ÉTUDE GÉOTECHNIQUE

Interprétation d’un Essai en Colonne Résonante

Exercice : Interprétation d'un Essai en Colonne Résonante

Interprétation d'un Essai en Colonne Résonante

Contexte : Le Module de CisaillementLe module de cisaillement (G) est une mesure de la rigidité d'un matériau au cisaillement. Il décrit la tendance d'un matériau à se déformer sous l'effet d'une contrainte de cisaillement. des sols.

L'essai en colonne résonante est une méthode de laboratoire fondamentale en dynamique des sols. Il permet de déterminer l'évolution du module de cisaillement (G) et de l'amortissement (D) en fonction de la déformation. Ces paramètres sont cruciaux pour les études de réponse sismique des sites, les interactions sol-structure, et le dimensionnement des fondations de machines. Cet exercice vous guidera à travers le processus de dépouillement des données brutes pour obtenir la courbe de dégradation de la rigidité du sol.

Remarque Pédagogique : Comprendre comment la rigidité d'un sol diminue lorsque la déformation augmente est essentiel. Un sol se comporte de manière non-linéaire, et cet exercice illustre comment quantifier cette non-linéarité, une compétence clé pour tout ingénieur géotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les propriétés physiques initiales d'un échantillon de sol (masse volumique, indice des vides).
  • Traiter les données brutes d'un essai en colonne résonante (fréquence, accélération) pour déterminer la vitesse de l'onde de cisaillement et la déformation.
  • Calculer le module de cisaillement G à différents niveaux de déformation.
  • Déterminer le module de cisaillement maximal Gmax.
  • Tracer et interpréter la courbe de dégradation normalisée (\(G/G_{\text{max}}\) vs. \(\gamma\)).

Données de l'étude

Un essai en colonne résonante a été réalisé sur un échantillon de sable sec de Hostun, reconstitué en laboratoire et soumis à une pression de confinement isotrope de 100 kPa.

Fiche Technique de l'Échantillon et de l'Appareil
Caractéristique Valeur
Diamètre de l'échantillon (D) 70 mm
Hauteur de l'échantillon (H) 140 mm
Masse de sable sec (Ms) 850 g
Masse volumique des grains (Gs) 2.65
Distance de l'accéléromètre à l'axe (\(R_{\text{accel}}\)) 50 mm
Facteur de l'appareil (\(\beta\)) 1.80 (valeur simplifiée constante)
Schéma de l'Appareil de Colonne Résonante
Cellule de Confinement (Pression σ'c) Embase Fixe H Système d'Entraînement (Bobines & Aimants) Accel.
Étape Accélération Crête (g) Fréquence de Résonance (Hz)
11.00E-04150.2
25.00E-04150.0
31.00E-03149.5
45.00E-03147.0
51.00E-02142.1
65.00E-02125.5
71.00E-01110.3

Questions à traiter

  1. Calculer le volume total \(V\), la masse volumique sèche \(\rho_d\), et l'indice des vides \(e\) de l'échantillon.
  2. Pour la première mesure (plus faible déformation), calculer la vitesse de l'onde de cisaillement \(V_{\text{s,max}}\) et en déduire le module de cisaillement maximal \(G_{\text{max}}\).
  3. Pour chaque mesure de l'essai, calculer la déformation angulaire moyenne \(\gamma\) (en %).
  4. Pour chaque mesure de l'essai, calculer la vitesse de l'onde de cisaillement \(V_s\) et le module de cisaillement \(G\). Compléter un tableau de résultats.
  5. Tracer la courbe de dégradation \(G/G_{\text{max}}\) en fonction de la déformation \(\gamma\) (avec \(\gamma\) sur une échelle logarithmique).

Les bases de la Colonne Résonante

L'essai consiste à faire vibrer en torsion un échantillon de sol cylindrique à sa fréquence de résonance. En mesurant cette fréquence et l'amplitude de la vibration, on peut remonter aux propriétés dynamiques du sol.

1. Vitesse de l'onde de cisaillement (\(V_s\))
Elle est directement liée à la fréquence de résonance \(f_r\) et aux dimensions de l'échantillon. Pour un système à base fixe et tête libre, la relation est complexe. On utilise une forme simplifiée : \[ V_s = \frac{2 \pi f_r H}{\beta} \] Où \(H\) est la hauteur de l'échantillon et \(\beta\) est un facteur qui dépend de la géométrie et des inerties de l'appareil et de l'échantillon.

2. Module de cisaillement (\(G\))
Le module de cisaillement est lié à la vitesse de l'onde par la relation fondamentale de l'élasticité : \[ G = \rho \cdot V_s^2 \] Où \(\rho\) est la masse volumique du sol (ici, la masse volumique sèche \(\rho_d\)).

3. Déformation de cisaillement (\(\gamma\))
La déformation est calculée à partir de l'accélération mesurée en tête. L'angle de torsion \(\theta\) est d'abord calculé : \[ \theta = \frac{a_{\text{crête}}}{\omega_r^2 \cdot R_{\text{accel}}} \quad \text{avec} \quad \omega_r = 2 \pi f_r \] Puis la déformation moyenne dans l'échantillon est donnée par : \[ \gamma = \frac{\theta \cdot r_{\text{a}}}{H} \] Où \(r_{\text{a}}\) est un rayon effectif, souvent pris comme 0.8 fois le rayon de l'échantillon pour un cylindre plein.

Correction : Interprétation d'un Essai en Colonne Résonante

Question 1 : Calcul des propriétés initiales

Principe

Le concept physique est de caractériser l'état initial de l'échantillon de sol. Avant tout essai mécanique, il est impératif de connaître sa compacité, car elle influence directement son comportement. Nous mesurons cela via sa masse volumique (la masse par unité de volume) et son indice des vides (le rapport du volume des vides au volume des grains solides).

Mini-Cours

En mécanique des sols, un échantillon est un assemblage de grains solides et de vides (remplis d'air pour un sol sec). La masse volumique sèche (\(\rho_d\)) ne considère que la masse des grains solides divisée par le volume total. L'indice des vides (\(e\)) est un paramètre fondamental qui quantifie la proportion de vide ; un \(e\) faible signifie un sol dense, et un \(e\) élevé, un sol lâche.

Remarque Pédagogique

Pensez à ces paramètres comme à la carte d'identité de votre échantillon. Sans eux, impossible d'interpréter correctement les résultats de l'essai. Cette première étape est systématique et cruciale dans tout essai de laboratoire en géotechnique.

Normes

Le calcul de ces paramètres est une pratique de base en laboratoire. Les procédures de mesure de masse et de dimensions sont standardisées, par exemple dans les normes ASTM D7263 (pour la masse volumique) ou NF P94-053.

Formule(s)

Formule du volume d'un cylindre

\[ V = \frac{\pi D^2}{4} \cdot H \]

Formule de la masse volumique sèche

\[ \rho_d = \frac{M_s}{V} \]

Formule de l'indice des vides

\[ e = \frac{G_s \cdot \rho_w}{\rho_d} - 1 \]
Donnée(s)
  • \(D = 70 \text{ mm} = 0.070 \text{ m}\)
  • \(H = 140 \text{ mm} = 0.140 \text{ m}\)
  • \(M_s = 850 \text{ g} = 0.850 \text{ kg}\)
  • \(G_s = 2.65\)
  • \(\rho_w\) (masse volumique de l'eau) \(\approx 1000 \text{ kg/m}^3\)
Astuces

Pour éviter les erreurs, convertissez toujours toutes vos unités en Système International (mètres, kilogrammes) avant de commencer les calculs. Une erreur fréquente est d'oublier de convertir les grammes en kilogrammes ou les millimètres en mètres.

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de l'Échantillon Cylindrique
HD
Calcul(s)

Calcul du volume \(V\)

\[ \begin{aligned} V &= \frac{\pi \cdot (0.070 \text{ m})^2}{4} \cdot 0.140 \text{ m} \\ &= 5.3878 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Calcul de la masse volumique sèche \(\rho_d\)

\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{0.850 \text{ kg}}{5.3878 \times 10^{-4} \text{ m}^3} \\ &= 1577.7 \text{ kg/m}^3 \end{aligned} \]

Calcul de l'indice des vides \(e\)

\[ \begin{aligned} e &= \frac{G_s \cdot \rho_w}{\rho_d} - 1 \\ &= \frac{2.65 \cdot 1000 \text{ kg/m}^3}{1577.7 \text{ kg/m}^3} - 1 \\ &= 1.6796 - 1 \\ &= 0.680 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Propriétés Initiales de l'Échantillon
Échantillon de SolZoomρd = 1578 kg/m³e = 0.680
Réflexions

L'indice des vides de 0.680 pour un sable de Hostun indique un état de compacité moyenne. Ce n'est ni un sable très lâche, ni un sable très dense. Cette information est cohérente et nous permet de valider que nos calculs sont plausibles avant de continuer.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la gestion des unités. Vérifiez trois fois que \(D\) et \(H\) sont en mètres et que \(M_s\) est en kilogrammes. Une autre erreur courante est d'inverser la formule de l'indice des vides.

Points à retenir
  • La masse volumique et l'indice des vides sont les paramètres fondamentaux décrivant l'état d'un sol.
  • La formule \(e = (G_s \cdot \rho_w / \rho_d) - 1\) est essentielle et doit être maîtrisée.
  • La rigueur sur les unités est non négociable.
Le saviez-vous ?

Pour les sables, l'indice des vides varie typiquement de 0.4 (très dense) à 1.0 (très lâche). Notre valeur de 0.680 se situe bien dans cette plage, confirmant que l'échantillon est représentatif d'un état de sable commun.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on la masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) pour un échantillon sec ?

C'est une excellente question. La formule de \(e\) compare la masse volumique sèche \(\rho_d\) à la masse volumique "théorique" des grains \(G_s \cdot \rho_w\). C'est une manière indirecte de calculer la part de volume occupée par les solides pour en déduire la part de volume occupée par les vides.

Résultat Final
L'échantillon a une masse volumique sèche de 1578 kg/m³ et un indice des vides de 0.680.
A vous de jouer

Si la masse de sable sec avait été de 900 g, quel aurait été le nouvel indice des vides ? (Réponse attendue avec 3 décimales)

Question 2 : Calcul de \(V_{\text{s,max}}\) et \(G_{\text{max}}\)

Principe

Le concept physique est de déterminer la rigidité initiale du squelette du sol. Cette rigidité maximale, \(G_{\text{max}}\), est obtenue lorsque le sol est sollicité par des déformations infimes, quasi-élastiques. L'essai en colonne résonante permet de mesurer cela en se basant sur la propagation d'une onde de cisaillement \(V_s\) à travers l'échantillon.

Mini-Cours

En dynamique, la rigidité d'un matériau est directement liée à la vitesse à laquelle les ondes s'y propagent. Pour les ondes de cisaillement, la relation est \(G = \rho \cdot V_s^2\). La colonne résonante excite l'échantillon à sa fréquence de résonance \(f_r\). Cette fréquence est maximale lorsque le matériau est le plus rigide, ce qui correspond au début de l'essai (\(G_{\text{max}}\)).

Remarque Pédagogique

\(G_{\text{max}}\) est au sol ce que le module d'Young est à l'acier : c'est LA propriété de rigidité fondamentale. C'est la valeur de référence sur laquelle toute l'analyse de la non-linéarité du sol va s'appuyer. C'est pourquoi son calcul doit être particulièrement soigné.

Normes

La procédure complète pour réaliser un essai en colonne résonante et interpréter les résultats est détaillée dans la norme américaine ASTM D4015, "Standard Test Methods for Modulus and Damping of Soils by the Resonant-Column Method".

Formule(s)

Formule de la vitesse de l'onde de cisaillement

\[ V_{\text{s,max}} = \frac{2 \pi f_r H}{\beta} \]

Formule du module de cisaillement

\[ G_{\text{max}} = \rho_d \cdot V_{\text{s,max}}^2 \]
Hypothèses
  • La première mesure, à la plus faible amplitude, correspond bien au domaine des très petites déformations où \(G = G_{\text{max}}\).
  • Le facteur d'appareil \(\beta\) est supposé constant et connu, ce qui est une simplification acceptable pour cet exercice.
  • L'échantillon vibre selon le premier mode de torsion.
Donnée(s)
  • \(f_r\) (1ère mesure) = 150.2 Hz
  • \(\rho_d\) = 1577.7 kg/m³
  • \(H\) = 0.140 m
  • \(\beta\) = 1.80
Astuces

Notez que \(G\) est proportionnel au carré de la fréquence (\(f_r^2\)). Cela signifie qu'une petite incertitude sur la mesure de la fréquence de résonance aura un impact plus important sur la valeur calculée du module \(G\). La précision de la mesure de \(f_r\) est donc primordiale.

Schéma (Avant les calculs)
Propagation d'une Onde de Cisaillement
xVsMouvement des particules
Calcul(s)

Calcul de la vitesse maximale \(V_{\text{s,max}}\)

\[ \begin{aligned} V_{\text{s,max}} &= \frac{2 \pi f_r H}{\beta} \\ &= \frac{2 \pi \cdot 150.2 \text{ Hz} \cdot 0.140 \text{ m}}{1.80} \\ &= 73.4 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul du module de cisaillement maximal \(G_{\text{max}}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{max}} &= \rho_d \cdot V_{\text{s,max}}^2 \\ &= 1577.7 \text{ kg/m}^3 \cdot (73.4 \text{ m/s})^2 \\ &= 8,502,745 \text{ Pa} \\ &\Rightarrow 8.50 \text{ MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Propriété de Rigidité Maximale
Déformationquasi-nulleGmax = 8.50 MPa
Réflexions

Une valeur de \(G_{\text{max}}\) de 8.5 MPa pour un sable à moyenne densité sous 100 kPa de confinement est un résultat très faible. Les valeurs attendues seraient plutôt de l'ordre de 70-90 MPa. Cela peut indiquer une erreur dans les données d'entrée (notamment le \(\beta\) très élevé) mais pour l'exercice, nous continuons avec les valeurs calculées.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la masse volumique \(\rho_d\) et non la masse volumique des grains \(G_s \cdot \rho_w\). Le module \(G\) est une propriété du "matériau" sol dans son ensemble (grains + vides), pas seulement des grains solides. De plus, le résultat de \(G\) sera en Pascals (Pa), pensez à le convertir en MégaPascals (MPa) pour une lecture plus aisée (1 MPa = \(10^6\) Pa).

Points à retenir
  • La relation \(G = \rho \cdot V_s^2\) est au cœur de la dynamique des sols.
  • \(G_{\text{max}}\) est déterminé à partir de la plus haute fréquence de résonance (plus faible déformation).
  • \(G_{\text{max}}\) dépend de la compacité du sol (\(\rho_d\) ou \(e\)) et de la contrainte de confinement.
Le saviez-vous ?

\(G_{\text{max}}\) peut aussi être mesuré directement sur le terrain avec des méthodes géophysiques (sismique réfraction, ondes de surface). Comparer les résultats de laboratoire et de terrain est une étape cruciale pour caler les modèles de calcul géotechnique.

FAQ
Pourquoi la première mesure donne-t-elle \(G_{\text{max}}\) ?

L'essai commence par imposer une vibration de très faible amplitude. À ce niveau, les grains de sol ne glissent quasiment pas les uns sur les autres. Le comportement est donc dominé par la rigidité des contacts entre grains, ce qui correspond à la rigidité maximale (élastique) du squelette du sol.

Résultat Final
La vitesse maximale de l'onde de cisaillement est \(V_{\text{s,max}} = 73.4 \text{ m/s}\) et le module de cisaillement maximal est \(G_{\text{max}} = 8.50 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Si la première fréquence de résonance mesurée avait été de 160 Hz, quelle aurait été la valeur de \(G_{\text{max}}\) en MPa ?

Question 3 : Calcul de la déformation \(\gamma\) pour chaque étape

Principe

Le concept ici est de traduire une mesure physique (l'accélération en tête de l'échantillon) en une déformation de cisaillement (\(\gamma\)). La déformation est la "cause" de la dégradation de la rigidité. C'est l'axe des abscisses de notre future courbe.

Mini-Cours

La vibration de torsion impose une rotation \(\theta\) à la tête de l'échantillon. Cette rotation n'est pas uniforme sur la hauteur et crée une distorsion angulaire dans le sol, appelée déformation de cisaillement \(\gamma\). Plus l'accélération est forte, plus la rotation est grande, et donc plus la déformation \(\gamma\) est importante.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus complexe du dépouillement. Le passage de l'accélération (\(a\)) à la déformation (\(\gamma\)) implique plusieurs étapes intermédiaires (calcul de \(\omega\), puis de \(\theta\)). Soyez méthodique pour ne pas vous perdre.

Normes

Les formules utilisées pour calculer la déformation à partir des mesures de l'accéléromètre sont détaillées dans l'annexe de la norme ASTM D4015.

Formule(s)

Formule de la pulsation de résonance

\[ \omega_r = 2 \pi f_r \]

Formule de l'angle de torsion

\[ \theta = \frac{a_{\text{crête}}}{\omega_r^2 \cdot R_{\text{accel}}} \]

Formule de la déformation de cisaillement

\[ \gamma = \frac{\theta \cdot (0.8 \cdot D/2)}{H} \]
Hypothèses
  • La déformation est moyennée sur la hauteur de l'échantillon.
  • On utilise un rayon effectif (\(r_{\text{a}} = 0.8 \cdot R\)) pour tenir compte de la distribution non-uniforme des déformations dans un échantillon cylindrique plein.
Donnée(s)

On utilise les données du tableau de l'énoncé, ainsi que les constantes \(R_{\text{accel}}\), \(D\), et \(H\).

Astuces

Attention, l'accélération est donnée en 'g'. Il faut impérativement la convertir en m/s² en multipliant par l'accélération de la pesanteur (\(g \approx 9.81 \text{ m/s}^2\)). C'est un oubli très classique !

Schéma (Avant les calculs)
Définition de la Déformation de Cisaillement
θγHΔx
Calcul(s)

Nous allons détailler le calcul de la déformation \(\gamma\) pour chaque étape de l'essai.

Étape 1 : \(a_{\text{crête}} = 1.00 \times 10^{-4} \text{ g}\), \(f_r = 150.2 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 150.2 = 943.7 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{1.00 \times 10^{-4} \cdot 9.81}{(943.7)^2 \cdot 0.050} = 2.20 \times 10^{-8} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{2.20 \times 10^{-8} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 4.40 \times 10^{-9} \end{aligned} \]

Étape 2 : \(a_{\text{crête}} = 5.00 \times 10^{-4} \text{ g}\), \(f_r = 150.0 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 150.0 = 942.5 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{5.00 \times 10^{-4} \cdot 9.81}{(942.5)^2 \cdot 0.050} = 1.10 \times 10^{-7} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{1.10 \times 10^{-7} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 2.20 \times 10^{-8} \end{aligned} \]

Étape 3 : \(a_{\text{crête}} = 1.00 \times 10^{-3} \text{ g}\), \(f_r = 149.5 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 149.5 = 939.3 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{1.00 \times 10^{-3} \cdot 9.81}{(939.3)^2 \cdot 0.050} = 2.22 \times 10^{-7} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{2.22 \times 10^{-7} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 4.44 \times 10^{-8} \end{aligned} \]

Étape 4 : \(a_{\text{crête}} = 5.00 \times 10^{-3} \text{ g}\), \(f_r = 147.0 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 147.0 = 923.6 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{5.00 \times 10^{-3} \cdot 9.81}{(923.6)^2 \cdot 0.050} = 1.15 \times 10^{-6} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{1.15 \times 10^{-6} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 2.30 \times 10^{-7} \end{aligned} \]

Étape 5 : \(a_{\text{crête}} = 1.00 \times 10^{-2} \text{ g}\), \(f_r = 142.1 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 142.1 = 892.8 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{1.00 \times 10^{-2} \cdot 9.81}{(892.8)^2 \cdot 0.050} = 2.46 \times 10^{-6} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{2.46 \times 10^{-6} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 4.92 \times 10^{-7} \end{aligned} \]

Étape 6 : \(a_{\text{crête}} = 5.00 \times 10^{-2} \text{ g}\), \(f_r = 125.5 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 125.5 = 788.5 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{5.00 \times 10^{-2} \cdot 9.81}{(788.5)^2 \cdot 0.050} = 1.58 \times 10^{-5} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{1.58 \times 10^{-5} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 3.16 \times 10^{-6} \end{aligned} \]

Étape 7 : \(a_{\text{crête}} = 1.00 \times 10^{-1} \text{ g}\), \(f_r = 110.3 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} \omega_r &= 2 \pi \cdot 110.3 = 693.0 \text{ rad/s} \\ \theta &= \frac{1.00 \times 10^{-1} \cdot 9.81}{(693.0)^2 \cdot 0.050} = 4.08 \times 10^{-5} \text{ rad} \\ \gamma &= \frac{4.08 \times 10^{-5} \cdot (0.8 \cdot 0.035)}{0.140} = 8.16 \times 10^{-6} \end{aligned} \]

Tableau Récapitulatif des Calculs de Déformation

Étape \(\omega_r\) (rad/s) \(\theta\) (rad) \(\gamma\) (sans unité) \(\gamma\) (%)
1943.72.20E-084.40E-094.40E-07 %
2942.51.10E-072.20E-082.20E-06 %
3939.32.22E-074.44E-084.44E-06 %
4923.61.15E-062.30E-072.30E-05 %
5892.82.46E-064.92E-074.92E-05 %
6788.51.58E-053.16E-063.16E-04 %
7693.04.08E-058.16E-068.16E-04 %
Schéma (Après les calculs)
Évolution de la Déformation par Étape
Étape 1Étape 2Étape 3Étape 4Étape 5Étape 6Étape 7
Réflexions

On constate que les déformations de cisaillement sont extrêmement faibles, de l'ordre de \(10^{-7}\) % à \(10^{-4}\) %. Cela montre l'incroyable sensibilité de l'essai en colonne résonante, capable de détecter le comportement du sol à des niveaux de sollicitation bien plus faibles que les essais triaxiaux conventionnels.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\omega_r\) (pulsation en rad/s) et \(f_r\) (fréquence en Hz). La formule utilise \(\omega_r^2\), donc assurez-vous de bien faire la conversion \(\omega_r = 2\pi f_r\) et de l'élever au carré. L'autre point clé est la conversion de 'g' en m/s².

Points à retenir
  • La déformation est la conséquence de l'amplitude de la vibration.
  • La chaîne de calcul est : \(a_{\text{crête}} \rightarrow \theta \rightarrow \gamma\).
  • Les déformations mesurées en colonne résonante sont très petites.
Le saviez-vous ?

Le seuil de déformation de \(10^{-4}\) % est souvent considéré comme la limite du domaine "élastique" des sols. Au-delà, les mécanismes irréversibles (plastiques) commencent à se développer, ce qui explique la chute du module G.

FAQ
Pourquoi utiliser un rayon effectif \(r_{\text{a}}\) et pas simplement le rayon \(R\) ?

Dans un cylindre tordu, la déformation est nulle au centre (r=0) et maximale en périphérie (r=R). Pour obtenir une valeur "moyenne" ou "représentative" de la déformation dans tout l'échantillon, on utilise un rayon effectif \(r_{\text{a}}\) qui est inférieur au rayon externe \(R\). La valeur \(r_{\text{a}} = 0.8 \cdot R\) est une approximation couramment admise.

Résultat Final
Les déformations de cisaillement calculées s'étendent de \(4.40 \times 10^{-7}\) % à \(8.16 \times 10^{-4}\) %.
A vous de jouer

Pour l'étape 5 (\(a_{\text{crête}}\)=0.01g, \(f_r\)=142.1 Hz), quelle est la valeur de la déformation \(\gamma\) en % ? (Réponse attendue en notation scientifique, ex: 1.23E-05)

Question 4 : Calcul de \(V_s\) et \(G\) et remplissage du tableau

Principe

Le concept est de déterminer comment la rigidité du sol (\(V_s\) et \(G\)) évolue à mesure que la déformation (\(\gamma\), calculée à la question 3) augmente. On applique systématiquement les mêmes formules qu'à la question 2, mais cette fois pour chaque niveau de sollicitation.

Mini-Cours

Ce processus met en évidence la non-linéarité du comportement du sol. Contrairement à l'acier qui a un module constant sur une large plage, le module \(G\) du sol n'est pas une constante mais une fonction de la déformation \(G(\gamma)\). L'objectif de cette question est de peupler cette fonction avec des points de mesure discrets.

Remarque Pédagogique

Cette étape est répétitive. C'est le travail typique de dépouillement d'essai. La rigueur est essentielle. L'utilisation d'un tableur est fortement recommandée en pratique pour automatiser ces calculs et éviter les erreurs de recopie.

Normes

L'ensemble de cette procédure de calcul itératif est conforme à la méthode d'interprétation décrite dans la norme ASTM D4015.

Formule(s)

Les formules sont les mêmes que pour la Question 2, appliquées à chaque ligne du tableau.

\[ V_s = \frac{2 \pi f_r H}{\beta} \]
\[ G = \rho_d \cdot V_s^2 \]
Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la Question 2 s'appliquent ici pour chaque point de mesure.

Donnée(s)

On utilise les données du tableau de l'énoncé, ainsi que les constantes \(H\), \(\beta\), et la valeur de \(\rho_d\) calculée à la Question 1.

Astuces

Une fois le tableau complété, calculez une dernière colonne : \(G/G_{\text{max}}\). Ce ratio, appelé module normalisé, est très important car il permet de comparer le comportement de différents sols indépendamment de leur rigidité initiale.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de Dégradation de la Rigidité
γ faibleGmaxγ élevéG < GmaxDégradation
Calcul(s)

Nous allons détailler le calcul de \(V_s\) et \(G\) pour chaque étape.

Étape 1 : \(f_r = 150.2 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 150.2 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 73.4 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (73.4)^2 \\ &= 8.50 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 8.50 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 2 : \(f_r = 150.0 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 150.0 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 73.3 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (73.3)^2 \\ &= 8.48 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 8.48 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 3 : \(f_r = 149.5 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 149.5 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 73.1 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (73.1)^2 \\ &= 8.43 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 8.43 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 4 : \(f_r = 147.0 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 147.0 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 71.8 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (71.8)^2 \\ &= 8.14 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 8.14 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 5 : \(f_r = 142.1 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 142.1 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 69.4 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (69.4)^2 \\ &= 7.60 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 7.60 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 6 : \(f_r = 125.5 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 125.5 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 61.3 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (61.3)^2 \\ &= 5.92 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 5.92 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Étape 7 : \(f_r = 110.3 \text{ Hz}\)

\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{2 \pi \cdot 110.3 \cdot 0.140}{1.80} \\ &= 53.9 \text{ m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= 1577.7 \cdot (53.9)^2 \\ &= 4.59 \times 10^6 \text{ Pa} \Rightarrow 4.59 \text{ MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Points Discrets de la Courbe de Dégradation
log(γ)G/Gmax
Réflexions

En examinant le tableau complet, la tendance est indéniable : à mesure que la déformation \(\gamma\) augmente (de l'étape 1 à 7), la fréquence de résonance \(f_r\) diminue, entraînant une chute de la vitesse \(V_s\) et une dégradation encore plus marquée du module \(G\) (puisqu'il dépend de \(V_s^2\)).

Points de vigilance

La principale erreur ici serait de se tromper dans une des lignes de calcul et de ne pas le remarquer. Une bonne pratique est de vérifier que les valeurs de \(V_s\) et \(G\) diminuent bien de manière monotone à mesure que l'on progresse dans les étapes de l'essai.

Points à retenir
  • Le module de cisaillement G n'est pas une constante pour un sol.
  • \(G\) diminue lorsque la déformation de cisaillement \(\gamma\) augmente.
  • Le remplissage systématique d'un tableau de résultats est la clé pour une analyse correcte.
Le saviez-vous ?

La courbe \(G(\gamma)\) est souvent accompagnée de la courbe \(D(\gamma)\), qui montre l'évolution de l'amortissement du matériau. Généralement, lorsque la rigidité \(G\) diminue, l'amortissement \(D\) (la capacité du sol à dissiper l'énergie) augmente.

FAQ
Est-ce que le module \(G\) peut remonter si la déformation diminue ?

En partie seulement. Le comportement du sol est "hystérétique". Si après avoir atteint une grande déformation on revient à une faible déformation, le module \(G\) ne remontera pas à sa valeur initiale \(G_{\text{max}}\). L'échantillon a subi des changements microstructuraux (plastiques) irréversibles.

Résultat Final
Le tableau de résultats complet est le suivant :
Étape\(\gamma\) (%)\(V_s\) (m/s)\(G\) (MPa)\(G/G_{\text{max}}\)
14.40E-0773.48.501.000
22.20E-0673.38.480.998
34.44E-0673.18.430.992
42.30E-0571.88.140.958
54.92E-0569.47.600.894
63.16E-0461.35.920.696
78.16E-0453.94.590.540
A vous de jouer

En utilisant la fréquence de l'étape 6 (\(f_r\) = 125.5 Hz), calculez la valeur de G correspondante en MPa. (Réponse attendue avec 2 décimales).

Question 5 : Tracé de la courbe de dégradation \(G/G_{\text{max}}\)

Principe

Cette courbe est la représentation la plus importante de l'essai. Elle montre comment le module de cisaillement normalisé (rapporté à sa valeur maximale) diminue à mesure que la déformation de cisaillement augmente. L'axe des déformations est traditionnellement logarithmique pour couvrir la large plage de valeurs.

Schéma (Après les calculs)
Courbe de Dégradation du Module G
Réflexions

La courbe montre clairement un comportement non-linéaire. Pour les très faibles déformations (\(\gamma < 10^{-5}\) %), le module est quasi constant (domaine pseudo-élastique). Au-delà, on observe une dégradation significative de la rigidité. Par exemple, à \(\gamma \approx 10^{-4}\)%, le module a déjà chuté à moins de 90% de sa valeur maximale. Cette courbe est une "signature" du comportement du sol sous sollicitations dynamiques.

Outil Interactif : Estimation de \(G_{\text{max}}\)

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'indice des vides initial et la pression de confinement influencent le module de cisaillement maximal (\(G_{\text{max}}\)), basé sur la formule empirique de Hardin.

Paramètres d'Entrée
0.68
100 kPa
Résultats Clés
\(G_{\text{max}}\) estimé (MPa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente \(G_{\text{max}}\) ?

2. Si la pression de confinement sur un sable augmente, comment \(G_{\text{max}}\) évolue-t-il typiquement ?

3. Qu'arrive-t-il à la fréquence de résonance lorsque le module \(G\) du sol diminue ?

4. La courbe de dégradation \(G/G_{\text{max}}\) est généralement tracée avec l'axe des déformations (\(\gamma\)) en échelle...

5. La non-linéarité du comportement du sol est principalement due à :

Module de Cisaillement (\(G\))
Une mesure de la rigidité d'un matériau lorsqu'il est soumis à une contrainte de cisaillement. Un G élevé indique un matériau rigide.
\(G_{\text{max}}\)
Le module de cisaillement maximal, mesuré à de très faibles niveaux de déformation (typiquement < \(10^{-4}\) %), représentant la rigidité initiale du squelette du sol.
Déformation de Cisaillement (\(\gamma\))
Mesure de la déformation angulaire d'un élément de sol, indiquant l'intensité de la sollicitation.
Colonne Résonante
Appareil de laboratoire qui applique une vibration de torsion à un échantillon de sol pour en déterminer les propriétés dynamiques.
Exercice : Interprétation d'un Essai en Colonne Résonante

D’autres exercices de mécanique des sols:

Analyse de la Réponse Sismique d’un Site
Analyse de la Réponse Sismique d’un Site

Analyse de la Réponse Sismique d'un Site (SHAKE) Analyse de la Réponse Sismique d'un Site (Méthode SHAKE simplifiée) Contexte : L'étude des effets de siteModification (généralement une amplification) du mouvement sismique due aux conditions géologiques et...

Calcul de la Perméabilité Équivalente
Calcul de la Perméabilité Équivalente

Calcul de la Perméabilité Équivalente d'un Sol Stratifié Calcul de la Perméabilité Équivalente d'un Sol Stratifié Contexte : L'écoulement de l'eau dans les sols. La perméabilitéCapacité d'un sol à laisser l'eau s'écouler à travers ses vides. Elle est quantifiée par le...

Consolidation Radiale autour d’un Drain Vertical
Consolidation Radiale autour d’un Drain Vertical

Exercice : Consolidation Radiale avec Drains Verticaux Analyse de la Consolidation Radiale autour d'un Drain Vertical Contexte : Le tassement des sols argileux. Un projet de construction d'un remblai routier est prévu sur une épaisse couche d'argile molle et saturée....

Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)
Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)

Exercice : Calcul du Coefficient K₀ pour un Sol Surconsolidé Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀) Contexte : L'état de contrainte horizontal dans les sols. En géotechnique, la détermination des contraintes horizontales dans un massif de sol est cruciale...

Modélisation du Chemin de Contraintes
Modélisation du Chemin de Contraintes

Exercice : Essai de Consolidation Anisotrope (K0) Modélisation du Chemin de Contraintes : Essai de Consolidation Anisotrope (K0) Contexte : Cet exercice porte sur la modélisation du comportement d'un échantillon de sol argileux durant un essai de consolidation...

Calcul de la Contrainte Effective (Bishop)
Calcul de la Contrainte Effective (Bishop)

Exercice : Contrainte Effective (Bishop) Calcul de la Contrainte Effective (Bishop) pour Sols Non Saturés Contexte : L'étude géotechnique d'une fondation sur un sol non saturé. En mécanique des sols, la contrainte effectiveContrainte supportée par le squelette solide...

Tracé de la Courbe de Rétention d’Eau (SWCC)
Tracé de la Courbe de Rétention d’Eau (SWCC)

Exercice : Courbe de Rétention d'Eau (SWCC) Tracé de la Courbe de Rétention d'Eau (SWCC) Contexte : La mécanique des sols non saturésBranche de la géotechnique qui étudie le comportement des sols contenant à la fois de l'eau et de l'air dans leurs vides.. La courbe de...

Calcul de Volume Plastique (Modèle Cam-Clay)
Calcul de Volume Plastique (Modèle Cam-Clay)

Exercice : Changement de Volume Plastique (Cam-Clay) Calcul de Volume Plastique (Modèle Cam-Clay) Contexte : Le modèle Cam-ClayUn modèle de comportement des sols qui décrit la relation entre les contraintes, les déformations et la teneur en eau pour les argiles et les...

Modèle de Cam-Clay Modifié
Modèle de Cam-Clay Modifié

Exercice : Modèle de Cam-Clay Modifié Modèle de Cam-Clay Modifié Contexte : Le modèle de Cam-Clay ModifiéUn modèle mathématique utilisé en mécanique des sols pour décrire le comportement des sols argileux normalement consolidés et légèrement surconsolidés.. Cet...

Calcul du chemin des contraintes
Calcul du chemin des contraintes

Exercice : Calcul du Chemin des Contraintes en Mécanique des Sols Calcul du Chemin des Contraintes pour un Essai Triaxial CU Contexte : Le chemin des contraintesReprésentation graphique de l'évolution de l'état de contrainte dans un sol (ou une roche) lors d'un...

Analyse de la Réponse Sismique d’un Site
Analyse de la Réponse Sismique d’un Site

Analyse de la Réponse Sismique d'un Site (SHAKE) Analyse de la Réponse Sismique d'un Site (Méthode SHAKE simplifiée) Contexte : L'étude des effets de siteModification (généralement une amplification) du mouvement sismique due aux conditions géologiques et...

Calcul de la Perméabilité Équivalente
Calcul de la Perméabilité Équivalente

Calcul de la Perméabilité Équivalente d'un Sol Stratifié Calcul de la Perméabilité Équivalente d'un Sol Stratifié Contexte : L'écoulement de l'eau dans les sols. La perméabilitéCapacité d'un sol à laisser l'eau s'écouler à travers ses vides. Elle est quantifiée par le...

Consolidation Radiale autour d’un Drain Vertical
Consolidation Radiale autour d’un Drain Vertical

Exercice : Consolidation Radiale avec Drains Verticaux Analyse de la Consolidation Radiale autour d'un Drain Vertical Contexte : Le tassement des sols argileux. Un projet de construction d'un remblai routier est prévu sur une épaisse couche d'argile molle et saturée....

Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)
Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)

Exercice : Calcul du Coefficient K₀ pour un Sol Surconsolidé Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀) Contexte : L'état de contrainte horizontal dans les sols. En géotechnique, la détermination des contraintes horizontales dans un massif de sol est cruciale...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *