La poussée active est minimale quand le mur se déplace.
Poussée des Terres sur Sol Hétérogène
📝 Situation du Projet
Le projet se situe sur la RD902, un axe stratégique traversant le massif des Aravis en Haute-Savoie. Dans le cadre de l'élargissement de cette route départementale pour sécuriser le trafic touristique dense en hiver et en été, il est prévu la construction d'un nouveau mur de soutènement en béton armé. L'ouvrage, de type "Cantilever" (mur en T renversé sur semelle), doit stabiliser un remblai technique constitué de matériaux d'apport, reposant sur le terrain naturel.
La zone d'implantation présente une géologie complexe typique des versants montagneux, avec une stratigraphie hétérogène identifiée lors de la campagne de reconnaissance géotechnique (sondages pressiométriques et carottés). Le profil de sol retenu pour le calcul comporte une superposition de deux couches distinctes derrière le mur : une couche supérieure de matériaux granulaires drainants (sable) reposant sur une couche plus cohésive (argile sableuse). Cette configuration stratifiée impose une vigilance particulière dans le calcul des poussées, car la discontinuité des propriétés mécaniques engendre une discontinuité des contraintes.
En tant que Ingénieur Géotechnicien responsable de la phase G2 (Avant-Projet / Projet), vous devez justifier la stabilité externe du mur vis-à-vis des sollicitations du terrain. Votre tâche spécifique consiste à calculer la poussée totale exercée par les terres et la surcharge routière sur le parement arrière du mur. Vous devrez établir le diagramme des contraintes horizontales, intégrer ce diagramme pour trouver la force résultante, et déterminer son point d'application exact (bras de levier) pour permettre ensuite la vérification au renversement et au glissement (ELU - États Limites Ultimes).
- Localisation
Massif des Aravis (74), Versant Nord - Maître d'Ouvrage
Conseil Départemental de la Haute-Savoie - Lot Concerné
Lot 02 : Ouvrages d'Art / Terrassement
"Attention à la discontinuité des contraintes à l'interface des deux couches (z = 3m). La cohésion est négligée pour ce calcul de sécurité (c' = 0)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Les calculs seront menés selon la théorie de Rankine, qui suppose un déplacement suffisant du mur pour mobiliser la résistance au cisaillement du sol (état actif), avec un écran fictif vertical passant par le talon du mur et une surface libre horizontale. Le frottement mur-sol est négligé pour se placer du côté de la sécurité.
📚 Référentiel Normatif
Le dimensionnement doit respecter les principes de l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) et de la norme d'application nationale associée.
[Art. 3.1] GÉOMÉTRIE
Hauteur totale de calcul H = 6.00 m.
Interface franche entre les couches à z = 3.00 m.
[Art. 3.2] INTERFACE SOL-STRUCTURE
Mur supposé parfaitement lisse (\(\delta = 0\)), hypothèse Rankine.
Surface du remblai horizontale (\(\beta = 0\)).
[Art. 3.3] HYDRAULIQUE
Le système de drainage (barbacanes et matériaux drainants) est supposé parfait : pas de nappe phréatique, sol sec (\(\gamma = \gamma_{sec}\)), pas de poussée hydrostatique.
| COUCHE 1 : SABLE (0 à -3m) | |
| Matériau granulaire frottant, perméable, utilisé en remblai technique. | |
| Poids volumique (\(\gamma_1\)) | 18 kN/m³ |
| Angle de frottement interne (\(\phi'_1\)) | 30° (Valeur caractéristique) |
| Cohésion effective (\(c'_1\)) | 0 kPa (Sol pulvérulent) |
| COUCHE 2 : ARGILE SABLEUSE (-3m à -6m) | |
| Sol en place, plus compact et cohésif, mais dont la cohésion est négligée par sécurité à long terme. | |
| Poids volumique (\(\gamma_2\)) | 20 kN/m³ |
| Angle de frottement interne (\(\phi'_2\)) | 35° |
| Cohésion effective (\(c'_2\)) | 0 kPa (Négligée pour le calcul) |
📐 Géométrie Verticale
- Hauteur Couche 1 (\(h_1\)): 3.00 m (Partie supérieure du mur)
- Hauteur Couche 2 (\(h_2\)): 3.00 m (Partie inférieure du mur)
- Hauteur Totale (\(H\)): 6.00 m
⚖️ Surcharge d'Exploitation
Correspond à une charge de trafic standard (type camion) répartie sur la chaussée à l'arrière du mur.
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle pour déterminer la poussée sur le mur.
Coefficients de Poussée
Calcul des coefficients \(K_a\) pour chaque couche selon Rankine.
Contraintes Verticales & Horizontales
Calcul des contraintes \(\sigma_v\) et \(\sigma_h\) aux profondeurs clés (0m, 3m-, 3m+, 6m).
Forces Résultantes
Intégration des aires du diagramme de poussée pour obtenir les forces.
Point d'Application
Calcul du moment par rapport à la base pour trouver la position de la résultante.
Poussée des Terres sur Sol Hétérogène
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier la capacité intrinsèque de chaque sol à exercer une pression latérale sur le mur. Contrairement aux fluides (eau), les sols possèdent une résistance au cisaillement interne (caractérisée par l'angle de frottement \(\phi'\)) qui leur permet de "se tenir" partiellement. Le coefficient de poussée active, noté \(K_a\), est le ratio qui traduit cette propriété mécanique en termes de contraintes : il permet de convertir une contrainte verticale (poids des terres) en une contrainte horizontale effective. Plus le sol est frottant (angle \(\phi'\) élevé), plus ce coefficient est faible, et moins la poussée sera importante.
📚 Référentiel
Cette étude s'appuie sur la théorie classique de Rankine (1857), qui est l'une des méthodes de référence citées dans l'Eurocode 7 (EN 1997-1) pour le calcul des écrans de soutènement en l'absence de frottement mur-sol (\(\delta = 0\)). Elle suppose que le sol est dans un état d'équilibre limite plastique, c'est-à-dire qu'il est sur le point de rompre par cisaillement le long d'un plan de glissement, provoqué par un léger déplacement du mur vers l'extérieur (état actif).
Avant de se lancer dans les calculs, il est crucial de visualiser le mécanisme physique. Imaginez que le mur s'écarte très légèrement du remblai. Le sol derrière le mur va essayer de le suivre et va se détendre horizontalement. Cette relaxation fait chuter la contrainte horizontale jusqu'à une valeur minimale limite : c'est la poussée active. Si le mur ne bougeait pas du tout (état au repos, \(K_0\)), la poussée serait beaucoup plus forte (\(K_0 \approx 1 - \sin(\phi')\)). Si le mur poussait contre le sol (état passif ou butée), la contrainte serait maximale. Ici, nous dimensionnons en "poussée active" car c'est le cas le plus courant pour un mur cantilever qui peut légèrement fléchir. Comme nous avons deux couches distinctes (Sable puis Argile), nous devons calculer un coefficient \(K_a\) spécifique pour chaque couche, car la "qualité" du frottement change avec la nature du sol.
Dans la théorie de la plasticité des sols, l'état de poussée active correspond au moment où le cercle de Mohr des contraintes (représentant l'état de contrainte en un point) vient tangenter la courbe intrinsèque de rupture du sol (droite de Coulomb : \(\tau = \sigma' \tan(\phi') + c'\)). Mathématiquement, cela se traduit par une relation géométrique entre la contrainte principale majeure (\(\sigma'_1\), ici verticale) et la contrainte principale mineure (\(\sigma'_3\), ici horizontale). Le coefficient \(K_a\) est simplement le rapport \(\sigma'_3 / \sigma'_1\) à la rupture.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Couche Géologique | Nature | Angle de Frottement (\(\phi'\)) |
|---|---|---|
| Couche 1 (0 à -3m) | Sable (matériau granulaire) | 30° |
| Couche 2 (-3m à -6m) | Argile Sableuse (matériau cohérent) | 35° |
Sur votre calculatrice, assurez-vous d'être en mode DEGRÉS (DEG) et non en radians (RAD) avant de calculer la tangente. Une erreur ici fausserait tous les résultats suivants ! Une valeur de \(K_a\) doit toujours être comprise entre 0.2 et 0.5 pour des sols courants.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous appliquons la formule de Rankine indépendamment pour chaque couche, car leurs propriétés mécaniques sont différentes. Voici le détail complet des opérations.
1. Calcul pour la Couche 1 (Sable, \(\phi'_1 = 30^{\circ}\))On commence par calculer la valeur de l'angle à l'intérieur de la parenthèse :
Le coefficient est donc de 1/3, ce qui signifie que la poussée horizontale représente 33% de la charge verticale.
2. Calcul pour la Couche 2 (Argile Sableuse, \(\phi'_2 = 35^{\circ}\))Pour la seconde couche (Argile), l'angle est plus élevé (35°), ce qui réduit la poussée :
Le coefficient chute à 0.271, reflétant la meilleure résistance au cisaillement de l'argile.
Les résultats sont cohérents avec la physique des sols :
- La couche 2 a un angle de frottement plus élevé (35°) que la couche 1 (30°).
- Mécaniquement, un sol qui frotte mieux est plus stable et exerce moins de poussée latérale.
- On retrouve bien mathématiquement que \(K_{a2} (0.271) < K_{a1} (0.333)\).
1. Ne confondez pas avec le coefficient de butée \(K_p = \tan^2(45^{\circ} + \phi/2)\), qui est toujours > 1 (souvent > 3).
2. Si le mur est incliné ou si le talus est en pente, cette formule simple de Rankine n'est plus valable (il faut utiliser Coulomb-Poncelet avec les angles \(\lambda\) et \(\beta\)).
3. Nous avons négligé la cohésion (\(c'=0\)) pour la couche argileuse. C'est une hypothèse sécuritaire courante en géotechnique pour les ouvrages de soutènement définitifs, car la cohésion peut disparaître à long terme (fissuration, saturation).
🎯 Objectif
L'objectif est d'établir le profil vertical des contraintes s'exerçant sur le mur. Contrairement à un liquide homogène où la pression croît linéairement (\(\rho \cdot g \cdot h\)), le sol stratifié présente des ruptures de pente et des discontinuités. Nous devons calculer la contrainte verticale effective (\(\sigma'_v\)), qui représente le "poids" ressenti par le squelette solide du sol à une profondeur donnée, puis la transformer en contrainte horizontale effective (\(\sigma'_h\)) via les coefficients \(K_a\) calculés précédemment.
📚 Référentiel
Le calcul suit le principe de superposition des contraintes en élasticité et plasticité (Théorie de Rankine). La contrainte totale en un point est la somme des contraintes dues à la surcharge externe et au poids propre des couches sus-jacentes.
Il faut raisonner étage par étage, comme pour un bilan de descente de charges dans un bâtiment.
1. Verticalement : La contrainte est cumulative et continue. À 3m de profondeur, le sol "sent" le poids des 3m de sable au-dessus de lui + la surcharge. Ce poids ne change pas brutalement juste parce qu'on passe dans l'argile. Donc \(\sigma'_v\) est continue.
2. Horizontalement : La réponse du sol change brutalement selon sa nature. Le sable transforme 33% (\(K_{a1}\)) de la charge verticale en poussée horizontale. L'argile, juste en dessous, n'en transforme que 27% (\(K_{a2}\)).
\(\Rightarrow\) Il y aura donc obligatoirement un saut (discontinuité) de la contrainte horizontale \(\sigma'_h\) à l'interface des deux couches (z=3m).
Le principe de Terzaghi s'énonce : \(\sigma' = \sigma - u\) (Contrainte Effective = Contrainte Totale - Pression Interstitielle de l'eau). Ici, l'énoncé précise "sol sec" ou "pas de nappe", donc \(u = 0\). Par conséquent, \(\sigma' = \sigma\). La contrainte verticale à une profondeur \(z\) se calcule par intégration des poids volumiques : \[ \sigma_v(z) = q_{surcharge} + \sum (\gamma_i \times h_i) \]
Le passage de la contrainte verticale à horizontale se fait par la loi de comportement du sol en poussée :
Dans notre cas, la cohésion \(c'\) est nulle, donc le terme \(-2c'\sqrt{K_a}\) disparaît, simplifiant la formule en \(\sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v\).
Étape 1 : Tableau de Données par Profondeur
| Profondeur z | Milieu Géologique | Poids Volumique \(\gamma\) | Coefficient \(K_a\) |
|---|---|---|---|
| 0 m | Sable | 18 kN/m³ | 0.333 |
| 3 m (sup) | Sable | 18 kN/m³ | 0.333 |
| 3 m (inf) | Argile | 20 kN/m³ | 0.271 |
| 6 m | Argile | 20 kN/m³ | 0.271 |
Pour ne pas vous tromper à l'interface, calculez toujours DEUX valeurs pour \(z=3m\) : une valeur "Sable" (\(3^-\)) et une valeur "Argile" (\(3^+\)).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons calculer les contraintes aux points clés : Tête (0m), Interface (3m), Pied (6m).
1. Au sommet du mur (z = 0 m)À la surface du terrain (\(z=0\)), seule la surcharge routière agit. Il n'y a pas encore de poids de sol au-dessus.
La contrainte verticale est égale à la surcharge \(q\). La contrainte horizontale est immédiate.
2. Juste au-dessus de l'interface (z = 3.0 m, Côté Sable)Nous descendons à l'interface (\(z=3m\)). Nous sommes toujours dans le sable. La contrainte verticale augmente du poids de la colonne de sable.
On obtient la pression horizontale maximale exercée par la couche de sable juste avant l'argile.
3. Juste au-dessous de l'interface (z = 3.0 m, Côté Argile)Au même point géométrique (\(z=3m\)), mais considéré du côté de l'argile. La charge verticale (poids total au-dessus) ne change pas, mais le matériau change.
Notez la chute de pression horizontale (de 21.31 à 17.34 kPa) due au changement de \(K_a\) (\(0.333 \to 0.271\)).
4. En pied de mur (z = 6.0 m, Dans l'Argile)Enfin, au pied du mur (\(z=6m\)), on ajoute le poids de la couche d'argile à la contrainte verticale précédente.
C'est la pression maximale exercée sur le mur, située tout en bas.
Le résultat le plus marquant est le "saut" de contrainte horizontale à 3m de profondeur. La pression passe brusquement de 21.31 kPa (bas du sable) à 17.34 kPa (haut de l'argile). Cela s'explique physiquement : l'argile, ayant un meilleur angle de frottement (35° contre 30°), est "plus solide" et nécessite moins de confinement horizontal pour tenir la même charge verticale. Elle pousse donc moins fort sur le mur.
1. Attention à ne pas interpoler linéairement entre 21.31 et 33.60 ! Le diagramme est discontinu.
2. Si une nappe phréatique était présente (ex: à z=2m), il faudrait calculer \(\sigma'_v = \sigma_v - u\), déduire \(\sigma'_h\), puis rajouter la pression de l'eau \(u\) à la fin (\(\sigma_{h,tot} = \sigma'_h + u\)). L'eau applique toujours une pression isotrope (\(K=1\)).
🎯 Objectif
Nous avons obtenu un diagramme de contraintes (pression en \(kN/m^2\) ou kPa). Pour dimensionner le mur (vérifier le glissement, le renversement, et calculer le ferraillage), nous avons besoin de travailler avec des forces (en \(kN\) ou \(kN/ml\)). L'objectif est donc d'intégrer ce diagramme de pression sur la hauteur du mur. Géométriquement, cela revient à calculer l'aire du diagramme des contraintes horizontales.
📚 Référentiel
Il s'agit d'une application directe de la statique graphique et du calcul intégral. La force résultante est l'intégrale de la distribution de pression : \(F = \int_0^H \sigma'_h(z) dz\).
Le diagramme global a une forme complexe (un trapèze sur un autre trapèze, avec un décalage). Plutôt que d'utiliser une formule d'intégrale complexe, la méthode standard de l'ingénieur consiste à décomposer ce diagramme en formes géométriques élémentaires dont on connaît parfaitement les propriétés (surface et centre de gravité) : des Rectangles (pour les charges constantes ou transmises) et des Triangles (pour les incréments dus au poids du sol). Cela permet non seulement de calculer la force totale, mais aussi de localiser facilement son point d'application par la suite.
- Aire d'un Rectangle = Base \(\times\) Hauteur (\(F = \sigma \cdot h\)). Point d'application à \(h/2\).
- Aire d'un Triangle = (Base \(\times\) Hauteur) / 2 (\(F = 0.5 \cdot \Delta\sigma \cdot h\)). Point d'application à \(h/3\) de la base (côté large).
Nous allons découper le problème en 4 forces distinctes :
- F1 (Couche 1) : Rectangle dû à la surcharge en surface.
- F2 (Couche 1) : Triangle dû au poids propre du sable.
- F3 (Couche 2) : Rectangle dû à la transmission de la contrainte verticale accumulée à 3m.
- F4 (Couche 2) : Triangle dû au poids propre de l'argile additionnel.
Étape 1 : Géométrie du Diagramme
| Zone | Forme | Hauteur |
|---|---|---|
| 1 (Haut) | Rectangle | 3m |
| 2 (Haut) | Triangle | 3m |
| 3 (Bas) | Rectangle | 3m |
| 4 (Bas) | Triangle | 3m |
Étape 2 : Calcul des Aires (Forces par mètre linéaire)
Rappel des valeurs de contraintes calculées précédemment :
\(\sigma'_h(0)=3.33\), \(\sigma'_{h1}(3)=21.31\), \(\sigma'_{h2}(3)=17.34\), \(\sigma'_h(6)=33.60\).
La force F1 correspond à la surcharge (rectangle) agissant sur la hauteur de la couche 1.
Cela représente une poussée constante sur les 3 premiers mètres.
La force F2 est la poussée due au poids propre du sable (triangle) sur la couche 1.
C'est l'aire du triangle de pression du sable.
3. Force F3 : Rectangle Transmission (Couche 2)La force F3 est subtile : c'est la transmission de la charge verticale accumulée à 3m (\(64 kPa\)) sur la couche 2, convertie en horizontale par l'argile.
C'est un rectangle de pression constante agissant sur la partie inférieure du mur.
4. Force F4 : Triangle Incrément (Couche 2)La force F4 est l'incrément de poussée dû au poids propre de l'argile sur sa propre hauteur.
C'est l'aire du triangle de pression spécifique à l'argile.
On somme toutes ces composantes pour obtenir la poussée totale sur le mur.
Regardons la répartition des forces :
- La force F3 (52.02 kN) représente à elle seule 46% de la poussée totale.
Cela montre que la "charge historique" (le poids de tout ce qui est au-dessus de 3m) transmise à la couche inférieure est souvent prépondérante par rapport à la poussée propre de la couche inférieure (F4 = 24.39 kN).
C'est pourquoi il est dangereux de sous-estimer les couches supérieures, même si elles semblent légères.
L'erreur classique est de calculer F3 en utilisant la valeur de contrainte du sable (21.31) au lieu de celle corrigée pour l'argile (17.34). Rappelez-vous : dès qu'on franchit la ligne z=3m, le sol "oublie" qu'il était du sable et réagit comme de l'argile (avec \(K_{a2}\)).
🎯 Objectif
Connaître la valeur de la force ne suffit pas. Pour vérifier la stabilité au renversement (le mur ne doit pas basculer vers l'avant), il faut savoir où cette force s'applique. Plus la force est appliquée haut, plus le bras de levier est grand, et plus le moment déstabilisateur est dangereux. L'objectif est de trouver la position exacte de la résultante \(Z_{\text{res}}\) et le moment total \(M_O\) au point de rotation théorique (l'arête extérieure de la semelle, ou ici simplifié au pied du diagramme).
📚 Référentiel
Nous utilisons le Théorème de Varignon : "Le moment de la résultante d'un système de forces par rapport à un point est égal à la somme des moments des forces composantes par rapport à ce même point."
Nous avons décomposé notre problème complexe en 4 forces simples (F1 à F4) dont nous connaissons les centres de gravité.
- Le centre de gravité d'un rectangle est à mi-hauteur (\(h/2\)).
- Le centre de gravité d'un triangle est au tiers de la hauteur côté base (\(h/3\)).
Attention : Ces hauteurs sont "locales" (par rapport à la base de la couche). Il faut impérativement les convertir en distances globales par rapport à notre point de référence unique : le pied du mur (z=6m).
Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point de pivot. Pour une force horizontale, c'est l'altitude \(z\) par rapport au fond de fouille.
Étape 1 : Tableau des Bras de Levier (Distance au point O, z=6m)
| Force | Forme / Couche | Position Locale | Calcul Bras de Levier (\(d_i\)) | Valeur |
|---|---|---|---|---|
| F1 | Rect / Couche 1 | Milieu de 3m (1.5m) | \(1.5m (\text{local}) + 3m (\text{couche 2 en dessous})\) | 4.50 m |
| F2 | Tri / Couche 1 | 1/3 de 3m (1.0m) | \(1.0m (\text{local}) + 3m (\text{couche 2 en dessous})\) | 4.00 m |
| F3 | Rect / Couche 2 | Milieu de 3m (1.5m) | \(1.5m (\text{local}) + 0m\) | 1.50 m |
| F4 | Tri / Couche 2 | 1/3 de 3m (1.0m) | \(1.0m (\text{local}) + 0m\) | 1.00 m |
Étape 2 : Calcul du Moment Total et de la Position
1. Somme des Moments (Moment de Renversement)On multiplie chaque force \(F_i\) par son bras de levier \(d_i\) :
C'est le moment total qui tend à faire basculer le mur vers l'avant.
2. Position de la résultante unique (\(Z_{\text{res}}\))Pour trouver le point d'application de la résultante, on divise le moment total par la force totale.
La résultante s'applique donc un peu plus haut que le tiers inférieur (2m), à cause de la surcharge en tête.
Vérifions l'ordre de grandeur :
- Pour un sol homogène sans surcharge (diagramme triangulaire pur), la résultante est à \(H/3\). Ici \(6m / 3 = 2.00m\).
- Notre résultat est \(2.25m\). Il est supérieur à \(2.00m\).
Est-ce logique ? OUI. La surcharge en surface ajoute une composante rectangulaire "haute" (F1) et la transmission rectangulaire (F3) qui "pèsent" vers le haut du diagramme par rapport à un triangle pur qui pèse vers le bas. Le centre de poussée remonte donc légèrement.
Une erreur fréquente est d'oublier d'ajouter la hauteur de la couche inférieure (\(h_2=3m\)) aux bras de levier des forces de la couche supérieure (F1 et F2). Cela sous-estimerait gravement le moment de renversement et pourrait conduire à dimensionner un mur instable !
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
74000 Annecy
Tel : 04.50.00.00.00
Phase : EXE (Exécution)
Date : 24/05/2024
Indice : A (Original)
NOTE DE SYNTHÈSE GÉOTECHNIQUE
| DESIGNATION | VALEUR / DESCRIPTION | UNITÉ / REF |
|---|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES GÉNÉRALES | ||
| Couche 1 (Sable 0-3m) | \(\gamma_1=18, \phi_1=30^{\circ}\) | \(K_{a1}=0.333\) |
| Couche 2 (Argile 3-6m) | \(\gamma_2=20, \phi_2=35^{\circ}\) | \(K_{a2}=0.271\) |
| Surcharge Routière | Uniforme sur remblai | q = 10 kN/m² |
| 2. RÉSULTATS DE CALCUL (ELS/ELU) | ||
| Contrainte Horiz. Max (Pied) | \(\sigma'_{h}(6m)\) | 33.60 kPa |
| Discontinuité Interface | Saut de contrainte à z=3m | 21.31 \(\rightarrow\) 17.34 |
| 3. SYNTHÈSE DES SOLLICITATIONS | ||
| Force de Poussée Totale | Résultante par mètre linéaire | 113.37 kN/ml |
| Moment de Renversement | Calculé au point O (Pied) | 255.25 kN.m/ml |
| Point d'Application | Bras de levier depuis la base | 2.25 m |
✅ DÉCISION TECHNIQUE
Les calculs de poussée active confirment les hypothèses de prédimensionnement. La position de la résultante (2.25m > H/3) indique l'influence significative de la surcharge et de la stratification. Ces valeurs serviront de données d'entrée pour la vérification de la stabilité interne (ferraillage) et externe (glissement/renversement).
Document validé pour la phase suivante.
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