ÉTUDE GÉOTECHNIQUE

Calcul du chemin des contraintes

Exercice : Calcul du Chemin des Contraintes en Mécanique des Sols

Calcul du Chemin des Contraintes pour un Essai Triaxial CU

Contexte : Le chemin des contraintesReprésentation graphique de l'évolution de l'état de contrainte dans un sol (ou une roche) lors d'un chargement. en mécanique des sols.

L'analyse du comportement des sols sous charge est fondamentale en géotechnique. Le concept de chemin des contraintes permet de visualiser comment l'état de contrainte évolue jusqu'à la rupture potentielle. Cet exercice se base sur les résultats d'un essai triaxialEssai de laboratoire permettant de mesurer les propriétés mécaniques d'un sol en le soumettant à des contraintes contrôlées dans trois directions. de type Consolidé Non-Drainé (CU) sur un échantillon d'argile saturée. Nous allons calculer et tracer les chemins des contraintes totales et effectives pour interpréter la résistance au cisaillement du matériau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à traduire des données brutes de laboratoire en une représentation graphique puissante. Comprendre ce graphique est essentiel pour prédire la stabilité des fondations, des talus et des ouvrages de soutènement.

Objectifs Pédagogiques

  • Différencier la contrainte totaleLa contrainte totale supportée par le sol, incluant à la fois le squelette solide et la pression de l'eau interstitielle. et la contrainte effectiveLa contrainte supportée uniquement par le squelette solide du sol. C'est elle qui gouverne la résistance et la déformation du sol..
  • Calculer les invariants de contrainte \(p, q, p', q'\) à partir des contraintes principales.
  • Tracer le Chemin des Contraintes Totales (CCT) et le Chemin des Contraintes Effectives (CCE).
  • Déterminer les paramètres de résistance au cisaillement du sol à partir du CCE.

Données de l'étude

Un échantillon d'argile saturée est d'abord consolidé de manière isotrope dans une cellule triaxiale, puis cisaillé en empêchant le drainage (essai CU).

Schéma de l'Appareillage Triaxial
Cellule Triaxiale Sol Δσ = σ1 - σ3 σ3 σ3
Caractéristique Valeur
Condition de drainage Consolidé Non-Drainé (CU)
Pression de consolidation isotrope, \(\sigma_{\text{3c}}\) 200 kPa
Pression interstitielle initiale, \(u_{\text{0}}\) 0 kPa (après consolidation)
Résultats de la phase de cisaillement
Déviateur de contrainte, \(\Delta\sigma = (\sigma_{\text{1}} - \sigma_{\text{3}})\) [\(\text{kPa}\)] Pression interstitielle, \(u\) [\(\text{kPa}\)]
0 0
50 28
100 55
150 82
180 105
200 120

Questions à traiter

  1. Calculer les contraintes effectives initiales (\(\sigma'_{\text{1c}}\) et \(\sigma'_{\text{3c}}\)) à la fin de la consolidation.
  2. Pour chaque incrément de chargement, calculer les contraintes principales totales (\(\sigma_{\text{1}}\) et \(\sigma_{\text{3}}\)).
  3. Pour chaque incrément, calculer les contraintes principales effectives (\(\sigma'_{\text{1}}\) et \(\sigma'_{\text{3}}\)).
  4. Pour chaque incrément, calculer les invariants de contrainte totaux (\(p, q\)) et effectifs (\(p', q'\)). Regrouper les résultats dans un tableau.
  5. Dans un diagramme (\(p, q\)), tracer le Chemin des Contraintes Totales (CCT) et le Chemin des Contraintes Effectives (CCE). Déterminer l'angle de frottement effectif \(\phi'\).

Les bases sur le Chemin des Contraintes

1. Principe de la contrainte effective de Terzaghi
La résistance d'un sol est gouvernée non pas par la contrainte totale (\(\sigma\)), mais par la contrainte effective (\(\sigma'\)), qui représente les forces transmises de grain à grain. Elle est définie par : \[ \sigma' = \sigma - u \] Où \(u\) est la pression de l'eau interstitielle.

2. Invariants de contrainte \(p\) et \(q\)
Pour simplifier la représentation 3D des contraintes, on utilise des invariants. Dans le cas d'un essai triaxial à symétrie de révolution (\(\sigma_{\text{2}} = \sigma_{\text{3}}\)), ils sont définis comme : \[ p = \frac{\sigma_{\text{1}} + 2\sigma_{\text{3}}}{3} \quad \text{(Contrainte moyenne)} \] \[ q = \sigma_{\text{1}} - \sigma_{\text{3}} \quad \text{(Déviateur de contrainte)} \] Les mêmes formules s'appliquent pour les contraintes effectives : \[ p' = \frac{\sigma'_{\text{1}} + 2\sigma'_{\text{3}}}{3} \quad | \quad q' = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} = q \]

Correction : Calcul du Chemin des Contraintes pour un Essai Triaxial CU

Question 1 : Contraintes effectives initiales

Principe

À la fin de la consolidation, le drainage est permis, donc la surpression interstitielle générée par la mise en charge s'est dissipée. La pression de l'eau est nulle (ou hydrostatique, considérée comme référence 0) et les contraintes totales sont entièrement reprises par le squelette solide.

Mini-Cours

La consolidation est un processus au cours duquel un sol saturé se tasse sous l'effet d'une charge, par expulsion de l'eau interstitielle. Dans une consolidation isotrope, la contrainte appliquée est la même dans toutes les directions (\(\sigma_{\text{1}} = \sigma_{\text{2}} = \sigma_{\text{3}}\)). Cela reproduit l'état de contrainte d'un élément de sol en profondeur, soumis au poids des terres sus-jacentes.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de toujours commencer par définir l'état de contrainte initial avant d'analyser la phase de cisaillement. Une erreur à ce stade initial se répercutera sur tous les calculs suivants. L'état post-consolidation est le point de départ de notre chemin des contraintes.

Normes

Les procédures pour réaliser un essai triaxial sur les sols sont standardisées afin de garantir la comparabilité des résultats. En France, la norme principale est la NF P94-070. Elle décrit en détail le matériel, la préparation des échantillons et la conduite de l'essai.

Formule(s)

Principe de la contrainte effective

\[ \sigma' = \sigma - u \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le sol est entièrement saturé en eau.
  • La consolidation est terminée, ce qui signifie que toute la surpression interstitielle due à la mise en charge de la cellule a été dissipée (\(u_{\text{0}} = 0\)).
  • La pression de consolidation est appliquée de manière isotrope (\(\sigma_{\text{1c}} = \sigma_{\text{3c}}\)).
Donnée(s)

Les données pertinentes de l'énoncé sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Pression de consolidation (radiale)\(\sigma_{\text{3c}}\)200kPa
Pression interstitielle initiale\(u_{\text{0}}\)0kPa
Astuces

Pour un état de consolidation isotrope, pas besoin de calcul complexe : la contrainte effective est simplement égale à la contrainte totale appliquée, car la pression d'eau est nulle. De plus, les contraintes effectives \(\sigma'_{\text{1c}}\) et \(\sigma'_{\text{3c}}\) sont égales.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente l'échantillon de sol à la fin de la consolidation isotrope. Les contraintes appliquées sur toutes les faces sont égales.

État de contrainte après consolidation
σ3cσ1c
Calcul(s)

Calcul de la contrainte effective radiale

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3c}} &= \sigma_{\text{3c}} - u_{\text{0}} \\ &= 200 - 0 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte effective axiale

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1c}} &= \sigma_{\text{1c}} - u_{\text{0}} \\ &= 200 - 0 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le cercle de Mohr pour un état de contrainte isotrope est un simple point sur l'axe des contraintes normales, car il n'y a pas de cisaillement (\(\sigma'_{\text{1}} = \sigma'_{\text{3}}\)).

Cercle de Mohr à la fin de la consolidation
σ'τσ'1c = σ'3c = 200
Réflexions

Ce résultat confirme que l'échantillon est dans un état de contrainte purement compressif et uniforme avant le début du cisaillement. Ce point (\(\sigma' = 200 \text{ kPa}\), \(\tau = 0\)) est le point de départ de tous les chemins de contraintes que nous allons tracer par la suite.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier une éventuelle contre-pression appliquée dans la cellule. Si une contre-pression \(u_{\text{b}}\) est utilisée pour assurer la saturation, alors la pression interstitielle initiale serait \(u_{\text{0}} = u_{\text{b}}\), et non zéro.

Points à retenir
  • La contrainte effective est la clé : \(\sigma' = \sigma - u\).
  • Consolidation isotrope signifie \(\sigma_{\text{1c}} = \sigma_{\text{3c}}\).
  • Après consolidation complète, la surpression interstitielle est nulle.
Le saviez-vous ?

Le concept de contrainte effective a été introduit par Karl von Terzaghi en 1925. Cette idée, simple mais révolutionnaire, est considérée comme l'acte fondateur de la mécanique des sols moderne et reste la pierre angulaire de toute l'analyse géotechnique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi la pression interstitielle est-elle nulle après consolidation ?

Pendant la consolidation, on laisse le temps à l'eau de s'échapper par les drains. La pression appliquée est ainsi progressivement transférée de l'eau vers le squelette solide. À la fin du processus, l'eau n'est plus sous pression (par rapport à la pression atmosphérique) et ne reprend plus de charge.

Résultat Final
À la fin de la consolidation, l'état de contrainte effective est : \(\sigma'_{\text{1c}} = 200 \text{ kPa}\) et \(\sigma'_{\text{3c}} = 200 \text{ kPa}\).
A vous de jouer

Si la pression de cellule était de 350 kPa et qu'une contre-pression de 50 kPa était maintenue, quelle serait la contrainte effective de consolidation \(\sigma'_{\text{3c}}\) ?

Question 2 : Contraintes principales totales

Principe

Durant la phase de cisaillement de l'essai triaxial, la pression de cellule (\(\sigma_{\text{3}}\), ou contrainte radiale) est maintenue constante. On augmente progressivement la contrainte axiale (\(\sigma_{\text{1}}\)) jusqu'à la rupture de l'échantillon. La différence entre ces deux contraintes est le déviateur de contrainte (\(\Delta\sigma\)), qui est la valeur mesurée par le capteur de force de la machine.

Mini-Cours

L'état de contrainte totale est l'état "externe" appliqué au sol. Il ne tient pas compte de la manière dont les charges sont réparties entre les grains et l'eau. Dans un essai CU, la contrainte radiale totale \(\sigma_{\text{3}}\) est contrôlée et constante, c'est une contrainte de confinement. La contrainte axiale totale \(\sigma_{\text{1}}\) est la somme de ce confinement et de la charge axiale supplémentaire appliquée.

Remarque Pédagogique

Cette étape est un simple calcul préliminaire. L'important est de bien comprendre la mécanique de l'essai : la contrainte radiale ne change pas, seule la contrainte axiale augmente. C'est cette augmentation qui va cisailler le sol.

Normes

La norme NF P94-070 spécifie que la vitesse de déformation axiale doit être suffisamment lente pour que la pression interstitielle soit uniforme dans l'échantillon, mais assez rapide pour qu'aucun drainage ne se produise.

Formule(s)

Relation contrainte axiale - déviateur

\[ \sigma_{\text{1}} = \sigma_{\text{3}} + \Delta\sigma \]
Hypothèses

Nous supposons que la pression de cellule appliquée par la machine reste parfaitement constante pendant toute la durée du cisaillement.

Donnée(s)

Les données d'entrée sont la pression de confinement constante et les valeurs successives du déviateur de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Pression de cellule (constante)\(\sigma_{\text{3}}\)200kPa
Déviateur de contrainte (variable)\(\Delta\sigma\)0, 50, 100, 150, 180, 200kPa
Astuces

Puisque \(\sigma_{\text{3}}\) est constant, le calcul de \(\sigma_{\text{1}}\) est une simple addition. Vous pouvez facilement remplir la colonne \(\sigma_1\) de votre tableau de résultats en ajoutant 200 à chaque valeur de \(\Delta\sigma\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre l'augmentation de la contrainte verticale par rapport à la contrainte horizontale constante.

Phase de cisaillement
σ3 = const.σ1 > σ3
Calcul(s)

Pour chaque valeur de déviateur \(\Delta\sigma\) fournie, nous calculons la contrainte principale axiale totale \(\sigma_1\) en l'ajoutant à la contrainte de confinement \(\sigma_3\) qui reste constante.

Pour \(\Delta\sigma = 0 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= \sigma_3 + \Delta\sigma \\ &= 200 + 0 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour \(\Delta\sigma = 50 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= 200 + 50 \\ &= 250 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour \(\Delta\sigma = 100 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= 200 + 100 \\ &= 300 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour \(\Delta\sigma = 150 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= 200 + 150 \\ &= 350 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour \(\Delta\sigma = 180 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= 200 + 180 \\ &= 380 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour \(\Delta\sigma = 200 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{1}} &= 200 + 200 \\ &= 400 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Les résultats pour tous les pas sont compilés dans le tableau final de la Question 4.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre l'évolution des cercles de Mohr en contraintes totales. Ils partagent tous le même point de départ à gauche (\(\sigma_3 = 200\)) et leur diamètre augmente avec le déviateur.

Évolution des cercles de Mohr en contraintes totales
στσ3=200σ1=300σ1=350σ1=400
Réflexions

Ce calcul montre l'évolution des contraintes appliquées de l'extérieur. Cependant, ces valeurs ne sont pas directement liées à la résistance du sol, car elles n'isolent pas le rôle de la pression de l'eau. Elles sont une étape nécessaire pour le calcul des contraintes effectives.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien différencier \(\sigma_{\text{1}}\) (contrainte axiale totale) et \(\Delta\sigma\) (déviateur). Une erreur fréquente est d'utiliser le déviateur à la place de la contrainte principale dans les calculs d'invariants.

Points à retenir
  • En cisaillement triaxial standard, \(\sigma_{\text{3}}\) est constant.
  • Le déviateur \(\Delta\sigma\) est la *différence* entre les contraintes principales, pas une contrainte en soi.
  • \(\sigma_{\text{1}} = \sigma_{\text{3}} + \Delta\sigma\).
Le saviez-vous ?

Les premières versions de l'appareil triaxial ont été développées au début du 20ème siècle. Arthur Casagrande, une autre figure majeure de la géotechnique, a grandement contribué à sa popularisation et à son perfectionnement au sein de l'Université de Harvard.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi \(\sigma_{\text{3}}\) est-il constant ?

C'est le principe de l'essai triaxial le plus courant. En maintenant une pression de confinement constante, on simule une profondeur donnée dans le sol, puis on analyse l'effet d'une surcharge verticale (\(\sigma_{\text{1}}\) qui augmente).

Résultat Final
Les contraintes totales \(\sigma_{\text{1}}\) et \(\sigma_{\text{3}}\) sont calculées pour chaque incrément et reportées dans le tableau de la question 4.
A vous de jouer

Si l'on était dans un essai d'extension où la contrainte axiale diminue, et qu'à un instant donné \(\Delta\sigma = -50 \text{ kPa}\) (traction relative), que vaudrait \(\sigma_{\text{1}}\) si \(\sigma_{\text{3}}\) est toujours 200 kPa ?

Question 3 : Contraintes principales effectives

Principe

L'essai étant non-drainé (la vanne de drainage est fermée), l'eau piégée dans les pores du sol ne peut pas s'échapper. Lorsque l'on cisaille l'échantillon, on tend à réduire son volume (pour une argile normally consolidée), ce qui met l'eau en pression. Cette augmentation de pression, ou surpression interstitielle \(u\), agit en opposition aux contraintes totales, réduisant ainsi les contraintes effectives supportées par le squelette solide.

Mini-Cours

La génération de la surpression interstitielle \(u\) est un phénomène central dans le comportement des sols saturés. Elle est directement liée aux variations de volume que le squelette de sol "aimerait" subir. Si le sol tend à se contracter (diminuer de volume), \(u\) augmente. S'il tend à se dilater (augmenter de volume, cas des sables denses), \(u\) peut diminuer. C'est ce phénomène qui explique les liquéfactions de sable lors des séismes.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Comprendre que la contrainte effective diminue alors que la contrainte totale augmente est la clé pour interpréter le comportement non-drainé. C'est parce que \(\sigma'_{\text{3}}\) diminue que le sol s'approche de la rupture, même si le confinement total \(\sigma_{\text{3}}\) est constant.

Normes

La mesure de la pression interstitielle doit se faire à la base de l'échantillon, via une pierre poreuse saturée connectée à un capteur de pression. La norme NF P94-070 précise les exigences de calibration et de saturation de ce système de mesure.

Formule(s)

Formule de la contrainte effective axiale

\[ \sigma'_{\text{1}} = \sigma_{\text{1}} - u \]

Formule de la contrainte effective radiale

\[ \sigma'_{\text{3}} = \sigma_{\text{3}} - u \]
Hypothèses

Nous supposons que la pression interstitielle \(u\) mesurée à la base de l'échantillon est représentative de la pression interstitielle moyenne dans tout l'échantillon.

Donnée(s)

Nous utilisons les contraintes totales calculées à la question précédente et les mesures de pression interstitielle de l'énoncé.

\(\Delta\sigma\) (kPa)\(\sigma_1\) (kPa)\(\sigma_3\) (kPa)\(u\) (kPa)
02002000
5025020028
10030020055
15035020082
180380200105
200400200120
Astuces

Le calcul est une simple soustraction. Faites attention à bien soustraire \(u\) à la fois de \(\sigma_{\text{1}}\) et de \(\sigma_{\text{3}}\). Une erreur fréquente est de ne la soustraire qu'à \(\sigma_{\text{3}}\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre comment la pression interstitielle \(u\) (flèches bleues) s'oppose aux contraintes totales appliquées (flèches noires), résultant en une contrainte effective plus faible sur les grains de sol (en gris).

Principe de la contrainte effective
σ (totale)u (interstitielle)
Calcul(s)

Pour chaque incrément, nous soustrayons la surpression interstitielle \(u\) mesurée des contraintes principales totales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_3\)) pour obtenir les contraintes effectives.

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 0 \text{ kPa}\) (\(u=0 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= 200 - 0 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= 200 - 0 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 50 \text{ kPa}\) (\(u=28 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= \sigma_1 - u \\ &= 250 - 28 \\ &= 222 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= \sigma_3 - u \\ &= 200 - 28 \\ &= 172 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 100 \text{ kPa}\) (\(u=55 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= 300 - 55 \\ &= 245 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= 200 - 55 \\ &= 145 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 150 \text{ kPa}\) (\(u=82 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= 350 - 82 \\ &= 268 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= 200 - 82 \\ &= 118 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 180 \text{ kPa}\) (\(u=105 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= 380 - 105 \\ &= 275 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= 200 - 105 \\ &= 95 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 200 \text{ kPa}\) (\(u=120 \text{ kPa}\))

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{1}} &= 400 - 120 \\ &= 280 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{3}} &= 200 - 120 \\ &= 80 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Les résultats pour tous les pas sont compilés dans le tableau final de la Question 4.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre comment un cercle de Mohr en contraintes totales (en pointillé) est translaté vers la gauche d'une valeur \(u\) sur l'axe des contraintes normales pour devenir le cercle de Mohr en contraintes effectives (en trait plein).

Translation du cercle de Mohr
σ, σ'τσ3σ1σ'3σ'1- u
Réflexions

On observe que \(\sigma'_{\text{1}}\) et \(\sigma'_{\text{3}}\) diminuent (ou augmentent moins vite que leur équivalent total). Cela signifie que le squelette du sol est de moins en moins "serré". La différence \(\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}\) (le diamètre du cercle de Mohr effectif) augmente, ce qui indique une augmentation du cisaillement interne supporté par les grains.

Points de vigilance

Vérifiez toujours que vos contraintes effectives sont inférieures à vos contraintes totales. Si ce n'est pas le cas (sauf si \(u\) est négatif, ce qui est rare dans ce type d'essai), il y a une erreur de calcul.

Points à retenir
  • En condition non-drainée, le chargement génère une surpression interstitielle \(u\).
  • Cette pression \(u\) réduit les contraintes totales pour donner les contraintes effectives.
  • Le comportement du sol est régi par les contraintes effectives.
Le saviez-vous ?

Le paramètre de pression interstitielle de Skempton, "A", est défini comme \(A = \Delta u / \Delta\sigma\). Il caractérise la réponse de la pression interstitielle au cisaillement. Pour notre essai, à la rupture, \(A_f = 120 / 200 = 0.6\), une valeur typique pour une argile normalement consolidée.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Est-ce que la pression interstitielle peut être négative ?

Oui. Dans les sols très denses ou surconsolidés (qui ont subi une charge plus forte dans le passé), le cisaillement peut provoquer une tendance à l'expansion (dilatance). En condition non-drainée, cela crée une succion dans l'eau interstitielle, et \(u\) peut devenir négatif.

Résultat Final
Les contraintes effectives \(\sigma'_{\text{1}}\) et \(\sigma'_{\text{3}}\) sont calculées pour chaque incrément et reportées dans le tableau de la question 4.
A vous de jouer

Pour le dernier pas de chargement (\(\Delta\sigma = 200 \text{ kPa}\), \(u = 120 \text{ kPa}\)), quelle est la valeur de la contrainte effective radiale \(\sigma'_{\text{3}}\) ?

Question 4 : Calcul des invariants de contrainte

Principe

Nous allons maintenant transformer les contraintes principales (\(\sigma_{\text{1}}, \sigma_{\text{3}}\)) en coordonnées (\(p, q\)) pour pouvoir tracer les chemins des contraintes dans un plan 2D. Cette transformation simplifie grandement l'analyse et permet de généraliser le comportement du sol indépendamment du système d'axes choisi.

Mini-Cours

Les invariants de contrainte ont une signification physique. La contrainte moyenne \(p\) (ou \(p'\)) est liée aux changements de volume du sol. Une augmentation de \(p'\) provoque une compression. Le déviateur de contrainte \(q\) est lié à la distorsion, au changement de forme de l'échantillon, et donc au cisaillement. La rupture du sol est principalement gouvernée par le niveau de déviateur \(q\) qu'il peut supporter pour une contrainte moyenne effective \(p'\) donnée.

Remarque Pédagogique

Cette étape est essentiellement calculatoire, mais elle est fondamentale. Le tracé dans le plan p-q est la représentation standard en mécanique des sols moderne. Prenez le temps de bien organiser vos calculs dans un tableau pour éviter les erreurs.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, mais ces définitions de \(p\) et \(q\) sont universellement acceptées dans la communauté géotechnique internationale.

Formule(s)

Invariants totaux

\[ p = \frac{\sigma_{\text{1}} + 2\sigma_{\text{3}}}{3} \quad | \quad q = \sigma_{\text{1}} - \sigma_{\text{3}} \]

Invariants effectifs

\[ p' = \frac{\sigma'_{\text{1}} + 2\sigma'_{\text{3}}}{3} \quad | \quad q' = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} = q \]
Hypothèses

Les calculs reposent sur la validité des hypothèses de l'essai triaxial, notamment la symétrie de révolution qui implique \(\sigma_{\text{2}} = \sigma_{\text{3}}\) et \(\sigma'_{\text{2}} = \sigma'_{\text{3}}\).

Donnée(s)

Les données d'entrée pour cette question sont l'ensemble des contraintes principales (totales et effectives) calculées dans les questions 2 et 3.

\(\Delta\sigma\) (kPa)\(\sigma_1\) (kPa)\(\sigma_3\) (kPa)\(\sigma'_1\) (kPa)\(\sigma'_3\) (kPa)
0200200200200
50250200222172
100300200245145
150350200268118
18038020027595
20040020028080
Astuces

Notez que \(q\) et \(q'\) sont toujours identiques, car \(q' = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} = (\sigma_{\text{1}} - u) - (\sigma_{\text{3}} - u) = \sigma_{\text{1}} - \sigma_{\text{3}} = q\). Vous n'avez donc à calculer le déviateur qu'une seule fois ! La différence entre les deux chemins se situe uniquement sur l'axe des contraintes moyennes (\(p\) vs \(p'\)).

Schéma (Avant les calculs)

Un repère vide pour le plan p-q, prêt à être rempli avec les points calculés.

Repère p-q
p, p'q
Calcul(s)

Nous utilisons les contraintes principales totales et effectives calculées précédemment pour déterminer les invariants \(p\) et \(p'\) pour chaque incrément de chargement. Le déviateur \(q\) est simplement égal à \(\Delta\sigma\).

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 0 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{200 + 2 \times 200}{3} \\ &= 200.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{200 + 2 \times 200}{3} \\ &= 200.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 50 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{250 + 2 \times 200}{3} \\ &= 216.7 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{222 + 2 \times 172}{3} \\ &= 188.7 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 100 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{300 + 2 \times 200}{3} \\ &= 233.3 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{245 + 2 \times 145}{3} \\ &= 178.3 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 150 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{350 + 2 \times 200}{3} \\ &= 250.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{268 + 2 \times 118}{3} \\ &= 168.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 180 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{380 + 2 \times 200}{3} \\ &= 260.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{275 + 2 \times 95}{3} \\ &= 155.0 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Pour l'incrément \(\Delta\sigma = 200 \text{ kPa}\)

\[ \begin{aligned} p &= \frac{400 + 2 \times 200}{3} \\ &= 266.7 \text{ kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p' &= \frac{280 + 2 \times 80}{3} \\ &= 146.7 \text{ kPa} \end{aligned} \]

Tableau de résultats complet

\(\Delta\sigma=q\) [\(\text{kPa}\)]\(u\) [\(\text{kPa}\)]\(\sigma_{\text{1}}\) [\(\text{kPa}\)]\(\sigma_{\text{3}}\) [\(\text{kPa}\)]\(\sigma'_{\text{1}}\) [\(\text{kPa}\)]\(\sigma'_{\text{3}}\) [\(\text{kPa}\)]\(p\) [\(\text{kPa}\)]\(p'\) [\(\text{kPa}\)]
00200200200200200.0200.0
5028250200222172216.7188.7
10055300200245145233.3178.3
15082350200268118250.0168.0
18010538020027595260.0155.0
20012040020028080266.7146.7
Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre les chemins des contraintes totales et effectives, ainsi que la droite de rupture du sol, tracés à partir des données du tableau.

Chemins des Contraintes Totales (CCT) et Effectives (CCE)
Contrainte moyenne p, p' (kPa)Déviateur q (kPa) CCT CCE Critère de rupture
Réflexions

L'analyse du tableau est riche d'enseignements. On voit que \(p\) augmente linéairement avec \(q\) (car \(p = ( \sigma_{\text{3}}+q + 2\sigma_{\text{3}})/3 = \sigma_{\text{3}} + q/3\)). En revanche, \(p'\) diminue car l'augmentation de \(u\) est plus forte que l'augmentation de \(p\). C'est ce qui caractérise le comportement contractant du sol.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est le calcul de \(p\) et \(p'\). Assurez-vous d'utiliser le facteur 2 pour la contrainte radiale : \((\sigma_{\text{1}} + 2\sigma_{\text{3}})/3\), et non \((\sigma_{\text{1}} + \sigma_{\text{3}})/2\) qui correspond au centre du cercle de Mohr.

Points à retenir
  • \(p\) représente la contrainte moyenne, \(q\) le cisaillement.
  • \(q' = q\), toujours.
  • La différence entre CCT et CCE est \(p - p' = u\).
Le saviez-vous ?

Le plan p-q est un cas particulier d'une représentation plus générale des contraintes appelée "espace de Haigh-Westergaard". Les invariants \(p\) et \(q\) sont liés aux premier et deuxième invariants du tenseur des contraintes.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi utilise-t-on \(p\) et \(q\) plutôt que \(\sigma\) et \(\tau\) ?

Le plan (\(\sigma, \tau\)) du cercle de Mohr représente les contraintes sur une facette d'orientation donnée. Le plan (\(p, q\)) représente l'état de contrainte global de l'élément de sol, indépendamment de l'orientation. C'est une représentation plus synthétique et plus puissante pour les modèles de comportement.

Résultat Final
Les valeurs de \(p, q, p'\) sont calculées et présentées dans le tableau de résultats ci-dessus.
A vous de jouer

Pour le deuxième incrément (\(q = 50 \text{ kPa}\)), vérifiez la valeur de \(p\). Est-ce bien 216.7 kPa ?

Question 5 : Tracé des chemins et détermination de \(\phi'\)

Principe

Le tracé des points (\(p, q\)) et (\(p', q'\)) nous donne respectivement le Chemin des Contraintes Totales (CCT) et le Chemin des Contraintes Effectives (CCE). La rupture du sol se produit lorsque le CCE, qui représente l'état de contrainte réel du squelette solide, atteint une frontière de résistance intrinsèque au matériau. Pour les sols granulaires, cette frontière est la droite de rupture de Mohr-Coulomb.

Mini-Cours

Le critère de rupture de Mohr-Coulomb stipule que la rupture se produit lorsque le cisaillement atteint une valeur qui dépend de la contrainte normale effective et des propriétés du sol : l'angle de frottement \(\phi'\) et la cohésion \(c'\). Dans le plan p'-q, pour un sol sans cohésion (\(c'=0\)), ce critère se traduit par une droite passant par l'origine, de pente \(M\). Tout état de contrainte (\(p', q\)) situé sous cette droite est stable.

Remarque Pédagogique

Le graphique est l'aboutissement de tout l'exercice. Il raconte une "histoire" : celle d'un sol qui est d'abord comprimé (consolidation), puis qui voit ses contraintes internes évoluer au fur et à mesure qu'on le cisaille, jusqu'à ce qu'il ne puisse plus résister. Savoir lire et interpréter ce graphique est une compétence fondamentale en géotechnique.

Normes

La détermination des paramètres de résistance \(\phi'\) et \(c'\) à partir des essais triaxiaux est l'un des objectifs principaux décrits dans la norme NF P94-074 (essais de cisaillement).

Formule(s)

Relation pente-angle de frottement

\[ M = \frac{6 \sin(\phi')}{3 - \sin(\phi')} \]

Relation angle de frottement-pente

\[ \sin(\phi') = \frac{3M}{6+M} \]
Hypothèses

On suppose que le sol est "normalement consolidé", ce qui implique que sa cohésion effective \(c'\) est nulle. La droite de rupture passe donc par l'origine (0,0).

Donnée(s)

On utilise le point de rupture, qui correspond au dernier incrément de chargement de l'essai. Les valeurs sont extraites du tableau calculé à la question 4.

ParamètreSymboleValeurUnité
Contrainte moyenne effective à la rupture\(p'_{\text{f}}\)146.7kPa
Déviateur de contrainte à la rupture\(q_{\text{f}}\)200kPa
Astuces

Pour un essai CU standard sur un sol normalement consolidé, le CCT est toujours une droite de pente 3. Vous pouvez tracer cette droite pour vérifier vos calculs de \(p\). Le CCE est une courbe qui doit toujours se situer à gauche du CCT.

Schéma (Avant les calculs)

Un repère vide pour le plan p-q, prêt à être rempli avec les points calculés.

Repère p-q
p, p'q
Calcul(s)

Calcul de la pente de la droite de rupture (M)

\[ \begin{aligned} M &= \frac{q_{\text{f}}}{p'_{\text{f}}} \\ &= \frac{200}{146.7} \\ &\approx 1.363 \end{aligned} \]

Calcul du sinus de l'angle de frottement

\[ \begin{aligned} \sin(\phi') &= \frac{3M}{6+M} \\ &= \frac{3 \times 1.363}{6 + 1.363} \\ &= \frac{4.089}{7.363} \\ &\approx 0.555 \end{aligned} \]

Détermination de l'angle de frottement (\(\phi'\))

\[ \begin{aligned} \phi' &= \arcsin(0.555) \\ &\approx 33.7^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Chemins des Contraintes Totales (CCT) et Effectives (CCE)
Contrainte moyenne p, p' (kPa)Déviateur q (kPa) CCT CCE Critère de rupture
Réflexions

La valeur de \(\phi' \approx 33.7^\circ\) est un paramètre de résistance intrinsèque du squelette du sol. Elle est élevée et typique d'une argile compacte ou d'un sable limoneux. Cette valeur pourra être utilisée dans des calculs de stabilité d'ouvrages (fondations, talus) construits sur ce matériau.

Points de vigilance

Ne déterminez pas l'angle de frottement à partir du CCT ! La résistance du sol est uniquement liée aux contraintes effectives. Utiliser le CCT mènerait à une sous-estimation grave de la résistance du sol (un "angle non-drainé" qui n'a pas beaucoup de sens physique).

Points à retenir
  • Le CCT d'un essai CU a une pente de 3:1.
  • Le CCE d'un sol contractant va vers la gauche.
  • La rupture a lieu quand le CCE touche la droite de Mohr-Coulomb (\(q=M p'\)).
  • L'angle \(\phi'\) se déduit de la pente \(M\) de cette droite.
Le saviez-vous ?

Des modèles de comportement plus avancés, comme le "Cam-Clay" développé à l'Université de Cambridge, utilisent le concept de chemin des contraintes pour modéliser non seulement la rupture, mais aussi les déformations du sol avant la rupture, de manière beaucoup plus réaliste que le simple modèle de Mohr-Coulomb.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Et si le sol avait une cohésion \(c'\) ?

Si la cohésion \(c'\) n'était pas nulle (cas d'une argile surconsolidée), la droite de rupture ne passerait plus par l'origine. Son équation serait \(q = M p' + d\), où \(d\) est lié à \(c'\). Il faudrait au moins deux essais triaxiaux à des pressions de confinement différentes pour déterminer à la fois \(M\) et \(d\).

Résultat Final
L'angle de frottement effectif du sol est \(\phi' \approx 33.7^\circ\).
A vous de jouer

Un autre sol a été testé et on a trouvé une pente de la droite de rupture M = 1.20. Quel est son angle de frottement effectif \(\phi'\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Rupture

Utilisez les curseurs pour voir comment la pression de consolidation et l'angle de frottement influencent la résistance au cisaillement du sol.

Paramètres du Sol
200 kPa
34 °
Résultats à la Rupture
Pente de rupture, \(M\) -
Déviateur à la rupture, \(q_{\text{f}}\) (kPa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La contrainte effective (\(\sigma'\)) est définie par :

2. Dans un essai triaxial, que représente \(p'\) ?

3. Dans un essai CU, pourquoi le Chemin des Contraintes Effectives (CCE) se déplace-t-il vers la gauche ?

4. La pente de la droite de rupture dans le plan (\(p', q\)) est directement liée à :

5. Que signifie \(q' = q\) ?

Glossaire

Chemin des contraintes
Représentation graphique de l'évolution de l'état de contrainte dans un sol (ou une roche) lors d'un chargement. Il est tracé dans un espace de contraintes, le plus souvent le plan p-q.
Contrainte effective (\(\sigma'\))
Partie de la contrainte totale supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui contrôle le comportement mécanique du sol (résistance, déformation). \(\sigma' = \sigma - u\).
Essai triaxial
Essai de laboratoire permettant de mesurer les propriétés de résistance et de déformation d'un sol en le soumettant à des contraintes contrôlées dans trois directions orthogonales.
Pression interstitielle (\(u\))
Pression de l'eau (ou autre fluide) qui remplit les vides entre les grains de sol.
Exercice : Calcul du Chemin des Contraintes

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