Calcul de la Contrainte Horizontale au Repos (K0)
Contexte : L'état de contrainte initial des sols, un point de départ crucial.
Avant toute construction, un sol en place est soumis à un état de contrainte initial dû à son propre poids et à son histoire géologique. Si la contrainte verticale est simple à estimer, la contrainte horizontale, elle, est plus complexe. Le rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale est appelé le coefficient des terres au reposNoté K₀, ce coefficient adimensionnel est le rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale dans un sol où aucune déformation latérale ne s'est produite., noté \(K_0\). La connaissance de \(K_0\) est fondamentale pour le dimensionnement des structures souterraines (tunnels, sous-sols), des soutènements ou pour l'analyse du comportement des fondations profondes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer, pas à pas, le profil de contraintes verticales et horizontales dans un sol stratifié. Nous verrons comment le poids des terres, la présence de l'eau et l'histoire du sol (via le rapport de surconsolidation OCROverConsolidation Ratio. C'est le rapport entre la contrainte verticale effective maximale que le sol a subie dans son passé et la contrainte qu'il subit actuellement. OCR > 1 indique un sol surconsolidé.) influencent directement la poussée horizontale que le sol exerce sur son environnement.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les profils de contraintes totales, de pression interstitielle et de contraintes effectives verticales.
- Déterminer le coefficient des terres au repos \(K_0\) pour des sols normalement consolidés et surconsolidés.
- Utiliser les formules de Jaky et de Mayne & Kulhawy.
- Calculer les profils de contraintes effectives et totales horizontales.
- Comprendre l'impact de la nappe phréatique et de la surconsolidation sur les contraintes horizontales.
Données de l'étude
Profil de sol étudié
| Paramètre | Symbole | Sable | Argile | Unité |
|---|---|---|---|---|
| Poids volumique total | \(\gamma\) | 18 | - | \(\text{kN/m}^3\) |
| Poids volumique saturé | \(\gamma_{\text{sat}}\) | 20 | 19 | \(\text{kN/m}^3\) |
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 32 | 28 | \(^\circ\) |
| Rapport de surconsolidation | \(\text{OCR}\) | 1 (N.C.) | 2.5 | - |
On prendra le poids volumique de l'eau \(\gamma_w = 10 \, \text{kN/m}^3\).
Questions à traiter
- Calculer et tracer les profils de contrainte totale verticale (\(\sigma_{\text{v}}\)), de pression interstitielle (\(u\)) et de contrainte effective verticale (\(\sigma'_{\text{v}}\)) de 0 à 10 m de profondeur.
- Calculer le coefficient des terres au repos \(K_0\) pour la couche de sable et pour la couche d'argile.
- Calculer et tracer les profils de contrainte effective horizontale (\(\sigma'_{\text{h}}\)) et de contrainte totale horizontale (\(\sigma_{\text{h}}\)).
Les bases des Contraintes dans les Sols
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. Principe des Contraintes Effectives (Terzaghi) :
La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point dans un sol saturé est la somme de deux composantes : la pression de l'eau dans les pores, appelée pression interstitielle (\(u\)), et la contrainte transmise par le squelette solide, appelée contrainte effective (\(\sigma'\)). C'est cette dernière qui gouverne la résistance et la déformation du sol.
\[ \sigma = \sigma' + u \]
2. Coefficient des Terres au Repos (\(K_0\)) :
Dans un massif de sol où les déformations latérales sont nulles (cas d'un terrain horizontal infini), la contrainte effective horizontale \(\sigma'_{\text{h}}\) est proportionnelle à la contrainte effective verticale \(\sigma'_{\text{v}}\). Le coefficient de proportionnalité est \(K_0\).
\[ \sigma'_{\text{h}} = K_0 \cdot \sigma'_{\text{v}} \]
3. Formules pour \(K_0\) :
La valeur de \(K_0\) dépend de l'histoire des contraintes du sol.
• Pour un sol normalement consolidé (qui n'a jamais supporté plus de contrainte que son poids actuel), on utilise la formule de Jaky (1944) :
\[ K_{\text{0,NC}} = 1 - \sin(\phi') \]
• Pour un sol surconsolidé (qui a subi une contrainte plus élevée dans le passé), \(K_0\) est plus élevé. On utilise la formule de Mayne & Kulhawy (1982) :
\[ K_{\text{0,OC}} = K_{\text{0,NC}} \cdot (\text{OCR})^{\sin(\phi')} \]
Correction : Calcul de la Contrainte Horizontale au Repos (K0)
Question 1 : Calculer les profils de contraintes verticales
Principe (le concept physique)
La contrainte totale verticale en une profondeur \(z\) est simplement le poids de la colonne de sol située au-dessus de ce point. La pression interstitielle est la pression hydrostatique due à la hauteur d'eau au-dessus du point considéré. La contrainte effective est ensuite la différence entre les deux, représentant la charge réellement supportée par les grains du sol.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul de \(\sigma_{\text{v}}\) se fait en intégrant le poids volumique du sol sur la profondeur : \(\sigma_{\text{v}}(z) = \int_0^z \gamma(h) dh\). Lorsque le sol est stratifié, cela devient une somme discrète du produit de l'épaisseur de chaque couche par son poids volumique. La pression interstitielle est \(u(z) = \gamma_w \cdot h_w\), où \(h_w\) est la hauteur d'eau au-dessus de la profondeur \(z\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul des contraintes verticales est la base de presque tous les problèmes de géotechnique. Il est essentiel de bien distinguer le poids volumique total (\(\gamma\) ou \(\gamma_{\text{sat}}\)) à utiliser pour la contrainte totale, et le poids volumique déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w\)) qui peut être utilisé pour calculer directement la contrainte effective sous la nappe.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) stipule que le calcul des contraintes dans le sol doit prendre en compte les poids volumiques des matériaux, la position des niveaux d'eau et toutes les surcharges en surface. Les valeurs des poids volumiques sont des caractéristiques fondamentales déterminées en laboratoire (norme NF P94-053).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le terrain est horizontal, que les couches de sol sont homogènes et d'épaisseur constante, et que la nappe phréatique est en condition hydrostatique (pas d'écoulement).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Profondeur nappe \(z_w = 2 \, \text{m}\)
- Sable : \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(\gamma_{\text{sat}} = 20 \, \text{kN/m}^3\), épaisseur \(5 \, \text{m}\)
- Argile : \(\gamma_{\text{sat}} = 19 \, \text{kN/m}^3\)
- Eau : \(\gamma_w = 10 \, \text{kN/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il est pratique de calculer les contraintes aux points clés : la surface, le niveau de la nappe, l'interface entre les couches et la base du profil. Entre ces points, les profils de contraintes sont linéaires, il suffit donc de relier les points.
Schéma (Avant les calculs)
Points de calcul des contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule les valeurs aux profondeurs clés (z=0m, 2m, 5m, 10m).
À z = 2 m (niveau de la nappe) :
À z = 5 m (interface sable/argile) :
À z = 10 m (base du profil) :
Schéma (Après les calculs)
Profils de Contraintes Verticales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les profils montrent une augmentation linéaire des contraintes par morceaux, avec une rupture de pente à chaque changement de matériau ou au niveau de la nappe. La contrainte effective augmente avec la profondeur, représentant l'accumulation du poids déjaugé des terres.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'utiliser le mauvais poids volumique. Au-dessus de la nappe, on utilise \(\gamma\). En dessous, on utilise \(\gamma_{\text{sat}}\) pour la contrainte totale. Pour la pression de l'eau, il faut bien mesurer la hauteur d'eau à partir de la surface de la nappe, pas de la surface du sol.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte totale est le poids de tout ce qui est au-dessus (sol + eau).
- La pression interstitielle est le poids de l'eau seule.
- La contrainte effective est la différence des deux. C'est elle qui compte pour la résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans certaines régions, la nappe phréatique peut être "en charge" ou "captive" sous une couche imperméable. Sa pression peut alors être supérieure à la pression hydrostatique. C'est le principe des puits artésiens, où l'eau jaillit naturellement du sol. La connaissance précise du niveau piézométrique est alors cruciale.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte effective verticale \(\sigma'_{\text{v}}\) à 7m de profondeur (en kPa) ?
Question 2 : Calculer le coefficient des terres au repos \(K_0\)
Principe (le concept physique)
Le coefficient \(K_0\) traduit la propension d'un sol à pousser horizontalement sous l'effet de son propre poids. Cette propension dépend de sa nature (son angle de frottement \(\phi'\)) et de son histoire (sa surconsolidation, mesurée par l'OCR). Un sol qui a été fortement chargé dans le passé (OCR élevé) aura "mémorisé" cette compression et poussera plus fort horizontalement qu'un sol normalement consolidé.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule de Jaky, \(K_{\text{0,NC}} = 1 - \sin(\phi')\), est une formule empirique très utilisée pour les sables et argiles normalement consolidées. La formule de Mayne & Kulhawy, \(K_{\text{0,OC}} = (1 - \sin(\phi')) \cdot (\text{OCR})^{\sin(\phi')}\), étend cette relation aux sols surconsolidés, en montrant que \(K_0\) augmente avec l'OCR selon une loi de puissance dont l'exposant dépend lui-même de \(\phi'\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le sable, étant un dépôt récent, est considéré normalement consolidé (OCR=1). Sa formule de \(K_0\) sera donc simple. L'argile, ayant été chargée par le passé (par un glacier ou une couche de sol aujourd'hui érodée), est surconsolidée (OCR>1). Son \(K_0\) sera plus élevé, ce qui signifie qu'à contrainte verticale égale, elle poussera plus fort horizontalement que si elle était normalement consolidée.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 ne prescrit pas de formule unique pour \(K_0\), laissant à l'ingénieur le soin de choisir la corrélation la plus appropriée en fonction du type de sol et de la qualité des données disponibles. Les formules de Jaky et Mayne & Kulhawy sont largement reconnues et acceptées dans la pratique internationale.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour le sable (NC, OCR=1) :
Pour l'argile (OC, OCR > 1) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les formules empiriques de Jaky et de Mayne & Kulhawy sont applicables à ces sols. On considère que l'OCR est constant sur toute l'épaisseur de la couche d'argile.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Sable : \(\phi' = 32^\circ\), OCR = 1
- Argile : \(\phi' = 28^\circ\), OCR = 2.5
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, estimez l'ordre de grandeur. Pour les sables, \(\phi'\) est souvent entre 30° et 40°, donc \(\sin(\phi')\) est entre 0.5 et 0.64. Attendez-vous à un \(K_{0,NC}\) entre 0.36 et 0.5. Pour l'argile OC, \(K_0\) sera supérieur à sa valeur NC, potentiellement proche ou même supérieur à 1.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre OCR et K0
Calcul(s) (l'application numérique)
Pour le sable (\(\phi' = 32^\circ\)) :
Pour l'argile (\(\phi' = 28^\circ\), OCR = 2.5) :
1. Calculer le \(\sin(\phi')\) :
2. Calculer le \(K_0\) de l'argile si elle était normalement consolidée :
3. Appliquer le facteur de surconsolidation :
Schéma (Après les calculs)
Valeurs de K₀ pour chaque couche
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le \(K_0\) de l'argile (0.825) est significativement plus élevé que celui du sable (0.47). Cela signifie que la contrainte horizontale dans l'argile sera une fraction beaucoup plus grande de la contrainte verticale. L'argile "pousse" horizontalement avec près de 83% de son poids vertical effectif, alors que le sable ne pousse qu'avec 47%.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier l'exposant \(\sin(\phi')\) dans la formule de Mayne & Kulhawy, en multipliant simplement par l'OCR. Assurez-vous également que votre calculatrice est en mode degrés pour le calcul du sinus.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(K_0\) dépend de \(\phi'\) (nature du sol) et de l'OCR (histoire du sol).
- Pour les sols NC, \(K_{\text{0,NC}} = 1 - \sin(\phi')\).
- Pour les sols OC, \(K_0\) est plus élevé et se calcule en ajustant la valeur NC avec l'OCR.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Il existe des instruments in-situ, comme le pressiomètre ou le dilatomètre plat, qui permettent de mesurer directement ou d'estimer la contrainte horizontale dans le sol. Ces mesures sont souvent plus fiables que les corrélations empiriques, mais elles sont aussi plus coûteuses et complexes à réaliser.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'OCR de l'argile était de 4, quelle serait la valeur de son \(K_0\) (arrondi à 2 décimales) ?
Question 3 : Calculer les profils de contraintes horizontales
Principe (le concept physique)
Une fois que nous connaissons le profil de contrainte effective verticale (\(\sigma'_{\text{v}}\)) et les valeurs de \(K_0\) pour chaque couche, le calcul de la contrainte effective horizontale (\(\sigma'_{\text{h}}\)) est direct. On applique simplement la définition \(\sigma'_{\text{h}} = K_0 \cdot \sigma'_{\text{v}}\). Enfin, pour obtenir la contrainte totale horizontale, on doit rajouter la pression de l'eau, car elle s'applique de manière isotrope (dans toutes les directions).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul se fait en deux temps. D'abord, on calcule le profil de \(\sigma'_{\text{h}}\) en multipliant le profil de \(\sigma'_{\text{v}}\) par la valeur de \(K_0\) correspondante à chaque profondeur. Notez qu'il y aura une discontinuité dans le profil de \(\sigma'_{\text{h}}\) à l'interface des couches si leurs \(K_0\) sont différents. Ensuite, on calcule la contrainte totale horizontale : \(\sigma_{\text{h}} = \sigma'_{\text{h}} + u\). Comme \(u\) est continu, la discontinuité se reporte sur \(\sigma_{\text{h}}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le traçage des profils est une étape très visuelle qui permet de bien comprendre la distribution des efforts dans le sol. Observez bien la "forme" des différents profils : \(\sigma_{\text{v}}\), \(u\), et \(\sigma'_{\text{v}}\) sont toujours des lignes brisées qui augmentent avec la profondeur. En revanche, \(\sigma'_{\text{h}}\) et \(\sigma_{\text{h}}\) peuvent avoir des "sauts" aux interfaces, ce qui est un point important.
Normes (la référence réglementaire)
Les profils de contraintes horizontales sont le point de départ pour le calcul des poussées sur les écrans de soutènement (murs, palplanches) selon les méthodes de Rankine ou Coulomb, qui sont codifiées dans l'Eurocode 7.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique les hypothèses précédentes sur l'état "au repos" du massif, sans déformation latérale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Profils de \(\sigma'_{\text{v}}\) et \(u\) (calcul Q1)
- \(K_0\) du sable = 0.47 (calcul Q2)
- \(K_0\) de l'argile = 0.825 (calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez les valeurs de \(\sigma'_{\text{h}}\) et \(\sigma_{\text{h}}\) aux mêmes points clés que pour les contraintes verticales. Pour l'interface à 5m, il faut calculer la contrainte juste au-dessus (dans le sable) et juste en dessous (dans l'argile), car \(K_0\) change brusquement.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre les contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule les valeurs aux profondeurs clés.
À z = 2 m : (\(\sigma'_{\text{v}}=36\), \(u=0\))
À z = 5 m (juste au-dessus, dans le sable) : (\(\sigma'_{\text{v}}=66\), \(u=30\))
À z = 5 m (juste en dessous, dans l'argile) : (\(\sigma'_{\text{v}}=66\), \(u=30\))
À z = 10 m : (\(\sigma'_{\text{v}}=111\), \(u=80\))
Schéma (Après les calculs)
Profils de Contraintes Horizontales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le profil de contrainte horizontale effective \(\sigma'_{\text{h}}\) présente un "saut" notable à l'interface sable/argile, passant de 31 kPa à 54.5 kPa. Cela est dû uniquement au changement de \(K_0\), car la contrainte verticale effective est continue. Cet effet de "verrouillage" des contraintes dans la couche surconsolidée est un phénomène très important en géotechnique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas d'ajouter la pression de l'eau \(u\) à la contrainte effective horizontale \(\sigma'_{\text{h}}\) pour obtenir la contrainte totale \(\sigma_{\text{h}}\). C'est la contrainte totale qui est ressentie par une structure (comme un mur de sous-sol), car la structure doit retenir à la fois les grains de sol et l'eau.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\sigma'_{\text{h}}\) est le produit de \(\sigma'_{\text{v}}\) et de \(K_0\).
- \(\sigma_{\text{h}}\) est la somme de \(\sigma'_{\text{h}}\) et de la pression de l'eau \(u\).
- Il peut y avoir des discontinuités de contraintes horizontales aux interfaces des couches.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La construction d'un mur de soutènement ou l'excavation d'un sous-sol modifie cet état de contrainte "au repos". Le sol se déplace légèrement vers l'excavation, ce qui mobilise sa résistance. La contrainte horizontale diminue et tend vers un état "actif" (poussée). À l'inverse, si on pousse le mur contre le sol, la contrainte augmente vers un état "passif" (butée).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la contrainte totale horizontale \(\sigma_{\text{h}}\) à 7m de profondeur (en kPa) ?
Outil Interactif : Profils de Contraintes
Modifiez les paramètres du sol pour visualiser leur impact sur les contraintes horizontales.
Paramètres d'Entrée
Contraintes à 10m de profondeur
Le Saviez-Vous ?
La formule de Jaky, \(K_0 = 1 - \sin(\phi')\), bien que largement utilisée, a été initialement proposée par son auteur comme une approximation d'une formule plus complexe dérivée de la mécanique des particules. Fait intéressant, Jaky lui-même n'a jamais publié cette version simplifiée ! C'est Terzaghi qui l'a popularisée dans ses écrits, et elle est restée la formule la plus courante depuis.
Pourquoi \(K_0\) est-il défini avec les contraintes effectives ?
Parce que le comportement mécanique du sol (sa résistance, sa déformation) est gouverné par les forces de contact entre les grains, qui sont représentées par la contrainte effective. La pression de l'eau (\(u\)) est une pression hydrostatique qui agit dans toutes les directions et ne contribue pas à la résistance au cisaillement. Il est donc plus fondamental de relier les contraintes effectives entre elles.
Que se passe-t-il si le terrain n'est pas horizontal ?
Si le terrain est en pente, l'état de contrainte n'est plus "au repos". Des contraintes de cisaillement existent le long des plans parallèles à la pente, dues à la composante du poids du sol qui tend à le faire glisser. Le calcul des contraintes devient alors plus complexe et fait intervenir l'analyse de la stabilité des pentes.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'OCR d'un sol augmente, sa valeur de \(K_0\) a tendance à...
2. Une remontée de la nappe phréatique (sans changer la contrainte totale)...
- Contrainte Effective (\(\sigma'\))
- Partie de la contrainte totale dans un sol qui est supportée par le squelette solide (les grains). Elle est calculée comme la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle.
- Coefficient des Terres au Repos (\(K_0\))
- Rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale dans un massif de sol où aucune déformation latérale ne peut se produire.
- Rapport de Surconsolidation (OCR)
- Rapport entre la contrainte effective verticale maximale que le sol a subie dans le passé et la contrainte effective verticale actuelle. Un OCR de 1 signifie que le sol est normalement consolidé.
- Nappe Phréatique
- Niveau dans le sol en dessous duquel les pores du sol sont complètement saturés d'eau. La pression de l'eau à ce niveau est égale à la pression atmosphérique.
D’autres exercices de mécanique des sols:
0 commentaires