L'angle de frottement interne influence directement la poussée.
Modélisation du champ de contraintes derrière un mur en état de rupture
📝 Situation du Projet
Le projet se situe au PK 12+500 de la Route Départementale 54, dans une zone de coteau marquée par des instabilités chroniques. Les reconnaissances géotechniques ont mis en évidence la présence d'un talus instable constitué de matériaux sablo-limoneux lâches sur une épaisseur d'environ 5 mètres, reposant sur un substratum compact. Les désordres observés (fissures longitudinales sur la chaussée) imposent la réalisation d'un ouvrage de soutènement pour garantir la pérennité de la voie et la sécurité des usagers.
L'ouvrage projeté est un mur de soutènement poids en béton armé, dimensionné pour reprendre la poussée des terres en place ainsi que les surcharges d'exploitation routière réglementaires. Le système de drainage sera particulièrement soigné pour éviter toute mise en charge hydraulique derrière l'écran.
En tant que Ingénieur Géotechnicien responsable de l'étude G2 PRO, vous devez déterminer le diagramme des pressions latérales des terres s'exerçant sur l'écran vertical fictif du mur. Vous considérerez que le mur subit un déplacement suffisant pour mobiliser la résistance au cisaillement du sol, plaçant ainsi le massif en état d'équilibre limite actif (Poussée).
Cette note de calcul servira de base au dimensionnement structurel (ferraillage) et à la vérification de la stabilité externe (glissement, renversement, portance) selon les critères de l'Eurocode 7.
- Localisation
Commune de Saint-Vallier (69), RD54 - Maître d'Ouvrage
Conseil Départemental du Rhône - Lot Concerné
Lot 02 : Terrassement / Ouvrages d'Art
"Attention, la pérennité de l'ouvrage repose sur l'absence de pression hydrostatique à l'arrière du voile. Bien que la nappe phréatique reconnue soit profonde (> 8m), vous devez impérativement prévoir un complexe drainant performant (barbacanes + géocomposite ou massif drainant) pour évacuer les eaux d'infiltration. Nos calculs supposeront donc un sol drainé (sans pression interstitielle)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux normes en vigueur pour les ouvrages géotechniques (Eurocode 7 et normes d'application nationale).
📚 Référentiel Normatif
NF EN 1997-1 (Eurocode 7) NF P 94-281 (Justification des écrans)L'étude se place dans le cadre de l'Approche de Calcul 2 (DA2) communément utilisée en France pour les murs poids, bien que nous nous concentrions ici sur la détermination des sollicitations brutes (actions).
[Art. 3.2] HYPOTHÈSES DE CALCUL
Le mur est considéré comme infiniment rigide. Le parement arrière (coté terres) est vertical. Le calcul sera mené par mètre linéaire d'ouvrage.
[Art. 3.4] ÉTAT DU SOL
Le remblai technique mis en œuvre à l'arrière du mur est un matériau granulaire frottant (sable), compacté, et considéré parfaitement drainé (cohésion effective nulle \( c' = 0 \)). Aucune cohésion apparente ne sera prise en compte pour la sécurité.
[Art. 3.5] FROTTEMENT INTERFACE
Compte tenu de l'état de surface du béton banché et pour se placer en sécurité, on négligera le frottement sol-mur pour le calcul de la poussée (\( \delta = 0 \), hypothèse de Rankine).
| SOL EN PLACE (SABLE LIMONEUX) | |
| Poids volumique (\( \gamma \)) | \( 18 \text{kN/m}^3 \) |
| Densité humide du sol en place. | |
| Angle de frottement interne (\( \phi' \)) | \( 30^\circ \) |
| Valeur caractéristique issue des essais triaxiaux (CD). | |
| Cohésion effective (\( c' \)) | \( 0 \text{kPa} \) |
| Hypothèse sécuritaire pour le long terme. | |
| MATÉRIAU STRUCTURE | |
| Béton Armé (\( \gamma_{\text{BA}} \)) | \( 25 \text{kN/m}^3 \) |
📐 Géométrie du Mur
- Hauteur totale de calcul (\( H \)): 4.50 m (de la base de la semelle à la tête du mur).
- Parement arrière: Vertical (\( \lambda = 0 \)).
- Surface du terrain: Horizontale (\( \beta = 0 \)).
⚖️ Sollicitations / Charges
Cette surcharge correspond au modèle de charge "trafic routier" standard pour les murs de soutènement de hauteur modérée (< 6m).
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner le soutènement, nous allons suivre l'approche de l'Équilibre Limite (Théorie de Rankine) applicable compte tenu des hypothèses (mur vertical, surface plane, frottement négligé).
Calcul du Coefficient \( K_a \)
Détermination du coefficient de poussée active selon Rankine en fonction de l'angle de frottement.
Calcul des Contraintes
Établissement du profil des contraintes verticales et horizontales le long de l'écran.
Résultante de Poussée
Intégration du diagramme de pression pour obtenir la force totale exercée sur le mur.
Vérification Stabilité
Calcul du moment de renversement dû à la poussée (point de rotation en pied).
Modélisation du champ de contraintes derrière un mur
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de déterminer le coefficient de pression active des terres, noté \( K_a \). Ce paramètre adimensionnel est fondamental en géotechnique des soutènements. Il permet de quantifier la fraction de la contrainte verticale (poids des terres + surcharges) qui est transformée en poussée horizontale sur le mur.
Dans notre cas, le mur est supposé subir un léger déplacement vers l'aval (décompression du sol), ce qui mobilise la résistance au cisaillement du sol et place le massif en état d'équilibre limite actif. C'est l'état le plus favorable pour le dimensionnement (poussée minimale), contrairement à l'état de repos (\( K_0 \)) ou de butée (\( K_p \)).
📚 Référentiel
Le calcul se base sur les principes de la norme Eurocode 7 (NF EN 1997-1), Section 9 "Ouvrages de soutènement". Plus spécifiquement, nous utilisons ici l'approche analytique simplifiée de Rankine (1857), valide car nous avons fait l'hypothèse (sécuritaire) d'un frottement sol-mur nul (\( \delta=0 \)) et d'une surface topographique horizontale (\( \beta=0 \)).
Eurocode 7 - Annexe CAvant de se lancer dans la formule, comprenons la physique : Le sol est un milieu granulaire frottant. L'angle de frottement interne \( \phi' \) (ici 30°) représente la capacité des grains à s'imbriquer et à résister au glissement les uns sur les autres.
Plus cet angle est élevé, plus le sol est "solide" et capable de se tenir lui-même, et moins il exercera de pression sur le mur qui le retient. On s'attend donc intuitivement à ce que le coefficient \( K_a \) diminue lorsque \( \phi' \) augmente.
Si le sol était un liquide parfait (\( \phi'=0 \)), alors \( K_a \) vaudrait 1 (pression hydrostatique : la poussée latérale égale la pression verticale).
La théorie de Rankine suppose que le sol est en état de rupture plastique (équilibre limite) partout derrière le mur. Elle s'applique strictement pour un mur à parement vertical et lisse.
Dans le cercle de Mohr des contraintes, l'état actif correspond au cas où la contrainte horizontale \( \sigma'_h \) diminue jusqu'à ce que le cercle de Mohr vienne tangenter la droite de rupture intrinsèque du sol (critère de Mohr-Coulomb : \( \tau = \sigma' \tan\phi' + c' \)).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Unité | Description |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement interne | \( \phi' = 30 \) | degrés (°) | Caractéristique intrinsèque du sable limoneux lâche. |
| Inclinaison talus | \( \beta = 0 \) | degrés (°) | Surface horizontale. |
| Inclinaison écran | \( \lambda = 0 \) | degrés (°) | Mur vertical. |
Pour un mur vertical et un terrain horizontal, la valeur \( K_a = 1/3 \) pour \( \phi' = 30^\circ \) est un grand classique du génie civil. Si vous trouvez autre chose avec votre calculatrice pour ce cas standard, vérifiez si vous n'êtes pas en radians !
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous appliquons la formule trigonométrique de Rankine en détaillant chaque opération intermédiaire.
1. Conversion et PréparationNous commençons par calculer l'angle qui sera l'argument de la tangente.
Ensuite, calculons la tangente de cet angle de 30 degrés.
Enfin, élevons cette valeur au carré pour obtenir le coefficient final.
Interprétation Physique : Le coefficient 0.333 signifie que le mur ne reprend horizontalement que 33% de la contrainte verticale du sol.
La valeur obtenue \( K_a = 0.333 \) est cohérente pour un sable (\( \phi=30^\circ \)). Elle est bien inférieure à 1 (état actif). Si nous avions calculé \( K_0 \) (repos, formule de Jaky \( 1-\sin\phi' \)), nous aurions trouvé \( 1 - 0.5 = 0.5 \). On vérifie bien que \( K_a < K_0 \) (\( 0.333 < 0.5 \)), ce qui est logique puisque le mouvement du mur "relâche" les contraintes.
Attention à ne pas confondre avec le coefficient de butée \( K_p \). Pour \( \phi'=30^\circ \), \( K_p = \tan^2(45^\circ + \phi'/2) = 3.0 \). Une confusion entre actif et passif conduirait à surdimensionner la structure d'un facteur 9 ! Ici, le sol pousse le mur, c'est donc de l'ACTIF.
❓ Question Fréquente
Pourquoi négliger la cohésion ?
Le sable est un matériau pulvérulent (\( c'=0 \)). Si le sol était une argile, le calcul serait différent : le coefficient \( K_a \) resterait le même, mais la contrainte totale serait réduite par un terme de cohésion négatif (traction) : \( \sigma_a = K_a \sigma_v - 2c'\sqrt{K_a} \). Ici, \( c'=0 \) simplifie l'équation.
🎯 Objectif
L'objectif ici est de tracer le profil des contraintes horizontales \( \sigma'_a(z) \) qui s'appliquent sur la face arrière du mur, de la surface (\( z=0 \)) jusqu'au pied (\( z=H \)). C'est cette distribution de pression qui va solliciter la structure.
Nous devons prendre en compte deux sources de contraintes verticales :
- Le poids propre du sol (\( \gamma \cdot z \)), qui augmente linéairement avec la profondeur.
- La surcharge d'exploitation (\( q \)), qui est constante sur toute la hauteur (car supposée infinie en surface).
📚 Référentiel
Le calcul des contraintes se base sur le principe de superposition (élasticité linéaire supposée dans la distribution) et l'application des coefficients de poussée définis dans l'Eurocode 7 - Section 9.
Loi de Terzaghi (\( \sigma' = \sigma - u \))Nous savons que le coefficient \( K_a \) permet de passer de la verticale à l'horizontale. La stratégie est donc simple : calculer la contrainte verticale totale \( \sigma'_v \) à une profondeur \( z \), puis la multiplier par \( K_a \).
Comme le sol est homogène et sec (pas de nappe phréatique, donc \( u=0 \) et \( \sigma = \sigma' \)), le diagramme résultant sera la superposition d'un rectangle (effet de la surcharge constante) et d'un triangle (effet du poids du sol croissant).
Dans un sol en équilibre limite actif de Rankine, la relation fondamentale entre les contraintes principales est :
\( \sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v - 2c'\sqrt{K_a} \)
Dans notre cas, avec \( c'=0 \), cela se simplifie en une relation linéaire simple : \( \sigma'_h(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z) \).
Étape 1 : Données
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Profondeur haut du mur (\( z_{\text{haut}} \)) | 0 | m |
| Profondeur bas du mur (\( z_{\text{bas}} \)) | 4.5 | m |
| Surcharge (\( q \)) | 10 | \( \text{kN/m}^2 \) |
| Poids volumique (\( \gamma \)) | 18 | \( \text{kN/m}^3 \) |
| Coefficient (\( K_a \)) | 0.333 | - |
Vérifiez toujours l'homogénéité des unités : \( \gamma \cdot z \) correspond à \( [\text{kN}/\text{m}^3] \times [\text{m}] = [\text{kN}/\text{m}^2] \), ce qui est bien une pression (kPa), tout comme la surcharge \( q \).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous calculons les contraintes aux points clés du mur : en haut (z=0) et en bas (z=H).
1. Calcul en tête de mur (z = 0 m)Calculons d'abord la contrainte verticale effective en tête de mur (\( z=0 \)). Le terme lié au poids des terres est nul. Seule la surcharge agit.
On en déduit la contrainte horizontale active en multipliant par \( K_a \).
Calculons ensuite la contrainte verticale effective en pied de mur (\( z=4.5 \) m). On cumule la surcharge et le poids de la colonne de sol.
On applique de nouveau le coefficient \( K_a \) pour obtenir la poussée horizontale en bas du mur.
Interprétation : La pression exercée sur le mur passe de 3.33 kPa en haut à 30.33 kPa en bas. L'augmentation est linéaire.
La contrainte augmente avec la profondeur, ce qui est physiquement logique (le poids des terres s'accumule). La valeur en pied (30 kPa) est réaliste pour un mur de cette hauteur : c'est équivalent à la pression sous 3m d'eau environ.
Erreur fréquente : oublier la surcharge \( q \) dans le calcul de \( \sigma'_v \) ou oublier de la multiplier par \( K_a \). La contrainte horizontale en surface n'est PAS nulle ici à cause de la route (\( q=10 \)). Si \( q=0 \), le diagramme serait un triangle parfait partant de 0.
❓ Question Fréquente
Et si la nappe phréatique était présente ?
Le calcul serait plus complexe. Il faudrait utiliser le poids volumique déjaugé \( \gamma' \) (environ 10 kN/m³) pour la contrainte effective du sol, et ajouter séparément la pression hydrostatique de l'eau \( u = \gamma_w \cdot z_w \). L'eau exerce une poussée isotrope (\( K=1 \)), ce qui augmente considérablement la poussée totale.
🎯 Objectif
Nous disposons maintenant du diagramme de pression (la répartition des contraintes). Pour dimensionner le mur (vérifier qu'il ne glisse pas ou ne bascule pas), nous devons convertir cette distribution de pression en une force résultante unique, notée \( P_a \). C'est l'équivalent mécanique de l'action du sol sur le mur.
📚 Référentiel
Cette étape consiste à intégrer le champ de contraintes sur la hauteur du mur. Conformément à la norme NF P 94-281, on travaille généralement par mètre linéaire de mur (unité de force : kN/ml).
Mathématiquement, la résultante est l'intégrale de la fonction contrainte : \( P_a = \int_0^H \sigma'_a(z) \, dz \).
Géométriquement, cela revient simplement à calculer l'aire du diagramme des contraintes. Comme notre diagramme est un trapèze (voir Q2), le plus simple et le plus sûr pour éviter les erreurs de bras de levier ensuite est de le décomposer en deux formes élémentaires :
- Un Rectangle (dû à la surcharge \( q \))
- Un Triangle (dû au poids des terres \( \gamma \))
La force résultante d'une pression constante \( p \) sur une hauteur \( H \) est \( p \times H \).
La force résultante d'une pression triangulaire (0 en haut, \( p_{\text{max}} \) en bas) est \( \frac{1}{2} \times p_{\text{max}} \times H \).
Étape 1 : Données
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Hauteur de calcul (\( H \)) | 4.5 | m |
| Pression Surcharge (\( K_a \cdot q \)) | 3.33 | \( \text{kN/m}^2 \) |
| Pression Terres en pied (\( K_a \cdot \gamma \cdot H \)) | \( 0.333 \times 18 \times 4.5 = 27.0 \) | \( \text{kN/m}^2 \) |
Calculez et conservez séparément la force due à la surcharge (\( P_q \)) et celle due au poids des terres (\( P_\gamma \)). Cela vous fera gagner un temps précieux à la question suivante pour le calcul des moments, car leurs points d'application sont différents !
Étape 2 : Calculs Détaillés par mètre linéaire
Nous calculons l'aire de chaque partie du diagramme en explicitant les dimensions.
1. Poussée de la Surcharge (Aire du Rectangle)Commençons par la composante rectangulaire du diagramme, due à la surcharge uniforme \( q \). Dimension = Hauteur (\( 4.5m \)) \( \times \) Largeur constante (\( 3.33 \text{kPa} \)).
Cette force représente l'effort latéral généré par la charge routière.
2. Poussée des Terres (Aire du Triangle)Passons maintenant à la composante triangulaire, due au poids propre du sol \( \gamma \). Dimension = Hauteur (\( 4.5m \)) \( \times \) Base (\( 27 \text{kPa} \)) / 2.
(Note : La valeur 60.69 trouvée précédemment venait de l'arrondi de 0.333. Avec \( P_\gamma = 27 \times 2.25 \), on a exactement 60.75). Cette force représente l'effort du sol lui-même.
3. Force TotalePour obtenir la poussée totale, nous sommons simplement ces deux composantes.
Interprétation : Sur chaque mètre de longueur du mur, le sol exerce une poussée horizontale totale d'environ 7.6 tonnes.
La poussée due au poids propre du sol (\( P_\gamma \approx 60 \)) est bien supérieure à celle de la surcharge (\( P_q \approx 15 \)), ce qui est normal pour un ouvrage de cette hauteur. Si \( P_q \) était prédominant, cela signifierait une surcharge énorme ou un mur très bas.
Attention à l'unité ! La force calculée est une force linéique (\( \text{kN/ml} \) de mur). Pour avoir la force totale sur l'ouvrage entier, il faudrait multiplier par la longueur longitudinale du mur (ex: 20m). Mais en calcul de structure, on dimensionne toujours "par mètre linéaire".
❓ Question Fréquente
Pourquoi ne pas intégrer directement ?
La méthode analytique directe (\( \int \)) est correcte, mais la méthode géométrique (aires) est plus visuelle, plus rapide et moins sujette aux erreurs pour des diagrammes simples. Elle permet surtout de dissocier les points d'application pour le calcul des moments.
🎯 Objectif
L'objectif final de cette note de calcul est d'évaluer la stabilité externe du mur vis-à-vis du renversement. La poussée des terres tend à faire pivoter le mur vers l'avant, autour de son point le plus bas à l'aval (le pied extérieur, point A). Nous devons calculer la valeur de ce moment de renversement (\( M_{\text{renv}} \)) pour pouvoir ensuite le comparer au moment stabilisateur (créé par le poids du mur).
📚 Référentiel
La vérification de l'état limite d'équilibre statique (EQU) ou géotechnique (GEO) impose de calculer les moments déstabilisateurs selon l'Eurocode 7. Le point de rotation considéré est conventionnellement l'arête extérieure de la semelle.
Un moment est le produit d'une Force par une Distance (Bras de levier). Comme nous avons décomposé notre poussée en deux forces distinctes (\( P_q \) et \( P_\gamma \)), nous allons calculer le moment de chacune séparément.
- Pour la surcharge (Rectangle) : La force est uniforme, son centre de gravité est au milieu de la hauteur.
- Pour les terres (Triangle) : La pression est plus forte en bas. Le centre de gravité d'un triangle est situé au tiers de sa hauteur en partant de la base (coté large).
Le bras de levier \( z \) se mesure toujours perpendiculairement à la direction de la force, par rapport au point de pivot (ici le fond de fouille).
- Rectangle : \( z_{G} = H/2 \)
- Triangle : \( z_{G} = H/3 \)
Étape 1 : Données Géométriques
| Composante | Force (Q3) | Formule Bras de levier | Valeur Bras de levier |
|---|---|---|---|
| Surcharge (Rect) | 15.00 kN/ml | \( H/2 \) | \( 4.5 / 2 = 2.25 \) m |
| Terres (Tri) | 60.75 kN/ml | \( H/3 \) | \( 4.5 / 3 = 1.50 \) m |
Moyen mnémotechnique pour le triangle : la résultante s'applique là où il y a le plus de "matière" (de pression), donc plus près du bas que du haut. C'est le tiers inférieur.
Étape 2 : Calcul de Vérification
Nous multiplions chaque force par son bras de levier respectif pour obtenir le couple de rotation.
1. Moment dû à la SurchargeCalculons le moment généré par la poussée de la surcharge. Le bras de levier est à mi-hauteur (\( H/2 \)).
C'est le moment déstabilisateur apporté par le trafic routier.
2. Moment dû aux TerresCalculons le moment généré par la poussée des terres. Le bras de levier est au tiers inférieur (\( H/3 \)).
C'est la part principale du moment de renversement, due au poids du sol.
3. Moment Total de RenversementLe moment total de renversement est la somme de ces deux moments partiels.
Interprétation : Le sol génère un couple de rotation de ~125 kNm pour chaque mètre de mur. Pour que le mur tienne, son poids propre doit générer un moment opposé supérieur (avec un coefficient de sécurité).
Le moment dû aux terres (\( M_\gamma \approx 91 \)) représente environ 73% du moment total. C'est l'action prépondérante. Le bras de levier de la surcharge est plus grand (2.25m vs 1.5m), mais comme la force est plus faible, son impact reste secondaire.
Ne pas confondre le bras de levier depuis le bas (pour le renversement) et depuis le haut (parfois utilisé pour calculer les moments de flexion internes dans le voile du mur). Ici, nous vérifions la stabilité externe, donc le pivot est en bas.
❓ Question Fréquente
Ce moment sert à quoi ?
Il sert à deux vérifications majeures : 1) La sécurité au renversement (on vérifie que \( M_{\text{stab}} / M_{\text{renv}} > 1.5 \)). 2) Le calcul de l'excentricité de la charge sur la semelle, pour vérifier qu'on ne comprime pas trop le sol de fondation (poinçonnement).
12 Rue des Sols, 69000 Lyon
Tel: 04.78.00.00.00
| Affaire | 2024-RD54 |
| Phase | PRO / EXE |
| Date | 25/10/2024 |
| Réf. Doc | NDC-001-A |
Note de Calculs Synthétique
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. Hypothèses Générales | |
| Sol (Sable Limoneux) | \( \phi' = 30^\circ, \gamma = 18 \text{kN/m}^3, c' = 0 \) |
| Mur | Hauteur \( H = 4.50 \text{ m} \), Vertical, Lisse |
| Surcharge | \( q = 10 \text{kN/m}^2 \) (Routière) |
| 2. Résultats Intermédiaires | |
| Coefficient \( K_a \) (Rankine) | 0.333 |
| Poussée Surcharge \( P_q \) | 15.00 kN/ml (à \( z = 2.25 \text{m} \)) |
| Poussée Terres \( P_\gamma \) | 60.75 kN/ml (à \( z = 1.50 \text{m} \)) |
| 3. Résultats Finaux / Actions Caractéristiques | |
| Résultante Totale \( P_{a,k} \) | 75.75 kN/ml |
| Moment Renversement \( M_{dst,k} \) | 124.88 kNm/ml |
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