de la rugosité des surfaces en contact.
- Pression Interstitielle (Pression de l'eau)
- Pression exercée par l'eau contenue dans les pores ou les fissures d'une roche. Elle réduit la contrainte effective et donc la résistance au cisaillement.
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