Dimensionnement d'une Semelle sous Charge Excentrée

Contexte : Le dimensionnement des fondations superficielles.

Cet exercice aborde un cas courant en génie civil : le calcul d'une semelle isolée en béton armé qui supporte un poteau appliquant une charge excentrée. L'excentricitéDécalage de la force appliquée par rapport au centre de gravité de la surface d'appui, ce qui génère un moment de flexion en plus de la force axiale. de la charge est un facteur critique car elle engendre des contraintes non uniformes sur le sol, pouvant compromettre la stabilité de l'ouvrage. Nous allons vérifier la stabilité de la semelle vis-à-vis du sol et calculer les aciers nécessaires pour reprendre les efforts de flexion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes de la mécanique des sols et du béton armé (selon les Eurocodes) pour garantir qu'une fondation est sûre, à la fois vis-à-vis du sol (non-poinçonnement, non-glissement) et structurellement (résistance à la flexion et à l'effort tranchant).

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser les combinaisons d'actions aux États Limites Ultimes (ELU) et de Service (ELS).
Vérifier la condition de non-soulèvement de la semelle.
Calculer les contraintes maximales et minimales appliquées sur le sol.
Dimensionner les armatures en flexion d'une semelle en béton armé.

Données de l'étude

On étudie une semelle carrée en béton armé de dimensions A x A et de hauteur h. Elle supporte un poteau carré de 30x30 cm. La base de la semelle est à une profondeur D = 1.50 m.

Schéma du Problème

Caractéristique	Symbole	Valeur
Charges permanentes	G	600 kN
Charges d'exploitation	Q	250 kN
Moment de flexion (dû à G)	\(M_G\)	80 kN.m
Moment de flexion (dû à Q)	\(M_Q\)	50 kN.m
Contrainte admissible du sol à l'ELS	\(\sigma_{\text{sol,ser}}\)	0.20 MPa
Résistance du béton	\(f_{\text{ck}}\)	25 MPa
Limite élastique de l'acier	\(f_{\text{yk}}\)	500 MPa
Fissuration	Préjudiciable

Questions à traiter

Calculer les sollicitations de calcul à l'ELU et à l'ELS.
Pré-dimensionner la largeur A de la semelle à l'ELS en respectant la condition de non-soulèvement. On prendra une hauteur \(h = 0.50\) m.
Vérifier la contrainte sur le sol avec la dimension de semelle retenue.
Calculer le ferraillage nécessaire dans la nappe inférieure de la semelle (aciers longitudinaux).

Les bases sur le calcul de fondations

Le calcul d'une semelle excentrée repose sur l'équilibre des forces et la vérification des contraintes. La charge excentrée \(N\) avec une excentricité \(e\) est équivalente à une charge centrée \(N\) et un moment \(M = N \times e\).

1. Condition de non-soulèvement (Règle du tiers central)
Pour qu'une semelle rectangulaire de largeur A ne se soulève pas, l'excentricité \(e\) de la résultante des forces doit rester dans le tiers central de sa base. \[ e_{\text{ser}} = \frac{M_{\text{ser}}}{N_{\text{ser}}} \le \frac{A}{6} \]

2. Calcul des contraintes sur le sol
Lorsque la charge est dans le tiers central, la distribution des contraintes est trapézoïdale. Les contraintes maximale et minimale sont données par : \[ \sigma_{\text{max, min}} = \frac{N_{\text{ser}}}{S} \left( 1 \pm \frac{6e}{A} \right) \] Où \(S=A^2\) est la surface de la semelle. On doit vérifier que \(\sigma_{\text{max}} \le \sigma_{\text{sol,ser}}\).

Correction : Dimensionnement d’une Semelle sous Charge Excentrée

Question 1 : Sollicitations de calcul

Principe

Pour s'assurer qu'une structure est sûre, on ne la calcule pas avec les charges réelles, mais avec des charges "majorées" (augmentées). C'est le principe des coefficients de sécurité. On distingue deux niveaux de vérification : l'État Limite Ultime (ELU) pour la solidité (éviter la rupture), et l'État Limite de Service (ELS) pour le bon fonctionnement (éviter les déformations excessives).

Mini-Cours

La méthode des états limites est au cœur du calcul de structure moderne. Elle consiste à identifier toutes les situations dangereuses ou problématiques (les "états limites") et à s'assurer, par le calcul, que la probabilité de les atteindre est suffisamment faible. Pour cela, on applique des coefficients partiels de sécurité à la fois sur les charges (on les augmente) et sur les résistances des matériaux (on les diminue).

Remarque Pédagogique

Pensez à l'ELU comme à la vérification que votre voiture ne se brisera pas en cas de choc violent. Pensez à l'ELS comme à la vérification que la suspension est assez confortable et que les portes ferment bien au quotidien. Les deux sont importants, mais ils ne vérifient pas la même chose. Séparez toujours rigoureusement les deux calculs.

Normes

Les combinaisons d'actions et les coefficients de sécurité sont définis par la norme européenne NF EN 1990 (Eurocode 0) - Bases de calcul des structures.

Formule(s)

Formule de l'effort normal ultime (ELU)

N_{\text{u}} = 1.35 G + 1.5 Q

Formule du moment ultime (ELU)

M_{\text{u}} = 1.35 M_G + 1.5 M_Q

Formule de l'effort normal de service (ELS)

N_{\text{ser}} = G + Q

Formule du moment de service (ELS)

M_{\text{ser}} = M_G + M_Q

Hypothèses

Nous utilisons la combinaison fondamentale de l'Eurocode 0. Nous supposons que les charges G et Q sont les seules actions à considérer et qu'elles sont défavorables.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente	G	600	kN
Charge d'exploitation	Q	250	kN
Moment (dû à G)	\(M_G\)	80	kN.m
Moment (dû à Q)	\(M_Q\)	50	kN.m

Astuces

Pour ne pas vous tromper, créez un petit tableau avec les charges de base, les coefficients (ELU et ELS), puis les résultats. Cela structure votre travail et limite les erreurs d'inattention.

Schéma (Avant les calculs)

Charges Appliquées sur le Poteau

Calcul(s)

Calcul de l'effort normal ultime (Nu)

\begin{aligned} N_{\text{u}} &= 1.35 \times 600 + 1.5 \times 250 \\ &= 810 + 375 \\ &= 1185 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul du moment ultime (Mu)

\begin{aligned} M_{\text{u}} &= 1.35 \times 80 + 1.5 \times 50 \\ &= 108 + 75 \\ &= 183 \text{ kN.m} \end{aligned}

Calcul de l'effort normal de service (Nser)

\begin{aligned} N_{\text{ser}} &= 600 + 250 \\ &= 850 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul du moment de service (Mser)

\begin{aligned} M_{\text{ser}} &= 80 + 50 \\ &= 130 \text{ kN.m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Sollicitations de Calcul (ELU et ELS)

Réflexions

Les valeurs à l'ELU sont significativement plus élevées qu'à l'ELS (environ 40% de plus pour N). C'est normal, car l'ELU doit prendre en compte des situations exceptionnelles. Les valeurs ELU (\(N_{\text{u}}, M_{\text{u}}\)) serviront pour le calcul de la résistance de la semelle (ferraillage). Les valeurs ELS (\(N_{\text{ser}}, M_{\text{ser}}\)) serviront pour les vérifications liées au sol et à la déformation.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mélanger les combinaisons ou d'oublier un coefficient. Soyez méticuleux. Vérifiez toujours que vous utilisez les bonnes charges (G ou Q) avec les bons coefficients (1.35 ou 1.5).

Points à retenir

Retenez qu'il existe deux niveaux de vérification principaux : l'ELU pour la solidité, avec des charges majorées (1.35G + 1.5Q), et l'ELS pour le fonctionnement, avec des charges non majorées (G+Q). Cette distinction est fondamentale en calcul de structure.

Le saviez-vous ?

La notion de coefficients de sécurité probabilistes, comme ceux des Eurocodes, a été développée dans les années 1960-70. Avant cela, on utilisait une approche "déterministe" avec un coefficient de sécurité global unique (souvent 3 ou 4), ce qui était beaucoup moins optimisé.

FAQ

Résultat Final

Les sollicitations de calcul sont : \(N_{\text{u}} = 1185\) kN, \(M_{\text{u}} = 183\) kN.m, \(N_{\text{ser}} = 850\) kN et \(M_{\text{ser}} = 130\) kN.m.

A vous de jouer

Recalculez la charge \(N_{\text{u}}\) si les charges d'exploitation étaient de Q = 400 kN.

Question 2 : Pré-dimensionnement de la semelle

Principe

Le sol sous une fondation ne peut travailler qu'en compression ; il ne peut pas "tirer" sur la semelle. Si le moment est trop grand par rapport à la charge verticale, une partie de la semelle se soulèvera. Le but est de dimensionner la semelle assez large pour que la force résultante reste dans le "tiers central" de sa base, garantissant ainsi que toute la surface reste comprimée.

Mini-Cours

La règle du "tiers central" (ou noyau central) découle de la théorie de la résistance des matériaux pour des sections qui ne résistent pas à la traction. Pour une section rectangulaire de largeur A, le noyau central est un losange dont les sommets sont à A/6 de chaque côté du centre. Tant que la force résultante passe à l'intérieur de ce noyau, toute la section est comprimée.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous essayez de tenir une longue planche debout sur le sol en appuyant au sommet. Si vous appuyez parfaitement au centre, elle est stable. Si vous vous décalez un peu, elle tient encore. Si vous vous décalez trop (au-delà du tiers central), un des bords se soulève. C'est exactement le même phénomène pour une semelle.

Normes

Cette vérification est une exigence fondamentale de la mécanique des sols, reprise dans l'NF EN 1997 (Eurocode 7) - Calcul géotechnique, qui impose de vérifier la stabilité de la fondation.

Formule(s)

Formule de l'excentricité

e_{\text{ser}} = \frac{M_{\text{ser}}}{N_{\text{ser}}}

Condition de non-soulèvement

e_{\text{ser}} \le \frac{A}{6} \Rightarrow A \ge 6 \times e_{\text{ser}}

Hypothèses

On suppose une distribution linéaire des contraintes sous la semelle. On effectue cette vérification à l'ELS car le soulèvement est un phénomène qui affecte le bon fonctionnement avant de mener à la ruine.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Effort normal de service	\(N_{\text{ser}}\)	850	kN
Moment de service	\(M_{\text{ser}}\)	130	kN.m

Astuces

Retenez simplement "A sur 6". C'est une règle simple et très rapide à vérifier pour le pré-dimensionnement d'une semelle rectangulaire. Si votre excentricité est supérieure à A/6, il faut impérativement augmenter A.

Schéma (Avant les calculs)

Condition du Tiers Central

Calcul(s)

Calcul de l'excentricité de service

\begin{aligned} e_{\text{ser}} &= \frac{130 \text{ kN.m}}{850 \text{ kN}} \\ &= 0.153 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la largeur minimale A

\begin{aligned} A &\ge 6 \times 0.153 \\ &\ge 0.918 \text{ m} \end{aligned}

On doit choisir une dimension supérieure à 0.918 m. Pour des raisons pratiques de construction (coffrage, fouilles), on choisit une dimension "ronde", généralement un multiple de 10 cm. On pourrait prendre A=1.00m, mais en anticipant la vérification de contrainte, on prend une valeur plus confortable.

Schéma (Après les calculs)

Dimension Minimale de la Semelle

Réflexions

La valeur de A=2.00 m choisie dans l'énoncé initial respecte largement la condition de non-soulèvement (2.00 m > 0.918 m). Cela signifie que la semelle sera entièrement comprimée, et que les formules de contrainte trapézoïdales sont applicables. Si nous avions trouvé A < 0.918 m, il aurait fallu recalculer avec une section de semelle soulevée, ce qui est plus complexe.

Points de vigilance

Utilisez impérativement les charges de service (ELS) pour cette vérification. Utiliser les charges ELU conduirait à une excentricité et donc à une dimension de semelle incorrectes pour cette vérification spécifique.

Points à retenir

Le pré-dimensionnement d'une semelle excentrée commence toujours par la vérification de la condition du tiers central : \(A \ge 6 \times e_{\text{ser}}\). C'est une étape rapide qui fixe la géométrie minimale de la fondation.

Le saviez-vous ?

Le concept de noyau central a été développé par l'ingénieur français Jacques Bresse au 19ème siècle. Il est fondamental pour le calcul de toutes les structures en matériaux ne résistant pas à la traction, comme les arcs en maçonnerie ou les barrages-poids.

FAQ

Résultat Final

La largeur minimale théorique est \(A_{\text{min}} = 0.92\) m. On part sur une première itération avec \(A = 2.00\) m, qui respecte cette condition.

A vous de jouer

Quelle serait la largeur minimale A si le moment de service \(M_{\text{ser}}\) valait 200 kN.m (avec \(N_{\text{ser}}=850\) kN)?

Question 3 : Vérification de la contrainte sur le sol

Principe

Le sol sous la fondation agit comme un support, mais sa capacité à supporter des charges est limitée. On modélise cette capacité par une "contrainte admissible". Le but de cette étape est de s'assurer que la pression maximale exercée par la semelle sur le sol est inférieure à ce que le sol peut endurer sans se tasser de manière excessive ou se rompre.

Mini-Cours

La contrainte admissible du sol est une donnée géotechnique cruciale, fournie par le rapport de sol. Elle intègre des coefficients de sécurité par rapport à la capacité portante réelle du sol. Dans notre calcul de contrainte, il est impératif d'inclure toutes les charges verticales qui s'appliquent sur le sol, y compris le poids de la semelle elle-même et le poids des terres situées au-dessus.

Remarque Pédagogique

C'est un dialogue entre l'ingénieur structure et le sol. La structure dit "voici la charge que j'applique", et le sol répond "voici la pression maximale que je peux supporter". Notre travail est de concevoir une surface de contact (la semelle) suffisamment grande pour que la pression (la charge divisée par la surface) reste acceptable pour le sol.

Normes

La vérification de la capacité portante est une exigence de l'NF EN 1997 (Eurocode 7). Le calcul est mené à l'ELS pour contrôler les tassements et assurer la durabilité de l'ouvrage.

Formule(s)

Formule de la contrainte maximale au sol

\sigma_{\text{max}} = \frac{N_{\text{ser,tot}}}{A^2} \left( 1 + \frac{6e_{\text{ser}}}{A} \right) \le \sigma_{\text{sol,ser}}

Où \(N_{\text{ser,tot}}\) est la charge de service totale, incluant le poids propre de la fondation.

Hypothèses

On suppose que la contrainte admissible fournie est une contrainte nette, c'est-à-dire qu'elle prend déjà en compte le poids des terres initialement en place. On utilise une masse volumique de 25 kN/m³ pour le béton armé et de 20 kN/m³ pour les terres remblayées.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Dimension retenue	A	2.80	m
Effort normal de service	\(N_{\text{ser}}\)	850	kN
Excentricité de service	\(e_{\text{ser}}\)	0.153	m
Contrainte admissible du sol	\(\sigma_{\text{sol,ser}}\)	0.20	MPa

Astuces

Pour accélérer le processus itératif de dimensionnement, on peut inverser la formule pour trouver directement la surface A requise, bien que cela soit plus complexe. L'approche par essais successifs est plus simple à mettre en œuvre et tout aussi efficace.

Schéma (Avant les calculs)

Charges Totales sur la Semelle (ELS)

Calcul(s)

Le calcul est itératif. On a vu qu'il fallait une dimension supérieure à 2.00m. On teste directement A=2.8m.

Calcul du poids propre (A = 2.8 m)

\begin{aligned} P_{\text{propre}} &= (2.8^2 \times 0.5 \times 25) + (2.8^2 \times (1.5-0.5) \times 20) \\ &= 98 + 156.8 \\ &= 254.8 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul de la charge totale de service

\begin{aligned} N_{\text{ser,tot}} &= 850 + 254.8 \\ &= 1104.8 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul de la contrainte maximale

\begin{aligned} \sigma_{\text{max}} &= \frac{1104.8}{2.8^2} \left( 1 + \frac{6 \times 0.153}{2.8} \right) \\ &= 140.9 \times (1 + 0.328) \\ &= 187.1 \text{ kPa} \\ &= 0.187 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distribution des Contraintes sous la Semelle

Réflexions

Le calcul montre qu'une semelle de 2.80m x 2.80m est nécessaire pour que la pression maximale sur le sol (0.187 MPa) reste inférieure à sa capacité (0.20 MPa). Le dimensionnement n'est donc pas dicté par la condition de non-soulèvement, mais bien par la résistance du sol. C'est un cas très fréquent.

Points de vigilance

Ne jamais oublier d'inclure le poids propre de la fondation et des terres dans le calcul de la contrainte ! C'est une part non négligeable de la charge totale. Assurez-vous aussi de la cohérence de vos unités (kN, m, kPa ou MPa).

Points à retenir

Le dimensionnement d'une semelle est un processus itératif. On pose une dimension (pré-dimensionnement), on vérifie les contraintes, et on ajuste la dimension si nécessaire jusqu'à ce que toutes les conditions soient satisfaites.

Le saviez-vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963), considéré comme le père de la mécanique des sols moderne, a développé la théorie de la capacité portante des fondations superficielles. Ses formules, bien que modifiées, sont encore à la base des calculs géotechniques actuels.

FAQ

Résultat Final

La contrainte maximale est \(\sigma_{\text{max}} = 0.187\) MPa. Comme \(0.187 < 0.20\), la condition est vérifiée. On adopte une semelle de \(A = 2.80\) m.

A vous de jouer

Avec la semelle de A=2.8m, quelle serait la contrainte maximale si le poids volumique des terres était de 22 kN/m³ au lieu de 20 ?

Question 4 : Calcul du ferraillage

Principe

Sous l'effet de la pression du sol qui pousse vers le haut, la semelle se déforme comme une étagère ou une console encastrée dans le poteau. Le béton étant très peu résistant à la traction qui apparaît en partie inférieure, on doit y placer des barres d'acier (armatures) pour "coudre" la semelle et l'empêcher de se fissurer et de rompre en flexion.

Mini-Cours

Le calcul du ferraillage se fait à l'ELU pour garantir la sécurité contre la rupture. On calcule le moment de flexion maximal au point le plus critique, qui est le "nu" du poteau (la jonction entre le poteau et la semelle). Ce moment est ensuite utilisé dans les formules de béton armé pour déterminer la section d'acier (\(A_s\)) minimale requise.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous tenez un livre lourd (le poteau) sur votre main grande ouverte (la semelle). Vos doigts se plient vers le haut. Les muscles et tendons sous vos doigts agissent comme les barres d'acier pour résister à cette flexion. C'est pareil pour la semelle : les aciers sont placés du côté tendu, c'est-à-dire en bas.

Normes

Le calcul des armatures pour le béton armé est régi par l'NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) - Calcul des structures en béton.

Formule(s)

Formule de la section d'acier

A_s \ge \frac{M_{\text{u,semelle}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}

Où \(M_{\text{u,semelle}}\) est le moment de flexion à l'ELU au nu du poteau, \(z\) est le bras de levier interne (pris égal à \(0.9d\)), \(d\) est la hauteur utile (\(d \approx 0.9h\)) et \(f_{\text{yd}}\) est la limite élastique de calcul de l'acier.

Hypothèses

On suppose un enrobage des aciers de 5 cm, ce qui donne une hauteur utile \(d = h - 5\text{cm} = 45\) cm. On utilise les coefficients de sécurité réglementaires pour les matériaux : \(\gamma_c = 1.5\) pour le béton et \(\gamma_s = 1.15\) pour l'acier.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Effort normal ultime	\(N_{\text{u}}\)	1185	kN
Moment ultime	\(M_{\text{u}}\)	183	kN.m
Dimensions semelle	A, h	2.80, 0.50	m
Résistance béton	\(f_{\text{ck}}\)	25	MPa
Limite élastique acier	\(f_{\text{yk}}\)	500	MPa

Astuces

Pour le calcul du moment dans la semelle, on peut simplifier le diagramme de contrainte trapézoïdal en un diagramme rectangulaire uniforme équivalent. Cela donne une bonne approximation du moment et simplifie les calculs d'intégration.

Schéma (Avant les calculs)

Section Critique pour la Flexion

Calcul(s)

On calcule d'abord les contraintes du sol à l'ELU. L'effort \(N_{\text{u}}\) n'inclut pas le poids propre car celui-ci est équilibré par la réaction du sol et ne génère pas de moment de flexion dans la semelle.

Calcul de l'excentricité ultime

\begin{aligned} e_{\text{u}} &= \frac{M_{\text{u}}}{N_{\text{u}}} \\ &= \frac{183}{1185} \\ &= 0.154 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des contraintes ultimes min et max

\begin{aligned} \sigma_{\text{u,max/min}} &= \frac{N_{\text{u}}}{A^2} \left( 1 \pm \frac{6 e_{\text{u}}}{A} \right) \\ &= \frac{1185}{2.8^2} \left( 1 \pm \frac{6 \times 0.154}{2.8} \right) \\ &= 151.1 \times (1 \pm 0.329) \\ \Rightarrow \sigma_{\text{u,max}} &= 200.9 \text{ kPa} \\ \Rightarrow \sigma_{\text{u,min}} &= 101.4 \text{ kPa} \end{aligned}

Calcul de la contrainte au nu du poteau (\(\sigma_{\text{u,nu}}\))

La face du poteau se trouve à une distance de \( (A-a)/2 = (2.80-0.30)/2 = 1.25 \) m du bord le plus comprimé. On interpole linéairement la contrainte à cet endroit.

\begin{aligned} \sigma_{\text{u,nu}} &= \sigma_{\text{u,max}} - (\sigma_{\text{u,max}} - \sigma_{\text{u,min}}) \times \frac{1.25}{A} \\ &= 200.9 - (200.9 - 101.4) \times \frac{1.25}{2.8} \\ &= 156.5 \text{ kPa} \end{aligned}

Décomposition de la charge trapézoïdale pour le calcul du moment

On calcule le moment au nu du poteau en considérant la charge trapézoïdale sur la "console" de la semelle (longueur \(L_c = 1.25\) m). On décompose ce trapèze en un rectangle de hauteur \(\sigma_{\text{u,nu}}\) et un triangle de hauteur \((\sigma_{\text{u,max}} - \sigma_{\text{u,nu}})\).

Décomposition de la Pression pour le Calcul du Moment

Moment de la partie rectangulaire (M_rect)

\begin{aligned} M_{\text{rect}} &= (\sigma_{\text{u,nu}} \times L_c) \times \frac{L_c}{2} \\ &= (156.5 \times 1.25) \times \frac{1.25}{2} \\ &= 122.3 \text{ kN.m/ml} \end{aligned}

Moment de la partie triangulaire (M_tri)

\begin{aligned} M_{\text{tri}} &= \left( \frac{(\sigma_{\text{u,max}} - \sigma_{\text{u,nu}}) \times L_c}{2} \right) \times \frac{2 L_c}{3} \\ &= \left( \frac{(200.9 - 156.5) \times 1.25}{2} \right) \times \frac{2 \times 1.25}{3} \\ &= 27.75 \times 0.833 \\ &= 23.1 \text{ kN.m/ml} \end{aligned}

Moment de flexion de calcul total

\begin{aligned} M_{\text{u,semelle}} &= M_{\text{rect}} + M_{\text{tri}} \\ &= 122.3 + 23.1 \\ &= 145.4 \text{ kN.m/ml} \end{aligned}

Calcul de la hauteur utile

\begin{aligned} d &= h - \text{enrobage} \\ &= 0.50 - 0.05 \\ &= 0.45 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la limite élastique de l'acier

\begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \\ &= \frac{500}{1.15} \\ &= 435 \text{ MPa} \end{aligned}

Calcul de la section d'acier requise

\begin{aligned} A_s &\ge \frac{M_{\text{u,semelle}}}{0.9 d \cdot f_{\text{yd}}} \\ &\ge \frac{145.4 \times 10^{-3}}{0.9 \times 0.45 \times 435} \\ &\ge 0.000826 \text{ m}^2/\text{ml} \\ &\Rightarrow A_s \ge 8.26 \text{ cm}^2/\text{ml} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Disposition du Ferraillage

Réflexions

Une section d'acier de 8.26 cm²/ml est requise. On doit choisir un couple diamètre/espacement commercial qui fournit une section supérieure ou égale. Des barres de Haute Adhérence (HA) de 12mm de diamètre (section = 1.13 cm²) espacées de 13 cm donnent une section d'acier de \(1.13 / 0.13 = 8.69\) cm²/ml, ce qui est supérieur aux 8.26 requis. C'est un choix judicieux.

Points de vigilance

Le calcul de ferraillage se fait TOUJOURS à l'ELU. Une erreur fréquente est d'utiliser les charges de service. Attention également à bien calculer le moment au nu du poteau et non au centre de la semelle.

Points à retenir

La semelle fléchit sous la pression du sol. Les aciers principaux sont donc placés en bas pour reprendre la traction. Leur calcul découle directement du moment fléchissant à l'ELU au nu du poteau.

Le saviez-vous ?

Le béton armé a été popularisé par l'ingénieur français François Hennebique à la fin du 19ème siècle. Son système ingénieux combinait des barres longitudinales et des étriers (cadres) pour reprendre à la fois la flexion et l'effort tranchant, une base encore utilisée aujourd'hui.

FAQ

Résultat Final

On adopte un ferraillage de HA12 tous les 13 cm dans les deux directions (\(A_s = 8.69\) cm²/ml).

A vous de jouer

Quelle section d'acier \(A_s\) serait nécessaire si le moment de flexion \(M_{\text{u,semelle}}\) valait 200 kN.m/ml ?

Outil Interactif : Simulateur de Contrainte

Utilisez les curseurs pour faire varier la charge de service totale (\(N_{\text{ser,tot}}\)) et l'excentricité (\(e_{\text{ser}}\)) et observez l'impact sur la contrainte maximale au sol pour une semelle de 2.80 m de côté.

Paramètres d'Entrée

Charge de service \(N_{\text{ser,tot}}\) (kN) 1105 kN

Excentricité \(e_{\text{ser}}\) (m) 0.15 m

Résultats Clés

Contrainte max. \(\sigma_{\text{max}}\) (MPa) -

Vérification (\(A/6\)) -

Statut -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À quoi sert la condition de l'excentricité \(e \le A/6\) ?

À limiter la flexion dans le poteau.
À garantir que toute la surface de la semelle est comprimée.
À vérifier la résistance au poinçonnement.

2. Si la contrainte maximale calculée \(\sigma_{\text{max}}\) est supérieure à la contrainte admissible \(\sigma_{\text{sol,ser}}\), que faut-il faire ?

Augmenter la hauteur de la semelle.
Augmenter la quantité d'armatures.
Augmenter la surface de la semelle (A x A).

3. Les aciers principaux dans une semelle sont placés...

En nappe inférieure, car la semelle fléchit vers le haut.
En nappe supérieure, pour résister au poinçonnement.
Verticalement, sous forme de cadres.

Excentricité (e): Distance entre le point d'application d'une force et le centre de gravité de la surface sur laquelle elle s'applique. Elle génère un moment fléchissant M = N x e.
État Limite Ultime (ELU): État qui correspond à la ruine ou à la défaillance de la structure. Les calculs à l'ELU garantissent la sécurité des personnes.
État Limite de Service (ELS): État au-delà duquel les conditions d'exploitation ou de durabilité ne sont plus satisfaites. Les calculs à l'ELS garantissent le bon fonctionnement et le confort.