Calcul de la déformation d'un massif rocheux (Double Porosité)
Contexte : La PoromécaniqueDiscipline qui étudie l'interaction entre les fluides dans un milieu poreux et la déformation (mécanique) de ce milieu..
Cet exercice aborde un problème classique d'ingénierie des géo-ressources : l'affaissement (subsidence) d'un réservoir rocheux dû à la production de fluides (pétrole, gaz, eau). Lorsqu'on extrait du fluide, la pression dans les pores de la roche chute. Cette chute de pression n'est plus là pour "soutenir" la roche, qui va donc se tasser sous le poids des terrains sus-jacents. Nous utiliserons un modèle à double porositéModèle qui représente un milieu poreux comme deux systèmes superposés : une matrice (blocs à faible perméabilité) et des fractures (haute perméabilité). (matrice + fractures) pour simuler ce comportement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la déformation verticale (tassement) d'une couche rocheuse en liant la baisse de pression de fluide (hydraulique) à la contrainte effective et à la déformation (mécanique) en utilisant le coefficient de Biot.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept de double porosité (matrice et fractures).
- Calculer un coefficient de Biot équivalent (\(\alpha_{\text{eq}}\)) pour un milieu hétérogène.
- Appliquer le principe de contrainte effective (\(\Delta\sigma' = -\alpha \Delta P\)).
- Calculer une déformation verticale (\(\epsilon_{\text{v}}\)) à partir d'un module oedométrique (\(M\)).
- Estimer un tassement total (\(\Delta H\)) à partir de la déformation.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Épaisseur de la couche (H) | 80 \(\text{m}\) |
| Module de compressibilité oedométrique (M) | 5 \(\text{GPa}\) |
| Baisse de pression moyenne (\(\Delta P\)) | -10 \(\text{MPa}\) |
Modèle conceptuel à double porosité
| Paramètre Poromécanique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Porosité (Matrice) | \(\phi_{\text{m}}\) | 0.12 | - |
| Porosité (Fractures) | \(\phi_{\text{f}}\) | 0.01 | - |
| Coeff. Biot (Matrice) | \(\alpha_{\text{m}}\) | 0.8 | - |
| Coeff. Biot (Fractures) | \(\alpha_{\text{f}}\) | 1.0 | - |
Questions à traiter
- Calculer la porosité totale \(\phi_{\text{tot}}\) du massif.
- Calculer le coefficient de Biot équivalent \(\alpha_{\text{eq}}\) du massif (approximation).
- Calculer la variation de contrainte effective \(\Delta\sigma'\) subie par le massif.
- Déterminer la déformation verticale (strain) \(\epsilon_{\text{v}}\) du massif.
- En déduire le tassement vertical total \(\Delta H\) de la couche.
Les bases sur la Poromécanique à Double Porosité
La poromécanique étudie l'interaction entre l'écoulement de fluide dans un milieu poreux et la déformation de ce milieu. Le modèle à double porosité divise le milieu en deux : la matrice rocheuse (blocs) et le réseau de fractures.
1. Porosité Totale et Contrainte Effective
La porosité totale est la somme des porosités de la matrice et des fractures : \(\phi_{\text{tot}} = \phi_{\text{m}} + \phi_{\text{f}}\). La contrainte effective de Terzaghi, modifiée par Biot, est le principal moteur de la déformation. Elle lie la contrainte totale \(\sigma\), la contrainte effective \(\sigma'\) et la pression de fluide \(P\).
\[ \sigma' = \sigma - \alpha P \]
2. Compressibilité et Déformation (1D)
La déformation verticale \(\epsilon_{\text{v}}\) d'un massif rocheux sous une variation de contrainte effective \(\Delta\sigma'\) est donnée par la loi de Hooke en condition oedométrique (sans déformation latérale). \(M\) est le module oedométrique (ici, \(M = C_{\text{m}}\)).
\[ \epsilon_{\text{v}} = \frac{\Delta\sigma'}{M} \]
Correction : Calcul de la déformation d'un massif rocheux
Question 1 : Calculer la porosité totale \(\phi_{\text{tot}}\) du massif.
Principe
L'objectif est de trouver le volume total des vides (pores) dans le massif. Dans un modèle à double porosité, le vide existe à deux échelles : les petits pores à l'intérieur des blocs de roche (matrice) et les grands vides formés par les fractures qui séparent ces blocs. L'idée est que la porosité totale est simplement l'addition de ces deux types de vides. C'est comme avoir une caisse remplie d'éponges (la matrice poreuse) avec des espaces entre elles (les fractures).
Mini-Cours
La porosité \(\phi\) est un ratio : \(\text{Volume}_{\text{vides}} / \text{Volume}_{\text{total}}\). Puisque les volumes des pores de la matrice (\(V_{\text{pores,m}}\)) et des pores des fractures (\(V_{\text{pores,f}}\)) sont considérés comme mutuellement exclusifs, le volume total des vides est \(V_{\text{vides,tot}} = V_{\text{pores,m}} + V_{\text{pores,f}}\). En divisant tout par le volume total \(V\), on obtient : \(\phi_{\text{tot}} = (V_{\text{pores,m}}/V) + (V_{\text{pores,f}}/V) = \phi_{\text{m}} + \phi_{\text{f}}\).
Remarque Pédagogique
Notez que même si \(\phi_{\text{f}}\) est faible (1% ici), elle domine l'écoulement (perméabilité), car les fractures sont de grands canaux connectés. \(\phi_{\text{m}}\) (12%) est plus grand, mais les pores sont petits et peu connectés ; il domine donc le stockage de fluide.
Normes
Ce calcul est une définition de base en mécanique des roches et ingénierie des réservoirs, formalisée par des auteurs comme Barenblatt ou Warren & Root dans les années 1960.
Formule(s)
Porosité Totale
Hypothèses
On suppose que les deux milieux (matrice et fractures) sont superposés et occupent le même volume brut total (concept de "milieu continu équivalent").
Donnée(s)
Ces valeurs sont des données d'entrée de l'énoncé, typiquement issues de mesures en laboratoire (sur carottes pour \(\phi_{\text{m}}\)) et d'analyses de diagraphies ou de tests de puits (pour \(\phi_{\text{f}}\)).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Porosité (Matrice) | \(\phi_{\text{m}}\) | 0.12 | - |
| Porosité (Fractures) | \(\phi_{\text{f}}\) | 0.01 | - |
Astuces
C'est une simple addition. Ne pas confondre avec des moyennes pondérées ou des produits. Assurez-vous que les deux valeurs sont des fractions (ex: 0.12) et non des pourcentages (12%).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé (Modèle conceptuel à double porosité) illustre déjà parfaitement ce concept, en montrant les blocs de matrice (pour \(\phi_{\text{m}}\)) et les fractures qui les séparent (pour \(\phi_{\text{f}}\)).
Calcul(s)
Le calcul est direct. Nous appliquons la formule de la porosité totale en additionnant la porosité de la matrice (\(\phi_{\text{m}}\)) et la porosité des fractures (\(\phi_{\text{f}}\)) fournies dans l'énoncé.
Étape 1 : Sommation
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma montre la contribution relative de chaque porosité à la porosité totale. On voit que la matrice représente la grande majorité du volume poreux.
Répartition de la Porosité Totale (0.13)
Réflexions
La porosité totale du massif est de 0.13, soit 13%. Ce résultat combine les deux échelles de porosité. Il est important de noter que 92.3% de ce volume (\(0.12 / 0.13\)) est stocké dans la matrice, et seulement 7.7% (\(0.01 / 0.13\)) dans les fractures.
Points de vigilance
Assurez-vous de ne pas multiplier les porosités. C'est une addition simple, car elles représentent des fractions du *même* volume total.
Points à retenir
- La porosité totale est la somme des porosités des sous-systèmes.
Le saviez-vous ?
Dans les réservoirs de 'shale gas' (gaz de schiste), \(\phi_{\text{m}}\) est très faible (ex: 0.05) et \(\phi_{\text{f}}\) est quasi nulle (< 0.001) avant fracturation hydraulique.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\phi_{\text{m}} = 0.20\) (un grès plus poreux) et \(\phi_{\text{f}} = 0.005\) (moins fracturé), que vaut \(\phi_{\text{tot}}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Additivité des volumes poreux.
- Formule Essentielle : \(\phi_{\text{tot}} = \phi_{\text{m}} + \phi_{\text{f}}\).
Question 2 : Calculer le coefficient de Biot équivalent \(\alpha_{\text{eq}}\) du massif (approximation).
Principe
Le coefficient de Biot \(\alpha\) lie la déformation du squelette rocheux à la pression du fluide. Il indique quelle fraction de la pression du fluide "aide" à soutenir la roche. Pour un milieu double porosité, le coefficient équivalent \(\alpha_{\text{eq}}\) doit combiner les effets de la matrice et des fractures. L'approximation la plus simple est une moyenne des coefficients \(\alpha_{\text{m}}\) et \(\alpha_{\text{f}}\), *pondérée* par leur importance relative en termes de volume poreux.
Mini-Cours
Le coefficient \(\alpha\) varie de \(\phi\) (pour un matériau où les grains sont incompressibles mais le squelette oui) à 1 (pour un matériau où les "grains" n'existent pas, comme une fracture vide, ou si le squelette est très compressible par rapport aux grains). Ici, \(\alpha_{\text{f}} = 1\) car les fractures sont des vides ; \(\alpha_{\text{m}} = 0.8\) car la matrice est un assemblage de grains compressibles. La pondération se fait par la fraction de porosité que chaque milieu représente : \((\phi_{\text{m}} / \phi_{\text{tot}})\) et \((\phi_{\text{f}} / \phi_{\text{tot}})\).
Remarque Pédagogique
Cette formule est une simplification. En réalité, \(\alpha_{\text{eq}}\) dépend aussi des modules de compressibilité respectifs de la matrice et des fractures. Cependant, cette approche est une première estimation raisonnable lorsque le module des fractures est négligeable.
Normes
Approximation courante en modélisation poromécanique simplifiée (homogénéisation), basée sur les travaux de Biot et les théories des milieux poreux hétérogènes.
Formule(s)
Coefficient de Biot Équivalent (Approximation)
Hypothèses
On suppose que la contribution de chaque milieu à la poromécanique est proportionnelle à sa porosité.
- On suppose que les deux milieux sont en équilibre de pression (ou que \(\Delta P\) est le même dans les deux).
Donnée(s)
On reprend les données de l'énoncé (\(\alpha_{\text{m}}, \phi_{\text{m}}, \alpha_{\text{f}}, \phi_{\text{f}}\)) et le résultat de la Q1 (\(\phi_{\text{tot}}\)).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Porosité (Matrice) | \(\phi_{\text{m}}\) | 0.12 | - |
| Porosité (Fractures) | \(\phi_{\text{f}}\) | 0.01 | - |
| Coeff. Biot (Matrice) | \(\alpha_{\text{m}}\) | 0.8 | - |
| Coeff. Biot (Fractures) | \(\alpha_{\text{f}}\) | 1.0 | - |
| Porosité Totale (Q1) | \(\phi_{\text{tot}}\) | 0.13 | - |
Astuces
Utilisez le résultat de \(\phi_{\text{tot}}\) de la Q1. Le numérateur est la "porosité effective" pour la déformation. Vous calculez en fait \(\alpha_{\text{eq}} = \alpha_{\text{m}} \cdot (\frac{\phi_{\text{m}}}{\phi_{\text{tot}}}) + \alpha_{\text{f}} \cdot (\frac{\phi_{\text{f}}}{\phi_{\text{tot}}})\).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre le concept de moyenne pondérée pour \(\alpha_{\text{eq}}\). L'influence de chaque \(\alpha\) est proportionnelle à la "part du gâteau" de porosité qu'il représente.
Concept de Pondération
Calcul(s)
Nous utilisons la formule de la moyenne pondérée. Nous devons d'abord calculer le numérateur, qui représente la contribution pondérée de chaque porosité à la déformation, puis diviser par la porosité totale (calculée à la Q1).
Étape 1 : Calcul du numérateur (porosité pondérée)
On remplace \(\alpha_{\text{m}}\) par 0.8, \(\phi_{\text{m}}\) par 0.12, \(\alpha_{\text{f}}\) par 1.0, et \(\phi_{\text{f}}\) par 0.01.
Étape 2 : Calcul de \(\alpha_{\text{eq}}\)
On divise le résultat de l'Étape 1 (0.106) par la porosité totale \(\phi_{\text{tot}}\) (0.13) trouvée à la Q1.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(\alpha_{\text{eq}}\) est une valeur comprise entre \(\alpha_{\text{m}}\) et \(\alpha_{\text{f}}\), mais beaucoup plus proche de \(\alpha_{\text{m}}\) en raison de la pondération.
Position du αeq calculé
Réflexions
Le coefficient équivalent (0.815) est très proche de celui de la matrice (0.8), car la matrice domine en termes de volume poreux (elle représente \(0.12 / 0.13 \approx 92\%\) de la porosité). La valeur \(\alpha_{\text{f}} = 1.0\) (fractures "molles") a peu d'impact global sur la compressibilité.
Points de vigilance
Ne pas faire une simple moyenne de \(\alpha_{\text{m}}\) et \(\alpha_{\text{f}}\) (ce qui donnerait 0.9). La pondération par la porosité est essentielle.
Points à retenir
- Les propriétés équivalentes sont souvent des moyennes pondérées.
- Le \(\alpha\) des fractures est souvent 1 (elles n'ont pas de "grain" solide).
Le saviez-vous ?
Maurice Biot, le père de la poromécanique, a développé ses équations fondamentales dans les années 1940-1950, mais elles n'ont été largement utilisées en ingénierie que des décennies plus tard.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\alpha_{\text{m}} = 0.7\) et \(\alpha_{\text{f}} = 0.9\) (avec les mêmes porosités \(\phi_{\text{m}}=0.12, \phi_{\text{f}}=0.01\)), que vaudrait \(\alpha_{\text{eq}}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Moyenne pondérée des coefficients de Biot.
- Formule : \(\alpha_{\text{eq}} = (\alpha_{\text{m}} \phi_{\text{m}} + \alpha_{\text{f}} \phi_{\text{f}}) / \phi_{\text{tot}}\).
Question 3 : Calculer la variation de contrainte effective \(\Delta\sigma'\) subie par le massif.
Principe
C'est le cœur du principe de la contrainte effective de Terzaghi/Biot. La contrainte totale \(\sigma\) (le poids des roches) est supportée en partie par le squelette rocheux (\(\sigma'\)) et en partie par la pression du fluide (\(\alpha P\)). Si on retire du fluide (\(\Delta P\) est négatif), la part supportée par le fluide diminue. Pour que l'équilibre soit maintenu (le poids des roches ne change pas), le squelette doit "reprendre" cette charge : la contrainte effective \(\sigma'\) augmente.
Mini-Cours
La loi de Terzaghi-Biot est \(\sigma' = \sigma - \alpha P\). En regardant la *variation* (\(\Delta\)), on a : \(\Delta\sigma' = \Delta\sigma - \alpha \Delta P\). Dans ce problème, on suppose que le poids total des roches au-dessus ne change pas (\(\Delta\sigma = 0\)). La formule se simplifie donc en : \(\Delta\sigma' = - \alpha_{\text{eq}} \Delta P\). C'est le cœur de la poromécanique : une variation de pression induit une variation (inverse) de contrainte effective.
Remarque Pédagogique
Le signe est crucial ici. Une *baisse* de pression est un \(\Delta P\) négatif (ex: -10 \(\text{MPa}\)). Le \(\Delta\sigma'\) résultant sera positif (car \(- \times - = +\)), signifiant une augmentation de la compression sur le squelette.
Normes
Principe fondamental de la poromécanique (Terzaghi, 1923; Biot, 1941).
Formule(s)
Variation de Contrainte Effective (Contrainte totale constante)
Hypothèses
On suppose que la contrainte totale \(\sigma\) (lithostatique, due au poids des roches) reste constante pendant la déplétion du réservoir. \(\Delta\sigma = 0\).
- On utilise le coefficient \(\alpha_{\text{eq}}\) calculé précédemment, supposant un comportement homogénéisé.
Donnée(s)
On utilise le coefficient \(\alpha_{\text{eq}}\) que nous venons de calculer à la Q2 et la baisse de pression \(\Delta P\) donnée dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coeff. Biot Équivalent (Q2) | \(\alpha_{\text{eq}}\) | 0.815 | - |
| Baisse de pression | \(\Delta P\) | -10 | \(\text{MPa}\) |
Astuces
Baisse de pression = \(\Delta P\) négatif. Pensez-y : moins de pression fluide = plus de charge sur la roche.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre l'équilibre des contraintes avant et après la baisse de pression. La contrainte totale \(\sigma\) (le poids des roches) est constante. Elle est équilibrée par la pression du fluide (\(\alpha P\)) et la contrainte effective (\(\sigma'\)).
Équilibre des Contraintes (Concept)
Calcul(s)
On applique la formule de la variation de contrainte effective. On utilise le coefficient \(\alpha_{\text{eq}}\) (0.815) de la Q2 et la baisse de pression \(\Delta P\) (-10 \(\text{MPa}\)) de l'énoncé. Le signe négatif de la formule s'annule avec le signe négatif de la baisse de pression.
Étape 1 : Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme le concept. La baisse de pression de 10 \(\text{MPa}\) n'est pas entièrement transférée à la roche ; elle est "filtrée" par le coefficient de Biot (81.5%). La roche ne subit donc qu'une augmentation de contrainte de 8.15 \(\text{MPa}\).
Transfert de Contrainte
Réflexions
Le squelette de la roche doit maintenant supporter 8.15 \(\text{MPa}\) de contrainte en plus. C'est cette "nouvelle" charge qui va comprimer le massif et provoquer le tassement (subsidence).
Points de vigilance
Le double signe négatif ! Une *baisse* de pression (\(\Delta P < 0\)) entraîne une *augmentation* de contrainte effective (\(\Delta\sigma' > 0\).
Points à retenir
- La contrainte effective est le moteur de la déformation poromécanique.
- \(\Delta\sigma' = - \alpha \cdot \Delta P\) (pour \(\Delta\sigma = 0\)).
Le saviez-vous ?
Le champ de gaz de Groningue (Pays-Bas) a subi une subsidence de plus de 30 \(\text{cm}\) due à ce phénomène, causant des séismes induits.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la baisse de pression n'était que de 5 \(\text{MPa}\) (donc \(\Delta P = -5 \text{ MPa}\)), que vaudrait \(\Delta\sigma'\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Principe de la contrainte effective.
- Formule : \(\Delta\sigma' = - \alpha_{\text{eq}} \cdot \Delta P\).
Question 4 : Déterminer la déformation verticale (strain) \(\epsilon_{\text{v}}\) du massif.
Principe
C'est l'application directe de la loi de Hooke (la loi de l'élasticité). La déformation (strain, \(\epsilon\)) est proportionnelle à la contrainte (\(\sigma\)) via la rigidité du matériau (Module, \(M\)). Nous avons la charge supplémentaire sur le squelette (\(\Delta\sigma'\) de la Q3), nous calculons à quel point la roche se comprime sous cette charge.
Mini-Cours
Nous utilisons la loi de Hooke en 1D. Comme le réservoir est très large par rapport à son épaisseur, on suppose qu'il ne peut pas s'étendre sur les côtés (déformation latérale nulle). C'est la condition "oedométrique". Le module oedométrique \(M\) est la rigidité spécifique à ce cas (\(M = \sigma / \epsilon\) en 1D).
Remarque Pédagogique
Notez la logique : \(\Delta P\) (fluide) \(\rightarrow\) \(\Delta\sigma'\) (charge sur la roche) \(\rightarrow\) \(\epsilon_{\text{v}}\) (déformation de la roche). Le module \(M\) est au dénominateur : plus une roche est rigide (grand \(M\)), moins elle se déforme (petit \(\epsilon_{\text{v}}\)).
Normes
Loi de Hooke pour la compression 1D (oedométrique), une base de la mécanique des milieux continus.
Formule(s)
Déformation Oedométrique
Hypothèses
La déformation est uni-axiale (verticale).
- Le comportement de la roche est élastique linéaire (la rigidité \(M\) est constante sur la plage de contrainte).
Donnée(s)
On utilise la variation de contrainte \(\Delta\sigma'\) calculée à la Q3 et le module \(M\) donné dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Variation Contrainte Effective (Q3) | \(\Delta\sigma'\) | 8.15 | \(\text{MPa}\) |
| Module Oedométrique | \(M\) | 5 | \(\text{GPa}\) |
Astuces
Attention aux unités ! \(\Delta\sigma'\) est en MégaPascals (\(\text{MPa}\)) et \(M\) est en GigaPascals (\(\text{GPa}\)). \(1 \text{ GPa} = 1000 \text{ MPa}\). Il faut les convertir pour qu'elles soient identiques avant la division.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre un élément de roche (cube) soumis à la variation de contrainte effective \(\Delta\sigma'\). Comme c'est une condition oedométrique, la roche ne peut se déformer que verticalement.
Élément de Roche sous Contrainte 1D
Calcul(s)
Nous appliquons la loi de Hooke 1D. Pour cela, la contrainte (\(\Delta\sigma'\)) et le module (\(M\)) doivent être dans la *même unité* (ici, le \(\text{MPa}\)) avant la division.
Étape 1 : Conversion des unités
On convertit le module \(M\) de GigaPascals (\(\text{GPa}\)) en MégaPascals (\(\text{MPa}\)) en multipliant par 1000.
Étape 2 : Calcul de la déformation \(\epsilon_{\text{v}}\)
On divise la variation de contrainte effective \(\Delta\sigma'\) (8.15 \(\text{MPa}\)) par le module \(M\) converti (5000 \(\text{MPa}\)). Les unités (\(\text{MPa}\)) s'annulent, donnant un résultat sans dimension.
Schéma (Après les calculs)
La déformation \(\epsilon_{\text{v}}\) est le ratio entre le tassement et la hauteur. Une valeur de 0.00163 signifie que 1\(\text{m}\) de roche se tasse de 0.00163\(\text{m}\).
Visualisation de la Déformation (Strain) εv
Réflexions
La déformation est de 0.00163. C'est un nombre sans dimension (\(\text{m/m}\)). Cela signifie que chaque mètre de roche va se tasser de 0.00163 \(\text{m}\) (soit 1.63 \(\text{mm}\)). La roche se comprime donc de 0.163%.
Points de vigilance
La plus grosse source d'erreur ici est l'oubli de la conversion \(\text{GPa} \rightarrow \text{MPa}\). Si vous ne convertissez pas, votre résultat (\(8.15 / 5\)) sera 1.63, ce qui est physiquement absurde (163% de déformation).
Points à retenir
- Loi de Hooke 1D : \(\epsilon = \sigma / M\).
- Vigilance sur les préfixes (Kilo, Méga, Giga).
Le saviez-vous ?
Les modules d'élasticité des roches sont très variables : de < 1 \(\text{GPa}\) pour des argiles molles à > 80 \(\text{GPa}\) pour des quartzites très durs.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le module \(M\) était de 10 \(\text{GPa}\) (roche plus rigide), que vaudrait \(\epsilon_{\text{v}}\) (avec le même \(\Delta\sigma' = 8.15 \text{ MPa}\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Loi de Hooke 1D.
- Formule : \(\epsilon_{\text{v}} = \Delta\sigma' / M\).
- Vigilance : Unités (\(\text{MPa vs GPa}\)).
Question 5 : En déduire le tassement vertical total \(\Delta H\) de la couche.
Principe
Nous avons calculé la déformation \(\epsilon_{\text{v}}\) (Q4), qui est une déformation relative (un ratio, ex: 0.163%). Pour trouver le tassement total \(\Delta H\), qui est une distance absolue (en mètres ou centimètres), il suffit d'appliquer ce pourcentage à l'épaisseur totale de la couche \(H\).
Mini-Cours
La déformation (strain) est définie comme la variation de longueur divisée par la longueur initiale : \(\epsilon_{\text{v}} = \Delta H / H\). En réarrangeant cette formule, on obtient simplement la variation de longueur (le tassement) : \(\Delta H = \epsilon_{\text{v}} \times H\). C'est l'intégration de la déformation sur toute l'épaisseur.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape finale qui quantifie le phénomène. Un tassement de quelques centimètres peut sembler faible, mais s'il est réparti sur des kilomètres carrés (la taille d'un réservoir), il peut endommager des infrastructures en surface (routes, bâtiments).
Normes
Définition de la déformation (strain) en mécanique des milieux continus.
Formule(s)
Tassement Total
Hypothèses
La déformation \(\epsilon_{\text{v}}\) est supposée homogène (constante) sur toute l'épaisseur H de la couche.
- On suppose que \(M\) et \(\alpha\) sont constants sur 80m.
Donnée(s)
On utilise la déformation \(\epsilon_{\text{v}}\) calculée à la Q4 et l'épaisseur \(H\) de la couche donnée dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Déformation (Q4) | \(\epsilon_{\text{v}}\) | 0.00163 | - |
| Épaisseur de la couche | \(H\) | 80 | \(\text{m}\) |
Astuces
Puisque \(\epsilon_{\text{v}}\) est sans dimension, \(\Delta H\) aura la même unité que \(H\). Si \(H\) est en mètres, \(\Delta H\) sera en mètres. Convertissez en \(\text{cm}\) à la fin pour une meilleure représentation (\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)).
Schéma (Avant les calculs)
La déformation \(\epsilon_{\text{v}}\) est un ratio. En la multipliant par l'épaisseur totale \(H\), on obtient le tassement absolu \(\Delta H\).
Du Strain (ε) au Tassement (ΔH)
Calcul(s)
Pour trouver le tassement total (une distance), on multiplie la déformation relative \(\epsilon_{\text{v}}\) (sans dimension) par l'épaisseur totale \(H\) de la couche.
Étape 1 : Calcul du tassement en mètres
On utilise \(\epsilon_{\text{v}} = 0.00163\) (de Q4) et \(H = 80 \text{ m}\) (de l'énoncé).
Étape 2 : Conversion en centimètres (optionnel)
Pour une meilleure visualisation, on convertit les mètres en centimètres en multipliant par 100.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat final : la couche de 80\(\text{m}\) s'est tassée de 13.04 \(\text{cm}\).
Résultat Final du Tassement
Réflexions
Le tassement total attendu est de 13.04 \(\text{cm}\). C'est un tassement significatif qui peut causer des problèmes en surface (subsidence), comme des fissures dans les bâtiments ou des problèmes de fondation si la zone est urbanisée.
Points de vigilance
Vérifier que les unités sont cohérentes. Si H était donné en \(\text{km}\), il faudrait convertir.
Points à retenir
- Le tassement total est le produit de la déformation (strain) et de l'épaisseur de la couche.
Le saviez-vous ?
La ville de Mexico est construite sur d'anciens lits de lacs (argiles très compressibles). Le pompage excessif des aquifères a provoqué un tassement de plus de 10 mètres par endroits au cours du 20ème siècle !
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la couche faisait 200 m d'épaisseur (H=200 \(\text{m}\)) mais avec la même déformation (\(\epsilon_{\text{v}} = 0.00163\)), que vaudrait \(\Delta H\) en mètres ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Définition du strain.
- Formule : \(\Delta H = \epsilon_{\text{v}} \times H\).
Outil Interactif : Simulateur de Tassement
Variez la baisse de pression et la rigidité du massif (Module M) pour voir l'impact direct sur le tassement total. (Les calculs utilisent H=80\(\text{m}\) et \(\alpha_{\text{eq}}\)=0.815).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qui contrôle principalement la *perméabilité* (facilité d'écoulement) d'un massif à double porosité ?
2. Si la pression du fluide dans un réservoir *augmente* (\(\Delta P > 0\)), que se passe-t-il (normalement) ?
3. Le coefficient de Biot \(\alpha\) est égal à 1.0. Qu'est-ce que cela signifie ?
4. Une roche avec un Module Oedométrique \(M\) de 10 \(\text{GPa}\) est ... qu'une roche avec \(M\) = 5 \(\text{GPa}\).
5. Dans notre exercice, le tassement total (\(\Delta H\)) est \(\epsilon_{\text{v}} \times H\). Si on double l'épaisseur H, que fait le tassement \(\Delta H\) ?
Glossaire
- Poromécanique
- Discipline qui étudie l'interaction entre les fluides dans un milieu poreux et la déformation (mécanique) de ce milieu.
- Double Porosité
- Modèle qui représente un milieu poreux comme deux systèmes superposés : une matrice (blocs à faible perméabilité) et des fractures (haute perméabilité).
- Coefficient de Biot (\(\alpha\))
- Un paramètre (entre \(\phi\) et 1) qui quantifie l'efficacité de la pression du fluide à s'opposer à la contrainte totale. \(\alpha=1\) signifie que la pression fluide soutient 100% de la charge.
- Module Oedométrique (\(M\))
- Module de rigidité d'un matériau qui est confiné latéralement (ne peut pas se déformer horizontalement), typique d'une couche de réservoir large.
- Strain (\(\epsilon\))
- La déformation relative d'un matériau. C'est un ratio sans dimension (ex: m/m) qui représente le changement de taille par rapport à la taille initiale.
D’autres exercices de mécanique des roches:
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