Stabilité d'une Excavation Anisotrope
Contexte : Le défi de l'excavation en milieu rocheux anisotropeSe dit d'un matériau dont les propriétés mécaniques (résistance, déformabilité) varient en fonction de la direction de la sollicitation..
Cet exercice porte sur l'analyse de la stabilité d'un tunnel circulaire creusé dans un massif de schiste. La particularité de cette roche est sa schistositéFeuilletage caractéristique de certaines roches métamorphiques, comme les schistes, qui crée des plans de faiblesse mécanique le long desquels la roche peut facilement se rompre ou glisser., un feuilletage qui engendre un comportement mécanique anisotrope. La résistance de la roche n'est pas la même dans toutes les directions, ce qui complique grandement le dimensionnement et la prévision de la stabilité de l'ouvrage souterrain. Nous allons évaluer comment l'orientation de ces plans de faiblesse influence le risque de rupture autour du tunnel.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un cas pratique fondamental en mécanique des roches. Il vous apprendra à ne pas vous limiter aux modèles isotropes et à intégrer l'analyse de la rupture le long de discontinuités, qui est souvent le mode de ruine prédominant dans les massifs rocheux stratifiés ou feuilletés.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et quantifier l'impact de l'anisotropie sur la résistance d'un massif rocheux.
- Calculer les contraintes induites par le creusement d'un tunnel en utilisant les formules de KirschSolution analytique classique de la théorie de l'élasticité qui donne la répartition des contraintes autour d'un trou circulaire dans un milieu infini..
- Appliquer le critère de Hoek-BrownUn modèle empirique utilisé pour estimer la résistance des massifs rocheux fracturés, en se basant sur la résistance de la roche intacte et la qualité du massif (GSI). pour évaluer la résistance de la matrice rocheuse.
- Utiliser le critère de Mohr-CoulombUn modèle mathématique décrivant la rupture par cisaillement des matériaux. Il est très utilisé pour modéliser la résistance au glissement le long des discontinuités (failles, joints, schistosité). pour analyser la stabilité d'un plan de faiblesse.
- Déterminer le mode de rupture le plus probable en comparant les différents mécanismes.
Données de l'étude
Configuration du problème
Visualisation 3D de l'Excavation et de la Schistosité
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de la roche | \(\rho\) | 2.7 | \(\text{t/m}^3\) |
| Rapport de contrainte in-situ | \(k_0 = \sigma_h / \sigma_v\) | 1.2 | - |
| Résistance en compression uniaxiale (roche intacte) | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 50 | \(\text{MPa}\) |
| Constante du matériau (Hoek-Brown) | \(m_i\) | 12 | - |
| Indice de Qualité Géologique (GSI) | \(\text{GSI}\) | 45 | - |
| Cohésion des plans de schistosité | \(c'\) | 0.1 | \(\text{MPa}\) |
| Angle de frottement des plans de schistosité | \(\phi'\) | 25 | ° |
Questions à traiter
- Calculer les contraintes in-situ (verticale \(\sigma_v\) et horizontale \(\sigma_h\)) à la profondeur du tunnel.
- Déterminer, via les formules de Kirsch, la contrainte tangentielle (\(\sigma_\theta\)) à la couronne (sommet) et aux piédroits (parois latérales) du tunnel.
- Évaluer la résistance de la matrice rocheuse (entre les plans de schistosité) à la couronne en utilisant le critère de Hoek-Brown. Conclure sur la stabilité de la matrice.
- Analyser la stabilité par glissement le long des plans de schistosité à la couronne en utilisant le critère de Mohr-Coulomb. Conclure sur le mode de rupture le plus probable.
Les bases sur la Stabilité des Tunnels et l'Anisotropie
Pour résoudre cet exercice, nous mobiliserons trois concepts clés de la mécanique des roches.
1. Contraintes autour d'un tunnel circulaire (Kirsch)
Le creusement d'un tunnel redistribue les contraintes initiales du massif. Pour une excavation circulaire dans un champ de contrainte biaxial, les contraintes en paroi (\(r=a\), où \(a\) est le rayon) sont données par :
\[ \sigma_r = 0 \]
\[ \sigma_\theta = \sigma_h(1+k_0) - 2(\sigma_h - \sigma_v)\cos(2\theta) = \sigma_v(1+k_0) - 2(\sigma_v k_0 - \sigma_v)\cos(2\theta) \]
Où \(\theta\) est l'angle mesuré depuis le piédroit droit (à 3h).
2. Critère de Rupture de Hoek-Brown
Il estime la résistance d'un massif rocheux fracturé. La rupture se produit si :
\[ \sigma'_1 > \sigma'_3 + \sigma_{\text{ci}} \left( m_b \frac{\sigma'_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)^a \]
Où \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) sont les contraintes principales majeure et mineure efficaces. Les paramètres \(m_b, s, a\) dépendent du GSI. Pour \(\sigma'_3 = 0\), la résistance en compression du massif est \(\sigma_{\text{cm}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot s^a\).
3. Critère de Mohr-Coulomb pour une discontinuité
Il définit la condition de glissement sur un plan. Le glissement se produit si la contrainte de cisaillement (\(\tau\)) sur le plan dépasse sa résistance (\(\tau_{\text{res}}\)) :
\[ \tau > \tau_{\text{res}} = c' + \sigma'_n \tan(\phi') \]
Où \(\sigma'_n\) est la contrainte normale efficace sur le plan, \(c'\) la cohésion et \(\phi'\) l'angle de frottement du plan.
Correction : Stabilité d'une Excavation Anisotrope
Question 1 : Calcul des contraintes in-situ
Principe
Les contraintes initiales dans le massif rocheux à une profondeur H sont dues au poids des terrains sus-jacents. La contrainte verticale (\(\sigma_v\)) est directement liée à ce poids, tandis que la contrainte horizontale (\(\sigma_h\)) est proportionnelle à la verticale via le coefficient \(k_0\), qui reflète l'histoire tectonique du site.
Mini-Cours
Le concept de contrainte lithostatique : Dans un massif homogène et non soumis à des forces tectoniques horizontales, on s'attendrait à ce que \(k_0\) soit inférieur à 1. Un \(k_0 > 1\) comme ici indique que le massif a subi des compressions horizontales par le passé, qui sont restées "verrouillées" dans la roche. C'est une situation très courante dans les chaînes de montagnes anciennes.
Remarque Pédagogique
La détermination des contraintes initiales est l'étape la plus cruciale et souvent la plus difficile d'un projet géotechnique. Une erreur à ce stade se propage à tous les calculs de stabilité ultérieurs. C'est pourquoi on réalise des mesures in-situ (ex: essais de fracturation hydraulique) pour les projets importants.
Normes
Le calcul des contraintes lithostatiques est un principe de base de la mécanique des milieux continus. Il ne provient pas d'une norme spécifique mais est le point de départ de toutes les analyses de stabilité, comme celles préconisées par l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique).
Formule(s)
Formule de la contrainte verticale :
Formule de la contrainte horizontale :
Hypothèses
- Le massif rocheux a une masse volumique constante sur toute la hauteur H.
- La surface du sol est horizontale.
- L'accélération de la pesanteur \(g\) est prise égale à 9.81 m/s².
Donnée(s)
- \(\rho = 2.7 \text{ t/m³} = 2700 \text{ kg/m³}\)
- \(H = 300 \text{ m}\)
- \(k_0 = 1.2\)
Astuces
Pour un calcul d'ordre de grandeur rapide, on peut approximer \(\rho \cdot g \approx 0.025\) MN/m³ ou MPa/100m. Ainsi, pour 300 m de profondeur, on s'attend à une contrainte verticale d'environ \(3 \times 2.5 = 7.5\) MPa, ce qui est très proche de notre calcul précis.
Schéma (Avant les calculs)
État des contraintes initiales
Calcul(s)
Calcul de la contrainte verticale :
Calcul de la contrainte horizontale :
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des contraintes initiales
Réflexions
Le fait que la contrainte horizontale soit supérieure à la verticale (\(k_0=1.2\)) est un point clé. Cela signifie que le tunnel sera plus "serré" horizontalement que verticalement, ce qui aura un impact direct sur la répartition des contraintes autour de l'excavation.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Toujours convertir la masse volumique en kg/m³ et s'assurer que le résultat final est bien en MPa (1 MPa = \(10^6\) Pa) pour être cohérent avec les autres données de résistance.
Points à retenir
- La contrainte verticale est due au poids des terres : \(\sigma_v = \gamma H\).
- La contrainte horizontale est proportionnelle à la verticale : \(\sigma_h = k_0 \sigma_v\).
Le saviez-vous ?
Le concept de contrainte effective, introduit par Karl von Terzaghi en 1923, est fondamental. Si le massif contenait de l'eau sous pression (pression interstitielle \(u\)), les contraintes que nous avons calculées seraient des contraintes totales. La contrainte effective, qui contrôle la résistance de la roche, serait \(\sigma' = \sigma - u\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le tunnel était creusé à 500 m de profondeur dans le même massif, quelle serait la contrainte verticale \(\sigma_v\) ?
Question 2 : Contraintes tangentielles en paroi
Principe
Le creusement d'un vide dans un champ de contrainte provoque une redistribution et une concentration des contraintes autour de l'ouverture. Les équations de Kirsch (1898) décrivent ce phénomène pour un tunnel circulaire dans un milieu élastique, infini et homogène.
Mini-Cours
La concentration de contrainte : Imaginez des lignes de force traversant le massif. En rencontrant le vide du tunnel, ces lignes sont obligées de le contourner. Ce "resserrement" des lignes de force sur les bords du tunnel se traduit par une augmentation de la contrainte. C'est la contrainte tangentielle \(\sigma_\theta\). La contrainte radiale \(\sigma_r\), elle, devient nulle en paroi, car il n'y a plus de matière à l'intérieur du tunnel pour pousser vers l'extérieur.
Remarque Pédagogique
Les formules de Kirsch sont une simplification. Dans la réalité, le comportement de la roche n'est pas parfaitement élastique (il peut être plastique) et le massif n'est pas infini. Cependant, elles donnent une excellente première approximation, surtout à une certaine distance de la paroi.
Normes
Les équations de Kirsch sont une solution analytique classique de la théorie de l'élasticité. Elles ne sont pas une norme mais un outil fondamental enseigné dans tous les cours de mécanique des roches et utilisé pour la validation de modèles numériques plus complexes.
Formule(s)
Contrainte radiale en paroi :
Formule générale de la contrainte tangentielle (Kirsch) :
Hypothèses
- Le massif rocheux se comporte de manière élastique, homogène et isotrope.
- L'analyse est bidimensionnelle (déformations planes).
- Les contraintes initiales \(\sigma_v\) et \(\sigma_h\) sont les contraintes principales.
Donnée(s)
- \(\sigma_v = 7.95 \text{ MPa}\) (calculé en Q1)
- \(\sigma_h = 9.54 \text{ MPa}\) (calculé en Q1)
- Couronne (sommet) : \(\theta = 90^\circ\) (\(\cos(180^\circ) = -1\))
- Piédroits (parois latérales) : \(\theta = 0^\circ\) (\(\cos(0^\circ) = 1\))
Astuces
Pour mémoriser les formules simplifiées, retenez que la contrainte tangentielle maximale est toujours \(3 \times (\text{contrainte lointaine maximale}) - (\text{contrainte lointaine minimale})\). Ici, \(\sigma_h > \sigma_v\), donc la contrainte maximale se produira à la couronne et vaudra \(3\sigma_h - \sigma_v\).
Schéma (Avant les calculs)
Points d'analyse autour du tunnel
Calcul(s)
Calcul pour les piédroits (\(\theta=0^\circ\)) :
Calcul pour la couronne (\(\theta=90^\circ\)) :
Schéma (Après les calculs)
Concentration des contraintes
Réflexions
La contrainte est maximale à la couronne (20.67 MPa), soit environ 2.2 fois la contrainte horizontale initiale. C'est donc à la couronne et à la base du tunnel (le radier) que les problèmes d'instabilité de la roche sont les plus susceptibles d'apparaître.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est de se tromper dans l'angle \(\theta\). Il est crucial de bien définir l'origine (ici, le piédroit droit) et le sens de rotation. Attention aussi au \(2\theta\) dans le cosinus !
Points à retenir
- Le creusement d'un tunnel concentre les contraintes en paroi.
- La contrainte tangentielle \(\sigma_\theta\) est maximale là où la paroi est perpendiculaire à la contrainte principale majeure du champ lointain.
Le saviez-vous ?
Les tunnels anciens, comme ceux creusés par les Romains, avaient souvent une forme d'œuf ou de fer à cheval. Intuitivement, leurs constructeurs avaient compris que cette forme était plus efficace qu'un cercle pour reprendre les contraintes verticales dues au poids des terres, qui était le cas le plus courant pour les tunnels peu profonds.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le champ de contrainte était isotrope (\(k_0=1\)), quelle serait la valeur de \(\sigma_\theta\) à la couronne ?
Question 3 : Stabilité de la matrice rocheuse (Hoek-Brown)
Principe
On compare la sollicitation maximale (la contrainte principale majeure \(\sigma'_1\)) à la résistance du massif rocheux dans les mêmes conditions. Si la sollicitation dépasse la résistance, il y a rupture. On utilise le critère de Hoek-Brown, qui est spécifiquement conçu pour les massifs rocheux fracturés, en opposition à la roche intacte.
Mini-Cours
Du GSI à la résistance : L'Indice de Qualité Géologique (GSI) est une note visuelle (de 0 à 100) qui décrit la qualité structurale du massif (est-il "en blocs" ou "en sucre" ?) et l'état des surfaces des discontinuités (sont-elles propres, rugueuses, altérées ?). Le critère de Hoek-Brown utilise cette note, ainsi que la résistance du petit échantillon de roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)), pour estimer la résistance à grande échelle du massif complet, qui est toujours bien inférieure à celle de la roche intacte.
Remarque Pédagogique
Cette question analyse la rupture "dans la masse". Elle suppose que la roche se brise à travers les blocs de roche intacte et les fissures. La question suivante analysera un autre mécanisme : le glissement le long d'un plan de faiblesse déjà existant (la schistosité). Un ingénieur doit toujours vérifier plusieurs modes de rupture possibles.
Normes
Le critère de Hoek-Brown n'est pas une norme mais une méthode empirique mondialement reconnue. Des ouvrages de référence comme le "Rock Mass Classification - GSI" de Hoek, Carranza-Torres & Corkum (2002) en détaillent l'application.
Formule(s)
Formule du paramètre \(s\) de Hoek-Brown :
Formule du paramètre \(a\) de Hoek-Brown :
Formule de la résistance en compression du massif rocheux :
Hypothèses
- Le facteur de perturbation D est nul (D=0), ce qui suppose des techniques d'excavation de bonne qualité (pas de sur-endommagement par des explosifs mal contrôlés).
- Le critère de Hoek-Brown est applicable à ce type de schiste.
Donnée(s)
- \(\text{GSI} = 45\)
- \(\sigma_{\text{ci}} = 50 \text{ MPa}\)
- Sollicitation à la couronne : \(\sigma'_1 = \sigma_{\theta, \text{couronne}} = 20.67 \text{ MPa}\)
Astuces
Les calculs des paramètres \(s\) et \(a\) peuvent être fastidieux. Pour des projets réels, on utilise des logiciels ou des abaques spécialisés (comme RocData de Rocscience) qui automatisent ces calculs et tracent les courbes de résistance.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
Calcul(s)
Application numérique pour le paramètre \(s\) :
Application numérique pour le paramètre \(a\) :
Application numérique pour la résistance du massif \(\sigma_{\text{cm}}\) :
Schéma (Après les calculs)
Position du point de contrainte
Réflexions
La contrainte tangentielle à la couronne (\(20.67 \text{ MPa}\)) est plus de 10 fois supérieure à la résistance en compression du massif rocheux (\(2.01 \text{ MPa}\)). Cela indique une rupture généralisée de la matrice rocheuse à la couronne et au radier. Le tunnel est très instable et un soutènement lourd (cintres, béton projeté...) sera nécessaire dès l'excavation.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser la résistance de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}} = 50\) MPa) pour un calcul de stabilité de massif ! C'est une erreur classique qui conduirait à une conclusion erronée (50 > 20.67, donc stable), avec des conséquences potentiellement catastrophiques.
Points à retenir
- La résistance d'un massif rocheux est dictée par ses fractures et est bien plus faible que celle de la roche intacte.
- Le GSI est l'indice clé pour passer de la roche intacte au massif rocheux via le critère de Hoek-Brown.
Le saviez-vous ?
Le GSI a été développé par Evert Hoek dans les années 1990 pour remédier aux limitations des classifications plus anciennes (comme le RMR de Bieniawski) dans les massifs de très mauvaise qualité. Il est aujourd'hui l'un des outils les plus utilisés au monde en ingénierie des roches.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la résistance du massif \(\sigma_{\text{cm}}\) si le GSI était estimé à 55 (massif de qualité moyenne).
Question 4 : Stabilité par glissement sur les plans de schistosité
Principe
On vérifie si la "tranche" de roche au contact du tunnel peut glisser le long d'un plan de schistosité. Pour cela, on décompose la contrainte tangentielle \(\sigma_\theta\) en une composante normale (\(\sigma_n\), qui "plaque" la tranche contre le massif) et une composante de cisaillement (\(\tau\), qui la "pousse" le long du plan). On compare ensuite ce cisaillement moteur à la résistance du plan, donnée par le critère de Mohr-Coulomb.
Mini-Cours
Le Cercle de Mohr : C'est un outil graphique puissant pour visualiser la transformation des contraintes. Il permet de trouver les contraintes \(\sigma_n\) et \(\tau\) sur n'importe quel plan incliné à un angle \(\alpha\) par rapport aux contraintes principales \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\). Les formules que nous utilisons sont la traduction mathématique de cette construction graphique.
Remarque Pédagogique
Cette analyse est un calcul de "stabilité locale". Elle nous dit si un bloc à la paroi du tunnel est stable. Elle ne nous dit pas si un grand volume de roche va glisser. Cependant, l'instabilité locale est souvent le précurseur d'une rupture plus globale.
Normes
Le critère de Mohr-Coulomb est, comme celui de Hoek-Brown, un pilier de la géotechnique enseigné et utilisé partout. Il est implicitement ou explicitement utilisé dans les calculs de stabilité de pente, de fondations et de soutènements de l'Eurocode 7.
Formule(s)
Formule de la contrainte normale sur un plan incliné :
Formule de la contrainte de cisaillement sur un plan incliné :
Formule de la résistance au cisaillement (Mohr-Coulomb) :
Hypothèses
- Les plans de schistosité sont considérés comme des discontinuités continues à l'échelle de l'étude.
- Les contraintes principales à la couronne sont \(\sigma'_1 = \sigma_\theta\) (horizontale) et \(\sigma'_3 = \sigma_r = 0\) (radiale).
- Les propriétés (c', \(\phi'\)) des plans sont constantes.
Donnée(s)
- \(\sigma'_1 = 20.67 \text{ MPa}\), \(\sigma'_3 = 0 \text{ MPa}\)
- \(c' = 0.1 \text{ MPa}\), \(\phi' = 25^\circ\)
- Angle du plan \(\beta = 45^\circ\), donc angle de calcul \(\alpha = 45^\circ\)
Astuces
Le cisaillement maximal (\(\tau_{\text{max}}\)) se produit toujours sur les plans orientés à 45° par rapport à \(\sigma'_1\). Comme notre schistosité est justement à 45°, on peut s'attendre à ce que ce soit le cas le plus défavorable pour le cisaillement moteur.
Schéma (Avant les calculs)
Cercle de Mohr et critère de rupture
Calcul(s)
Calcul de la contrainte normale \(\sigma_n\) sur le plan :
Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau\) sur le plan :
Calcul de la résistance au cisaillement \(\tau_{\text{res}}\) du plan :
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la stabilité du plan
Réflexions
La contrainte de cisaillement agissant le long du plan (\(\tau = 10.34\) MPa) est plus du double de la résistance au cisaillement de ce même plan (\(\tau_{\text{res}} = 4.92\) MPa). Le glissement est donc non seulement certain, mais il se produira avec une grande marge. Les deux modes de rupture (matrice et plan) sont prédits, ce qui indique une très forte instabilité générale.
Points de vigilance
Vérifiez que votre calculatrice est en mode "degrés" pour \(\tan(25^\circ)\) ! C'est une source d'erreur très fréquente. De plus, ne confondez pas l'angle du plan (\(\beta\)) avec l'angle de calcul (\(\alpha\)), même si dans ce cas précis ils sont égaux.
Points à retenir
- La stabilité d'une roche anisotrope dépend crucialement de l'orientation des plans de faiblesse par rapport au champ de contrainte.
- Le mode de rupture est celui qui se produit pour la plus faible sollicitation (ou qui a le plus faible facteur de sécurité). Ici, les deux sont très instables.
Le saviez-vous ?
La catastrophe du barrage de Malpasset en 1959, en France, est un cas d'école tragique d'une mauvaise prise en compte de la géologie. La rupture du barrage a été initiée par le glissement de la fondation rocheuse (un gneiss) le long de plans de faiblesse (une faille) dont la faible résistance au cisaillement n'avait pas été correctement évaluée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le Facteur de Sécurité (FoS = \(\tau_{\text{res}} / \tau\)) pour cette question.
Outil Interactif : Stabilité et Anisotropie
Ce simulateur permet d'explorer l'influence de l'inclinaison de la schistosité (\(\beta\)) et du rapport de contrainte (\(k_0\)) sur la stabilité au glissement à la couronne du tunnel. Le Facteur de Sécurité (FoS) est calculé comme le rapport \(\tau_{\text{res}} / \tau\). Un FoS < 1 indique une rupture.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (à la couronne)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal de l'anisotropie dans un massif rocheux ?
2. Pour un état de contrainte donné, la rupture par glissement sur un plan de faiblesse est la plus probable lorsque le plan est orienté...
- Anisotropie
- Propriété d'un matériau dont les caractéristiques (mécaniques, thermiques, etc.) dépendent de la direction de la mesure. Pour une roche, cela signifie que sa résistance varie avec l'orientation de la contrainte.
- Schistosité
- Feuilletage caractéristique de certaines roches métamorphiques, comme les schistes, qui crée des plans de faiblesse mécanique le long desquels la roche peut facilement se rompre ou glisser.
- Critère de Hoek-Brown
- Un modèle empirique utilisé pour estimer la résistance des massifs rocheux fracturés, en se basant sur la résistance de la roche intacte et la qualité du massif (GSI).
- Critère de Mohr-Coulomb
- Un modèle mathématique décrivant la rupture par cisaillement des matériaux. Il est très utilisé pour modéliser la résistance au glissement le long des discontinuités (failles, joints, schistosité).
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