Ancrage d’un Rideau de Palplanches

Calcul d'un Rideau de Palplanches Ancré

Ancrage d'un Rideau de Palplanches

Contexte : Retenir la terre.

Les rideaux de palplanches sont des parois de soutènement minces, souvent utilisées pour des excavations temporaires ou permanentes, comme les quais ou les parkings souterrains. Lorsqu'un rideau est ancré, il s'appuie sur un tirant près de sa tête et est encastré dans le sol à sa base. Le calcul de cet ancrage et de la profondeur d'encastrement (la "fiche") est un problème géotechnique classique, essentiel pour garantir la stabilité de l'ouvrage face à la poussée des terres.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se base sur l'équilibre des forces de poussée (qui cherchent à renverser le mur) et de butée (qui stabilisent le mur). Nous utiliserons la méthode de l'appui fictif, une approche simplifiée et sûre qui modélise la rotation du rideau autour d'un point pivot imaginaire pour déterminer la fiche nécessaire et l'effort que le tirant doit reprendre.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les coefficients de poussée ($K_a$) et de butée ($K_p$) selon la théorie de Rankine.
Déterminer les diagrammes de pression des terres (poussée, butée) et de l'eau.
Appliquer la méthode de l'appui fictif pour calculer la profondeur d'encastrement (fiche) du rideau.
Calculer l'effort de traction requis dans le tirant d'ancrage.
Analyser l'influence de la nappe phréatique sur la stabilité.

Données de l'étude

Un rideau de palplanches, ancré à 1,5 m de sa tête, retient un massif de sable sur une hauteur de 7,0 m. Le sol est homogène et ses caractéristiques sont données ci-dessous. La nappe phréatique se trouve à 3,0 m sous la surface du sol côté remblai. On néglige la présence de la nappe côté fouille. On cherche à dimensionner l'ouvrage par la méthode de l'appui fictif.

Paramètre	Symbole	Valeur
Angle de frottement interne du sol	$\phi'$	30°
Poids volumique du sol déjaugé (saturé)	$\gamma_{\text{sat}}$	20 kN/m³
Poids volumique du sol sec	$\gamma_{\text{d}}$	18 kN/m³
Poids volumique de l'eau	$\gamma_{\text{w}}$	10 kN/m³

Schéma du rideau de palplanches

Questions à traiter

Calculer les coefficients de poussée active $K_a$ et de butée passive $K_p$.
Déterminer les contraintes effectives de poussée et de butée à des profondeurs clés.
Calculer la fiche $f$ requise pour l'équilibre, en appliquant une sécurité de 20% ($f_{\text{calcul}} = 1.2 \times f_{\text{equilibre}}$).
Calculer l'effort $F$ dans le tirant par mètre linéaire de mur.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de commencer, voici un rappel des concepts clés de la pression des terres.

1. Poussée et Butée :
Un sol n'est pas un liquide. Il a une cohésion et un frottement interne.

Poussée (état actif) : C'est la pression minimale que le sol exerce sur un mur qui s'éloigne légèrement de lui. Le sol se "détend" et une partie de sa masse est supportée par le frottement interne. C'est la force qui cherche à renverser le mur.
Butée (état passif) : C'est la pression maximale qu'un mur doit exercer pour "pousser" le sol. Le sol se comprime et mobilise toute sa résistance. C'est la force qui stabilise le mur, en bas, côté fouille.

2. Contrainte Effective :
C'est le concept le plus important en mécanique des sols (principe de Terzaghi). La contrainte totale dans un sol est portée par deux choses : le squelette solide (les grains) et l'eau entre les grains (pression interstitielle). La résistance du sol ne dépend que de la contrainte portée par les grains, appelée contrainte effective : $\sigma' = \sigma_{\text{totale}} - u$, où $u$ est la pression de l'eau. C'est pour cela qu'on utilise le poids volumique déjaugé $\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w$ sous la nappe.

3. Méthode de l'Appui Fictif :
Cette méthode simplifie le diagramme de butée complexe en le remplaçant par une seule force de réaction, appliquée à un "appui fictif". On suppose que le rideau tourne autour du point d'ancrage. L'équilibre des moments des forces de poussée et de butée par rapport à ce point d'ancrage permet de trouver la profondeur d'encastrement (la fiche). Une fois la fiche connue, l'équilibre des forces horizontales donne l'effort dans l'ancrage.

Correction : Ancrage d'un Rideau de Palplanches

Question 1 : Calcul des coefficients Ka et Kp

Principe (le concept physique)

Les coefficients $K_a$ et $K_p$ sont des multiplicateurs qui transforment la pression verticale dans le sol (due à son propre poids) en pression horizontale contre le mur. $K_a$ est toujours inférieur à 1 (le sol "pousse" moins fort qu'il ne pèse), tandis que $K_p$ est toujours supérieur à 1 (il faut "pousser" le sol plus fort que son poids pour le faire bouger).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Rankine (1857) et celle de Coulomb (1776) sont les deux approches classiques. Rankine est plus simple mais suppose un mur parfaitement lisse et vertical, sans frottement entre le sol et le mur. Coulomb est plus général et peut prendre en compte le frottement sol-mur et l'inclinaison du mur, mais est plus complexe à appliquer. Pour un premier dimensionnement, l'approche de Rankine est souvent suffisante et conservatrice.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'angle de frottement $\phi'$ est le paramètre le plus influent. Une petite variation de $\phi'$ entraîne une grande variation de $K_a$ et $K_p$, et donc des forces en jeu. Sa détermination précise sur site (par des essais pressiométriques, pénétrométriques...) est une étape cruciale de tout projet géotechnique.

Astuces (Pour aller plus vite)

Retenez que $K_p$ est toujours l'inverse de $K_a$. Si vous avez calculé l'un, vous avez l'autre instantanément. Cela découle directement de la symétrie des formules de Rankine.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) régit le calcul géotechnique. Il ne donne pas les formules de Rankine mais stipule comment utiliser les paramètres du sol (en appliquant des facteurs de sécurité partiels sur $\tan(\phi')$) et comment combiner les actions pour vérifier la stabilité à l'état limite ultime (ELU).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique la théorie de Rankine, ce qui suppose : le mur est vertical et parfaitement lisse (pas de frottement sol-mur), le remblai est horizontal, et le sol est pulvérulent (sans cohésion, c=0).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un sol sans cohésion et un mur vertical avec un remblai horizontal, la théorie de Rankine donne :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)

K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1}{K_a}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Angle de frottement interne, $\phi' = 30^\circ$

Schéma (Avant les calculs)

Cette première étape est un calcul préliminaire. Aucun schéma spécifique n'est requis avant le calcul des coefficients eux-mêmes.

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned}

K_p = \frac{1}{K_a} = 3

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma spécifique pour ce résultat. Ces coefficients seront utilisés dans les schémas des questions suivantes.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un $K_a$ de 1/3 signifie que la poussée horizontale du sol ne vaut qu'un tiers de sa pression verticale. Inversement, un $K_p$ de 3 signifie que le sol peut encaisser une butée horizontale trois fois supérieure à sa pression verticale. Cela montre à quel point le sol est plus résistant lorsqu'il est comprimé (butée) que lorsqu'il se détend (poussée).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La poussée est associée à $K_a = \tan^2(45 - \phi'/2)$.
La butée est associée à $K_p = \tan^2(45 + \phi'/2)$.
Pour Rankine, $K_p = 1/K_a$.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de $K_a$ et $K_p$ est la toute première étape indispensable. Ces coefficients sont les "clés de conversion" qui nous permettront de transformer le poids du sol (contrainte verticale) en forces horizontales agissant sur le rideau. Sans eux, impossible d'aller plus loin.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la fonction tangente au carré ! Une autre erreur fréquente est de se tromper dans les unités de l'angle $\phi'$, qui doit être en degrés pour la formule $45^\circ \pm \phi'/2$.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

William Rankine, ingénieur et physicien écossais, a développé sa théorie de la pression des terres en étudiant la stabilité des murs de soutènement pour les chemins de fer, une industrie en pleine expansion au milieu du 19ème siècle.

FAQ (pour lever les doutes)

Que se passe-t-il si le sol a de la cohésion (c' > 0) ?

La cohésion introduit un terme soustractif dans la pression de poussée, ce qui signifie que le sol peut "tenir tout seul" sur une petite hauteur sans exercer de poussée. Inversement, elle ajoute un terme additif à la butée, la rendant encore plus forte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les coefficients de pression des terres sont $K_a = 1/3$ et $K_p = 3$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était de moins bonne qualité avec un angle $\phi' = 25^\circ$, que vaudrait le coefficient de poussée active $K_a$ ?

Question 2 : Calcul des contraintes de pression

Principe (le concept physique)

La pression du sol augmente avec la profondeur, tout comme la pression de l'eau en plongée. Nous devons calculer cette pression à des points clés : la surface, le niveau de la nappe, et le fond de fouille. Sous la nappe, la pression de l'eau s'ajoute à la pression du sol (calculée avec la contrainte effective).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le principe de la contrainte effective de Terzaghi ($\sigma' = \sigma - u$) est fondamental. Il stipule que seul le squelette solide du sol (les grains en contact) peut supporter des contraintes de cisaillement. La pression de l'eau ($u$) agit dans toutes les directions et ne contribue pas à la résistance au cisaillement du sol. C'est pourquoi, pour calculer les pressions de poussée et de butée (qui dépendent du frottement), on doit systématiquement soustraire la pression de l'eau de la contrainte totale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La présence de l'eau est presque toujours défavorable. Côté poussée, elle ajoute une pression hydrostatique (le diagramme triangulaire bleu) qui s'ajoute à la poussée des terres. Côté butée, elle diminue la contrainte effective et donc la butée mobilisable. Un bon drainage est la meilleure solution pour améliorer la stabilité d'un ouvrage de soutènement.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour tracer les diagrammes, calculez simplement les valeurs aux points de changement : surface, niveau de la nappe, fond de fouille, base du rideau. Comme les pressions varient linéairement entre ces points, il suffit de relier les points calculés par des droites pour obtenir les diagrammes complets.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 demande de considérer plusieurs combinaisons d'actions. Pour un mur de soutènement, on vérifierait typiquement une combinaison où les actions permanentes (poids du sol) sont majorées et les actions variables (surcharges) aussi, tout en minorant les propriétés de résistance du sol.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pression de l'eau est hydrostatique (augmente linéairement avec la profondeur) et qu'il n'y a pas d'écoulement (nappe horizontale). Le sol est supposé homogène avec les propriétés données.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\sigma_v = \sum (\gamma_i \times h_i)

u = \gamma_w \times h_w

\sigma'_v = \sigma_v - u

\sigma'_{\text{h}} = K \times \sigma'_v

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

$\gamma_d = 18$ kN/m³, $\gamma_{\text{sat}} = 20$ kN/m³, $\gamma_w = 10$ kN/m³
Hauteur de sol sec : 3 m ; Hauteur de sol saturé : 4 m
$K_a = 1/3$, $K_p = 3$

Schéma (Avant les calculs)

Points de calcul des pressions

Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule d'abord le poids volumique déjaugé :

\begin{aligned} \gamma' &= \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w \\ &= 20 - 10 = 10 \, \text{kN/m³} \end{aligned}

Diagramme de Poussée (côté remblai) :

À z=0 m : $\sigma'_v = 0 \Rightarrow \sigma'_{\text{h}} = 0$
À z=3 m (juste au-dessus de la nappe) : $\begin{aligned} \sigma'_v &= 3 \times \gamma_d \\ &= 3 \times 18 = 54 \, \text{kPa} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \sigma'_{\text{pa}} &= K_a \sigma'_v \\ &= \frac{1}{3} \times 54 = 18 \, \text{kPa} \end{aligned}$
À z=7 m (fond de fouille) : $\begin{aligned} \sigma'_v &= (3 \times \gamma_d) + (4 \times \gamma') \\ &= 54 + (4 \times 10) = 94 \, \text{kPa} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \sigma'_{\text{pa}} &= K_a \sigma'_v \\ &= \frac{1}{3} \times 94 \approx 31.33 \, \text{kPa} \end{aligned}$ $\begin{aligned} u &= 4 \times \gamma_w \\ &= 4 \times 10 = 40 \, \text{kPa} \end{aligned}$

Diagramme de Butée (côté fouille) :

La butée se développe sur la hauteur de la fiche, $f$. La pression est calculée avec le poids volumique du sol sous le fond de fouille, qui est saturé mais non submergé (pas de nappe de ce côté), donc on utilise $\gamma_{\text{sat}}$. La contrainte de butée à la base (profondeur $f$) sera :

\begin{aligned} \sigma'_{\text{pb}} &= K_p \times (\gamma_{\text{sat}} \times f) \\ &= 3 \times (20 \times f) = 60f \, [\text{kPa}] \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagrammes de Pression Détaillés

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme de poussée a une "cassure" au niveau de la nappe. C'est parce que le poids volumique du sol change (on passe de $\gamma_d$ à $\gamma'$) ET la pression de l'eau commence à s'appliquer. La pression totale (poussée effective + pression de l'eau) augmente donc plus rapidement sous la nappe. La butée, elle, est un simple triangle car le sol est homogène et sans nappe de ce côté.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Calculer les pressions aux points de discontinuité (surface, nappe, fond de fouille).
Utiliser $\gamma_d$ au-dessus de la nappe, $\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w$ sous la nappe pour les contraintes effectives.
Ajouter la pression de l'eau $u = \gamma_w \times h_w$ à la pression de poussée effective.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est essentielle car elle transforme les propriétés du sol en pressions concrètes. Les diagrammes qui en résultent sont la représentation visuelle de toutes les forces que le mur doit combattre. Sans ces diagrammes, il est impossible de calculer les forces résultantes et leurs points d'application, nécessaires pour les calculs de stabilité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier de décomposer la pression de poussée sous la nappe en deux parties : la pression due à la contrainte effective et la pression de l'eau. On ne doit appliquer le coefficient $K_a$ qu'à la contrainte effective, jamais à la pression de l'eau qui agit déjà horizontalement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certains sables, un phénomène de "liquéfaction" peut se produire lors d'un séisme. Les vibrations augmentent si brutalement la pression de l'eau que la contrainte effective devient nulle. Le sable perd toute sa résistance et se comporte comme un liquide, ce qui peut causer des effondrements spectaculaires d'ouvrages.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi n'y a-t-il pas de butée au-dessus du fond de fouille ?

Par définition, la butée est la réaction du sol à une tentative de déplacement. Comme le sol a été retiré au-dessus du fond de fouille, il n'y a plus de matière pour s'opposer au déplacement du mur. La butée ne peut donc se développer que dans le sol restant, c'est-à-dire sous le niveau de l'excavation.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les diagrammes de pression ont été établis. La pression de poussée totale au fond de fouille est de $31.33 + 40 = 71.33 \, \text{kPa}$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la pression de poussée effective $\sigma'_{\text{pa}}$ à une profondeur de 5 m (soit 2 m sous la nappe) ?

Question 3 : Calcul de la fiche d'équilibre (f)

Principe (le concept physique)

On utilise le principe de l'appui fictif. On suppose que le rideau est en équilibre sous l'action de trois forces : la poussée totale des terres et de l'eau, l'effort dans le tirant, et la force de butée. Pour trouver la fiche, on va annuler les moments de la poussée et de la butée par rapport au point d'ancrage du tirant. Cela revient à dire que la poussée qui cherche à faire tourner le mur dans un sens est parfaitement équilibrée par la butée qui le retient dans l'autre sens.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équilibre des moments est un principe fondamental de la statique. En choisissant le point d'ancrage comme pivot, on élimine la force inconnue du tirant de l'équation des moments (car son bras de levier est nul). L'équation ne contient alors plus qu'une seule inconnue : la fiche $f$. C'est une astuce de calcul très puissante qui permet de découpler les problèmes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La décomposition des diagrammes de pression en formes simples (triangles, rectangles) est la clé. Pour chaque forme, on calcule sa surface (la force) et la position de son centre de gravité (le point d'application de la force). Le moment est alors simplement la force multipliée par la distance entre son point d'application et le tirant.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour résoudre l'équation du 3ème degré, une calculatrice graphique ou un tableur (avec une fonction "solveur" ou "valeur cible") est votre meilleur ami. À la main, on peut procéder par tâtonnement : on essaie une valeur de f, on calcule le moment de butée, et on ajuste f jusqu'à ce que le moment de butée soit égal au moment de poussée.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1, Annexe D) propose des méthodes de calcul pour les écrans de soutènement. Il impose d'appliquer des facteurs de sécurité, qui peuvent porter sur la fiche (comme ici, en la majorant) ou sur la résistance du sol en butée (en la minorant).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le rideau est infiniment rigide et qu'il tourne autour du tirant. On suppose que la butée se mobilise sur toute la hauteur de la fiche d'équilibre. La sécurité de 20% est appliquée à la fin pour obtenir la fiche de construction.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\sum M_{\text{/Tirant}} = 0 \Rightarrow M_{\text{butée}} - M_{\text{poussée}} = 0

f_{\text{calcul}} = 1.20 \times f_{\text{equilibre}}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les diagrammes de pression de la question 2. Le pivot est à z=1.5 m.

Schéma (Avant les calculs)

Forces et bras de levier pour le calcul des moments

Calcul(s) (l'application numérique)

On décompose le diagramme de poussée en forces simples et on calcule leur moment par rapport au tirant.

Force P1 (triangle de poussée, sol sec):

\begin{aligned} F_1 &= \frac{1}{2} \times 18 \times 3 \\ &= 27 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_1 &= F_1 \times (1.5 - 1) \\ &= 13.5 \, \text{kN.m/m} \end{aligned}

Force P2 (rectangle de poussée, sol saturé):

\begin{aligned} F_2 &= 18 \times 4 \\ &= 72 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_2 &= F_2 \times (1.5 + 4/2) \\ &= 252 \, \text{kN.m/m} \end{aligned}

Force P3 (triangle de poussée, sol saturé):

\begin{aligned} F_3 &= \frac{1}{2} \times (31.33 - 18) \times 4 \\ &= 26.66 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_3 &= F_3 \times (1.5 + 4 \times 2/3) \\ &\approx 111.1 \, \text{kN.m/m} \end{aligned}

Force P4 (pression de l'eau):

\begin{aligned} F_4 &= \frac{1}{2} \times 40 \times 4 \\ &= 80 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_4 &= F_4 \times (1.5 + 4 \times 2/3) \\ &\approx 333.3 \, \text{kN.m/m} \end{aligned}

Moment total de la poussée :

\begin{aligned} M_{\text{poussée}} &= M_1+M_2+M_3+M_4 \\ &\approx 13.5 + 252 + 111.1 + 333.3 \\ &\approx 709.9 \, \text{kN.m/m} \end{aligned}

Force et moment de Butée :

\begin{aligned} F_{\text{butée}} &= \frac{1}{2} \times (60f) \times f = 30f^2 \\ M_{\text{butée}} &= F_{\text{butée}} \times \left((7-1.5) + \frac{2}{3}f\right) \\ &= 30f^2 \times \left(5.5 + \frac{2}{3}f\right) \\ &= 165f^2 + 20f^3 \end{aligned}

Équilibre des moments : $M_{\text{butée}} = M_{\text{poussée}}$

\[ 20f^3 + 165f^2 - 709.9 = 0 \]

La résolution de cette équation du 3ème degré (par itération ou solveur) donne $f \approx 1.95 \, \text{m}$.

On applique le coefficient de sécurité :

\begin{aligned} f_{\text{calcul}} &= 1.2 \times f_{\text{equilibre}} \\ &= 1.2 \times 1.95 \approx 2.34 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma final avec fiche calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fiche nécessaire est de 2.34 m. Cela signifie que pour une hauteur de soutènement de 7 m, il faut enfoncer le rideau de près d'un tiers de cette hauteur dans le sol pour assurer sa stabilité. C'est un ordre de grandeur typique pour ce type d'ouvrage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Choisir un point de pivot (le tirant) pour annuler une force inconnue.
Calculer le moment de chaque force = Force x Bras de levier.
Égaliser le moment des forces stabilisatrices (butée) au moment des forces déstabilisatrices (poussée).
Appliquer le coefficient de sécurité sur la fiche à la fin du calcul d'équilibre.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur du dimensionnement en stabilité. Elle garantit que le mur ne basculera pas autour de son point d'ancrage. La fiche est le paramètre clé qui mobilise la butée du sol ; si elle est trop faible, la butée est insuffisante et l'ouvrage s'effondre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande source d'erreur réside dans le calcul des bras de levier. Il faut être méticuleux et bien mesurer chaque distance par rapport au point de pivot (le tirant). Une erreur sur un bras de levier fausse toute l'équation d'équilibre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les palplanches modernes sont souvent mises en place par vibrofonçage. Un vibreur de haute fréquence, attaché à la tête de la palplanche, fluidifie temporairement le sol juste autour d'elle, ce qui réduit considérablement le frottement et permet de l'enfoncer avec beaucoup moins d'effort.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi la sécurité est-elle une majoration de 20% ?

Ce facteur de 1.2 (ou 20%) est une valeur courante dans les règles de l'art. Il vise à garantir une sécurité globale sur la mobilisation de la butée. L'Eurocode 7 propose d'autres approches, comme l'application de facteurs partiels sur les résistances et les actions, qui conduisent à un niveau de sécurité équivalent.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fiche de calcul requise est de $f = 2.34 \, \text{m}$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tirant était placé plus bas, à 2.5 m de la surface au lieu de 1.5 m, la fiche requise serait-elle plus grande ou plus petite ?

Question 4 : Calcul de l'effort dans le tirant (F)

Principe (le concept physique)

Une fois la fiche déterminée, le rideau est stable en rotation. Il ne reste plus qu'à assurer son équilibre en translation. On écrit simplement que la somme de toutes les forces horizontales est nulle : la force du tirant plus la force de butée doivent être égales à la force de poussée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effort calculé est un effort "à l'état limite de service" (ELS). Pour le dimensionnement structurel du tirant lui-même (choix de son diamètre, de sa nuance d'acier), les ingénieurs utilisent un effort "à l'état limite ultime" (ELU), obtenu en appliquant des coefficients de sécurité sur les charges (par exemple, 1.35 pour les charges permanentes comme la poussée). L'effort ELU est donc supérieur à l'effort ELS que nous calculons ici.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez bien que la force de butée utilisée dans ce calcul est celle correspondant à la fiche d'équilibre $f_{\text{equilibre}}$, et non la fiche de calcul $f_{\text{calcul}}$. Pourquoi ? Parce que la sécurité que nous avons prise en allongeant la fiche ne crée pas de force de butée supplémentaire ; elle garantit juste que la force de butée d'équilibre pourra bien être mobilisée. C'est un point de méthode important.

Astuces (Pour aller plus vite)

L'équilibre des forces horizontales est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs. Si vous avez fait une erreur dans le calcul des forces de poussée (P1, P2, etc.), elle se répercutera ici. Assurez-vous que la somme de toutes les forces (Poussée, Butée, Tirant) est bien nulle.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 gère la sécurité via des approches de calcul (DA1, DA2, DA3). Pour la France, l'approche 2 (DA2) est couramment utilisée. Elle consiste à appliquer des facteurs sur les actions (poussée) et sur les résistances (butée, frottement) avant de vérifier l'équilibre.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le tirant exerce une force purement horizontale et que le système est en équilibre statique. La butée mobilisée est celle qui correspond à la fiche d'équilibre strict.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\sum F_x = 0 \Rightarrow F + F_{\text{butée}} - F_{\text{poussée}} = 0

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les forces résultantes calculées à l'étape 3, en utilisant la fiche d'équilibre $f_{\text{equilibre}} = 1.95 \, \text{m}$ pour la butée.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Corps Libre pour l'équilibre horizontal

Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise la fiche d'équilibre $f_{\text{equilibre}} = 1.95 \, \text{m}$ pour évaluer la force de butée.

Force de poussée totale :

\begin{aligned} F_{\text{poussée}} &= F_1+F_2+F_3+F_4 \\ &= 27 + 72 + 26.66 + 80 \\ &= 205.66 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Force de butée mobilisée :

\begin{aligned} F_{\text{butée}} &= 30 \times (f_{\text{equilibre}})^2 \\ &= 30 \times (1.95)^2 \approx 114.1 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Effort dans le tirant :

\begin{aligned} F &= F_{\text{poussée}} - F_{\text{butée}} \\ &= 205.66 - 114.1 \\ &= 91.56 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Corps Libre avec valeurs calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort dans le tirant est de 91.6 kN/m. Cela signifie que pour un mur de 10 mètres de long, avec des tirants espacés tous les 3 mètres, chaque tirant devrait être capable de supporter une force de $91.6 \times 3 = 274.8 \, \text{kN}$, plus les sécurités réglementaires. C'est une force considérable qui nécessite un ancrage robuste.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'effort dans le tirant est la différence entre la poussée totale et la butée mobilisée.
La butée doit être calculée avec la fiche d'équilibre strict ($f_{\text{equilibre}}$).
L'équilibre des forces horizontales est la dernière étape du calcul de stabilité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est cruciale pour le dimensionnement de l'élément structurel "tirant". Sans cette valeur, on ne peut pas choisir le bon type d'ancrage, le bon diamètre de barre d'acier, ni dimensionner le massif d'ancrage dans lequel le tirant est scellé. C'est le lien entre le calcul géotechnique (stabilité du sol) et le calcul structurel (résistance des matériaux).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser la fiche de calcul $f_{\text{calcul}}$ pour déterminer la force de butée dans cette équation. Utiliser la fiche majorée conduirait à une force de butée plus grande et donc à un effort de tirant sous-estimé, ce qui serait dangereux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les tirants d'ancrage modernes sont souvent "précontraints". On les met en tension avec un vérin avant de les bloquer. Cela permet de limiter les déformations du mur lors de la mise en charge et d'assurer qu'il travaille bien en compression.

FAQ (pour lever les doutes)

Comment sont espacés les tirants le long du mur ?

L'espacement des tirants est un choix de conception. Un espacement plus grand signifie que chaque tirant doit reprendre plus de force (l'effort calculé en kN/m multiplié par l'espacement). L'ingénieur doit trouver un équilibre économique entre le nombre de tirants et leur taille individuelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'effort à reprendre par le tirant d'ancrage est de $F = 91.6 \, \text{kN}$ par mètre linéaire de rideau.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une surcharge uniforme de 10 kPa était appliquée sur toute la surface du remblai, quel serait (approximativement) l'effort supplémentaire dans le tirant ?

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Modifiez les paramètres du sol pour voir leur influence sur la fiche et l'effort d'ancrage.

Paramètres d'Entrée

Angle de frottement $\phi'$ (degrés) 30 °

Hauteur de nappe (m sous la surface) 3.0 m

Résultats Clés

Fiche requise $f_{\text{calcul}}$ (m) -

Effort tirant $F$ (kN/m) -

Le Saviez-Vous ?

La ville de Venise est construite sur des milliers de pieux en bois, enfoncés il y a des siècles dans la couche d'argile compacte sous la lagune. Privés d'oxygène par la boue et l'eau, ces pieux ne pourrissent pas et se sont même pétrifiés avec le temps, formant des fondations extraordinairement durables pour les palais et les églises.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi applique-t-on une sécurité sur la fiche ?

On majore la fiche d'équilibre ($f_{\text{equilibre}}$) pour s'assurer que la force de butée réellement mobilisable est bien supérieure à celle strictement nécessaire. Cela crée une marge de sécurité pour compenser les incertitudes sur les caractéristiques du sol et les simplifications de la méthode de calcul.

Cette méthode est-elle toujours applicable ?

La méthode de l'appui fictif (ou méthode du rideau libre en rotation) est une méthode simplifiée qui fonctionne bien pour des rideaux ancrés une seule fois dans des sols granulaires. Pour des sols argileux, des ancrages multiples ou des conditions complexes, des méthodes plus avancées, comme le calcul aux éléments finis, sont nécessaires.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol $\phi'$ augmente, l'effort dans le tirant...

Augmente
Reste inchangé
Diminue

2. Si la nappe phréatique monte (par exemple à 1m de la surface), la fiche requise...

Augmente de manière significative
Diminue
Reste pratiquement la même

Poussée des terres: Pression horizontale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. L'état "actif" correspond à la pression minimale lorsque le mur peut légèrement se déplacer.
Butée des terres: Réaction horizontale d'un massif de sol lorsqu'un ouvrage de soutènement le comprime. L'état "passif" correspond à la résistance maximale que le sol peut mobiliser.
Fiche: Profondeur d'encastrement d'un rideau de palplanches dans le sol sous le niveau du fond de fouille.

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