Interprétation d’un Essai de Cisaillement Direct
Contexte : La mécanique des solsLa science qui étudie le comportement des sols sous l'effet de contraintes et de déformations, essentielle en génie civil..
L'essai de cisaillementTest de laboratoire visant à mesurer la résistance d'un matériau, comme le sol, à une force qui tend à le faire glisser le long d'un plan. direct, réalisé à la boîte de Casagrande, est un des essais les plus fondamentaux en géotechnique. Il permet de déterminer les deux paramètres clés qui gouvernent la résistance d'un sol : sa cohésion (c) et son angle de frottement interne (φ). Ces valeurs sont indispensables pour calculer la stabilité des ouvrages en contact avec le sol, comme la portance des fondations, la stabilité d'un talus ou la poussée des terres sur un mur de soutènement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser le dépouillement d'un essai de cisaillement direct et de comprendre comment en extraire les paramètres de résistance du sol, essentiels à tout projet géotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe de l'essai de cisaillement direct.
- Savoir calculer les contraintes normales (σ) et tangentielles (τ) à la rupture.
- Déterminer graphiquement et par calcul la cohésion (c) et l'angle de frottement interne (φ) d'un sol.
- Interpréter la courbe intrinsèque et le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type d'essai | Cisaillement direct (Boîte de Casagrande) |
| Dimensions de l'échantillon | 60 mm x 60 mm |
| Type de sol | Argile sableuse |
Schéma de la boîte de cisaillement
| Éprouvette | Effort Normal (N) | Effort Tranchant à la rupture (T) |
|---|---|---|
| 1 | 360 N | 245 N |
| 2 | 720 N | 421 N |
| 3 | 1080 N | 598 N |
Questions à traiter
- Calculer la section de cisaillement (S) de l'éprouvette en m².
- Pour chaque éprouvette, calculer la contrainte normale (σ) et la contrainte de cisaillement à la rupture (τ) en kPa.
- Sur un graphique, représenter les points de rupture dans le plan (σ, τ).
- Tracer la droite de Coulomb qui s'ajuste le mieux à ces points.
- À partir du graphique, déterminer la cohésion (c) et l'angle de frottement interne (φ) du sol.
Les bases sur la Résistance au Cisaillement des Sols
La résistance au cisaillement d'un sol est sa capacité à résister aux forces qui tendent à faire glisser une partie du sol par rapport à une autre. Cette résistance est modélisée par le critère de rupture de Mohr-Coulomb, qui est fondamental en géotechnique.
1. Contraintes Normale (σ) et de Cisaillement (τ)
Une force appliquée sur une surface se décompose en une composante normale (perpendiculaire) et une composante tangentielle (parallèle). Divisées par l'aire de la surface, elles deviennent la contrainte normale σ et la contrainte de cisaillement τ.
\[ \sigma = \frac{N}{S} \quad ; \quad \tau = \frac{T}{S} \]
Où N est l'effort normal, T l'effort tranchant, et S la surface de cisaillement.
2. Critère de Rupture de Mohr-Coulomb
Ce critère postule qu'il existe une relation linéaire entre la contrainte de cisaillement maximale que le sol peut supporter (sa résistance) et la contrainte normale appliquée sur le plan de rupture. Cette relation est appelée l'enveloppe de rupture ou droite de Coulomb.
\[ \tau_f = c + \sigma \tan(\phi) \]
Ici, c est la cohésion (l'ordonnée à l'origine de la droite) et φ est l'angle de frottement interne (qui détermine la pente de la droite).
Correction : Interprétation d’un Essai de Cisaillement Direct
Question 1 : Calculer la section de cisaillement (S) de l'éprouvette en m².
Principe
La section de cisaillement est la surface sur laquelle l'effort tranchant est appliqué. Pour une éprouvette carrée, il s'agit de l'aire de sa base. C'est la première étape indispensable avant de pouvoir calculer les contraintes.
Mini-Cours
En physique, une contrainte est toujours une force divisée par une surface. Il est donc primordial d'identifier correctement la surface sur laquelle la force s'applique. Dans le cas de la boîte de cisaillement, la rupture est forcée sur le plan horizontal séparant la demi-boîte supérieure de la demi-boîte inférieure. La surface de cisaillement est donc l'aire de l'échantillon dans ce plan.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout calcul en ingénierie est de s'assurer de la cohérence des unités. Le Système International (mètres, Newtons, Pascals) est la référence. Prenez l'habitude de tout convertir avant de commencer à appliquer les formules pour éviter les erreurs les plus communes.
Normes
Le calcul des aires et la conversion des unités sont des opérations mathématiques de base, mais leur application rigoureuse est une exigence de toutes les normes de calcul en ingénierie, y compris l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) pour le calcul géotechnique.
Formule(s)
Formule de l'aire d'un carré
Hypothèses
On suppose que la boîte de cisaillement est un carré parfait et que la déformation de l'échantillon avant la rupture ne modifie pas de manière significative la surface de cisaillement (ce qui est une simplification acceptable pour cet essai).
Donnée(s)
- Côté de la boîte = 60 mm
Astuces
Pour passer des mm² aux m², il faut diviser par 1 000 000 (10⁶). Une astuce simple est de décaler la virgule de 6 rangs vers la gauche. Pour 3600 mm², cela donne bien 0.0036 m².
Schéma (Avant les calculs)
Surface de l'échantillon
Calcul(s)
Application numérique en mm²
Conversion de l'aire en m²
Schéma (Après les calculs)
Surface calculée
Réflexions
Le résultat 0.0036 m² peut paraître petit, mais il est typique des dimensions des éprouvettes de laboratoire. Il est important de garder à l'esprit cet ordre de grandeur pour vérifier la plausibilité des calculs futurs.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est une erreur de conversion. Confondre les conversions de longueur (1m = 1000mm) et de surface (1m² = 10⁶ mm²) est un piège classique.
Points à retenir
- La surface de cisaillement est la section transversale de l'échantillon.
- La conversion des unités est une étape préliminaire non négociable.
Le saviez-vous ?
La boîte de cisaillement a été développée par Arthur Casagrande, un pionnier de la mécanique des sols, dans les années 1930 à l'Université Harvard. Cet appareil simple mais ingénieux est encore utilisé dans tous les laboratoires de géotechnique du monde.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'échantillon était circulaire avec un diamètre de 50 mm, quelle serait sa surface en m² ? (Rappel : \( S = \pi \times r^2 \))
Question 2 : Calculer σ et τ pour chaque éprouvette en kPa.
Principe
On applique les définitions fondamentales des contraintes : la contrainte est une force divisée par la surface sur laquelle elle s'applique. On utilise les efforts de l'énoncé et la surface calculée précédemment.
Mini-Cours
La contrainte normale σ représente la "pression" perpendiculaire au plan de glissement. Plus elle est forte, plus les grains sont serrés les uns contre les autres. La contrainte de cisaillement τ représente l'effort parallèle au plan de glissement, qui tend à faire bouger les grains. La rupture se produit lorsque τ atteint la résistance maximale du sol pour une valeur de σ donnée.
Remarque Pédagogique
Structurez bien vos calculs. Faites un tableau ou détaillez le calcul pour chaque éprouvette séparément. Cela évite les confusions et facilite la relecture et la correction.
Normes
La définition des contraintes est un principe de base de la mécanique des milieux continus. Les normes, comme l'Eurocode 7, ne redéfinissent pas ces principes mais spécifient comment les utiliser pour justifier la sécurité des ouvrages.
Formule(s)
Formule de la contrainte normale
Formule de la contrainte de cisaillement
Hypothèses
On suppose que les efforts N et T sont appliqués uniformément sur toute la surface S de l'échantillon, ce qui implique que les contraintes σ et τ sont également uniformes dans le plan de cisaillement.
Donnée(s)
On utilise les efforts de l'énoncé et la surface calculée.
| Paramètre | Éprouvette 1 | Éprouvette 2 | Éprouvette 3 |
|---|---|---|---|
| Effort Normal (N) | 360 N | 720 N | 1080 N |
| Effort Tranchant (T) | 245 N | 421 N | 598 N |
| Surface (S) | 0.0036 m² | ||
Astuces
Puisque les efforts normaux sont des multiples (360, 2x360, 3x360), les contraintes normales le seront aussi. Calculez la première (100 kPa) et déduisez les autres (200 kPa, 300 kPa). Cela permet une vérification rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de σ₁
Calcul de τ₁
Calcul de σ₂
Calcul de τ₂
Calcul de σ₃
Calcul de τ₃
Schéma (Après les calculs)
Représentation d'un point de rupture
Réflexions
On observe que lorsque la contrainte normale σ augmente, la contrainte de cisaillement à la rupture τ augmente également. C'est le comportement typique d'un sol : plus on le "serre", plus il est difficile de le faire glisser.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser N et T dans les formules. La contrainte normale σ est toujours associée à l'effort normal N.
Points à retenir
- La contrainte normale est σ = N/S.
- La contrainte de cisaillement est τ = T/S.
- 1 kPa = 1000 Pa = 1000 N/m².
Le saviez-vous ?
Le kilopascal (kPa) est l'unité la plus courante en géotechnique. Pour donner un ordre de grandeur, la pression atmosphérique est d'environ 100 kPa. Les contraintes sous une fondation de maison individuelle sont souvent de cet ordre de grandeur.
FAQ
Résultat Final
| Éprouvette | σ (kPa) | τ (kPa) |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 68.1 |
| 2 | 200 | 116.9 |
| 3 | 300 | 166.1 |
A vous de jouer
Avec la même surface S=0.0036 m², si un essai donnait un effort tranchant T = 300 N sous un effort normal N = 540 N, quelles seraient les contraintes σ et τ en kPa ?
Question 3 : Sur un graphique, représenter les points de rupture dans le plan (σ, τ).
Principe
La représentation graphique est une étape essentielle pour visualiser le comportement du sol. On utilise le plan de Mohr, un repère (σ, τ), pour y placer les points correspondants aux états de contrainte à la rupture pour chaque essai.
Mini-Cours
Le plan (σ, τ) est l'espace de travail fondamental en mécanique des sols. Chaque point dans ce plan représente un état de contrainte sur une facette. Les points situés "en dessous" de la courbe de rupture représentent un état stable, tandis que les points "au-dessus" sont physiquement impossibles. La rupture se produit lorsque l'état de contrainte atteint la frontière, c'est-à-dire la courbe de rupture.
Remarque Pédagogique
Choisissez une échelle adaptée pour votre graphique. Les axes doivent être clairement nommés avec leurs unités (kPa). Une bonne visualisation est la clé pour une interprétation correcte.
Normes
La représentation graphique des résultats d'essais est une pratique standardisée. Les normes d'essais géotechniques (comme la norme NF P94-071-1 pour l'essai de cisaillement) précisent comment présenter les résultats, y compris sous forme graphique.
Formule(s)
Il n'y a pas de formule pour cette question, il s'agit d'une construction graphique.
Hypothèses
On suppose que le repère cartésien est orthonormé et que les échelles sont linéaires.
Donnée(s)
On utilise les couples de points (σ, τ) calculés à la question 2 : P₁(100, 68.1), P₂(200, 116.9), P₃(300, 166.1).
Astuces
Utilisez du papier millimétré pour plus de précision si vous le faites à la main. Sinon, un tableur (Excel, Google Sheets) peut générer le graphique très rapidement et précisément.
Schéma (Avant les calculs)
Plan de Mohr vierge
Calcul(s)
Cette étape consiste à placer les points sur un graphique. Aucun calcul supplémentaire n'est nécessaire.
Schéma (Après les calculs)
Points de rupture dans le plan de Mohr
Réflexions
On observe visuellement que les points sont quasiment alignés, ce qui conforte l'hypothèse du modèle linéaire de Mohr-Coulomb pour ce sol dans la gamme de contraintes étudiée.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les axes ! σ est toujours en abscisse (x) et τ en ordonnée (y).
Points à retenir
- Le comportement à la rupture d'un sol est visualisé dans le plan (σ, τ).
- Chaque essai de cisaillement fournit un point sur ce graphique.
Le saviez-vous ?
Christian Otto Mohr (1835-1918) était un ingénieur civil allemand. Sa représentation graphique des contraintes (le cercle de Mohr) est l'un des outils les plus puissants et les plus élégants de toute la mécanique des matériaux et des sols.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si un quatrième essai donnait σ = 400 kPa et τ = 215 kPa, ce point serait-il aligné avec les autres ?
Question 4 : Tracer la droite de Coulomb qui s'ajuste le mieux à ces points.
Principe
La droite de Coulomb est la droite de régression linéaire qui passe au plus près des points de rupture. Elle représente l'enveloppe de rupture du sol : c'est la frontière entre les états de contrainte stables et la rupture.
Mini-Cours
La régression linéaire est une méthode statistique qui permet de trouver la droite qui minimise la distance (généralement la somme des carrés des distances verticales) entre la droite et un ensemble de points. C'est la méthode mathématique "officielle" pour tracer la droite de Coulomb, bien qu'un ajustement "à l'œil" soit souvent suffisant pour les exercices.
Remarque Pédagogique
Lorsque vous tracez la droite à la main, essayez de faire en sorte qu'il y ait autant de points de part et d'autre de la droite, et que la distance globale des points à la droite soit minimale. Ne forcez pas la droite à passer par un point particulier si cela l'éloigne des autres.
Normes
Les normes d'essai comme la NF P94-071-1 spécifient que les paramètres de résistance doivent être déduits d'une régression linéaire sur au moins 3 points de rupture.
Formule(s)
Équation de la droite
Hypothèses
On fait l'hypothèse fondamentale que le comportement du sol peut être modélisé par une droite dans la plage de contraintes étudiée, ce qui est le postulat du critère de Mohr-Coulomb.
Donnée(s)
On utilise les mêmes points que pour la question 3 : P₁(100, 68.1), P₂(200, 116.9), P₃(300, 166.1).
Astuces
Si vous utilisez un tableur, la fonction "Ajouter une courbe de tendance" (avec l'option "Afficher l'équation sur le graphique") fait tout le travail pour vous et donne directement l'équation de la droite.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Le traçage est une opération graphique. Les calculs pour déterminer précisément la droite (pente et ordonnée à l'origine) seront faits à la question 5.
Schéma (Après les calculs)
Droite de Rupture de Mohr-Coulomb
Réflexions
La droite tracée représente une "loi" pour le sol : pour n'importe quelle contrainte normale σ, on peut maintenant prédire la contrainte de cisaillement τ qui provoquera sa rupture.
Points de vigilance
Ne forcez pas la droite à passer par l'origine (0,0), sauf si vous savez que le sol est un sable propre sans cohésion. La plupart des sols ont une cohésion, même faible.
Points à retenir
- La droite de Coulomb est le modèle linéaire de la résistance d'un sol.
- Elle est obtenue par ajustement linéaire sur les points de rupture expérimentaux.
Le saviez-vous ?
Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), un ingénieur militaire français, a été le premier à proposer cette relation linéaire pour la résistance des matériaux en 1773, bien avant que la mécanique des sols n'existe en tant que discipline !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
D'après le graphique, si on appliquait une contrainte normale de 250 kPa, quelle serait approximativement la résistance au cisaillement τ ?
Question 5 : Déterminer graphiquement c et φ.
Principe
Les deux paramètres de résistance du sol, c et φ, sont les caractéristiques géométriques de la droite de Coulomb que nous venons de tracer. La cohésion 'c' est son ordonnée à l'origine, et l'angle de frottement 'φ' est l'angle que fait la droite avec l'horizontale.
Mini-Cours
La cohésion (c) est une résistance intrinsèque, indépendante de la contrainte normale. C'est la "colle" entre les grains. L'angle de frottement (φ) représente la résistance qui se mobilise avec la contrainte normale, par friction entre les grains. La pente de la droite n'est pas φ directement, mais la tangente de cet angle (tan φ).
Remarque Pédagogique
Pour une meilleure précision graphique, calculez la pente en utilisant les deux points les plus éloignés l'un de l'autre (ici, P₁ et P₃). Cela minimise l'impact des petites erreurs de lecture.
Normes
La méthode de détermination de c et φ à partir de la droite de régression est la procédure standard décrite dans les normes d'essai comme la NF P94-071-1.
Formule(s)
Formule de la cohésion
Formule de l'angle de frottement
Hypothèses
On suppose que la droite tracée à la question 4 est une représentation fidèle de l'enveloppe de rupture du sol.
Donnée(s)
On utilise les coordonnées des points P₁(100, 68.1) et P₃(300, 166.1).
Astuces
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" lorsque vous calculez l'arc tangente pour obtenir φ, et non en "radians" ou "grades".
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul de la pente (a)
Calcul de l'angle de frottement (φ)
Calcul de la cohésion (c)
On utilise l'équation de la droite \( \tau = 0.49 \cdot \sigma + c \) avec un des points, par exemple P₁:
Schéma (Après les calculs)
Interprétation de la Droite de Coulomb
Réflexions
Les valeurs obtenues (c ≈ 19 kPa, φ ≈ 26°) sont des paramètres intrinsèques du sol. Elles ne dépendent pas des efforts appliqués, mais uniquement de la nature du sol (sa minéralogie, sa granulométrie, sa compacité). Elles peuvent maintenant être utilisées dans des calculs de dimensionnement d'ouvrages.
Points de vigilance
- Ne pas confondre la pente 'a' avec l'angle 'φ'. La pente est la tangente de l'angle.
- Vérifier la cohérence du résultat : une argile sableuse doit avoir à la fois une cohésion (c > 0) et un angle de frottement (φ > 0), ce qui est bien le cas ici.
Points à retenir
- La cohésion 'c' est l'ordonnée à l'origine de la droite de Coulomb.
- L'angle de frottement 'φ' est l'arc tangente de la pente de cette droite.
- Ces deux valeurs définissent entièrement la résistance du sol selon le modèle de Mohr-Coulomb.
Le saviez-vous ?
Pour les sables, l'angle de frottement φ est directement lié à la densité du matériau. Un sable lâche aura un φ d'environ 30°, tandis qu'un sable très dense et compact peut atteindre plus de 40°. C'est pourquoi le compactage du sol est si important en construction !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre sol a une cohésion c=10 kPa et un angle φ=30°. Quelle serait sa résistance au cisaillement τ pour une contrainte normale σ=150 kPa ? (\(\tan(30^\circ) \approx 0.577\))
Outil Interactif : Simulateur de la Droite de Coulomb
Ce simulateur vous permet de visualiser en temps réel l'influence de la cohésion (c) et de l'angle de frottement (φ) sur la résistance au cisaillement d'un sol pour différentes contraintes normales.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés : Résistance au Cisaillement (τ)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente l'ordonnée à l'origine de la droite de Mohr-Coulomb ?
2. Un sol avec une cohésion c = 0 kPa est dit...
3. Si on augmente la contrainte normale (σ) sur un sol frottant, sa résistance au cisaillement (τ)...
4. Dans la formule \( \tau = c + \sigma \tan(\phi) \), la pente de la droite est...
5. L'essai de cisaillement direct est réalisé pour...
Glossaire
- Cohésion (c)
- Résistance au cisaillement d'un sol lorsque la contrainte normale est nulle. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules, particulièrement dans les sols fins comme les argiles.
- Angle de frottement interne (φ)
- Paramètre caractérisant la résistance au cisaillement d'un sol due au frottement et à l'engrènement entre les grains. Il est prédominant dans les sols granulaires comme les sables et graviers.
- Critère de Mohr-Coulomb
- Modèle mathématique qui décrit la résistance à la rupture d'un sol. Il établit une relation linéaire entre la contrainte de cisaillement et la contrainte normale sur un plan de rupture.
- Contrainte Normale (σ)
- Force agissant perpendiculairement à une surface, par unité de surface. En mécanique des sols, elle "serre" les grains les uns contre les autres.
- Contrainte de Cisaillement (τ)
- Force agissant parallèlement à une surface, par unité de surface. C'est elle qui tend à faire glisser les grains les uns sur les autres.
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