Étude du Risque de Coup de Terrain (Rockburst)

Exercice : Risque de Rockburst en Mine Profonde

Étude du Risque de Coup de Terrain (Rockburst) en Mine Profonde

Contexte : La mécanique des roches en grande profondeur.

L'exploitation minière à grande profondeur (souvent plus de 2000 mètres) induit des contraintes in-situLes contraintes naturelles existant dans un massif rocheux avant tout creusement. Elles augmentent avec la profondeur. extrêmement élevées. Lorsqu'un tunnel ou une galerie est excavé, ces contraintes se reconcentrent autour du vide créé. Si la roche est dure et fragile (ex: granite, quartzite) et que la contrainte induite dépasse sa résistance, l'énergie accumulée peut être libérée de manière explosive : c'est le coup de terrainPhénomène d'instabilité de roche violent et soudain, libérant une grande quantité d'énergie, typique des mines profondes et des roches dures. (ou "rockburst").

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à lier les concepts fondamentaux (contrainte lithostatique, concentration de contrainte, critère de rupture) pour évaluer un risque d'ingénierie majeur et bien réel.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les contraintes in-situ verticales et horizontales en fonction de la profondeur.
Appliquer les équations de Kirsch pour déterminer la concentration de contrainte autour d'un tunnel circulaire.
Estimer la résistance d'un massif rocheux à l'aide du critère de Hoek-Brown simplifié.
Évaluer le risque de rupture fragile et de coup de terrain en comparant contrainte et résistance.

Données de l'étude

Nous étudions un projet de galerie d'accès circulaire dans une mine de granite à grande profondeur.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Profondeur de la galerie (z)	2500 m
Type de roche	Granite massif
Masse volumique de la roche ($\rho$)	2700 kg/m³

Modélisation du Tunnel et Contraintes In-Situ

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Accélération de la pesanteur (g)	Constante	9.81	m/s²
Rayon du tunnel (a)	Géométrie	3.0	m
Ratio contrainte horizontale (k)	$\sigma_{\text{h}} / \sigma_{\text{v}}$	1.5	-
Résistance (UCS) de la roche intacte ($\sigma_{\text{ci}}$)	Propriété de la roche	180	MPa
Indice de Force Géologique (GSI)	Qualité du massif rocheux	85	-
Constante (mi) de Hoek-Brown	Propriété de la roche	25	-

Questions à traiter

Calculer les contraintes in-situ (verticale $\sigma_{\text{v}}$ et horizontale $\sigma_{\text{h}}$) à 2500 m de profondeur.
En utilisant les équations de Kirsch, calculer la contrainte tangentielle maximale ($\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$) à la paroi du tunnel.
Calculer la résistance en compression de la masse rocheuse ($\sigma_{\text{cmass}}$) en utilisant le critère de Hoek-Brown (formule simplifiée).
Comparer la contrainte maximale ($\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$) à la résistance ($\sigma_{\text{cmass}}$) pour évaluer le risque de rupture.
Calculer l'indice de contrainte (Stress-Strength Ratio, SSR) en utilisant $\sigma_{\text{ci}}$ et commenter le risque de rockburst.

Les bases sur la Mécanique des Roches

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts clés :

1. Contraintes In-Situ
La contrainte verticale $\sigma_{\text{v}}$ est due au poids des roches sus-jacentes. La contrainte horizontale $\sigma_{\text{h}}$ est liée à $\sigma_{\text{v}}$ par un ratio $k$. \[ \sigma_{\text{v}} = \rho \cdot g \cdot z \quad \text{et} \quad \sigma_{\text{h}} = k \cdot \sigma_{\text{v}} \]

2. Équations de Kirsch (Tunnel Circulaire)
Ces équations décrivent la contrainte autour d'un trou circulaire. La contrainte tangentielle $\sigma_{\theta\theta}$ à la paroi (où $r=a$) est donnée par : \[ \sigma_{\theta\theta} = (\sigma_{\text{v}} + \sigma_{\text{h}}) - 2(\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}) \cos(2\theta) \] La contrainte maximale se trouve soit au toit ($\theta=0^\circ$), soit aux parements ($\theta=90^\circ$). Pour $\theta=90^\circ$ (parements) : $\cos(2 \cdot 90^\circ) = -1$, donc $\sigma_{\theta\theta} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}$.

3. Critère de Hoek-Brown (Simplifié)
La résistance en compression uniaxiale de la *masse* rocheuse ($\sigma_{\text{cmass}}$) est inférieure à celle de la roche *intacte* ($\sigma_{\text{ci}}$). On l'estime avec le GSI : \[ \sigma_{\text{cmass}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot (s)^a \] Avec $a = 0.5$ (pour roches massives) et $s = \exp\left(\frac{GSI - 100}{9}\right)$.

Correction : Étude du Risque de Coup de Terrain (Rockburst) en Mine Profonde

Question 1 : Calculer les contraintes in-situ (verticale $\sigma_{\text{v}}$ et horizontale $\sigma_{\text{h}}$)

Principe

Nous devons d'abord déterminer la pression exercée par le poids des 2500m de roche au-dessus de notre tunnel (contrainte verticale), puis utiliser le ratio $k$ pour trouver la contrainte horizontale.

Mini-Cours

La contrainte lithostatique (verticale) est le produit de la masse volumique ($\rho$), de l'accélération de la pesanteur ($g$) et de la profondeur ($z$). La contrainte horizontale est un multiple de cette valeur, défini par le coefficient $k$.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que vos unités sont cohérentes. Si $\rho$ est en kg/m³, $g$ en m/s² et $z$ en m, le résultat sera en Pascals (Pa). Nous le convertirons en MégaPascals (MPa) pour une manipulation plus facile (1 MPa = 1 000 000 Pa).

Normes

Ce calcul de base ($\rho g z$) est un principe fondamental de la géostatique et de la mécanique des milieux continus.

Formule(s)

Contrainte verticale

\sigma_{\text{v}} = \rho \cdot g \cdot z

Contrainte horizontale

\sigma_{\text{h}} = k \cdot \sigma_{\text{v}}

Hypothèses

Nous supposons que la masse volumique de la roche est constante sur toute la profondeur et que la surface est plate.

$\rho = 2700$ kg/m³ (constant)
$g = 9.81$ m/s² (constant)

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	$\rho$	2700	kg/m³
Pesanteur	$g$	9.81	m/s²
Profondeur	$z$	2500	m
Ratio de contrainte	$k$	1.5	-

Astuces

Pour estimer rapidement la contrainte verticale en MPa, on utilise souvent la règle "1 MPa pour 40m de profondeur" (ou 0.025 MPa/m). Vérifions : $2500 \text{ m} \times 0.025 \text{ MPa/m} \approx 62.5 \text{ MPa}$. Notre calcul devrait être proche de cela.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien $\sigma_v$ agissant verticalement et $\sigma_h$ horizontalement sur l'élément de roche où se trouvera le tunnel.

Contraintes sur un élément de roche

Calcul(s)

Nous effectuons le calcul étape par étape.

Étape 1 : Calcul de $\sigma_{\text{v}}$ en Pascals (Pa)

On utilise la formule de la contrainte lithostatique $\sigma_{\text{v}} = \rho g z$. On remplace chaque terme par sa valeur issue du tableau de données de l'énoncé : $\rho = 2700$ kg/m³, $g = 9.81$ m/s², et $z = 2500$ m.

\begin{aligned} \sigma_{\text{v}} &= \rho \cdot g \cdot z \\ &= 2700 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \times 2500 \text{ m} \\ &= 66 217 500 \text{ Pa} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de $\sigma_{\text{v}}$ en MégaPascals (MPa)

Pour une manipulation plus simple, on convertit les Pascals (Pa) en MégaPascals (MPa). Puisque $1 \text{ MPa} = 1 000 000 \text{ Pa}$, on divise le résultat de l'Étape 1 par $10^6$.

\begin{aligned} \sigma_{\text{v}} &= \frac{66 217 500}{1 000 000} \text{ MPa} \\ &\approx 66.22 \text{ MPa} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de $\sigma_{\text{h}}$ en MPa

On utilise la formule $\sigma_{\text{h}} = k \cdot \sigma_{\text{v}}$. On prend le ratio $k=1.5$ (donné dans l'énoncé) et la valeur de $\sigma_{\text{v}}$ que l'on vient de calculer à l'Étape 2.

\begin{aligned} \sigma_{\text{h}} &= k \cdot \sigma_{\text{v}} \\ &= 1.5 \times 66.22 \text{ MPa} \\ &\approx 99.33 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Les valeurs calculées montrent que $\sigma_{\text{h}}$ est 1.5 fois plus grande que $\sigma_{\text{v}}$. C'est un état de contrainte "anisotrope" courant en profondeur.

Réflexions

Nous avons des contraintes très élevées. $\sigma_{\text{v}}$ (66.22 MPa) est la pression de 2500m de roche, et les contraintes horizontales (99.33 MPa) sont encore plus fortes. C'est ce $k > 1$ qui est souvent critique pour la stabilité des tunnels.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les unités. Ne mélangez pas les Pascals et les MégaPascals. Faites toutes vos conversions à la fin. Notre estimation rapide (62.5 MPa) est proche de 66.22 MPa, ce qui est rassurant.

Points à retenir

La contrainte verticale $\sigma_{\text{v}} = \rho g z$ est la base de tout calcul en mine profonde. Le ratio $k = \sigma_{\text{h}} / \sigma_{\text{v}}$ est un paramètre clé qui dépend de la tectonique du site.

$\sigma_{\text{v}} \approx 66.2$ MPa
$\sigma_{\text{h}} \approx 99.3$ MPa

Le saviez-vous ?

Dans certaines régions du monde (comme le bouclier canadien ou scandinave), les contraintes horizontales ($\sigma_h$) peuvent être 2 à 3 fois supérieures à la contrainte verticale ($\sigma_v$) à cause des forces tectoniques résiduelles, augmentant considérablement le risque de rockburst.

FAQ

Voici quelques questions courantes sur cette étape.

Résultat Final

Les contraintes in-situ sont : $\sigma_{\text{v}} \approx 66.22 \text{ MPa}$ et $\sigma_{\text{h}} \approx 99.33 \text{ MPa}$.

A vous de jouer

Calculez la contrainte verticale $\sigma_{\text{v}}$ (en MPa) si le tunnel était à 3000 m de profondeur.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Contrainte lithostatique.
Formule Essentielle : $\sigma_{\text{v}} = \rho g z$ et $\sigma_{\text{h}} = k \sigma_{\text{v}}$.
Résultat Clé : $\sigma_{\text{v}} = 66.2$ MPa, $\sigma_{\text{h}} = 99.3$ MPa.

Question 2 : Calculer la contrainte tangentielle maximale ($\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$)

Principe

Le creusement du tunnel perturbe les contraintes in-situ. Elles ne peuvent plus "passer" par le centre et doivent "contourner" le vide. Cela crée une zone de forte concentration de contrainte sur les bords du tunnel (la paroi).

Mini-Cours

Les équations de Kirsch décrivent cette redistribution. Pour un champ de contrainte anisotrope ($\sigma_{\text{h}} \neq \sigma_{\text{v}}$), la contrainte tangentielle ($\sigma_{\theta\theta}$) à la paroi varie. La valeur maximale se produira là où le champ de contrainte in-situ le plus faible est "bloqué". Puisque $\sigma_{\text{v}} < \sigma_{\text{h}}$, la concentration maximale sera là où $\sigma_{\text{h}}$ domine, c'est-à-dire sur les parements (côtés, $\theta=90^\circ$).

Remarque Pédagogique

La formule $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}$ est un cas particulier de la formule de Kirsch pour $\theta=90^\circ$. C'est souvent le point le plus critique dans un champ de contrainte où $k > 1$. Si $k < 1$, le max serait au toit et à la sole ($\theta=0^\circ$) avec la formule $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{v}} - \sigma_{\text{h}}$.

Normes

Les équations de Kirsch (1898) sont la pierre angulaire de la mécanique des roches pour l'analyse de la stabilité des tunnels circulaires en milieu élastique.

Formule(s)

Contrainte tangentielle (générale)

\sigma_{\theta\theta} = (\sigma_{\text{v}} + \sigma_{\text{h}}) - 2(\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}) \cos(2\theta)

Contrainte tangentielle max (pour $k > 1$, à $\theta=90^\circ$)

\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}

Hypothèses

Nous supposons que la roche se comporte de manière élastique, linéaire et isotrope, et que le tunnel est infiniment long (analyse 2D).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte verticale	$\sigma_v$	66.22	MPa
Contrainte horizontale	$\sigma_h$	99.33	MPa

Astuces

Notez que le rayon du tunnel ($a$) n'apparaît pas dans la formule de la contrainte *à la paroi*. En théorie élastique, la concentration de contrainte à la paroi d'un trou est indépendante de sa taille. (Attention: la *zone* de contrainte, elle, en dépend).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre comment les lignes de contrainte (initialement parallèles) se resserrent sur les côtés (parements) du tunnel, indiquant une augmentation de la contrainte.

Concentration de contrainte ($k>1$)

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule pour $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$

Comme $k=1.5 > 1$, la contrainte horizontale $\sigma_{\text{h}}$ est supérieure à la contrainte verticale $\sigma_{\text{v}}$. La concentration de contrainte maximale se produira donc aux parements (les côtés) du tunnel, où $\theta=90^\circ$. On utilise la formule de Kirsch simplifiée pour ce cas : $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}$. On insère les valeurs calculées à la Question 1.

\begin{aligned} \sigma_{\theta\theta, \text{max}} &= 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}} \\ &= 3 \times (99.33 \text{ MPa}) - 66.22 \text{ MPa} \\ &= 297.99 \text{ MPa} - 66.22 \text{ MPa} \\ &= 231.77 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser la distribution de $\sigma_{\theta\theta}$ autour du tunnel. Elle est maximale (231.77 MPa) sur les côtés et minimale (au toit et à la sole) à $3\sigma_{\text{v}} - \sigma_{\text{h}} = 3(66.22) - 99.33 = 99.33 \text{ MPa}$.

Réflexions

La contrainte tangentielle maximale à la paroi (231.77 MPa) est 2.3 fois plus élevée que la contrainte horizontale in-situ (99.33 MPa) et 3.5 fois plus élevée que la contrainte verticale (66.22 MPa). C'est cette amplification qui cause les problèmes.

Points de vigilance

Attention à bien identifier où se situe le maximum ! Si $k < 1$, le maximum serait $3\sigma_{\text{v}} - \sigma_{\text{h}}$. L'erreur est de toujours prendre la même formule sans réfléchir à l'orientation du champ de contrainte principal.

Points à retenir

Le creusement d'un tunnel agit comme une loupe pour les contraintes. La formule $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}$ (pour $k>1$) est essentielle pour quantifier cette concentration.

$\sigma_{\theta\theta, \text{max}} \approx 231.8$ MPa

Le saviez-vous ?

Pour combattre ces fortes contraintes tangentielles, les ingénieurs miniers ne creusent pas toujours des tunnels circulaires. Un tunnel en forme d'œuf ou de voûte gothique peut être plus stable, car sa géométrie est optimisée pour "suivre" les lignes de contrainte.

FAQ

...

Résultat Final

La contrainte tangentielle maximale à la paroi du tunnel est $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} \approx 231.77 \text{ MPa}$.

A vous de jouer

Calculez $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$ (en MPa) si le champ de contrainte était hydrostatique ($k=1.0$). (Indice: $\sigma_{\text{v}} = \sigma_{\text{h}} = 66.22$ MPa).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Concentration de contrainte (Kirsch).
Formule Essentielle : $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 3\sigma_{\text{h}} - \sigma_{\text{v}}$ (pour $k>1$).
Résultat Clé : $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} \approx 231.8$ MPa.

Question 3 : Calculer la résistance de la masse rocheuse ($\sigma_{\text{cmass}}$)

Principe

La contrainte calculée (231.8 MPa) doit être comparée à la *résistance* de la roche. Nous ne pouvons pas utiliser la résistance de l'échantillon intact ($\sigma_{\text{ci}} = 180$ MPa) car le massif en place est affaibli par des micro-fractures et des joints. Nous utilisons le GSI pour dégrader cette résistance.

Mini-Cours

Le critère de Hoek-Brown permet d'estimer la résistance d'un massif rocheux. La formule simplifiée pour la résistance en compression uniaxiale du *massif* ($\sigma_{\text{cmass}}$) utilise la résistance intacte ($\sigma_{\text{ci}}$) et deux paramètres 's' et 'a' qui dépendent du GSI (et de la lithologie, mais 'a' est simplifié ici).

Remarque Pédagogique

Un GSI de 85 représente un massif rocheux de très bonne qualité, massif, avec peu de joints. Un GSI de 30 représenterait une roche très fracturée. Le GSI est une évaluation visuelle de la qualité du massif sur le terrain.

Normes

Le critère de Hoek-Brown est la norme de facto dans l'ingénierie des roches pour l'estimation de la résistance des massifs rocheux depuis les années 1980.

Formule(s)

Paramètre 's'

s = \exp\left(\frac{GSI - 100}{9}\right)

Résistance du massif (pour $a=0.5$)

\sigma_{\text{cmass}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot \sqrt{s}

Hypothèses

Nous supposons un facteur de perturbation $D=0$ (pas de dynamitage) et un exposant $a=0.5$ (simplification pour les roches de bonne qualité).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance intacte	$\sigma_{ci}$	180	MPa
Indice GSI	GSI	85	-

Astuces

Le terme $(GSI-100)/9$ sera toujours négatif, donc 's' sera toujours compris entre 0 et 1. Il agit comme un facteur de réduction.

Schéma (Avant les calculs)

L'image conceptuelle est celle d'un échantillon de laboratoire (intacte, $\sigma_{ci}$) par rapport à un grand volume de roche en place (massif, $\sigma_{cmass}$), qui contient des joints naturels.

Roche Intacte vs. Massif Rocheux

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du paramètre 's'

On remplace GSI par sa valeur de 85 (donnée dans l'énoncé) dans la formule du paramètre 's'.

\begin{aligned} s &= \exp\left(\frac{GSI - 100}{9}\right) \\ &= \exp\left(\frac{85 - 100}{9}\right) \\ &= \exp\left(\frac{-15}{9}\right) = \exp(-1.667) \\ &\approx 0.1889 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de $\sigma_{\text{cmass}}$

On utilise la formule $\sigma_{\text{cmass}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot \sqrt{s}$. On prend la valeur de $\sigma_{\text{ci}}$ (180 MPa) dans l'énoncé et la valeur de 's' (0.1889) calculée à l'étape précédente.

\begin{aligned} \sigma_{\text{cmass}} &= \sigma_{\text{ci}} \cdot \sqrt{s} \\ &= 180 \text{ MPa} \times \sqrt{0.1889} \\ &= 180 \text{ MPa} \times 0.4346 \\ &\approx 78.23 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre que la résistance du massif (78.23 MPa) n'est que 43% de la résistance de la roche intacte (180 MPa), même pour un GSI "très bon" de 85.

Réflexions

La résistance *réelle* que le tunnel doit affronter est $\sigma_{\text{cmass}}$, soit 78.23 MPa. C'est cette valeur que nous devons comparer à la contrainte induite de 231.77 MPa.

Points de vigilance

Ne jamais comparer la contrainte induite ($\sigma_{\theta\theta}$) à la résistance de la roche intacte ($\sigma_{\text{ci}}$) pour un massif rocheux. Cela surestimerait massivement la stabilité et serait dangereux.

Points à retenir

Le GSI est un outil puissant pour réduire la résistance de laboratoire ($\sigma_{\text{ci}}$) à une résistance de terrain ($\sigma_{\text{cmass}}$) plus réaliste.

$\sigma_{\text{cmass}} \approx 78.2$ MPa

Le saviez-vous ?

Le GSI (Geological Strength Index) a été développé par Evert Hoek dans les années 1990 spécifiquement parce que les anciens systèmes de classification (comme RMR ou Q) ne fonctionnaient pas bien pour estimer la résistance des massifs de faible qualité.

FAQ

...

Résultat Final

La résistance en compression uniaxiale estimée de la masse rocheuse est $\sigma_{\text{cmass}} \approx 78.23 \text{ MPa}$.

A vous de jouer

Calculez $\sigma_{\text{cmass}}$ (en MPa) si le GSI n'était que de 75 (roche de qualité moyenne).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Critère de Hoek-Brown (Résistance du Massif).
Formule Essentielle : $\sigma_{\text{cmass}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot \exp\left(\frac{GSI - 100}{18}\right)$.
Résultat Clé : $\sigma_{\text{cmass}} \approx 78.2$ MPa.

Question 4 : Comparer la contrainte maximale ($\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$) à la résistance ($\sigma_{\text{cmass}}$)

Principe

C'est le moment de vérité. Nous comparons la "demande" (la contrainte que la roche subit, $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$) à la "capacité" (la contrainte que la roche peut supporter avant de rompre, $\sigma_{\text{cmass}}$).

Mini-Cours

Si $\text{Contrainte} > \text{Résistance}$, il y a rupture. Si $\text{Contrainte} < \text{Résistance}$, la galerie est stable (du point de vue de la rupture). Le rapport $\text{FS} = \text{Résistance} / \text{Contrainte}$ est le Facteur de Sécurité. Un FS < 1.0 indique une rupture.

Remarque Pédagogique

Attention : cette comparaison ne prend pas en compte le confinement. En réalité, la roche à la paroi est confinée par la roche plus loin, ce qui augmente sa résistance (selon le critère de Hoek-Brown complet). Cependant, pour une analyse de "rockburst", la rupture est initiée à la paroi où le confinement $\sigma_{\text{3}}$ est nul. Cette comparaison est donc une première étape critique.

Normes

L'analyse du Facteur de Sécurité (FS) est la base de toute conception en ingénierie.

Formule(s)

Critère de rupture simple

\text{Si } \sigma_{\theta\theta, \text{max}} > \sigma_{\text{cmass}} \Rightarrow \text{Rupture}

Facteur de Sécurité (FS)

FS = \frac{\sigma_{\text{cmass}}}{\sigma_{\theta\theta, \text{max}}}

Hypothèses

Nous supposons que la rupture à la paroi se produit lorsque la contrainte tangentielle dépasse la résistance uniaxiale du massif (confinement $\sigma_{\text{3}}=0$ à la paroi).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des Questions 2 et 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte max induite	$\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$	231.77	MPa
Résistance du massif	$\sigma_{\text{cmass}}$	78.23	MPa

Astuces

Même sans calculatrice, on voit que 231 est beaucoup plus grand que 78. L'ordre de grandeur est clair : la contrainte est environ 3 fois supérieure à la résistance.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise une "balance" où la contrainte pèse beaucoup plus lourd que la résistance.

Calcul(s)

Étape 1 : Comparaison directe

On compare la contrainte induite (calculée à la Q2) avec la résistance du massif (calculée à la Q3).

231.77 \text{ MPa} (\text{Contrainte}) > 78.23 \text{ MPa} (\text{Résistance})

Étape 2 : Calcul du Facteur de Sécurité (FS)

Le FS est le ratio de ce que la roche *peut* supporter (Résistance, Q3) sur ce qu'elle *doit* supporter (Contrainte, Q2).

\begin{aligned} FS &= \frac{78.23 \text{ MPa}}{231.77 \text{ MPa}} \\ &= 0.3375 \\ &\approx 0.34 \end{aligned}

Étape 3 : Interprétation

Un facteur de sécurité $FS \approx 0.34$ est très inférieur à 1.0. Cela signifie que la contrainte induite est bien supérieure (environ 3 fois) à la résistance estimée du massif rocheux. Une rupture à la paroi est donc très probable.

Rupture Rupture FS = 0.34

Réflexions

Un facteur de sécurité de 0.34 est catastrophique. Il indique non seulement que la paroi va rompre, mais qu'elle va rompre de manière significative. La galerie est "sous-dimensionnée" pour cet environnement de contrainte. Puisque la roche est un granite (fragile), cette rupture sera probablement violente (rockburst).

Points de vigilance

Ne pas s'arrêter à "FS < 1". La *valeur* de FS est importante. Un FS de 0.9 est très différent d'un FS de 0.3. Ce dernier prédit une instabilité majeure et non une simple "écaille" de roche.

Points à retenir

La comparaison Contrainte vs Résistance est l'étape de diagnostic. Notre diagnostic est une rupture très probable.

$\sigma_{\theta\theta, \text{max}} \gg \sigma_{\text{cmass}}$
$FS \approx 0.34$ (Instabilité majeure)

Le saviez-vous ?

Pour gérer un FS < 1, les ingénieurs ne peuvent pas changer les contraintes in-situ. Ils doivent soit (1) changer la forme du tunnel, (2) le creuser dans une roche de meilleure qualité, ou (3) installer un soutènement très lourd (boulons, treillis, béton projeté) pour contenir la roche brisée.

FAQ

...

Résultat Final

La contrainte induite (231.8 MPa) est 3 fois supérieure à la résistance du massif (78.2 MPa). Le Facteur de Sécurité est $FS \approx 0.34$, indiquant une rupture inévitable.

A vous de jouer

Calculez le Facteur de Sécurité (FS) pour le cas GSI = 75 (où $\sigma_{\text{cmass}} = 44.84$ MPa) et $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$ = 231.77 MPa.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Facteur de Sécurité (FS).
Formule Essentielle : $FS = \text{Résistance} / \text{Contrainte}$.
Résultat Clé : $FS \approx 0.34$. Rupture attendue.

Question 5 : Calculer l'indice SSR et commenter le risque de rockburst

Principe

La rupture simple (Q4) n'est pas la même chose qu'un rockburst. Le rockburst est une rupture *violente* et *fragile*. Pour l'évaluer, on compare la contrainte induite non pas à la résistance du *massif* ($\sigma_{\text{cmass}}$), mais à la résistance de la roche *intacte* ($\sigma_{\text{ci}}$).

Mini-Cours

L'indice SSR (Stress-Strength Ratio) est un indicateur empirique de rockburst. $SSR = \sigma_{\theta\theta, \text{max}} / \sigma_{\text{ci}}$.
Les praticiens considèrent que :

SSR < 0.3 : Risque faible
0.3 < SSR < 0.5 : Risque modéré (écaillage)
SSR > 0.5 : Risque élevé de rockburst

Plus le SSR est élevé dans une roche fragile, plus le phénomène sera violent.

Remarque Pédagogique

Cela peut sembler contre-intuitif. Pourquoi utiliser $\sigma_{\text{ci}}$ (180 MPa) et non $\sigma_{\text{cmass}}$ (78.2 MPa) ? Car le rockburst n'est pas une rupture ductile du massif ; c'est une rupture fragile de blocs de roche *intacte* près de la paroi, qui "explosent" sous la contrainte. Cet indice compare la charge (contrainte induite) à la capacité de la roche intacte à stocker l'énergie avant de rompre.

Normes

C'est un critère empirique très utilisé en ingénierie minière (par ex. par Kaiser, Diederichs, et al.) pour le dimensionnement du soutènement anti-rockburst.

Formule(s)

Indice de Contrainte (SSR)

SSR = \frac{\sigma_{\theta\theta, \text{max}}}{\sigma_{\text{ci}}}

Hypothèses

Nous supposons que la tendance au rockburst est corrélée à la contrainte tangentielle maximale par rapport à la résistance de la roche intacte.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q2 et une donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte max induite	$\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$	231.77	MPa
Résistance intacte	$\sigma_{\text{ci}}$	180	MPa

Astuces

On voit immédiatement que la contrainte (231.77) est supérieure à la résistance de la roche intacte (180). Le SSR sera > 1.0. C'est une situation extrême.

Schéma (Avant les calculs)

On compare la "poussée" (231.77) à la "limite fragile" de l'échantillon de laboratoire (180).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du SSR

On applique la formule $SSR = \sigma_{\theta\theta, \text{max}} / \sigma_{\text{ci}}$. On utilise la contrainte maximale $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$ (231.77 MPa, calculée en Q2) et la résistance de la roche *intacte* $\sigma_{\text{ci}}$ (180 MPa, donnée dans l'énoncé).

\begin{aligned} SSR &= \frac{231.77 \text{ MPa}}{180 \text{ MPa}} \\ &\approx 1.288 \\ &\approx 1.29 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Un SSR de 1.29 se situe très loin dans la zone de "Rockburst Sévère" sur les abaques de risque.

Abaque de Risque de Rockburst (Conceptuel)

Réflexions

Un SSR de 1.29 est exceptionnellement élevé. Il ne s'agit plus de savoir *si* la roche va rompre, mais *comment*. À ce niveau, la rupture sera très violente, explosive, et projettera des blocs à haute vitesse. C'est un risque de coup de terrain sévère.

Points de vigilance

Ne pas confondre FS (basé sur $\sigma_{\text{cmass}}$) et SSR (basé sur $\sigma_{\text{ci}}$). Le FS (0.34) nous dit que ça va casser. Le SSR (1.29) nous dit que ça va casser *violemment*.

Points à retenir

Le SSR est un indicateur empirique du *mode* de rupture (fragile/violent).

$SSR = \sigma_{\theta\theta, \text{max}} / \sigma_{\text{ci}}$
$SSR \approx 1.29$ ($> 0.5$) $\Rightarrow$ Risque très élevé de coup de terrain.

Le saviez-vous ?

Lors d'un coup de terrain, la vitesse d'éjection des blocs de roche peut dépasser 10 m/s (36 km/h). L'énergie libérée est comparable à un petit tremblement de terre, et peut endommager des équipements lourds et être fatale.

FAQ

...

Résultat Final

L'indice de contrainte SSR est de 1.29. Cette valeur étant très supérieure à 0.5, le risque de coup de terrain (rupture fragile et violente) est considéré comme sévère.

A vous de jouer

Calculez le SSR pour le cas hydrostatique ($k=1.0$), où vous aviez trouvé $\sigma_{\theta\theta, \text{max}} = 132.44$ MPa.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Indice de risque de Rockburst (SSR).
Formule Essentielle : $SSR = \sigma_{\theta\theta, \text{max}} / \sigma_{\text{ci}}$.
Résultat Clé : $SSR \approx 1.29$. Risque sévère.

Outil Interactif : Simulateur de Risque

Utilisez les curseurs pour voir comment la profondeur et le ratio de contrainte (k) influencent la contrainte maximale à la paroi et le risque de rockburst (SSR).

Paramètres d'Entrée

Profondeur (z) (m) 2500 m

Ratio de contrainte (k = $\sigma_{\text{h}} / \sigma_{\text{v}}$) 1.5

Résultats Clés

Contrainte Max. $\sigma_{\theta\theta, \text{max}}$ (MPa) -

Risque Rockburst (SSR) -

Glossaire

Contrainte in-situ: Les contraintes naturelles existant dans un massif rocheux avant tout creusement. Elles augmentent avec la profondeur.
Coup de terrain (Rockburst): Phénomène d'instabilité de roche violent et soudain, libérant une grande quantité d'énergie, typique des mines profondes et des roches dures et fragiles.
Critère de Hoek-Brown: Un critère de rupture empirique utilisé pour prédire la résistance d'un massif rocheux en fonction de la qualité de ses discontinuités (GSI).
GSI (Geological Strength Index): Indice de Force Géologique. Un système de classification visuelle (sur une échelle de ~5 à 100) pour estimer la qualité d'un massif rocheux. 100 est une roche intacte parfaite.
Équations de Kirsch: Une solution analytique (mathématique) pour calculer la redistribution des contraintes autour d'un trou circulaire dans un milieu élastique.
SSR (Stress-Strength Ratio): Un indice empirique ($\sigma_{\theta\theta, \text{max}} / \sigma_{\text{ci}}$) utilisé pour évaluer le potentiel de rupture fragile et violente (rockburst).
$\sigma_{\text{ci}}$ (UCS): Résistance en compression uniaxiale (Uniaxial Compressive Strength) de la roche *intacte*, mesurée sur un échantillon en laboratoire.
$\sigma_{\text{cmass}}$: Résistance en compression uniaxiale estimée du *massif* rocheux, qui est affaiblie par la présence de joints et de fractures.

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← Dimensionnement du Plan de Tir Évaluation du Potentiel de "Rockburst" →

Étude du Risque de Coup de Terrain (Rockburst)

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Modélisation du Tunnel et Contraintes In-Situ

Questions à traiter

Les bases sur la Mécanique des Roches

Correction : Étude du Risque de Coup de Terrain (Rockburst) en Mine Profonde

Question 1 : Calculer les contraintes in-situ (verticale \(\sigma_{\text{v}}\) et horizontale \(\sigma_{\text{h}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Contraintes sur un élément de roche

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la contrainte tangentielle maximale (\(\sigma_{\theta\theta, \text{max}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Concentration de contrainte (\(k>1\))

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la résistance de la masse rocheuse (\(\sigma_{\text{cmass}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Roche Intacte vs. Massif Rocheux

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Comparer la contrainte maximale (\(\sigma_{\theta\theta, \text{max}}\)) à la résistance (\(\sigma_{\text{cmass}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces