Analyse d’un Essai Triaxial Consolidé Drainé (CD) sur un Sable
Contexte : La résistance au cisaillementCapacité d'un sol à résister aux forces qui tendent à le faire glisser le long d'un plan interne. C'est un paramètre fondamental en géotechnique. des sols.
L'essai triaxial est l'un des essais les plus fiables et les plus utilisés en laboratoire pour déterminer les caractéristiques de résistance au cisaillement d'un sol. L'exercice se concentre sur un essai de type Consolidé Drainé (CD), réalisé sur un échantillon de sable. Ce type d'essai permet de déterminer les paramètres de résistance en contraintes effectivesLa contrainte supportée par le squelette solide du sol. Elle gouverne le comportement mécanique du sol (résistance, déformation)., c'est-à-dire la cohésion effective \(c'\) et l'angle de frottement interne effectif \(\phi'\). Ces paramètres sont essentiels pour le dimensionnement de nombreux ouvrages géotechniques (fondations, murs de soutènement, talus...).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas dans l'interprétation des résultats bruts d'un essai triaxial. Vous apprendrez à construire les cercles de MohrReprésentation graphique de l'état de contrainte en un point, qui permet de visualiser les contraintes normales et de cisaillement sur n'importe quel plan. à la rupture, à tracer l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb et à en déduire les paramètres de résistance du sol, qui sont au cœur de la mécanique des sols.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les phases et le principe d'un essai triaxial CD.
- Calculer les contraintes principales effectives à la rupture.
- Représenter graphiquement l'état de contrainte par les cercles de Mohr.
- Déterminer graphiquement les paramètres de résistance au cisaillement effectifs (\(c'\) et \(\phi'\)).
- Écrire et interpréter le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
Données de l'étude
Fiche Technique du Matériau
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de sol | Sable de Fontainebleau |
| Poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) | 10.5 kN/m³ |
| État initial | Normalement consolidé, saturé |
Schéma de la cellule triaxiale
Résultats des essais à la rupture
| Essai N° | Pression de confinement effective \(\sigma'_{3,f}\) (kPa) | Contrainte déviatorique à la rupture \((\sigma'_1 - \sigma'_3)_f\) (kPa) |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 200 |
| 2 | 200 | 400 |
| 3 | 300 | 600 |
Questions à traiter
- Pour chaque essai, calculer la contrainte principale majeure effective à la rupture \(\sigma'_{1,f}\).
- Dans le plan de Mohr (\(\sigma'\), \(\tau\)), représenter les cercles de Mohr à la rupture pour les trois essais.
- Tracer l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb.
- À partir du graphique, déterminer les paramètres de résistance au cisaillement effectifs du sable : la cohésion \(c'\) et l'angle de frottement interne \(\phi'\).
- Écrire l'équation complète du critère de rupture de Mohr-Coulomb pour ce sol.
Les bases de la mécanique des sols
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts de contrainte effective, de représentation de Mohr et du critère de rupture de Mohr-Coulomb.
1. Critère de rupture de Mohr-Coulomb
Ce critère postule que la rupture au cisaillement d'un sol se produit lorsque la contrainte de cisaillement \(\tau\) sur un plan atteint une valeur limite qui dépend de la contrainte normale effective \(\sigma'\) sur ce même plan, de la cohésion \(c'\) et de l'angle de frottement interne \(\phi'\).
\[ \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{n}} \tan(\phi') \]
Dans le plan de Mohr, ce critère est représenté par une droite (l'enveloppe de rupture) qui est tangente aux cercles de Mohr à la rupture.
2. Cercle de Mohr pour un essai triaxial
L'état de contrainte d'une éprouvette dans un essai triaxial est défini par les contraintes principales \(\sigma'_1\) (majeure) et \(\sigma'_3\) (mineure). Le cercle de Mohr correspondant a pour :
- Centre C : \(C = \frac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2}\)
- Rayon R : \(R = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{2}\)
Correction : Analyse d’un Essai Triaxial Consolidé Drainé (CD) sur un Sable
Question 1 : Calcul de la contrainte principale majeure effective à la rupture \(\sigma'_{1,f}\)
Principe
La contrainte principale majeure effective \(\sigma'_{\text{1,f}}\) est la contrainte verticale totale appliquée à l'échantillon à l'instant de la rupture. Elle est la somme de la pression de confinement (contrainte principale mineure \(\sigma'_{\text{3,f}}\)) et de la contrainte déviatorique appliquée par le piston \((\sigma'_1 - \sigma'_3)_{\text{f}}\).
Mini-Cours
Dans un essai triaxial, l'échantillon est d'abord soumis à une pression de confinement isotrope (\(\sigma'_2 = \sigma'_3\)). Ensuite, une charge axiale est appliquée, augmentant la contrainte verticale (\(\sigma'_1\)) jusqu'à la rupture. La différence entre ces deux contraintes est le déviateur, qui est la cause directe du cisaillement et de la rupture.
Remarque Pédagogique
Visualisez l'échantillon de sol : il est "serré" de tous les côtés par \(\sigma'_3\). Pour le rompre, on doit "pousser" dessus verticalement avec une force supplémentaire. La contrainte totale à la rupture \(\sigma'_{\text{1,f}}\) est donc logiquement la somme de la contrainte de "serrage" et de la contrainte supplémentaire de "poussée".
Normes
Les procédures d'essai et d'interprétation sont standardisées, par exemple par les normes NF P94-070 et NF P94-074 en France, ou les normes ASTM D7181 à l'international.
Formule(s)
Relation fondamentale
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose que l'échantillon est homogène et que les contraintes sont uniformément réparties à la rupture.
Donnée(s)
| Essai N° | \(\sigma'_{3,f}\) (kPa) | \((\sigma'_1 - \sigma'_3)_f\) (kPa) |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 200 |
| 2 | 200 | 400 |
| 3 | 300 | 600 |
Astuces
C'est un calcul direct. L'erreur la plus commune est de confondre le déviateur avec \(\sigma'_1\). Souvenez-vous toujours que le déviateur est une *différence* de contraintes.
Schéma (Avant les calculs)
Contraintes sur l'éprouvette
Calcul(s)
Calcul pour l'Essai 1
Calcul pour l'Essai 2
Calcul pour l'Essai 3
Réflexions
On observe que plus la pression de confinement \(\sigma'_{\text{3,f}}\) est élevée, plus la contrainte majeure \(\sigma'_{\text{1,f}}\) nécessaire pour rompre l'échantillon est grande. C'est logique : plus on serre le sable, plus il devient résistant.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les contraintes sont dans la même unité (ici, le kPa) avant de les additionner. C'est une étape simple mais une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
- La contrainte majeure est la somme de la contrainte de confinement et du déviateur.
- \(\sigma'_{\text{1,f}} = \sigma'_{\text{3,f}} + q_{\text{f}}\) où \(q_{\text{f}}\) est le déviateur à la rupture.
Le saviez-vous ?
L'appareil triaxial a été inventé par Arthur Casagrande à l'Université Harvard dans les années 1930, en se basant sur des travaux antérieurs de Karl Terzaghi, le "père" de la mécanique des sols moderne.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un quatrième essai était réalisé avec \(\sigma'_{\text{3,f}} = 150 \text{ kPa}\) et un déviateur à la rupture de \(300 \text{ kPa}\), quelle serait la valeur de \(\sigma'_{\text{1,f}}\) ?
Question 2 : Représentation des cercles de Mohr à la rupture
Principe
Chaque essai, caractérisé par son couple de contraintes principales \((\sigma'_{\text{3,f}}, \sigma'_{\text{1,f}})\), peut être représenté par un cercle unique dans le plan de Mohr. Ce cercle illustre l'ensemble des états de contrainte (\(\sigma'\), \(\tau\)) sur tous les plans possibles passant par un point de l'échantillon.
Mini-Cours
Le cercle de Mohr est une construction graphique qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point. L'axe horizontal représente les contraintes normales (\(\sigma'\)) et l'axe vertical les contraintes de cisaillement (\(\tau\)). Le cercle coupe l'axe horizontal en \(\sigma'_3\) et \(\sigma'_1\). Le sommet du cercle correspond à la contrainte de cisaillement maximale, \(\tau_{\text{max}}\), qui est égale au rayon du cercle.
Remarque Pédagogique
Tracer les cercles de Mohr est une étape cruciale. Cela transforme des paires de chiffres (\(\sigma'_1, \sigma'_3\)) en une image qui a un sens physique. C'est en regardant la position et la taille de ces cercles que l'on va pouvoir "voir" la loi de comportement du sol.
Normes
La construction du cercle de Mohr est une technique fondamentale en mécanique des milieux continus, non spécifique à une norme particulière, mais son application à la mécanique des sols est décrite dans les manuels et guides de référence.
Formule(s)
Formule du centre du cercle
Formule du rayon du cercle
Hypothèses
On suppose que l'état de contrainte est bien représenté par les contraintes principales \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) à la rupture.
Donnée(s)
| Essai N° | \(\sigma'_{3,f}\) (kPa) | \(\sigma'_{1,f}\) (kPa) |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 300 |
| 2 | 200 | 600 |
| 3 | 300 | 900 |
Astuces
Le rayon du cercle de Mohr est simplement la moitié du déviateur de contrainte. C'est un raccourci utile pour les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Repère du Plan de Mohr
Calcul(s)
Centre pour l'Essai 1
Rayon pour l'Essai 1
Centre pour l'Essai 2
Rayon pour l'Essai 2
Centre pour l'Essai 3
Rayon pour l'Essai 3
Schéma (Après les calculs)
Cercles de Mohr à la rupture
Réflexions
Les cercles sont de plus en plus grands et décalés vers la droite. Cela montre bien que pour une plus grande contrainte de confinement, le sol peut supporter un plus grand déviateur (rayon plus grand) avant de rompre.
Points de vigilance
Attention à l'échelle du graphique. Une échelle mal choisie peut rendre le tracé difficile et l'interprétation graphique imprécise. Assurez-vous que tous les cercles tiennent dans le graphique et sont bien visibles.
Points à retenir
- Le centre du cercle est la contrainte normale moyenne.
- Le rayon du cercle est la contrainte de cisaillement maximale.
Le saviez-vous ?
Le concept du cercle de contrainte a été développé par l'ingénieur allemand Otto Mohr en 1882. C'est un outil encore universellement enseigné et utilisé en ingénierie pour l'analyse des contraintes.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour l'essai 2, quelle est la valeur de la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) dans l'échantillon ?
Question 3 : Tracer l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb
Principe
L'enveloppe de rupture est la droite qui est tangente aux trois cercles de Mohr à la rupture. Elle représente la limite entre les états de contrainte stables (sous la droite) et les états de contrainte qui provoquent la rupture du sol (sur la droite).
Mini-Cours
Cette enveloppe est la représentation graphique du critère de rupture de Mohr-Coulomb. Pour un sol donné, tous les cercles de Mohr à la rupture, quelle que soit la pression de confinement, doivent être tangents à cette même enveloppe. Sa forme (droite ou courbe) et sa position (pente, ordonnée à l'origine) définissent les caractéristiques de résistance du sol.
Remarque Pédagogique
Le tracé de cette droite est l'objectif principal de l'essai. C'est un peu comme trouver la "loi" qui gouverne la résistance du sol. On utilise plusieurs points (plusieurs cercles) pour s'assurer de tracer la meilleure droite possible, celle qui représente le mieux le comportement global du matériau.
Normes
Les normes géotechniques (comme l'Eurocode 7) se basent sur ce critère de rupture pour le calcul de la capacité portante des fondations, de la stabilité des talus, etc.
Formule(s)
Graphiquement, il s'agit de tracer la meilleure droite tangente. Mathématiquement, on cherche l'équation \(\tau = c' + \sigma' \tan(\phi')\).
Hypothèses
On suppose que le critère de Mohr-Coulomb est une bonne approximation du comportement du sol, c'est-à-dire que l'enveloppe de rupture est une droite.
Donnée(s)
Les trois cercles de Mohr tracés à la question précédente.
Astuces
Avec une règle, essayez de tracer la droite qui "frôle" au mieux les trois cercles. Pour un sable normalement consolidé, cette droite doit passer par l'origine (0,0).
Schéma
Enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb
Réflexions
Le fait qu'une seule droite soit tangente aux trois cercles valide l'hypothèse que le critère de Mohr-Coulomb s'applique bien à ce sable dans la gamme de contraintes étudiée.
Points de vigilance
Un tracé imprécis est la principale source d'erreur. Utilisez un papier millimétré et un compas si vous le faites à la main, ou un logiciel de dessin pour plus de précision.
Points à retenir
- L'enveloppe de rupture est la tangente commune aux cercles de Mohr à la rupture.
Le saviez-vous ?
Pour certains sols comme les argiles surconsolidées ou les roches, l'enveloppe de rupture n'est pas une droite mais une courbe. Le critère de Mohr-Coulomb est alors une simplification, valable dans une plage de contraintes limitée.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Visuellement, l'enveloppe de rupture passe-t-elle par l'origine (0,0) ?
Question 4 : Détermination de la cohésion \(c'\) et de l'angle de frottement \(\phi'\)
Principe
La cohésion effective \(c'\) est l'ordonnée à l'origine de l'enveloppe de rupture. L'angle de frottement interne effectif \(\phi'\) est l'angle que fait l'enveloppe de rupture avec l'axe des contraintes normales \(\sigma'\).
Mini-Cours
Ces deux paramètres, \(c'\) et \(\phi'\), sont les deux piliers de la résistance au cisaillement d'un sol. La cohésion représente les forces d'attraction entre les particules (comme de la "colle"), tandis que l'angle de frottement représente la résistance due au frottement et à l'engrènement des grains les uns avec les autres.
Remarque Pédagogique
La détermination de ces paramètres est l'aboutissement de l'essai. On peut les obtenir graphiquement (en mesurant sur le dessin) ou par le calcul. La méthode par le calcul est plus précise et recommandée.
Normes
Les normes d'interprétation des essais géotechniques précisent les méthodes graphiques et analytiques pour déterminer ces paramètres.
Formule(s)
Relation pour un sol sans cohésion
Relation en fonction des contraintes principales
Hypothèses
On suppose que le sol est un sable normalement consolidé, donc sa cohésion effective \(c'\) est nulle. Le graphique le confirme car la droite tangente passe par l'origine.
Donnée(s)
| Essai N° | Centre \(C\) (kPa) | Rayon \(R\) (kPa) |
|---|---|---|
| 1 | 200 | 100 |
| 2 | 400 | 200 |
| 3 | 600 | 300 |
Astuces
La relation \(\sin(\phi') = R/C\) est très puissante pour les sols sans cohésion. Elle évite d'avoir à faire une régression linéaire ou un tracé graphique précis pour trouver la pente. Vérifiez toujours si elle s'applique (si \(c'\) est bien nul).
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle pour le calcul de \(\phi'\)
Calcul(s)
Détermination de \(c'\)
Graphiquement, on observe que l'enveloppe de rupture passe par l'origine. Donc, \(c' = 0 \text{ kPa}\).
Calcul de \(\sin(\phi')\)
Calcul de \(\phi'\)
Schéma (Après les calculs)
Enveloppe de rupture avec valeur de \(\phi'\)
Réflexions
Une cohésion nulle et un angle de frottement de 30° sont des valeurs très typiques pour un sable moyennement dense. Le résultat est donc tout à fait cohérent avec la nature du sol testé.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser les fonctions trigonométriques inverses (arcsin) et à s'assurer que la calculatrice est en mode "degrés" pour obtenir le résultat final.
Points à retenir
- Pour un sol pulvérulent (sable, gravier), \(c' = 0\).
- La relation \(\sin(\phi') = R/C\) est un outil de calcul rapide et précis pour ces sols.
Le saviez-vous ?
L'angle de frottement d'un sable dépend de sa compacité (dense ou lâche), de la forme des grains (arrondis ou anguleux) et de leur granulométrie. Un sable dense et anguleux peut avoir un angle de frottement dépassant les 40°.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les données de l'Essai 3 (\(C_3=600, R_3=300\)), recalculez \(\sin(\phi')\). Le résultat confirme-t-il la valeur de 30° ?
Question 5 : Équation du critère de rupture de Mohr-Coulomb
Principe
Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est une équation mathématique qui définit la limite de résistance au cisaillement du sol. Il suffit de substituer les valeurs de \(c'\) et \(\phi'\) que nous venons de déterminer dans l'équation générale.
Mini-Cours
Cette équation est fondamentale en géotechnique. Elle est utilisée dans la quasi-totalité des calculs de stabilité (fondations, soutènements, talus). Elle relie la résistance disponible (\(\tau_{\text{f}}\)) à la contrainte normale appliquée (\(\sigma'_{\text{n}}\)) via les propriétés intrinsèques du sol (\(c', \phi'\)).
Remarque Pédagogique
Écrire cette équation finale, c'est comme résumer tout le comportement du sol en une seule ligne mathématique. C'est la conclusion formelle de l'interprétation de l'essai.
Normes
Cette équation est la base du modèle de sol élasto-plastique parfait de Mohr-Coulomb, utilisé dans la plupart des logiciels de calcul géotechnique éléments finis.
Formule(s)
Équation générale de Mohr-Coulomb
Hypothèses
On continue de supposer que le comportement du sol est bien décrit par ce modèle linéaire.
Donnée(s)
Les résultats de la Question 4 : \(c' = 0 \text{ kPa}\) et \(\phi' = 30^\circ\).
Astuces
N'oubliez pas d'indiquer les unités des paramètres si vous écrivez l'équation avec des valeurs numériques. Ici, comme \(c'\) est nul, il n'y a pas d'ambiguïté.
Schéma (Avant les calculs)
Enveloppe de rupture et ses paramètres
Calcul(s)
Substitution des paramètres
Calcul de la tangente
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette équation signifie que pour n'importe quel plan au sein du massif de sable, la résistance au cisaillement (\(\tau_{\text{f}}\)) est directement proportionnelle à la contrainte normale effective (\(\sigma'_{\text{n}}\)) qui s'exerce sur ce plan. Plus les grains sont "serrés" les uns contre les autres (contrainte normale élevée), plus la résistance au glissement est grande.
Points de vigilance
Ne pas oublier le symbole "tan" devant l'angle. Une erreur fréquente est d'écrire \(\sigma'_n \cdot \phi'\). La résistance dépend de la *tangente* de l'angle, pas de l'angle lui-même.
Points à retenir
- L'équation de Mohr-Coulomb est \(\tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{n}} \tan(\phi')\).
- Elle définit la résistance maximale au cisaillement sur un plan en fonction de la contrainte normale sur ce plan.
Le saviez-vous ?
Le critère a été formulé par Charles-Augustin de Coulomb en 1773 pour des problèmes de butée des terres, bien avant les travaux de Mohr. Mohr a généralisé plus tard le concept en utilisant sa représentation graphique des contraintes.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un plan dans le sol subit une contrainte normale effective \(\sigma'_{\text{n}} = 250 \text{ kPa}\), quelle est la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{f}}\) qu'il peut supporter avant de rompre ?
Outil Interactif : Simulateur de Rupture
Utilisez les curseurs pour faire varier la pression de confinement et l'angle de frottement. Observez comment la contrainte nécessaire pour atteindre la rupture évolue et comment le cercle de Mohr s'adapte.
Paramètres d'Entrée
Résultats à la Rupture
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un essai CD, pourquoi la phase de cisaillement est-elle lente ?
2. Si la cohésion \(c'\) d'un sol est nulle, son enveloppe de rupture dans le plan de Mohr...
3. Que représente le rayon du cercle de Mohr ?
4. Si on augmente l'angle de frottement \(\phi'\), la résistance au cisaillement du sol...
5. Le déviateur de contrainte à la rupture est égal à...
Glossaire
- Angle de frottement interne (\(\phi'\))
- Paramètre du sol qui quantifie la résistance au glissement entre les particules solides. Il représente l'angle de l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb.
- Cohésion (\(c'\))
- Paramètre du sol qui représente la résistance au cisaillement intrinsèque, indépendante de la contrainte normale. Pour les sables, elle est généralement considérée comme nulle.
- Contrainte effective (\(\sigma'\))
- Partie de la contrainte totale qui est supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle (\(\sigma' = \sigma - u\)).
- Contrainte déviatorique (\(q\) ou \(\sigma'_1 - \sigma'_3\))
- Différence entre la contrainte principale majeure et mineure. Elle représente l'intensité du cisaillement appliqué à l'échantillon.
- Enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb
- Droite ou courbe dans le plan de Mohr qui représente la limite de la résistance au cisaillement d'un matériau. Tout état de contrainte dont le cercle de Mohr est tangent à cette enveloppe est un état de rupture.
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