Dimensionnement du Mur de Soutènement

Dimensionnement d'un Mur de Soutènement en Blocs de Béton

Dimensionnement d'un Mur de Soutènement Poids

Contexte : L'art de retenir la terre.

Les murs de soutènement sont des ouvrages de génie civil essentiels, conçus pour contenir des terres sur une surface quasi verticale. Ils sont omniprésents dans nos infrastructures : routes, voies ferrées, aménagement de terrains... Parmi les différentes technologies, les murs en blocs de béton à emboîtement, dits "murs poids", tirent leur stabilité de leur propre masse. Leur dimensionnement correct est crucial pour garantir la sécurité et la pérennité de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera à travers les vérifications de stabilité fondamentales d'un tel mur selon les principes de la géotechnique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la mécanique des sols (poussée des terres) et de la statique du solide. Nous allons utiliser des données géotechniques (propriétés du sol) et géométriques (dimensions du mur) pour vérifier que le mur résiste aux forces qui lui sont appliquées, au cœur du travail de l'ingénieur en géotechnique.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le coefficient de poussée active des terres selon la théorie de Rankine.
Déterminer la force de poussée exercée par le sol sur le mur.
Vérifier la stabilité de l'ouvrage vis-à-vis du glissement sur sa base.
Vérifier la stabilité de l'ouvrage vis-à-vis du renversement.
Calculer la contrainte sur le sol de fondation et vérifier sa portance.

Données de l'étude

On étudie un projet de mur de soutènement en blocs de béton à emboîtement, destiné à retenir un remblai horizontal. Le profil du mur et les caractéristiques des matériaux sont les suivants :

Schéma du Mur de Soutènement

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur du mur	\(H\)	2.5	\(\text{m}\)
Largeur de la base	\(B\)	2.0	\(\text{m}\)
Poids volumique du sol (remblai)	\(\gamma_{\text{sol}}\)	18	\(\text{kN/m³}\)
Angle de frottement interne du sol	\(\phi'\)	30	\(\text{degrés (°)}\)
Poids volumique du béton	\(\gamma_{\text{béton}}\)	23	\(\text{kN/m³}\)
Angle de frottement base-sol	\(\delta\)	25	\(\text{degrés (°)}\)
Surcharge d'exploitation	\(q\)	10	\(\text{kPa (kN/m²)}\)

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\).
Calculer la force de poussée totale \(F_a\) exercée par le sol et la surcharge sur le mur (par mètre linéaire).
Vérifier la stabilité au glissement (coefficient de sécurité \(FS_{\text{glissement}} \geq 1.5\)).
Vérifier la stabilité au renversement (coefficient de sécurité \(FS_{\text{renversement}} \geq 2.0\)).

Données et constantes utiles :

On utilisera la théorie de Rankine pour la poussée des terres.
Le poids du mur est calculé en considérant une section rectangulaire simplifiée de 1m x 2.5m.
La force de poussée s'applique à H/3 de la base pour la poussée du sol, et à H/2 pour la surcharge.

Les bases de la Géotechnique

Avant la correction, revoyons les concepts clés de la stabilité des murs de soutènement.

1. Poussée des Terres (Théorie de Rankine) :
Un sol exerce une pression latérale sur toute structure qui le retient. L'état "actif" se produit lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol, mobilisant la résistance minimale du sol. Pour un remblai horizontal, le coefficient de poussée active \(K_a\) se calcule avec l'angle de frottement interne \(\phi'\).

K_a = \tan^2\left(45° - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

La pression du sol à une profondeur \(z\) est \(p_a(z) = K_a \cdot \gamma_{\text{sol}} \cdot z\). La force résultante est l'aire de ce diagramme de pression triangulaire.

2. Stabilité au Glissement :
On compare les forces qui "poussent" le mur (la poussée des terres) aux forces qui "retiennent" le mur (le frottement à la base). La force de frottement maximale est le poids total du mur (\(W\)) multiplié par le coefficient de frottement entre la base et le sol (\(\tan\delta\)). Le facteur de sécurité est le rapport des forces résistantes sur les forces motrices.

FS_{\text{glissement}} = \frac{\text{Forces résistantes}}{\text{Forces motrices}} = \frac{W \cdot \tan(\delta)}{F_a}

3. Stabilité au Renversement :
On compare les moments qui tendent à stabiliser le mur (moment du poids du mur) aux moments qui tendent à le faire basculer (moment de la poussée des terres). Les moments sont calculés par rapport au coin avant de la base du mur (point de pivot). Le facteur de sécurité est le rapport des moments stabilisants sur les moments de renversement.

FS_{\text{renversement}} = \frac{\text{Moments stabilisants}}{\text{Moments de renversement}} = \frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{renv}}}

Correction : Dimensionnement du Mur de Soutènement

Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active \(K_a\)

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(K_a\) est un nombre sans dimension qui traduit la part de la contrainte verticale du sol (due à son poids) qui se transforme en contrainte horizontale. Un sol "granulaire" comme du sable sec a tendance à s'étaler, et \(K_a\) quantifie cette tendance. Plus l'angle de frottement \(\phi'\) est élevé, plus le sol est stable et moins il pousse (donc \(K_a\) est plus faible).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Rankine analyse les états de contrainte dans un massif de sol lorsqu'il atteint un état de rupture plastique. L'état "actif" correspond à une extension horizontale du sol, où la contrainte horizontale est minimale. À l'inverse, l'état "passif" (butée) correspond à une compression horizontale où la contrainte horizontale est maximale. Ces deux états définissent les limites de la contrainte horizontale que le sol peut supporter.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une boîte remplie de sable sec. Si vous enlevez un côté, le sable s'écoule pour former un talus avec un angle naturel (l'angle de repos, lié à \(\phi'\)). La force que le sable exerçait sur le côté que vous avez enlevé est la poussée active. Un sol avec un grand \(\phi'\) (comme un tas de gravier anguleux) formera un talus plus raide et poussera moins qu'un sable fin et arrondi.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est à la base des vérifications de stabilité des ouvrages de soutènement requises par les normes de construction, comme l'Eurocode 7 (Calcul Géotechnique). Ces normes définissent les états limites ultimes (ELU) à vérifier, incluant la stabilité globale, le glissement, le renversement et la portance du sol.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Selon la théorie de Rankine pour un remblai horizontal et un mur vertical sans frottement :

K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour appliquer la formule de Rankine simple, nous faisons les hypothèses suivantes : 1) Le remblai derrière le mur est horizontal. 2) Le parement intérieur du mur est vertical. 3) Il n'y a pas de frottement entre le sol et le mur. 4) Le sol est homogène et sans cohésion.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Angle de frottement interne, \(\phi' = 30°\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un angle de frottement de 30°, une valeur très courante pour les sables, le coefficient de poussée active \(K_a\) vaut toujours 1/3. C'est une bonne valeur à mémoriser pour vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

État des contraintes dans le sol

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule :

\begin{aligned} K_a &= \frac{1 - \sin(30°)}{1 + \sin(30°)} \\ &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &\approx 0.333 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Relation entre contraintes

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de 0.333 signifie que la pression horizontale exercée par le sol est environ un tiers de sa pression verticale. C'est une valeur typique pour un sol sableux standard. Si le sol avait été plus argileux avec un angle de frottement plus faible, \(K_a\) aurait été plus élevé, et la poussée sur le mur plus forte.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas le coefficient de poussée active (\(K_a\)) avec le coefficient de poussée passive (\(K_p\)) ou celui au repos (\(K_0\)). Chaque coefficient correspond à un état de déformation différent du sol. Assurez-vous également que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour le calcul du sinus.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le coefficient \(K_a\) dépend uniquement de l'angle de frottement interne \(\phi'\) dans la formule de Rankine.
Plus \(\phi'\) est grand, plus le sol est résistant et plus \(K_a\) est petit.
Pour un sol sans frottement (\(\phi'=0\)), \(K_a\) serait égal à 1, comme pour un fluide.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La théorie de Coulomb, plus ancienne que celle de Rankine, est plus générale car elle prend en compte le frottement entre le mur et le sol. Cela conduit généralement à des valeurs de poussée légèrement différentes, souvent plus réalistes mais plus complexes à calculer.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a \approx 0.333\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable plus lâche avec \(\phi' = 25°\), que vaudrait \(K_a\) ? (arrondi à 3 décimales)

Question 2 : Calculer la force de poussée totale \(F_a\)

Principe (le concept physique)

La force de poussée totale est la résultante de toutes les pressions horizontales agissant sur le mur. Elle se décompose en deux parties : la poussée due au poids propre du sol (qui augmente avec la profondeur, formant un diagramme de pression triangulaire) et la poussée due à la surcharge en surface (qui est constante sur toute la hauteur, formant un diagramme rectangulaire).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force résultante d'une distribution de pression est égale à l'aire de cette distribution. Pour un triangle de base \(b\) et de hauteur \(h\), l'aire est \(1/2 \cdot b \cdot h\). Ici, la hauteur du diagramme est \(H\) et sa base est la pression maximale en bas du mur, \(p_{\text{max}} = K_a \gamma_{\text{sol}} H\). Pour le rectangle, la hauteur est \(H\) et la base est la pression constante due à la surcharge, \(p_q = K_a q\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le meilleur réflexe est de toujours dessiner le diagramme des pressions. Cela permet de visualiser immédiatement les différentes composantes, leur forme (triangle, rectangle) et de ne pas oublier de les additionner. C'est une "carte" des forces qui s'appliquent sur votre mur.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 distingue les actions permanentes (le poids du sol) des actions variables (la surcharge d'exploitation). Dans un calcul complet, on appliquerait des facteurs de sécurité partiels différents à chaque force (\(1.35 \cdot F_{a,\text{sol}} + 1.5 \cdot F_{a,q}\)). Pour cet exercice, nous les sommons directement, ce qui correspond à une approche plus traditionnelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La force totale est la somme de la force due au sol (\(F_{a,\text{sol}}\)) et de la force due à la surcharge (\(F_{a,q}\)).

F_{a,\text{sol}} = \frac{1}{2} K_a \gamma_{\text{sol}} H^2

F_{a,q} = K_a q H

F_a = F_{a,\text{sol}} + F_{a,q}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les distributions de pression sont bien linéaires (triangulaire pour le sol, rectangulaire pour la surcharge), ce qui est une simplification acceptée en pratique. On considère le calcul pour une "tranche" de mur de 1 mètre de long.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(K_a = 0.333\)
\(\gamma_{\text{sol}} = 18 \, \text{kN/m³}\)
\(H = 2.5 \, \text{m}\)
\(q = 10 \, \text{kPa} = 10 \, \text{kN/m²}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours l'homogénéité de vos unités avant de calculer. Ici, nous avons des kN, des m, et des kPa. Comme 1 kPa = 1 kN/m², toutes les unités sont cohérentes. La force finale sera bien en kN par mètre linéaire de mur (kN/m).

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme des pressions de poussée

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la poussée due au sol :

\begin{aligned} F_{a,\text{sol}} &= \frac{1}{2} \times 0.333 \times 18 \, \text{kN/m³} \times (2.5 \, \text{m})^2 \\ &= 18.73 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Calculer la poussée due à la surcharge :

\begin{aligned} F_{a,q} &= 0.333 \times 10 \, \text{kN/m²} \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 8.33 \, \text{kN/m} \end{aligned}

3. Calculer la force totale :

\begin{aligned} F_a &= F_{a,\text{sol}} + F_{a,q} \\ &= 18.73 + 8.33 \\ &= 27.06 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultantes des forces de poussée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force totale de 27.06 kN/m représente la force horizontale que le mur doit être capable de supporter pour chaque mètre de sa longueur. On remarque que la surcharge, bien que modeste (10 kPa, soit environ 1 tonne/m²), est responsable de près de 30% de la poussée totale. Ignorer les surcharges est une erreur de dimensionnement fréquente et dangereuse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est d'oublier le facteur 1/2 pour la composante triangulaire de la poussée (due au sol). Une autre est d'oublier la poussée due à la surcharge. Le diagramme de pression est votre meilleur ami pour éviter ces oublis.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La poussée du sol est une force surfacique (aire d'un triangle) et dépend du carré de la hauteur (\(H^2\)).
La poussée de la surcharge est une force surfacique (aire d'un rectangle) et dépend linéairement de la hauteur (\(H\)).
La force totale est la somme des deux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les murs de grande hauteur ou les sols de mauvaise qualité, la poussée des terres peut devenir énorme. On utilise alors des techniques de "sol renforcé", comme des géogrilles ou des tirants d'ancrage, qui "arment" le sol derrière le mur pour qu'il se soutienne lui-même, réduisant ainsi la force sur le mur.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La force de poussée totale sur le mur est d'environ 27.06 kN par mètre linéaire de mur.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans la surcharge de 10 kPa, quelle serait la force de poussée totale en kN/m ?

Question 3 : Vérifier la stabilité au glissement

Principe (le concept physique)

On vérifie si la "poigne" du mur sur le sol de fondation (force de frottement) est suffisante pour résister à la force qui essaie de le "pousser" horizontalement (la poussée des terres). Le facteur de sécurité nous donne une marge de confiance sur cette résistance. C'est un équilibre de forces horizontales.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au glissement est modélisée par la loi de frottement de Coulomb : \(F_{\text{frottement}} \leq \mu \cdot N\), où \(N\) est la force normale (ici, le poids du mur \(W\)) et \(\mu\) est le coefficient de frottement. En mécanique des sols, ce coefficient est exprimé par la tangente de l'angle de frottement interface, \(\mu = \tan(\delta)\). La vérification de stabilité consiste à s'assurer que la force motrice (\(F_a\)) est significativement plus petite que la force de frottement maximale disponible.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une commode que vous essayez de pousser. La force qui résiste est le frottement. Pour augmenter cette résistance, vous pouvez soit augmenter le poids de la commode (en la remplissant), soit mettre un tapis plus rugueux en dessous. Pour un mur de soutènement, c'est pareil : on peut l'alourdir (en élargissant sa base) ou améliorer le contact avec le sol de fondation.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 aborde la vérification au glissement sous l'état limite GEO. Il exige que la résultante des actions déstabilisantes (\(H_d\)) soit inférieure ou égale à la résultante des actions stabilisantes (\(R_d\)). L'approche traditionnelle avec un facteur de sécurité global de 1.5 est une méthode simplifiée mais couramment utilisée pour les pré-dimensionnements.

Formule(s) (l'outil mathématique)

FS_{\text{glissement}} = \frac{W \cdot \tan(\delta)}{F_a} \geq 1.5

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que : 1) Le poids du mur est la seule force verticale qui contribue à la résistance au frottement. 2) La base du mur est horizontale. 3) L'angle de frottement \(\delta\) est constant sur toute la surface de la base. 4) Toute résistance passive (butée) à l'avant du mur est négligée pour plus de sécurité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Poids volumique du béton, \(\gamma_{\text{béton}} = 23 \, \text{kN/m³}\)
Angle de frottement base-sol, \(\delta = 25°\)
Force de poussée, \(F_a = 27.06 \, \text{kN/m}\)
Dimensions du mur : H=2.5m, largeur supposée=1.0m

Astuces(Pour aller plus vite)

Si le facteur de sécurité est insuffisant, notez que la force résistante est proportionnelle au poids (\(W\)) tandis que la force motrice est proportionnelle au carré de la hauteur (\(H^2\)). Augmenter la hauteur d'un mur a donc un effet très défavorable sur la stabilité au glissement, qui doit être compensé par une augmentation encore plus importante du poids (et donc de la largeur de la base).

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des forces horizontales

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le poids du mur par mètre linéaire (\(W\)). On simplifie la section à un rectangle de 1m x 2.5m.

\begin{aligned} W &= \text{Volume} \times \gamma_{\text{béton}} \\ &= (1.0 \, \text{m} \times 2.5 \, \text{m} \times 1 \, \text{m}) \times 23 \, \text{kN/m³} \\ &= 57.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Calculer la force résistante maximale (frottement) :

\begin{aligned} F_{\text{resist}} &= W \cdot \tan(\delta) \\ &= 57.5 \, \text{kN/m} \times \tan(25°) \\ &= 57.5 \times 0.466 \\ &= 26.81 \, \text{kN/m} \end{aligned}

3. Calculer le facteur de sécurité :

\begin{aligned} FS_{\text{glissement}} &= \frac{F_{\text{resist}}}{F_a} \\ &= \frac{26.81 \, \text{kN/m}}{27.06 \, \text{kN/m}} \\ &\approx 0.99 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vérification du glissement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité de 0.99 est très inférieur à la valeur requise de 1.5. Cela signifie que les forces motrices sont légèrement supérieures aux forces résistantes. Le mur n'est pas stable au glissement ! Il va glisser sous la poussée des terres. En pratique, il faudrait augmenter la largeur de la base, ou ajouter une "bêche" d'ancrage sous la semelle pour augmenter la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le mur de notre exercice est instable, ce qui est fait à des fins pédagogiques. Dans un vrai projet, un FS < 1.0 est une situation de rupture inacceptable. Il faut toujours s'assurer que les forces résistantes sont bien supérieures aux forces motrices. Ne pas confondre l'angle de frottement du sol \(\phi'\) avec l'angle de frottement à l'interface mur-sol \(\delta\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La stabilité au glissement est un équilibre de forces horizontales.
La force résistante dépend directement du poids du mur et du frottement à sa base.
Un facteur de sécurité de 1.5 est une exigence courante pour garantir une marge de sécurité adéquate.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les murs de soutènement en béton armé (murs cantilever), le poids du sol situé sur la semelle arrière du mur participe également à la force verticale \(W\), ce qui aide grandement à la stabilité au glissement. C'est une des raisons pour lesquelles ce type de mur est si efficace.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le facteur de sécurité au glissement est de 0.99, ce qui est insuffisant (inférieur à 1.5). Le mur est instable.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En supposant que le poids du mur est proportionnel à sa base B, quelle largeur de base B (en m) serait nécessaire pour atteindre un FS au glissement de 1.5 ?

Question 4 : Vérifier la stabilité au renversement

Principe (le concept physique)

On vérifie si le moment généré par le poids du mur, qui tend à le maintenir droit, est suffisant pour contrer le moment de la poussée des terres, qui tend à le faire basculer autour de son "talon" (le coin avant de la base). C'est un équilibre de moments.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment d'une force est sa capacité à faire tourner un objet autour d'un point (le pivot). Il se calcule par \(M = F \cdot d\), où \(d\) est le "bras de levier", c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le pivot. Les moments qui favorisent la stabilité (stabilisants) s'opposent aux moments qui favorisent la rupture (renversants).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une grue de chantier. Le contrepoids à l'arrière crée un moment stabilisant énorme pour compenser le moment renversant créé par la charge soulevée au bout de la flèche. Pour notre mur, son propre poids agit comme un contrepoids.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 vérifie la stabilité au renversement via l'état limite EQU (perte d'équilibre statique). Un facteur de sécurité traditionnel de 2.0 est souvent exigé pour se prémunir contre les incertitudes sur les valeurs des forces et leurs points d'application exacts.

Formule(s) (l'outil mathématique)

FS_{\text{renversement}} = \frac{M_{\text{stabilisant}}}{M_{\text{renversant}}} \geq 2.0

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que : 1) Le point de pivot pour le renversement est le coin avant inférieur de la base du mur. 2) Les points d'application des forces de poussée sont au tiers de la hauteur pour la poussée du sol et à mi-hauteur pour la surcharge. 3) Le centre de gravité du mur (pour le calcul de son bras de levier) est au centre de la base.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Poids du mur, \(W = 57.5 \, \text{kN/m}\)
Largeur de la base, \(B = 2.0 \, \text{m}\)
Forces de poussée : \(F_{a,\text{sol}} = 18.73 \, \text{kN/m}\), \(F_{a,q} = 8.33 \, \text{kN/m}\)
Hauteur du mur, \(H = 2.5 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour augmenter rapidement le moment stabilisant, la solution la plus efficace est d'élargir la base du mur (\(B\)). Non seulement cela augmente le poids \(W\), mais cela augmente aussi son bras de levier (\(B/2\)), ce qui a un effet quadratique sur la stabilité.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des moments

Calcul(s) (l'application numérique)

Les moments sont calculés par rapport au coin avant de la base.

1. Calculer le moment renversant (\(M_{\text{renv}}\)) :

\begin{aligned} M_{\text{renv}} &= F_{a,\text{sol}} \cdot \left(\frac{H}{3}\right) + F_{a,q} \cdot \left(\frac{H}{2}\right) \\ &= 18.73 \cdot \left(\frac{2.5}{3}\right) + 8.33 \cdot \left(\frac{2.5}{2}\right) \\ &= 15.61 + 10.41 \\ &= 26.02 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

2. Calculer le moment stabilisant (\(M_{\text{stab}}\)) :

\begin{aligned} M_{\text{stab}} &= W \cdot \left(\frac{B}{2}\right) \\ &= 57.5 \cdot \left(\frac{2.0}{2}\right) \\ &= 57.5 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

3. Calculer le facteur de sécurité :

\begin{aligned} FS_{\text{renversement}} &= \frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{renv}}} \\ &= \frac{57.5}{26.02} \\ &\approx 2.21 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vérification du renversement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité de 2.21 est supérieur à la valeur requise de 2.0. Le mur est donc stable vis-à-vis du renversement. Il est suffisamment "lourd" et "large" pour ne pas basculer. Cependant, comme il n'est pas stable au glissement, sa stabilité globale n'est pas assurée. Un ouvrage doit satisfaire TOUTES les conditions de stabilité pour être validé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal calculer les bras de levier. Toutes les distances doivent être mesurées par rapport au même point de pivot. Une autre erreur est d'oublier une des forces (par exemple, la poussée de la surcharge) dans le calcul des moments.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La stabilité au renversement est un équilibre de moments autour du pied du mur.
Le poids du mur crée le moment stabilisant, la poussée des terres crée le moment renversant.
Un facteur de sécurité de 2.0 est une exigence courante.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La "règle du tiers central" stipule que pour éviter toute traction sous la semelle de fondation (ce qui pourrait la fissurer ou la décoller du sol), la résultante de toutes les forces doit passer dans le tiers central de la base. C'est une vérification complémentaire à celle du renversement.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le facteur de sécurité au renversement est de 2.21, ce qui est suffisant (supérieur à 2.0).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le mur était deux fois plus haut (H=5m) mais avec la même base de 2m, quel serait le nouveau FS au renversement ?

Outil Interactif : Stabilité du Mur

Modifiez les paramètres du sol et du mur pour voir leur influence sur les facteurs de sécurité.

Paramètres d'Entrée

Angle de frottement du sol (\(\phi'\)) 30 °

Largeur de la base (B) 2.0 m

Facteurs de Sécurité

FS Glissement (Objectif > 1.5) -

FS Renversement (Objectif > 2.0) -

Le Saviez-Vous ?

La tour de Pise penche à cause d'un problème de fondation. Le sol sous un côté de la tour est beaucoup plus compressible que de l'autre, ce qui a provoqué un tassement différentiel. C'est un exemple célèbre et extrême de l'importance cruciale de l'étude du sol avant toute construction, un principe fondamental en géotechnique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on des facteurs de sécurité ?

Les propriétés des sols sont très variables et incertaines. Les facteurs de sécurité permettent de prendre en compte ces incertitudes, ainsi que les approximations des modèles de calcul, pour garantir que l'ouvrage reste stable même dans des conditions légèrement plus défavorables que prévu.

La présence d'eau change-t-elle les calculs ?

Absolument ! La présence d'eau dans le sol (la nappe phréatique) modifie le poids volumique du sol (poids déjaugé) et ajoute une pression hydrostatique (la poussée d'Archimède) qui s'ajoute à la poussée des terres. C'est pourquoi le drainage derrière les murs de soutènement est si important.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol \(\phi'\) augmente, la poussée des terres...

Diminue
Augmente
Reste inchangée

2. Pour améliorer la stabilité au glissement d'un mur poids, la solution la plus efficace est...

Rendre le mur plus haut
Augmenter la largeur de sa base
Utiliser un béton moins dense

Angle de Frottement Interne (\(\phi'\)): Caractéristique d'un sol granulaire qui représente la résistance au cisaillement due au frottement entre les grains. Un angle élevé signifie un sol plus résistant.
Poussée des Terres: Force latérale exercée par un massif de sol sur une structure de soutènement.
Coefficient de Sécurité (FS): Rapport entre la résistance maximale d'un système et la charge réellement appliquée. Un FS > 1.0 est nécessaire pour assurer la stabilité.

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