Calcul de la Fiche et de l'Effort dans le Tirant

Contexte : Le Rôle des Rideaux de Palplanches

Un rideau de palplanches est un ouvrage de soutènement utilisé pour retenir des terres, souvent en présence d'eau (quais, batardeaux). Il est constitué de profilés métalliques (les palplanches) emboîtés les uns dans les autres et enfoncés dans le sol. Pour les grandes hauteurs de soutènement, un ou plusieurs lits de tirants d'ancrageÉléments structurels qui reprennent les efforts de poussée des terres et les reportent sur un massif d'ancrage situé en arrière du rideau. sont nécessaires pour assurer la stabilité de l'ouvrage. Le calcul de la profondeur d'enfoncement (la "fiche") et de l'effort dans ces tirants est une étape cruciale du dimensionnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur la méthode dite du "rideau libre en pied", une approche simplifiée mais fondamentale qui consiste à considérer que le rideau est en équilibre sous l'action des forces de poussée, de butée et de l'effort du tirant, en supposant un point de rotation au niveau du tirant.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les forces agissant sur un rideau de palplanches (poussée, butée).
Appliquer le principe fondamental de la statique pour calculer la fiche minimale.
Déterminer l'effort de traction dans le tirant d'ancrage.
Analyser l'influence de la hauteur de soutènement sur la fiche et l'effort du tirant.

Données de l'étude

On étudie un rideau de palplanches soutenant un massif de sable sec. On utilise la méthode du rideau libre en pied. Les calculs sont menés par mètre linéaire de rideau.

Données géotechniques et géométriques :

Hauteur totale à soutenir (H) : \(6.0 \, \text{m}\)
Position du tirant depuis la surface (a) : \(1.5 \, \text{m}\)
Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)

Schéma du Rideau de Palplanches

Questions à traiter

Calculer les coefficients de pousséeForce exercée par le massif de sol sur le côté amont du rideau. Coefficient K_a. (\(K_a\)) et de butéeForce de réaction mobilisée par le sol du côté aval, qui s'oppose au déplacement du rideau. Coefficient K_p. (\(K_p\)) des terres selon la théorie de Rankine.
En effectuant un équilibre des moments par rapport au point d'ancrage, déterminer la fiche (\(f\)). (On appliquera un coefficient de sécurité de 1.5 sur la butée).
Calculer l'effort de traction (A) dans le tirant en réalisant un équilibre des forces horizontales.

Correction : Calcul de la Fiche et de l'Effort dans le Tirant

Question 1 : Calcul des Coefficients \(K_a\) et \(K_p\)

Principe :

Les coefficients de poussée (\(K_a\)) et de butée (\(K_p\)) décrivent la proportion de la contrainte verticale du sol qui se transforme en contrainte horizontale. Pour un sol sans cohésion et une surface horizontale, les formules de Rankine sont simples et dépendent uniquement de l'angle de frottement interne \(\phi'\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces coefficients sont fondamentaux en géotechnique. \(K_a\) est toujours inférieur à 1, tandis que \(K_p\) est toujours supérieur à 1. Une petite erreur sur l'angle \(\phi'\) peut avoir un impact significatif sur leurs valeurs, car la relation est non-linéaire (tan²).

Formule(s) utilisée(s) :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \quad \text{et} \quad K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1}{K_a}

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \\ \\ K_p &= \frac{1}{K_a} \\ &= 3 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les coefficients sont \(K_a \approx 0.333\) et \(K_p = 3.0\).

Question 2 : Calcul de la Fiche (f)

Principe :

On exprime le moment des forces de poussée et de butée par rapport au point d'ancrage du tirant. La somme de ces moments doit être nulle. La force de butée est divisée par un coefficient de sécurité (CS = 1.5) pour garantir une marge de sécurité. Cela mène à une équation du troisième degré en \(f\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les forces de poussée et de butée ont une distribution triangulaire. La force résultante (l'aire du triangle) s'applique au tiers de la hauteur depuis la base du triangle. C'est essentiel pour calculer correctement les bras de levier des moments.

Formule(s) utilisée(s) :

\sum \text{M}_{\text{/tirant}} = 0 \Rightarrow \text{M}_{\text{Butée}} - \text{M}_{\text{Poussée}} = 0 \] \[ \text{M}_{\text{Butée}} = \left(\frac{1}{2} K'_p \gamma f^2\right) \times \left(H - a + \frac{2}{3}f\right) \quad \text{avec} \quad K'_p = \frac{K_p}{\text{CS}}\] \[ \text{M}_{\text{Poussée}} = \left(\frac{1}{2} K_a \gamma (H+f)^2\right) \times \left(\frac{2}{3}(H+f) - a\right)

Équation à résoudre :

Le développement de l'équation des moments conduit à une équation du 3ème degré. En substituant les valeurs, on obtient une équation qui peut être résolue numériquement :

f^3 + 6.75 f^2 - 28.35 f - 89.1 = 0 \Rightarrow f \approx 4.09 \, \text{m}

Résultat Question 2 : La fiche minimale requise est d'environ 4.09 m. On arrondit souvent à une valeur pratique supérieure (ex: 4.10 m ou 4.20 m).

Question 3 : Calcul de l'Effort dans le Tirant (A)

Principe :

L'effort dans le tirant est calculé en écrivant l'équilibre de toutes les forces horizontales : la force totale de poussée, la force totale de butée (sécurisée), et l'effort du tirant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'effort dans le tirant est la différence entre deux forces importantes (Poussée et Butée). Cela signifie que le résultat est très sensible aux paramètres initiaux. C'est pourquoi des coefficients de sécurité robustes sont indispensables dans les calculs géotechniques.

Formule(s) utilisée(s) :

\sum \text{F}_x = 0 \Rightarrow \text{F}_{\text{poussée}} - \text{F}_{\text{butée}} - A = 0 \] \[ \text{F}_{\text{poussée}} = \frac{1}{2} K_a \gamma (H+f)^2 \] \[ \text{F}_{\text{butée}} = \frac{1}{2} K'_p \gamma f^2 \quad \text{avec} \quad K'_p = \frac{K_p}{\text{CS}}

Calculs intermédiaires :

\begin{aligned} \text{F}_{\text{poussée}} &= \frac{1}{2} \times 0.333 \times 18 \times (6.0 + 4.09)^2 \\ &\approx 305.4 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{F}_{\text{butée}} &= \frac{1}{2} \times \frac{3}{1.5} \times 18 \times (4.09)^2 \\ &\approx 150.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Calcul final :

\begin{aligned} A &= \text{F}_{\text{poussée}} - \text{F}_{\text{butée}} \\ &= 305.4 - 150.5 \\ &= 154.9 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : L'effort à reprendre par le tirant est d'environ 154.9 kN par mètre linéaire de rideau.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Coefficient de Poussée (\(K_a\))	Cliquez pour révéler
Coefficient de Butée (\(K_p\))	Cliquez pour révéler
Profondeur de la Fiche (\(f\))	Cliquez pour révéler
Effort dans le tirant (A)	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Le client souhaite limiter l'effort dans le tirant à 120 kN/m pour des raisons économiques. En gardant toutes les autres données identiques (\(\gamma, H, a\)), quelle doit être la valeur minimale de l'angle de frottement \(\phi'\) du matériau de remblai pour atteindre cet objectif ? (La résolution requiert une approche itérative ou un solveur).

\(\phi'_{\text{min}}\) (en degrés) :

Pièges à Éviter

Oubli du coefficient de sécurité : Ne pas appliquer de coefficient de sécurité sur la butée est une erreur grave qui conduit à un dimensionnement non sécuritaire.

Erreur sur les bras de levier : La plus grande source d'erreur de calcul provient d'une mauvaise évaluation des distances entre les points d'application des forces et le point de rotation (le tirant).

Simulation Interactive de l'Influence de H

Faites varier la hauteur de soutènement H pour visualiser son impact direct sur la fiche et l'effort dans le tirant.

Paramètres de Simulation

Hauteur de Soutènement H (6.0 m)

Fiche (f) Requise

Effort Tirant (A)

Visualisation des Résultats

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Présence de la Nappe Phréatique

Si une nappe phréatique est présente, les calculs se complexifient. Il faut utiliser le poids volumique déjaugé du sol sous l'eau et prendre en compte la pression de l'eau (diagramme rectangulaire) des deux côtés du rideau. Cela modifie considérablement les forces de poussée et de butée.

2. Méthode de Blum (Pied Encastré)

Une autre méthode de calcul (Blum) considère que le pied du rideau est "encastré" dans le sol. Cela modifie le diagramme des pressions de butée et introduit un point de contre-flexion dans le rideau, conduisant à une fiche plus importante mais à des moments de flexion plus faibles dans la palplanche.

Le Saviez-Vous ?

Le plus grand chantier de palplanches au monde a été réalisé pour la construction des îles artificielles de Palm Jumeirah à Dubaï. Des millions de tonnes d'acier ont été utilisées pour créer les digues et les protections côtières nécessaires à ce projet pharaonique, démontrant l'importance de cette technique en ingénierie maritime et civile.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi applique-t-on un coefficient de sécurité sur la butée et pas sur la poussée ?

La poussée des terres est une force active, certaine, que l'on doit reprendre. La butée est une réaction passive du sol qui doit être mobilisée. On prend une sécurité sur cette réaction car sa valeur maximale théorique pourrait ne pas être totalement atteinte en raison des hétérogénéités du sol ou des modes de déformation.

Qu'est-ce qui se passe si le sol n'est pas un sable sec ?

S'il s'agit d'une argile, il faut prendre en compte sa cohésion, qui peut réduire la poussée et augmenter la butée. Si le sol est stratifié (plusieurs couches différentes), il faut dessiner un diagramme de pression composite, en calculant les contraintes à chaque interface de couche.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement \(\phi'\) du sol augmente, comment varient la fiche \(f\) et l'effort du tirant \(A\) ?

\(f\) augmente et \(A\) augmente.
\(f\) diminue et \(A\) diminue.
\(f\) augmente et \(A\) diminue.

2. La méthode du "rideau libre en pied" suppose que l'équilibre des moments est calculé par rapport :

Au pied de la palplanche.
Au niveau du sol naturel.
À la position du tirant d'ancrage.

Glossaire

Fiche: Profondeur à laquelle un rideau de palplanches ou un pieu est enfoncé dans le sol sous le niveau du terrain naturel ou du dragage.
Poussée des terres: Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. Elle tend à le déplacer ou à le faire basculer.
Butée des terres: Réaction du sol qui s'oppose à la déformation ou au déplacement d'un ouvrage de soutènement. C'est une force stabilisatrice.

Calcul de la Fiche et de l’Effort dans le Tirant

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Rideau de Palplanches

Questions à traiter

Correction : Calcul de la Fiche et de l'Effort dans le Tirant

Question 1 : Calcul des Coefficients \(K_a\) et \(K_p\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Calcul de la Fiche (f)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Équation à résoudre :

Question 3 : Calcul de l'Effort dans le Tirant (A)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calculs intermédiaires :

Calcul final :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

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