Calcul de la Zone Endommagée (EDZ) d'un Tunnel TBM
Contexte : La Zone Endommagée par l'Excavation (EDZ)Zone de roche micro-fissurée et endommagée autour d'une excavation, causée par la redistribution des contraintes et le processus de creusement..
Lors du creusement d'un tunnel, en particulier avec un Tunnelier (TBM), les contraintes naturelles du massif rocheux sont redistribuées. Si ces nouvelles contraintes dépassent la résistance de la roche, une zone de rupture ou de micro-fissuration se forme autour du tunnel : c'est l'EDZ. La prévision de l'étendue de cette zone est cruciale pour la stabilité à long terme de l'ouvrage et pour le contrôle des venues d'eau, car l'EDZ est souvent plus perméable que la roche saine.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à estimer l'étendue de l'EDZ en utilisant des modèles analytiques courants en mécanique des roches, notamment le critère de Hoek-Brown et une solution élasto-plastique simplifiée.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept de l'EDZ et son importance en ingénierie des tunnels.
- Appliquer le critère de Hoek-Brown pour évaluer la résistance du massif rocheux.
- Estimer le rayon de la zone plastifiée (assimilée à l'EDZ) autour d'un tunnel circulaire.
- Analyser l'influence de la pression de soutènement sur la taille de l'EDZ.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type d'excavation | Tunnelier à roche dure (TBM) |
| Géométrie du tunnel | Circulaire, rayon \(a = 5 \text{ m}\) |
| Conditions du massif | Considéré comme continu et isotrope |
Modélisation du Tunnel et Contraintes in situ
| Nom du Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Profondeur du tunnel | \(H\) | 500 | m |
| Poids volumique moyen | \(\gamma\) | 0.027 | MN/m³ |
| Rapport de contrainte | \(K_0 = \sigma_h / \sigma_v\) | 1.2 | - |
| Résistance (roche intacte) | \(\sigma_{ci}\) | 90 | MPa |
| Constante de Hoek-Brown | \(m_i\) | 15 | - |
| Geological Strength Index | \(GSI\) | 55 | - |
| Pression de soutènement | \(p_i\) (appliquée par le TBM) | 1.0 | MPa |
Questions à traiter
- Calculer les contraintes in situ (verticale \(\sigma_v\) et horizontale \(\sigma_h\)) à la profondeur du tunnel.
- Déterminer les paramètres du critère de Hoek-Brown pour le massif rocheux (\(m_b\), \(s\), \(a\)), en supposant un facteur de perturbation nul (\(D=0\)).
- Calculer la résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux (\(\sigma_{cm}\)).
- Calculer la contrainte moyenne in situ (\(\sigma_0\)) en supposant un état de contrainte hydrostatique équivalent.
- En utilisant un modèle élasto-plastique de Mohr-Coulomb équivalent (avec \(\phi_{eq} = 30^\circ\) et \(c_{eq} = 2.0 \text{ MPa}\) pour cet exercice) et la contrainte \(\sigma_0\) calculée, estimer le rayon de la zone plastifiée (\(R_p\)), assimilée à l'EDZ.
Les bases sur la Zone Endommagée (EDZ)
L'estimation de l'EDZ repose sur la comparaison entre les contraintes induites par le creusement et la résistance du massif rocheux. Lorsque les contraintes dépassent la résistance, la roche entre en plasticité (elle "casse"), créant l'EDZ.
1. Critère de Rupture de Hoek-Brown
C'est le critère le plus utilisé pour les massifs rocheux. Il relie la contrainte principale majeure (\(\sigma_1\)) à la contrainte principale mineure (\(\sigma_3\)) au moment de la rupture :
\[ \sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{ci} \left( m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{ci}} + s \right)^a \]
Où \(m_b\), \(s\), et \(a\) sont des paramètres qui décrivent la qualité du massif (dérivés du GSI).
2. Rayon de la Zone Plastifiée (Modèle de Mohr-Coulomb)
Pour simplifier, on utilise souvent un modèle de Mohr-Coulomb (défini par une cohésion \(c\) et un angle de friction \(\phi\)) équivalent au critère de Hoek-Brown. Pour un tunnel circulaire sous contrainte hydrostatique \(\sigma_0\) avec une pression interne \(p_i\), le rayon de la zone plastifiée \(R_p\) est donné par :
\[ R_p = a \left[ \frac{(\sigma_0 + c \cot \phi)}{(p_i + c \cot \phi)} \right]^{\frac{1}{K-1}} \quad \text{avec} \quad K = \frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi} \]
Correction : Calcul de la Zone Endommagée (EDZ) d'un Tunnel TBM
Question 1 : Calculer les contraintes in situ (\(\sigma_v\) et \(\sigma_h\))
Principe
L'idée fondamentale est que la roche en profondeur supporte le poids de toutes les roches situées au-dessus d'elle. C'est comme être au fond d'une piscine : plus on est profond, plus la pression (ici, la contrainte verticale) est grande. La contrainte horizontale est liée à la contrainte verticale par la façon dont le massif rocheux "pousse" latéralement, ce qui est quantifié par le coefficient \(K_0\).
Mini-Cours
Les contraintes lithostatiques sont les contraintes naturelles dans le sol ou la roche dues à la gravité. La contrainte verticale \(\sigma_v\) à une profondeur \(H\) est calculée en multipliant la hauteur de la colonne de roche par son poids volumique moyen \(\gamma\). La contrainte horizontale \(\sigma_h\) est généralement différente de \(\sigma_v\) en raison de l'histoire géologique (érosion, tectonique). Le rapport \(K_0 = \sigma_h / \sigma_v\) caractérise cet état de contrainte horizontal par rapport au vertical.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est la première étape fondamentale de toute analyse de stabilité d'une excavation souterraine. Il est crucial de bien estimer \(\gamma\) (poids volumique moyen des terrains) et \(K_0\) (qui peut varier considérablement selon le contexte géologique). Une erreur ici se propage dans tous les calculs suivants.
Normes
Le calcul de \(\sigma_v\) est basé sur les principes fondamentaux de la mécanique des milieux continus (équilibre statique). L'estimation de \(K_0\) peut suivre des corrélations empiriques (par exemple, la formule de Jaky \(K_0 = 1 - \sin\phi'\) pour les sols normalement consolidés, bien que moins applicable aux roches) ou, idéalement, provenir de mesures in situ (essais de fracturation hydraulique, essais au dilatomètre).
Formule(s)
Nous utilisons les définitions de base des contraintes lithostatiques.
Contrainte verticale
Contrainte horizontale
Hypothèses
Pour appliquer ces formules simples, nous faisons des suppositions sur l'homogénéité du massif et la géométrie.
- Le poids volumique \(\gamma\) est considéré constant sur toute la hauteur \(H\) des terrains sus-jacents.
- La surface du sol est supposée horizontale.
- Le coefficient \(K_0\) est supposé constant et représentatif de l'état de contrainte à la profondeur H.
Donnée(s)
Nous extrayons les valeurs nécessaires de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique | \(\gamma\) | 0.027 | MN/m³ |
| Profondeur | \(H\) | 500 | m |
| Coeff. de poussée | \(K_0\) | 1.2 | - |
Astuces
Assurez-vous que les unités sont cohérentes avant de multiplier. Ici, \(\gamma\) est en \(\text{MN/m}^3\) et \(H\) en \(\text{m}\), le produit \(\gamma \cdot H\) sera donc en \(\text{MN/m}^2\), ce qui est directement équivalent à des MégaPascals (MPa). \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ MN/m}^2\). C'est une conversion très utile en géotechnique.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons un petit cube de roche à la profondeur \(H\). Il est comprimé verticalement par le poids des roches au-dessus (\(\sigma_v\)) et horizontalement par la poussée latérale du massif (\(\sigma_h\)).
Contraintes in situ
Calcul(s)
Appliquons les formules avec les données fournies.
Étape 1 : Calcul de \(\sigma_v\)
Étape 2 : Calcul de \(\sigma_h\)
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant ajouter les valeurs calculées au schéma précédent pour avoir une représentation quantitative de l'état de contrainte initial.
Contraintes in situ (Valeurs)
Réflexions
Nous avons un champ de contrainte anisotrope avec \(K_0 = 1.2 > 1\), ce qui signifie que la contrainte horizontale est supérieure à la verticale (\(16.2 \text{ MPa} > 13.5 \text{ MPa}\)). C'est une situation fréquente dans les massifs rocheux profonds ou qui ont subi des poussées tectoniques. Cet état de contrainte initial est celui qui sera perturbé par le creusement du tunnel.
Points de vigilance
Ne pas oublier de vérifier la cohérence des unités. Si le poids volumique est donné en masse volumique (ex: \(\rho = 2700 \text{ kg/m}^3\)), il faut le convertir en poids volumique en multipliant par l'accélération de la pesanteur (\(g \approx 9.81 \text{ m/s}^2\)): \(\gamma = \rho \cdot g\). Assurez-vous ensuite de convertir le résultat en MPa (\(1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ N/m}^2\)).
Points à retenir
- La contrainte verticale \(\sigma_v\) augmente linéairement avec la profondeur \(H\) : \(\sigma_v = \gamma H\).
- La contrainte horizontale \(\sigma_h\) est proportionnelle à \(\sigma_v\) via le coefficient \(K_0\): \(\sigma_h = K_0 \sigma_v\).
- L'état de contrainte in situ est le point de départ de toute analyse de stabilité d'excavation.
Le saviez-vous ?
Le concept de \(K_0\) (coefficient de poussée des terres au repos) a été initialement développé pour les sols par Jaky vers 1944. Son application aux roches est une extension, mais le principe de relation entre contraintes verticale et horizontale reste valide, bien que la valeur de \(K_0\) dans la roche puisse être très variable et difficile à prédire sans mesures.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Testez votre compréhension : Que devient la contrainte horizontale \(\sigma_h\) si le site était géologiquement "passif" (détendu) avec un \(K_0 = 0.8\)?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Contraintes lithostatiques (poids des terres).
- Formules Essentielles : \(\sigma_v = \gamma H\), \(\sigma_h = K_0 \sigma_v\).
- Point de Vigilance : Unités (MPa = MN/m²).
Question 2 : Déterminer les paramètres de Hoek-Brown (\(m_b, s, a\))
Principe
Le critère de Hoek-Brown est empirique et vise à décrire la résistance d'un massif rocheux fracturé. Il utilise des paramètres décrivant la roche intacte (\(\sigma_{ci}, m_i\)), la qualité globale du massif (via le GSI), et l'endommagement potentiel dû à la méthode d'excavation (via \(D\)). Ces formules permettent de passer des caractéristiques observées ou mesurées (\(GSI, m_i, D\)) aux paramètres \(m_b, s, a\) utilisés dans l'équation du critère.
Mini-Cours
GSI (Geological Strength Index) : Représente la qualité structurale du massif (degré de fracturation, état des épontes). Un GSI élevé (proche de 100) indique une roche massive, peu fracturée. Un GSI faible (proche de 0) indique une roche très fracturée, broyée.
\(m_i\) : Constante matérielle pour la roche intacte, liée à sa minéralogie et sa texture. Plus \(m_i\) est élevé, plus la roche est résistante au confinement.
\(D\) (Disturbance factor) : Facteur de perturbation, allant de 0 (excavation soignée, TBM) à 1 (sautage très médiocre). Il réduit la résistance du massif près de l'excavation.
\(m_b, s, a\) : Paramètres dérivés pour le massif rocheux, utilisés dans le critère \(\sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{ci} (m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{ci}} + s)^a\).
Remarque Pédagogique
Le passage de \(m_i\) à \(m_b\) et le calcul de \(s\) et \(a\) à partir du GSI représentent la prise en compte de l'effet d'échelle et de la présence des discontinuités. C'est le cœur de l'approche de Hoek-Brown : adapter la résistance mesurée en laboratoire (roche intacte) à la réalité du terrain (massif fracturé).
Normes
Les formules utilisées ici sont celles de la version la plus récente et largement acceptée du critère généralisé de Hoek-Brown, publiées par Hoek, Carranza-Torres et Corkum en 2002. Il est important d'utiliser ces formules spécifiques car elles ont évolué au fil des ans.
Formule(s)
Ces formules empiriques relient les paramètres de base aux paramètres du critère pour le massif.
Paramètre \(m_b\)
Paramètre \(s\)
Paramètre \(a\)
Hypothèses
L'application de ces formules repose sur l'acceptation du modèle empirique de Hoek-Brown et la validité des paramètres d'entrée.
- Le modèle de Hoek-Brown (2002) est applicable au massif étudié.
- Les valeurs de \(GSI\) et \(m_i\) sont représentatives.
- Le facteur de perturbation \(D=0\) est une hypothèse justifiée pour un TBM bien piloté.
Donnée(s)
Nous utilisons les données géotechniques de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| GSI | \(GSI\) | 55 | - |
| Constante intacte | \(m_i\) | 15 | - |
| Facteur de perturbation | \(D\) | 0 | - |
Astuces
Utilisez une calculatrice scientifique ou un tableur (Excel, Google Sheets) pour calculer les exponentielles. Notez que \(e^x\) est souvent noté `EXP(x)`. Soyez attentif aux signes négatifs dans les exposants. Pour \(a\), calculez d'abord les termes exponentiels, puis combinez-les.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser le GSI sur un graphique standard de Hoek-Brown, qui montre qualitativement comment la structure du massif (blocs anguleux, désagrégés, etc.) et l'état des surfaces (rugueux, altérés, etc.) se combinent pour donner une valeur de GSI.
Estimation du GSI (Graphique Qualitatif)
(Note : GSI=55 correspondrait typiquement à un massif "Très Blocqué" avec des surfaces de qualité "Moyenne".)
Calcul(s)
Appliquons les formules avec \(GSI=55\), \(m_i=15\) et \(D=0\).
Étape 1 : Calcul de \(m_b\)
On arrondit généralement \(m_b\) à 2 décimales.
Étape 2 : Calcul de \(s\)
On garde souvent plus de décimales pour \(s\) car il est petit.
Étape 3 : Calcul de \(a\)
Schéma (Après les calculs)
Ces paramètres (\(m_b=3.01, s=0.0067, a=0.504\)) définissent la forme spécifique de l'enveloppe de rupture de Hoek-Brown pour ce massif dans le plan (\(\sigma_1, \sigma_3\)). C'est une courbe qui part de \(\sigma_{cm}\) sur l'axe \(\sigma_1\) et s'élève de manière non linéaire lorsque le confinement \(\sigma_3\) augmente.
Enveloppe de Rupture H-B (GSI=55, D=0)
Réflexions
Les valeurs obtenues (\(m_b=3.01, s=0.0067, a=0.504\)) confirment que nous avons affaire à un massif de qualité moyenne. La valeur de \(s\) est particulièrement faible (proche de 0), ce qui indique que la résistance du massif en l'absence de confinement (\(\sigma_3=0\)) sera très faible comparée à \(\sigma_{ci}\). Le paramètre \(a\) est très proche de 0.5, ce qui est typique pour la plupart des roches (sauf les roches très pauvres où il peut monter jusqu'à 0.65).
Points de vigilance
Le paramètre \(a\) est sensible à la valeur du GSI, surtout pour les faibles GSI. Assurez-vous d'utiliser la bonne formule (celle de 2002). Ne confondez pas \(m_i\) (roche intacte, ex: 15 ici) et \(m_b\) (massif rocheux, ex: 3.01 ici). Utilisez toujours \(m_b\), \(s\), et \(a\) dans le critère de Hoek-Brown pour le massif.
Points à retenir
- Les paramètres \(m_b, s, a\) quantifient la résistance du massif rocheux selon Hoek-Brown.
- Ils sont calculés à partir de \(\sigma_{ci}, m_i, GSI\) et du facteur de perturbation \(D\).
- Pour un creusement soigné (TBM), on prend généralement \(D=0\).
- Un GSI faible conduit à des valeurs de \(m_b\) et \(s\) plus faibles, donc une résistance moindre du massif.
Le saviez-vous ?
Le critère de Hoek-Brown a été initialement développé pour estimer la résistance des piliers de mine dans les années 1980. Il a depuis été généralisé et est devenu l'un des outils les plus utilisés mondialement pour la conception d'excavations dans la roche.
FAQ
Questions fréquentes sur ces paramètres.
Résultat Final
A vous de jouer
Testez votre compréhension : Que devient le paramètre \(m_b\) si la roche est de meilleure qualité, avec un \(GSI = 75\) (garder \(m_i=15, D=0\))?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Traduire les caractéristiques observées (GSI) en paramètres de résistance (Hoek-Brown).
- Formules Clés : Expressions de \(m_b, s, a\) en fonction de \(GSI, m_i, D\).
- Point de Vigilance : Utiliser D=0 pour TBM.
Question 3 : Calculer la résistance à la compression uniaxiale du massif (\(\sigma_{cm}\))
Principe
La résistance à la compression uniaxiale du *massif* (\(\sigma_{cm}\)) représente la capacité portante intrinsèque du massif rocheux lorsqu'il n'est pas confiné latéralement (\(\sigma_3 = 0\)). C'est un cas particulier du critère général de Hoek-Brown, obtenu en annulant la contrainte mineure.
Mini-Cours
Dans le critère \(\sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{ci} (m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{ci}} + s)^a\), si l'on pose \(\sigma_3 = 0\), on obtient \(\sigma_1 = 0 + \sigma_{ci} (0 + s)^a = \sigma_{ci} s^a\). Cette valeur particulière de \(\sigma_1\) est, par définition, la résistance en compression uniaxiale du massif, notée \(\sigma_{cm}\). Elle dépend donc de la résistance de la roche intacte \(\sigma_{ci}\) et des paramètres \(s\) et \(a\) qui reflètent la qualité du massif.
Remarque Pédagogique
Comparer \(\sigma_{cm}\) à \(\sigma_{ci}\) donne une idée directe de la dégradation de la résistance due à la fracturation. Pour un GSI de 55, on s'attend à ce que \(\sigma_{cm}\) soit nettement inférieur à \(\sigma_{ci}\). C'est cette valeur \(\sigma_{cm}\) qui serait pertinente si l'on testait un très gros échantillon représentatif du massif en compression simple.
Normes
Ce calcul découle directement de l'application du critère de Hoek-Brown (2002) pour le cas spécifique où la contrainte principale mineure \(\sigma_3\) est nulle.
Formule(s)
Application directe du critère H-B pour \(\sigma_3 = 0\).
Résistance uniaxiale du massif
Hypothèses
Nous utilisons les paramètres \(s\) et \(a\) calculés précédemment, qui sont basés sur les hypothèses sous-jacentes (GSI représentatif, D=0).
- Les paramètres \(s\) et \(a\) calculés à la question 2 sont corrects.
- Le critère de Hoek-Brown est valide pour \(\sigma_3 = 0\).
Donnée(s)
Nous utilisons \(\sigma_{ci}\) de l'énoncé et les résultats de la question 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance intacte | \(\sigma_{ci}\) | 90 | MPa |
| Paramètre H-B | \(s\) | 0.0067 | - |
| Paramètre H-B | \(a\) | 0.504 | - |
Astuces
Le calcul \(s^a\) peut être délicat. Utilisez la fonction puissance de votre calculatrice (souvent notée \(x^y\) ou \(\wedge\)). Comme \(a \approx 0.5\), le résultat \(s^a\) sera proche de \(\sqrt{s}\). Le rapport \(\sigma_{cm} / \sigma_{ci} = s^a\) est un bon indicateur de la réduction de résistance due à la structure du massif.
Schéma (Avant les calculs)
Nous reprenons le schéma du critère de Hoek-Brown pour visualiser le point correspondant à \(\sigma_{cm}\) sur l'axe vertical (\(\sigma_1\)) lorsque \(\sigma_3 = 0\).
Définition de σcm sur le critère H-B
Calcul(s)
Effectuons le calcul numérique.
Calcul de \(s^a\)
En utilisant une calculatrice : \(0.0067^{0.504} \approx 0.08185\).
Calcul de \(\sigma_{cm}\)
On arrondit à deux décimales.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma précédent peut être mis à jour avec la valeur calculée.
Valeur de σcm
Réflexions
La résistance du massif (\(7.37 \text{ MPa}\)) est effectivement très inférieure à celle de la roche intacte (\(90 \text{ MPa}\)), seulement 8% environ (\(7.37 / 90 \approx 0.082\)). Cela souligne l'importance capitale de considérer la structure du massif (via GSI) et pas seulement les propriétés de la roche intacte pour les calculs de stabilité.
Points de vigilance
Ne pas confondre \(\sigma_{cm}\) (résistance uniaxiale du massif) avec \(\sigma_{ci}\) (résistance uniaxiale de la roche intacte). Ne pas confondre \(\sigma_{cm}\) avec la cohésion (\(c\)) d'un modèle de Mohr-Coulomb équivalent. \(\sigma_{cm}\) est une résistance, pas un paramètre de modèle (même si elle en découle).
Points à retenir
- \(\sigma_{cm} = \sigma_{ci} \cdot s^a\) est la résistance en compression simple du massif rocheux selon Hoek-Brown.
- Elle est typiquement beaucoup plus faible que \(\sigma_{ci}\) pour des massifs fracturés (GSI < 100).
- C'est une valeur clé pour comprendre le comportement du massif sous faible confinement.
Le saviez-vous ?
Pour les sols (\(GSI \approx 0\)), les formules de Hoek-Brown ne sont plus valides. Pour les roches très massives (\(GSI = 100\)), on a \(s=1\) et \(a=0.5\), et le critère se rapproche d'une forme parabolique spécifique à la roche intacte, avec \(\sigma_{cm} = \sigma_{ci}\).
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Testez votre compréhension : Que deviendrait \(\sigma_{cm}\) si la roche intacte était plus résistante, avec \(\sigma_{ci} = 120 \text{ MPa}\) (en gardant s=0.0067 et a=0.504 identiques) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Résistance intrinsèque du massif (\(\sigma_{cm}\)) sans confinement.
- Formule Essentielle : \(\sigma_{cm} = \sigma_{ci} \cdot s^a\).
- Point de Vigilance : \(\sigma_{cm} \ll \sigma_{ci}\) pour GSI < 100.
Question 4 : Calculer la contrainte moyenne in situ (\(\sigma_0\))
Principe
De nombreuses solutions analytiques en mécanique des roches (notamment pour les excavations circulaires) sont développées sous l'hypothèse simplificatrice d'un champ de contrainte initial isotrope (ou hydrostatique), c'est-à-dire égal dans toutes les directions. Pour appliquer ces solutions à un cas réel où \(\sigma_v \neq \sigma_h\), on calcule une contrainte moyenne \(\sigma_0\) qui représente au mieux l'état de contrainte général.
Mini-Cours
Dans un état de contrainte plan (2D), les contraintes principales sont \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\). L'état hydrostatique correspond à \(\sigma_1 = \sigma_3 = \sigma_0\). Pour un massif soumis à \(\sigma_v\) et \(\sigma_h\), une approximation courante consiste à prendre la moyenne arithmétique : \(\sigma_0 = (\sigma_v + \sigma_h) / 2\). Cette valeur est ensuite utilisée comme contrainte "lointaine" (à l'infini) dans les modèles axisymétriques.
Remarque Pédagogique
Cette simplification est raisonnable lorsque le rapport \(K_0 = \sigma_h / \sigma_v\) est proche de 1. Si \(K_0\) est très différent de 1, l'anisotropie des contraintes peut avoir un effet significatif sur la forme et l'étendue de la zone plastifiée (qui ne sera plus parfaitement circulaire), et cette moyenne simple peut être moins précise. Cependant, elle reste utile pour une première estimation.
Normes
Il n'y a pas de norme formelle imposant cette moyenne spécifique. C'est une simplification couramment adoptée dans la littérature technique pour utiliser des solutions analytiques (comme celle de la question 5) lorsque l'état de contrainte réel n'est pas parfaitement isotrope.
Formule(s)
La moyenne arithmétique simple des contraintes in situ.
Contrainte moyenne
Hypothèses
L'hypothèse principale est que cette moyenne arithmétique représente de manière acceptable l'effet global des contraintes in situ pour le problème de la stabilité du tunnel circulaire.
- L'effet de l'anisotropie (\(K_0 \neq 1\)) sur la taille de la zone plastique peut être approximé par l'utilisation d'une contrainte moyenne.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte verticale | \(\sigma_v\) | 13.5 | MPa |
| Contrainte horizontale | \(\sigma_h\) | 16.2 | MPa |
Astuces
Vérifiez que vous utilisez bien les contraintes principales in situ (\(\sigma_v\) et \(\sigma_h\)) pour ce calcul. D'autres définitions de la contrainte moyenne existent (ex: contrainte moyenne octaédrique), mais celle-ci est la plus courante pour les solutions analytiques simplifiées de tunnels circulaires.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la transformation conceptuelle d'un état de contrainte anisotrope (flèches de longueurs différentes) en un état hydrostatique équivalent (flèches de même longueur).
Approximation Hydrostatique
Calcul(s)
Effectuons la moyenne arithmétique.
Calcul de \(\sigma_0\)
Schéma (Après les calculs)
On peut mettre à jour le schéma de l'état hydrostatique avec la valeur calculée.
État Hydrostatique Équivalent
Réflexions
La valeur de \(\sigma_0 = 14.85 \text{ MPa}\) représente la contrainte moyenne de confinement à laquelle le massif est soumis loin du tunnel. C'est cette contrainte qui va être perturbée par le creusement et qui va "piloter" le développement de la zone plastifiée autour de l'excavation.
Points de vigilance
C'est une simplification importante. Dans un état anisotrope réel (\(K_0 \neq 1\)), la zone plastifiée n'est pas parfaitement circulaire et sa taille peut varier selon l'orientation. Utiliser \(\sigma_0\) donne une estimation moyenne du rayon.
Points à retenir
- La contrainte moyenne \(\sigma_0 = (\sigma_v + \sigma_h) / 2\) est utilisée pour simplifier les calculs analytiques en supposant un état hydrostatique.
- Elle est particulièrement utile pour les géométries circulaires.
- Son utilisation est une approximation si \(K_0 \neq 1\).
Le saviez-vous ?
Des solutions analytiques plus complexes existent pour les tunnels circulaires sous contraintes anisotropes (ex: solutions de Lekhnitskii pour l'élasticité anisotrope, ou des développements pour l'élasto-plasticité anisotrope), mais elles sont mathématiquement plus lourdes et moins utilisées en pratique courante que les méthodes numériques.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Testez votre compréhension : Que deviendrait \(\sigma_0\) si le champ de contrainte était parfaitement hydrostatique (\(K_0 = 1.0\)) ? (Rappel: \(\sigma_v = 13.5 \text{ MPa}\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Simplification de l'état de contrainte anisotrope en hydrostatique équivalent.
- Formule Essentielle : \(\sigma_0 = (\sigma_v + \sigma_h) / 2\).
- Utilité : Permet d'utiliser des solutions analytiques axisymétriques.
Question 5 : Estimer le rayon de la zone plastifiée (\(R_p\))
Principe
Lorsqu'on creuse le tunnel, la contrainte radiale à la paroi devient nulle (ou égale à la pression de soutènement \(p_i\)). La contrainte tangentielle (\(\sigma_\theta\)) augmente fortement (concentration de contraintes). Si cette contrainte tangentielle, combinée à la contrainte radiale, dépasse le critère de rupture du massif, une zone plastique (l'EDZ) se forme autour du tunnel. La formule utilisée calcule le rayon \(R_p\) de cette zone en équilibrant les contraintes et la résistance selon le modèle de Mohr-Coulomb.
Mini-Cours
La formule de Salençon (ou Kastner) est dérivée de la théorie de l'élasto-plasticité pour un cylindre épais sous pression interne et externe, avec un matériau suivant le critère de Mohr-Coulomb (\(c, \phi\)). Elle exprime le rayon \(R_p\) où la roche passe de l'état élastique (loin du tunnel) à l'état plastique (près du tunnel). Les termes \((\sigma_0 + c \cot \phi)\) et \((p_i + c \cot \phi)\) représentent des "pressions de confinement effectives" respectivement à l'infini et à la paroi, modifiées par la cohésion. Le facteur \(K = (1+\sin\phi)/(1-\sin\phi)\) est le coefficient de poussée passive, lié à l'angle de friction.
Remarque Pédagogique
Cette formule est très utile pour une première estimation rapide de l'EDZ. Elle met bien en évidence les facteurs principaux : une roche plus résistante (\(c, \phi\) élevés) ou une pression de soutènement \(p_i\) plus forte réduisent \(R_p\). Inversement, des contraintes in situ \(\sigma_0\) plus élevées augmentent \(R_p\). Notez que nous utilisons ici des paramètres \(c_{eq}\) et \(\phi_{eq}\) *équivalents* au critère de Hoek-Brown, ce qui est une simplification supplémentaire.
Normes
Cette formule est une solution analytique classique de la mécanique des milieux continus pour un problème idéalisé (géométrie, matériau, chargement). Elle n'est pas directement issue d'une norme de conception, mais elle est largement utilisée comme outil d'analyse préliminaire.
Formule(s)
Formules pour le calcul du rayon de plasticité dans un milieu de Mohr-Coulomb.
Coefficient de poussée passive
Rayon de la zone plastifiée
Hypothèses
L'application de cette formule repose sur plusieurs idéalisations importantes.
- Le comportement du massif rocheux peut être raisonnablement approximé par un modèle de Mohr-Coulomb avec les paramètres équivalents \(c_{eq}\) et \(\phi_{eq}\).
- Le comportement est élastique-parfaitement plastique (pas de pic et de chute de résistance post-rupture, ou "strain softening").
- L'état de contrainte in situ peut être représenté par la moyenne hydrostatique \(\sigma_0\).
- Le problème est axisymétrique (contraintes et déformations ne dépendent que du rayon).
- Les déformations sont considérées comme petites.
Donnée(s)
Nous rassemblons toutes les données nécessaires, y compris les résultats des questions précédentes et les paramètres équivalents fournis.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon tunnel | \(a\) | 5.0 | m |
| Contrainte moyenne | \(\sigma_0\) | 14.85 | MPa |
| Pression soutènement | \(p_i\) | 1.0 | MPa |
| Cohésion équivalente | \(c_{eq}\) | 2.0 | MPa |
| Angle friction équiv. | \(\phi_{eq}\) | 30 | ° |
Astuces
N'oubliez pas les unités (tout en \(\text{MPa}\) et \(\text{m}\)). L'exposant \(1/(K-1)\) est souvent égal à \(0.5\) pour \(\phi=30^\circ\). Vérifiez bien le calcul de \(K\). Le terme \(c \cot \phi\) a les dimensions d'une contrainte et est parfois appelé "pression de cohésion".
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre le concept : une zone plastique (EDZ) de rayon \(R_p\) entoure le tunnel de rayon \(a\). Au-delà de \(R_p\), la roche reste dans le domaine élastique. La pression de soutènement \(p_i\) s'applique sur la paroi du tunnel (rayon \(a\)), et la contrainte lointaine est \(\sigma_0\).
Zone Plastique (EDZ) autour du Tunnel
Calcul(s)
Nous procédons par étapes pour plus de clarté.
Étape 1 : Calcul des termes constants (\(c \cot \phi\), \(K\), exposant)
Étape 2 : Calcul du rapport des pressions effectives
Étape 3 : Calcul de \(R_p\)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma conceptuel peut être mis à jour avec les dimensions calculées : rayon du tunnel \(a=5\text{ m}\), rayon de l'EDZ \(R_p=10.13\text{ m}\), et épaisseur de l'EDZ \(R_p - a = 5.13\text{ m}\).
Zone Plastique Calculée (Dimensions)
Réflexions
L'étendue de la zone endommagée (rayon de \(10.13 \text{ m}\), soit une épaisseur de \(5.13 \text{ m}\) autour d'un tunnel de \(5 \text{ m}\) de rayon) est considérable. Cela signifie que sur une distance significative autour du tunnel, la roche a dépassé sa limite de résistance et s'est plastifiée (micro-fissuration, rupture). Cette zone aura des propriétés mécaniques dégradées (module d'Young plus faible, résistance moindre) et une perméabilité potentiellement accrue, ce qui doit être pris en compte pour le dimensionnement du soutènement et l'évaluation des venues d'eau.
Points de vigilance
Cette formule est sensible aux paramètres d'entrée, notamment \(c\) et \(\phi\). L'utilisation de paramètres équivalents \(c_{eq}, \phi_{eq}\) dérivés de Hoek-Brown est une approximation. La méthode pour obtenir ces paramètres équivalents peut influencer le résultat. De plus, l'hypothèse d'un comportement parfaitement plastique (sans adoucissement) est optimiste ; l'adoucissement tendrait à augmenter la taille de l'EDZ. L'anisotropie des contraintes in situ peut aussi conduire à une EDZ non circulaire.
Points à retenir
- Le rayon de l'EDZ (\(R_p\)) peut être estimé analytiquement sous certaines hypothèses (géométrie circulaire, état hydrostatique, Mohr-Coulomb).
- \(R_p\) augmente avec les contraintes in situ (\(\sigma_0\)) et diminue avec la résistance de la roche (\(c, \phi\)) et la pression de soutènement (\(p_i\)).
- L'épaisseur de l'EDZ est \(R_p - a\).
- L'EDZ a des implications importantes sur la stabilité et l'hydraulique du tunnel.
Le saviez-vous ?
Dans les tunnels profonds sous fortes contraintes, un phénomène appelé "l'éclatement" (spalling ou rock burst) peut se produire à la paroi. Il s'agit d'une rupture fragile violente due à des contraintes tangentielles très élevées dépassant la résistance en compression de la roche. Le calcul de l'EDZ aide à évaluer ce risque.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Testez votre compréhension : Que deviendrait \(R_p\) si la pression de soutènement du TBM était augmentée à \(p_i = 2.0 \text{ MPa}\) (en gardant les autres paramètres constants) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Calcul du rayon de la zone plastique (EDZ) autour d'un tunnel circulaire.
- Formule Essentielle : Formule de Salençon/Kastner basée sur Mohr-Coulomb.
- Paramètres Clés : \(\sigma_0, p_i, a, c, \phi\).
- Relation Clé : \(R_p\) diminue si \(p_i\) ou la résistance (\(c, \phi\)) augmentent; \(R_p\) augmente si \(\sigma_0\) augmente.
Outil Interactif : Simulateur d'EDZ
Ce simulateur vous permet de voir l'impact de la pression de soutènement (\(p_i\)) et de la cohésion équivalente (\(c_{eq}\)) sur le rayon de la zone endommagée (\(R_p\)). (Basé sur \(\sigma_0 = 14.85 \text{ MPa}\) et \(\phi_{eq} = 30^\circ\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que l'EDZ (Excavation Damaged Zone) ?
2. Un GSI (Geological Strength Index) élevé, par exemple 80, signifie :
3. En général, quelle méthode d'excavation minimise l'étendue de l'EDZ ?
4. Dans le critère de Hoek-Brown, le facteur de perturbation \(D\) est pris égal à 0 pour :
5. Que se passe-t-il si on augmente la pression de soutènement \(p_i\) (la pression appliquée par le TBM ou le revêtement) ?
Glossaire
- EDZ (Excavation Damaged Zone)
- Zone de roche micro-fissurée et endommagée autour d'une excavation, causée par la redistribution des contraintes et le processus de creusement. Sa perméabilité est souvent accrue.
- TBM (Tunnel Boring Machine)
- Tunnelier. Machine complexe qui creuse un tunnel sur toute sa section en même temps, tout en posant (souvent) un soutènement (voussoirs).
- GSI (Geological Strength Index)
- Indice de Résistance Géologique. Un système de classification (de 0 à 100) qui estime la résistance d'un massif rocheux en se basant sur sa structure et l'état de ses fractures.
- Critère de Hoek-Brown
- Modèle mathématique (critère de rupture) empirique utilisé pour prédire la résistance des massifs rocheux fracturés.
- Contrainte in situ
- Les contraintes naturelles (poids, tectonique) présentes dans le sol ou la roche avant toute excavation.
- Mohr-Coulomb (Critère de)
- Critère de rupture classique pour les sols et parfois utilisé pour les roches, défini par une cohésion (\(c\)) et un angle de frottement interne (\(\phi\)).
- Cohésion (\(c\))
- Partie de la résistance au cisaillement d'un matériau qui ne dépend pas de la contrainte normale (résistance intrinsèque).
- Angle de frottement interne (\(\phi\))
- Paramètre décrivant comment la résistance au cisaillement d'un matériau augmente avec la contrainte normale appliquée.
- Contrainte Principale (\(\sigma_1, \sigma_3\))
- Contraintes normales agissant sur des plans où les contraintes de cisaillement sont nulles. \(\sigma_1\) est la contrainte principale majeure (la plus grande compression), \(\sigma_3\) est la mineure (la plus faible compression ou la plus grande tension).
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