Calcul de la Perméabilité d'une Fracture sous Contrainte Normale
Contexte : La perméabilitéCapacité d'une roche à laisser passer un fluide (eau, gaz, pétrole). d'une fracture rocheuse.
En mécanique des roches, la perméabilité d'un massif est dominée par les fractures. Lorsqu'une contrainte normale (une force de "serrage") est appliquée sur une fracture, son ouverture, ou apertureL'espace vide ou l'ouverture entre les deux épontes (surfaces) d'une fracture., diminue. Cette fermeture réduit considérablement la capacité de la fracture à conduire l'eau. Cet exercice vise à modéliser cette relation en utilisant une simplification du modèle de Barton-Bandis.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à lier une sollicitation mécanique (la contrainte) à une propriété hydraulique (la perméabilité) via les propriétés de déformation de la fracture (la raideur). C'est un exemple typique de couplage hydro-mécanique en géosciences.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'effet de la contrainte normale sur l'aperture d'une fracture.
- Appliquer un modèle de fermeture hyperbolique (type Barton-Bandis).
- Utiliser la "loi cubique" pour lier l'aperture à la perméabilité.
- Manipuler les unités (MPa, GPa, \(\mu\)m, m) dans un calcul de géo-ingénierie.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Roche | Granite |
| Modèle de fermeture | Hyperbolique (Barton-Bandis simplifié) |
| Loi hydraulique | Loi Cubique |
Modélisation de la Fracture sous Contrainte
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Aperture initiale (à \(\sigma_{n0}\)) | \(b_0\) | 500 | \(\mu\)m |
| Contrainte normale initiale | \(\sigma_{n0}\) | 1 | MPa |
| Raideur normale initiale | \(K_{ni}\) | 2.5 | GPa/m |
| Fermeture maximale possible | \(b_m\) | 400 | \(\mu\)m |
| Perméabilité initiale (à \(\sigma_{n0}\)) | \(k_0\) | \(1.5 \times 10^{-9}\) | m² |
| Contrainte normale appliquée | \(\sigma_{n1}\) | 10 | MPa |
Questions à traiter
- Calculer l'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma_n\) (la contrainte "effective" pour la fermeture) par rapport à l'état initial.
- En utilisant le modèle hyperbolique, calculer la fermeture de la fracture \(\Delta b\) due à cette augmentation de contrainte.
- Déterminer la nouvelle aperture (ouverture) \(b_1\) de la fracture sous la contrainte \(\sigma_{n1}\).
- En utilisant la loi cubique, calculer la nouvelle perméabilité \(k_1\) de la fracture.
Les bases sur la Mécanique des Fractures
La déformation d'une fracture sous contrainte n'est généralement pas linéaire. Plus la fracture se ferme, plus elle devient "raide", car les points de contact entre les deux surfaces (les "aspérités") deviennent plus nombreux et plus larges. Le modèle hyperbolique de Barton-Bandis capture bien ce comportement.
1. Modèle de Fermeture Hyperbolique (Barton-Bandis)
La fermeture \(\Delta b\) (diminution de l'aperture) d'une fracture sous une augmentation de contrainte normale \(\Delta\sigma_n\) peut être modélisée par :
\[ \Delta b = \frac{\Delta\sigma_n \cdot b_m}{K_{ni} \cdot b_m + \Delta\sigma_n} \]
Où \(K_{ni}\) est la raideur normale initiale (à faible contrainte) et \(b_m\) est la fermeture maximale possible de la fracture (une valeur asymptotique). Cette formule montre que pour \(\Delta\sigma_n\) petit, \(\Delta b \approx \Delta\sigma_n / K_{ni}\) (comportement linéaire initial), et pour \(\Delta\sigma_n\) très grand, \(\Delta b\) tend vers \(b_m\).
2. Loi Cubique
Pour un écoulement laminaire entre deux plaques parallèles (une bonne approximation d'une fracture), la perméabilité \(k\) est proportionnelle au *cube* de l'aperture \(b\) (en réalité au carré, mais la conductivité hydraulique est au cube, et \(k\) est souvent lié par \(k \propto b^2\) ou \(k \propto b^3\) selon les auteurs pour la perméabilité équivalente. Nous utiliserons la loi cubique pour la conductivité, ce qui mène à \(k \propto b^2\), mais la \(k\) (perméabilité) est souvent liée à \(b^3\) pour le *flux* total. Pour cet exercice, nous utiliserons la relation la plus sensible :
\[ \frac{k_1}{k_0} = \left( \frac{b_1}{b_0} \right)^3 \]
La perméabilité \(k_1\) est donc : \(k_1 = k_0 \cdot \left( \frac{b_1}{b_0} \right)^3\). Cette relation montre que si l'aperture est divisée par 2, la perméabilité est divisée par \(2^3 = 8\). C'est une dépendance très forte.
Correction : Calcul de la Perméabilité d'une Fracture sous Contrainte Normale
Question 1 : Calculer l'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma_n\)
Principe
Le modèle de fermeture de fracture que nous utilisons (Barton-Bandis) décrit comment la fracture *se ferme davantage* lorsqu'on augmente la contrainte. Il ne décrit pas l'état absolu à une contrainte donnée, mais la *variation* par rapport à un état initial connu (\(\sigma_{n0}\), \(b_0\)). Donc, la première étape est de déterminer quelle est cette *augmentation* de contrainte (\(\Delta\sigma_n\)) qui va provoquer la fermeture supplémentaire.
Mini-Cours
La contrainte normale (\(\sigma_n\)) est une force par unité de surface agissant perpendiculairement. Imaginez presser sur une éponge : la force que vous appliquez divisée par la surface de votre main est la contrainte. Ici, \(\sigma_{n0}\) est la pression initiale sur la fracture, et \(\sigma_{n1}\) est la pression finale. \(\Delta\sigma_n\) est simplement la différence entre les deux, c'est-à-dire la pression *supplémentaire* appliquée.
Remarque Pédagogique
Pensez à un ressort. Sa longueur dépend de la force *totale* appliquée. Mais si on connaît sa longueur pour une force \(F_0\), et qu'on veut connaître sa nouvelle longueur pour une force \(F_1\), on s'intéresse souvent à la variation de force \(\Delta F = F_1 - F_0\) pour calculer la variation de longueur \(\Delta L\). C'est le même principe ici avec la contrainte et la fermeture de la fracture.
Normes
Ce calcul est une simple différence. Les normes (par exemple, ISRM - International Society for Rock Mechanics) interviennent plutôt dans la manière de *mesurer* expérimentalement les paramètres comme \(K_{ni}\) ou \(b_m\), ou comment *définir* la contrainte dans des cas complexes (in situ).
Formule(s)
Augmentation de la contrainte
Où \(\sigma_{n1}\) est la contrainte finale et \(\sigma_{n0}\) est la contrainte initiale de référence.
Hypothèses
La seule hypothèse ici est que les contraintes \(\sigma_{n1}\) et \(\sigma_{n0}\) sont définies de manière cohérente (par exemple, toutes deux des contraintes totales ou effectives, et appliquées uniformément).
Donnée(s)
On récupère directement les valeurs fournies dans le tableau de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte normale appliquée | \(\sigma_{n1}\) | 10 | MPa |
| Contrainte normale initiale | \(\sigma_{n0}\) | 1 | MPa |
Astuces
Toujours vérifier les unités. Si \(\sigma_{n1}\) était donné en kPa et \(\sigma_{n0}\) en MPa, il faudrait convertir avant de soustraire. Ici, les deux sont en MPa, donc le calcul est direct.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma général de la fracture sous contrainte \(\sigma_n\) s'applique ici.
Calcul(s)
Application de la formule
L'augmentation de contrainte est donc de 9 MégaPascals.
Schéma (Après les calculs)
Ce résultat est une valeur scalaire (9 MPa), l'augmentation de la pression. Il n'y a pas de schéma spécifique pour illustrer seulement cette différence de pression.
Réflexions
Cette valeur de 9 MPa est celle qui va "piloter" la fermeture dans le modèle de Barton-Bandis. C'est la contrainte effective responsable de la déformation supplémentaire par rapport à l'état où l'aperture \(b_0\) et la raideur \(K_{ni}\) ont été définies.
Points de vigilance
Ne pas confondre \(\Delta\sigma_n\) (la variation) avec \(\sigma_{n1}\) (la valeur finale). C'est \(\Delta\sigma_n\) qui entre dans la formule de fermeture hyperbolique.
Points à retenir
Le calcul de \(\Delta\sigma_n\) est la première étape indispensable pour utiliser des modèles de déformation différentiels comme celui de Barton-Bandis.
Le saviez-vous ?
En géotechnique, on utilise souvent la notion de "contrainte effective" (\(\sigma' = \sigma - u\), où \(u\) est la pression interstitielle du fluide). C'est cette contrainte effective qui contrôle la déformation et la rupture du squelette solide de la roche ou du sol, et donc aussi la fermeture des fractures.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la contrainte finale appliquée était de 21 MPa, que vaudrait \(\Delta\sigma_n\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1:
- Objectif: Calculer la variation de contrainte (\(\Delta\sigma_n\)) par rapport à l'état initial.
- Formule: \(\Delta\sigma_n = \sigma_{n1} - \sigma_{n0}\).
- Point Clé: Utiliser la variation, pas la contrainte totale, pour les modèles différentiels.
- Résultat: 9 MPa.
Question 2 : Calculer la fermeture de la fracture \(\Delta b\)
Principe
Maintenant que nous connaissons l'augmentation de contrainte (\(\Delta\sigma_n\)), nous utilisons le modèle de fermeture hyperbolique (Barton-Bandis) pour prédire la réduction de l'ouverture (\(\Delta b\)) que cette contrainte va provoquer. Ce modèle prend en compte la "souplesse" initiale de la fracture (\(K_{ni}\)) et le fait qu'elle ne peut pas se fermer indéfiniment (limite \(b_m\)).
Mini-Cours
Le modèle hyperbolique simule le comportement non-linéaire de la fermeture. À faible contrainte, la fermeture est proportionnelle à la contrainte (dominée par \(K_{ni}\)), mais à très forte contrainte, la fermeture tend asymptotiquement vers la valeur maximale \(b_m\). La formule \( \Delta b = \frac{\Delta\sigma_n \cdot b_m}{K_{ni} \cdot b_m + \Delta\sigma_n} \) interpole entre ces deux régimes.
Remarque Pédagogique
L'étape la plus critique ici est la gestion cohérente des unités. Comme la formule mélange des contraintes (Pa), des raideurs (Pa/m) et des longueurs (m), il est impératif de tout convertir dans le Système International (SI) avant de faire le calcul pour éviter des erreurs d'ordre de grandeur.
Normes
Le modèle lui-même est une référence dans la communauté scientifique et technique de la mécanique des roches. Les méthodes pour déterminer expérimentalement \(K_{ni}\) et \(b_m\) peuvent suivre des recommandations de l'ISRM.
Formule(s)
Modèle de fermeture hyperbolique
Où \(\Delta b\) est la fermeture (en m), \(\Delta\sigma_n\) l'augmentation de contrainte (en Pa), \(b_m\) la fermeture maximale (en m), et \(K_{ni}\) la raideur initiale (en Pa/m).
Hypothèses
On suppose que le modèle hyperbolique est une représentation adéquate du comportement réel de la fracture dans la gamme de contraintes considérée. On suppose aussi que \(K_{ni}\) et \(b_m\) sont constants et bien définis.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de Q1 et les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Augmentation de contrainte | \(\Delta\sigma_n\) | 9 | MPa |
| Raideur normale initiale | \(K_{ni}\) | 2.5 | GPa/m |
| Fermeture maximale | \(b_m\) | 400 | \(\mu\)m |
Astuces
Convertissez *toutes* les grandeurs en unités SI (Pa, m) dès le début. Notez que 1 MPa = \(10^6\) Pa, 1 GPa = \(10^9\) Pa, 1 \(\mu\)m = \(10^{-6}\) m. Cela simplifie grandement la vérification des unités dans le calcul final : le numérateur sera en Pa·m, le dénominateur en Pa, le résultat \(\Delta b\) sera donc bien en m.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma général de la fracture sous contrainte \(\sigma_n\) avec son aperture \(b\) est le point de départ.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est la conversion des unités ! Vérifiez chaque conversion : \(\Delta\sigma_n\) de MPa en Pa, \(K_{ni}\) de GPa/m en Pa/m, \(b_m\) de \(\mu\)m en m. Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée.
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion des unités en SI
Étape 2 : Calcul du numérateur (N)
Le numérateur représente l'influence de la contrainte appliquée, pondérée par la capacité maximale de fermeture.
Étape 3 : Calcul du dénominateur (D)
Le dénominateur représente la résistance à la fermeture. Il combine la raideur intrinsèque (\(K_{ni} \cdot b_m\)) et l'effet de la contrainte appliquée (\(\Delta\sigma_n\)). Notez que \(K_{ni} \cdot b_m\) a la dimension d'une contrainte (Pa/m * m = Pa).
Étape 4 : Calcul final de \(\Delta b\)
On divise le terme "moteur" (N) par le terme "résistant" (D) pour obtenir la fermeture.
On reconvertit en \(\mu\)m pour une meilleure lisibilité : \(\Delta b = 360 \text{ } \mu\text{m}\).
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la fermeture \(\Delta b\) qui réduit l'aperture initiale \(b_0\) pour donner l'aperture finale \(b_1\).
Réflexions
La fermeture calculée (360 \(\mu\)m) est importante et représente 90% de la fermeture maximale possible (\(b_m = 400 \mu\)m). Cela signifie qu'à 10 MPa, la fracture est déjà très fermée et sa raideur est bien plus grande que \(K_{ni}\). Si on appliquait une contrainte encore plus forte, la fermeture supplémentaire serait faible, car on approche de l'asymptote \(b_m\).
Points à retenir
- Le modèle hyperbolique capture la non-linéarité de la fermeture : la raideur augmente avec la contrainte.
- La cohérence des unités SI (Pa, m) est cruciale. Vérifiez chaque étape !
Le saviez-vous ?
Le modèle de Barton-Bandis original est plus complexe et prend en compte la rugosité de la fracture (via le paramètre JRC - Joint Roughness Coefficient) et la résistance à la compression de la roche (JCS - Joint wall Compressive Strength) pour estimer \(K_{ni}\) et \(b_m\).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(\Delta\sigma_n = 20 \text{ MPa}\), \(K_{ni} = 5 \text{ GPa/m}\), et \(b_m = 400 \text{ } \mu\text{m}\). Que vaut \(\Delta b\) (en \(\mu\)m) ? (Attention aux unités !)
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2:
- Objectif: Calculer la fermeture \(\Delta b\) induite par \(\Delta\sigma_n\).
- Formule: Modèle hyperbolique \(\Delta b = (\Delta\sigma_n \cdot b_m) / (K_{ni} \cdot b_m + \Delta\sigma_n)\).
- Point Clé: IMPÉRATIF : Convertir en unités SI (Pa, m) avant calcul.
- Résultat: 360 \(\mu\)m.
Question 3 : Déterminer la nouvelle aperture \(b_1\)
Principe
L'aperture finale (\(b_1\)) est l'espace qui reste ouvert dans la fracture après qu'elle se soit fermée d'une quantité \(\Delta b\) sous l'effet de l'augmentation de contrainte. C'est donc l'ouverture initiale (\(b_0\)) moins la fermeture (\(\Delta b\)).
Mini-Cours
L'aperture est une dimension physique (une longueur). La fermeture \(\Delta b\) représente une réduction de cette dimension. Le calcul \(b_1 = b_0 - \Delta b\) est une simple conservation de la géométrie : l'espace initial moins la partie qui s'est fermée donne l'espace restant.
Remarque Pédagogique
Cette étape fait le pont entre le calcul mécanique (la fermeture \(\Delta b\)) et ce qui va déterminer la propriété hydraulique (l'aperture restante \(b_1\)). C'est un calcul simple mais conceptuellement important.
Normes
Aucune norme spécifique n'est requise pour cette simple soustraction.
Formule(s)
Calcul de l'aperture finale
Où \(b_1\) est l'aperture finale, \(b_0\) l'aperture initiale, et \(\Delta b\) la fermeture.
Hypothèses
On suppose que la fermeture \(\Delta b\) réduit directement l'aperture hydraulique pertinente pour l'écoulement. On suppose aussi une fermeture uniforme.
Donnée(s)
On utilise la valeur de \(b_0\) de l'énoncé et le résultat \(\Delta b\) de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Aperture initiale | \(b_0\) | 500 | \(\mu\)m |
| Fermeture calculée | \(\Delta b\) | 360 | \(\mu\)m |
Astuces
Le plus simple est de garder les deux termes (\(b_0\) et \(\Delta b\)) dans la même unité, ici les micromètres (\(\mu\)m), pour la soustraction. Le résultat sera directement en \(\mu\)m.
Schéma (Avant les calculs)
On visualise l'ouverture initiale \(b_0\) et on imagine qu'elle va être réduite de la valeur \(\Delta b\).
Calcul(s)
Application de la formule
L'aperture restante est de 140 micromètres.
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma montre le résultat du calcul : l'aperture finale \(b_1\).
Réflexions
L'aperture a été réduite de 500 \(\mu\)m à 140 \(\mu\)m. Cela représente une réduction de \((500-140)/500 = 360/500 = 0.72\), soit 72%. C'est une réduction géométrique très significative. Comme la perméabilité dépend fortement de cette aperture (loi cubique), on peut s'attendre à une chute encore plus spectaculaire de la perméabilité.
Points de vigilance
Assurez-vous que \(b_1\) reste positif. Si \(\Delta b\) était supérieur à \(b_0\), cela signifierait une fermeture complète et \(b_1\) devrait être pris égal à zéro (ou une valeur résiduelle très faible si le modèle le prévoit).
Points à retenir
- L'aperture finale \(b_1\) est la clé pour calculer la perméabilité finale \(k_1\).
- Elle résulte de la soustraction de la fermeture \(\Delta b\) à l'ouverture initiale \(b_0\).
Le saviez-vous ?
Mesurer directement l'aperture d'une fracture in situ (en profondeur) est très difficile. On utilise souvent des méthodes indirectes, comme des tests hydrauliques ou des diagraphies (mesures dans les forages), pour estimer l'aperture hydraulique équivalente.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'aperture initiale \(b_0\) était de 600 \(\mu\)m et que la fermeture \(\Delta b\) calculée était de 250 \(\mu\)m, que vaudrait \(b_1\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3:
- Objectif: Calculer l'aperture finale \(b_1\) après fermeture.
- Formule: \(b_1 = b_0 - \Delta b\).
- Point Clé: Assurer la cohérence des unités pour la soustraction (\(\mu\)m ici).
- Résultat: 140 \(\mu\)m.
Question 4 : Calculer la nouvelle perméabilité \(k_1\)
Principe
La dernière étape consiste à traduire la modification géométrique (la réduction de l'aperture de \(b_0\) à \(b_1\)) en une modification de la propriété hydraulique (la perméabilité, passant de \(k_0\) à \(k_1\)). Pour cela, on utilise la "loi cubique", qui établit une relation forte entre ces deux grandeurs.
Mini-Cours
La loi cubique (\(k \propto b^3\)) est une conséquence directe de la physique de l'écoulement d'un fluide visqueux dans un conduit étroit (écoulement de Poiseuille). Le débit est très sensible à la taille du conduit. Même si une fracture n'est pas parfaitement lisse, cette loi capture l'essentiel de la dépendance. La perméabilité, qui mesure la facilité d'écoulement indépendamment du fluide et du gradient de pression, hérite de cette forte dépendance à l'aperture.
Remarque Pédagogique
Cette étape met en évidence le couplage hydro-mécanique : la mécanique (contrainte \(\rightarrow\) fermeture \(\Delta b \rightarrow\) nouvelle aperture \(b_1\)) influence directement l'hydraulique (perméabilité \(k_1\)). Comprendre ce couplage est fondamental pour de nombreuses applications (géothermie, stockage de CO2, réservoirs pétroliers, stabilité des pentes...).
Normes
La loi cubique est un principe de base. Les normes peuvent intervenir dans la manière de mesurer \(k_0\) en laboratoire ou in situ (tests de pompage, tests d'injection).
Formule(s)
Loi Cubique (relation relative)
Calcul de la perméabilité finale
Hypothèses
On suppose que la loi cubique est applicable, ce qui implique notamment un écoulement laminaire et une géométrie de fracture assimilable à des plaques parallèles.
Donnée(s)
On utilise la perméabilité initiale \(k_0\) et les apertures \(b_0\) et \(b_1\).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Perméabilité initiale | \(k_0\) | \(1.5 \times 10^{-9}\) | m² |
| Aperture initiale | \(b_0\) | 500 | \(\mu\)m |
| Aperture finale | \(b_1\) | 140 | \(\mu\)m |
Astuces
Le ratio \(b_1/b_0\) est sans dimension, il n'est donc pas nécessaire de convertir les apertures en mètres pour cette partie. Calculez d'abord le ratio, élevez-le au cube, puis multipliez par \(k_0\) (qui doit être en m² pour obtenir \(k_1\) en m²).
Schéma (Avant les calculs)
On part de la situation initiale (\(b_0, k_0\)) et de l'aperture finale calculée (\(b_1\)) pour déterminer \(k_1\).
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du ratio d'aperture (sans dimension)
Étape 2 : Calcul du ratio au cube
C'est ici qu'intervient la forte non-linéarité de la loi cubique.
Étape 3 : Calcul de la perméabilité finale \(k_1\)
On multiplie la perméabilité initiale par le facteur de réduction calculé.
On arrondit le résultat, par exemple à 3 chiffres significatifs : \(k_1 \approx 3.29 \times 10^{-11} \text{ m}^2\).
Schéma (Après les calculs)
Ce graphique illustre qualitativement la relation cubique entre la perméabilité \(k\) et l'aperture \(b\). Une petite réduction de \(b\) entraîne une chute importante de \(k\).
Réflexions
La perméabilité a chuté d'environ \(1.5 \times 10^{-9} \text{ m}^2\) à \(3.29 \times 10^{-11} \text{ m}^2\). Le ratio \(k_1/k_0 \approx 0.022\). Cela signifie que la perméabilité a été réduite à environ 2.2% de sa valeur initiale ! Alors que l'aperture n'a été réduite "que" de 72%, la perméabilité a chuté de près de 98%. C'est l'effet de la puissance 3 dans la loi cubique.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'élever le ratio \((b_1/b_0)\) à la puissance 3. Une erreur commune est d'utiliser une relation linéaire (\(k_1/k_0 = b_1/b_0\)) ou quadratique, ce qui sous-estimerait considérablement la réduction de perméabilité.
Points à retenir
- La perméabilité d'une fracture est extrêmement sensible à son aperture (loi cubique \(k \propto b^3\)).
- Le couplage hydro-mécanique (effet de la contrainte sur la perméabilité) est un phénomène majeur dans les massifs rocheux fracturés.
Le saviez-vous ?
La perméabilité est souvent exprimée en Darcy (D) ou milliDarcy (mD) dans l'industrie pétrolière. 1 Darcy \(\approx 10^{-12}\) m². Donc, \(k_0 \approx 1500\) D et \(k_1 \approx 33\) D. Ces valeurs sont typiques pour des fractures ouvertes (\(k_0\)) et partiellement fermées (\(k_1\)) dans une roche comme le granite.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(k_0 = 2.0 \times 10^{-9} \text{ m}^2\) et que le ratio \(b_1/b_0 = 0.5\). Que vaut \(k_1\) (en m²) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4:
- Objectif: Calculer la perméabilité finale \(k_1\) à partir de \(b_1\).
- Formule: Loi cubique \(k_1 = k_0 (b_1/b_0)^3\).
- Point Clé: Mettre en évidence la forte réduction de \(k\) due à la réduction de \(b\).
- Résultat: \(\approx 3.29 \times 10^{-11} \text{ m}^2\).
Outil Interactif : Simulateur de Perméabilité
Utilisez les curseurs pour voir comment la contrainte appliquée et la raideur de la fracture influencent l'aperture finale et la perméabilité. Les calculs sont basés sur les données initiales de l'exercice.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal d'une augmentation de la contrainte normale sur une fracture ?
2. La "loi cubique" (version \(k \propto b^3\)) lie la perméabilité à quelle puissance de l'aperture ?
3. Dans le modèle de Barton-Bandis, que représente \(K_{ni}\) ?
4. Si une fracture se ferme de telle sorte que son aperture est divisée par 2 ( \(b_1/b_0 = 0.5\) ), par combien sa perméabilité (selon \(k \propto b^3\)) sera-t-elle divisée ?
5. Si une fracture a une raideur \(K_{ni}\) très élevée (elle est très "rigide"), que se passera-t-il si on applique une contrainte \(\Delta\sigma_n\) ?
Glossaire
- Aperture (b)
- L'espace vide ou l'ouverture (l'épaisseur) entre les deux épontes (surfaces) d'une fracture. C'est le chemin principal de l'écoulement.
- Perméabilité (k)
- Propriété intrinsèque d'un milieu poreux ou fracturé (la roche) qui quantifie sa capacité à laisser passer un fluide. Elle se mesure en m².
- Raideur Normale (K_n)
- Mesure de la résistance d'une fracture à la fermeture sous une contrainte normale. Une raideur élevée signifie que la fracture est très "rigide" et se ferme peu. Se mesure en Pa/m.
- Contrainte Normale (\(\sigma_n\))
- Force par unité de surface appliquée perpendiculairement à la surface de la fracture. Tendance à "serrer" ou "fermer" la fracture. Se mesure en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
- Loi Cubique
- Modèle physique qui stipule que le débit d'un fluide dans une fracture est proportionnel au cube de son aperture (\(Q \propto b^3\)). Cela implique une relation très sensible entre l'ouverture et la capacité d'écoulement.
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