Analyse de la stabilité de la falaise

Mécanique des Roches : Étude de cas - Analyse de la stabilité d'une falaise

Étude de cas : Analyse de la stabilité d'une falaise surplombant une route

Contexte : Le Risque d'Éboulement Rocheux

Les falaises rocheuses le long des infrastructures de transport (routes, voies ferrées) représentent un risque naturel majeur. L'instabilité peut être causée par la géométrie de la falaise, la présence de fractures (discontinuités) et des facteurs externes comme les pluies intenses. L'analyse de stabilité vise à quantifier ce risque en calculant un facteur de sécuritéRapport entre les forces qui résistent au glissement (résistance) et les forces qui provoquent le glissement (forces motrices). Un facteur inférieur à 1 indique une rupture imminente.. Cet exercice se concentre sur un mode de rupture courant : le glissement planGlissement d'un bloc de roche le long d'une unique surface de discontinuité (un plan de faiblesse) qui est orientée de manière défavorable par rapport à la pente., en considérant l'effet critique de la pression de l'eau.

Remarque Pédagogique : Ce type d'analyse est fondamental en génie civil et géotechnique. Il permet de décider si une falaise est sûre, si une surveillance est nécessaire, ou si des travaux de confortement (comme des ancrages ou des filets de protection) sont indispensables pour garantir la sécurité des usagers.

Objectifs Pédagogiques

Identifier un mécanisme de rupture par glissement plan.
Calculer les forces motrices (poids) et résistantes (cohésion, frottement) agissant sur un bloc rocheux.
Comprendre et quantifier l'effet déstabilisateur de la pression de l'eau dans les fractures.
Calculer un facteur de sécurité pour évaluer la stabilité d'un versant rocheux.
Analyser la sensibilité de la stabilité à la cohésion, au frottement et à la présence d'eau.

Données de l'étude

Une falaise calcaire de hauteur \(H = 30 \, \text{m}\) surplombe une route. Une discontinuité majeure (plan de glissement potentiel) est identifiée, avec un pendage \(\psi_p = 35^\circ\). Le parement de la falaise a un angle \(\psi_f = 70^\circ\). Une fissure de traction verticale est ouverte au sommet de la falaise, à une distance \(b = 6 \, \text{m}\) du front.

Schéma de la Falaise

Données sur le massif et la discontinuité :

Poids volumique de la roche : \(\gamma_r = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Cohésion du plan de glissement : \(c' = 20 \, \text{kPa}\)
Angle de frottement du plan de glissement : \(\phi' = 30^\circ\)
Poids volumique de l'eau : \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\)
La fissure de traction est remplie d'eau sur toute sa hauteur.

Questions à traiter

Calculer l'aire et le poids du bloc potentiellement instable (par mètre linéaire de falaise).
Calculer les forces hydrostatiques \(U\) (sous-pression sur le plan de glissement) et \(V\) (poussée dans la fissure de traction).
Calculer le facteur de sécurité (FS) du bloc et conclure sur la stabilité de la falaise.

Correction : Analyse de la stabilité de la falaise

Question 1 : Poids du Bloc Instable (W)

Principe :

Le bloc potentiellement instable a une forme de triangle. On calcule d'abord son aire à partir de sa géométrie, puis on en déduit son poids en multipliant l'aire par le poids volumique de la roche (pour une tranche de 1 mètre d'épaisseur).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La géométrie est la première étape de toute analyse de stabilité. Une erreur dans le calcul du volume du bloc se répercutera sur toutes les forces (motrices et résistantes) et faussera complètement le résultat final.

Formule(s) utilisée(s) :

A = \frac{1}{2} H \left( \frac{H}{\tan(\psi_p)} - \frac{H}{\tan(\psi_f)} \right) = \frac{H^2}{2} (\cot(\psi_p) - \cot(\psi_f))

W = A \times \gamma_r \quad (\text{par mètre linéaire})

Donnée(s) :

Hauteur de la falaise \(H = 30 \, \text{m}\)
Angle du plan de glissement \(\psi_p = 35^\circ\)
Angle du parement \(\psi_f = 70^\circ\)
Poids volumique de la roche \(\gamma_r = 25 \, \text{kN/m}^3\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} A &= \frac{30^2}{2} (\cot(35^\circ) - \cot(70^\circ)) \\ &= 450 \times (\tan(90-35)^\circ - \tan(90-70)^\circ) \\ &= 450 \times (\tan(55^\circ) - \tan(20^\circ)) \\ &= 450 \times (1.428 - 0.364) \\ &\approx 478.8 \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} W &= 478.8 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &\approx 11970 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Angles en degrés : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour les calculs de fonctions trigonométriques. Une erreur de mode (radians vs degrés) est une source d'erreur très fréquente.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le poids du bloc est \(W \approx 11970 \, \text{kN}\) par mètre linéaire de falaise.

Question 2 : Forces Hydrostatiques (U et V)

Principe :

L'eau présente dans les fractures exerce une pression qui a un effet très déstabilisateur. La force \(V\) est la poussée de l'eau dans la fissure de traction, et la force \(U\) est la sous-pression qui s'exerce sur le plan de glissement, réduisant la résistance au frottement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pression de l'eau est l'ennemi numéro un de la stabilité des pentes. Elle agit de deux manières : elle ajoute une force motrice directe (poussée) et, plus important encore, elle réduit la force normale sur le plan de glissement, ce qui diminue d'autant la résistance au frottement (principe de la "contrainte effective").

Formule(s) utilisée(s) :

z_w = H - b \tan(\psi_p) \quad (\text{Hauteur d'eau au niveau de la fissure})

V = \frac{1}{2} \gamma_w z_w^2

U = \frac{1}{2} \gamma_w z_w \frac{b}{\cos(\psi_p)}

Donnée(s) :

Hauteur \(H = 30 \, \text{m}\), distance \(b = 6 \, \text{m}\)
Angle \(\psi_p = 35^\circ\)
Poids volumique de l'eau \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} z_w &= 30 - 6 \times \tan(35^\circ) \\ &= 30 - 6 \times 0.700 \\ &\approx 25.8 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} V &= \frac{1}{2} \times 9.81 \times (25.8)^2 \\ &\approx 3264 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} \times 9.81 \times 25.8 \times \frac{6}{\cos(35^\circ)} \\ &\approx 126.5 \times \frac{6}{0.819} \\ &\approx 926.7 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Géométrie de la pression : La distribution de la pression de l'eau est triangulaire. Les formules \(0.5 \times \text{base} \times \text{hauteur}\) calculent l'aire de ce triangle de pression pour obtenir la force résultante.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les forces hydrostatiques sont \(V \approx 3264 \, \text{kN/m}\) et \(U \approx 927 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Facteur de Sécurité (FS) et Conclusion

Principe :

Le facteur de sécurité est le rapport entre les forces qui s'opposent au glissement (forces résistantes) et celles qui le provoquent (forces motrices). Les forces résistantes sont la cohésion sur le plan de glissement et la force de frottement. Les forces motrices sont la composante du poids parallèle au plan et la poussée de l'eau.

Remarque Pédagogique :

Interprétation du FS : Un FS > 1.3 est généralement considéré comme stable à long terme pour une pente naturelle. Un FS entre 1.0 et 1.3 indique une stabilité critique qui nécessite une surveillance ou des travaux. Un FS < 1.0 signifie que la pente est instable et que la rupture est probable ou imminente.

Formule(s) utilisée(s) :

FS = \frac{\text{Forces Résistantes}}{\text{Forces Motrices}} = \frac{c' A_p + (W \cos\psi_p - U) \tan\phi'}{W \sin\psi_p}

Note : La formule est simplifiée ici. Une analyse complète inclurait l'effet de la force V. Pour ce cas, on considère que la force V, horizontale, n'a qu'un faible impact sur les composantes normales et tangentielles et on la néglige pour simplifier le calcul pédagogique.

Donnée(s) :

Poids \(W \approx 11970 \, \text{kN/m}\)
Forces d'eau \(U \approx 927 \, \text{kN/m}\)
Cohésion \(c' = 20 \, \text{kPa} = 20 \, \text{kN/m}^2\)
Angle de frottement \(\phi' = 30^\circ\)
Angle du plan \(\psi_p = 35^\circ\)
Longueur du plan de glissement \(A_p = H / \sin(\psi_p) = 30 / \sin(35^\circ) \approx 52.3 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{Forces Résistantes} &= (20 \times 52.3) + (11970 \cos(35^\circ) - 927) \tan(30^\circ) \\ &= 1046 + (11970 \times 0.819 - 927) \times 0.577 \\ &= 1046 + (9803 - 927) \times 0.577 \\ &= 1046 + 8876 \times 0.577 \\ &\approx 1046 + 5121 \approx 6167 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Forces Motrices} &= 11970 \sin(35^\circ) \\ &= 11970 \times 0.574 \\ &\approx 6866 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} FS &= \frac{6167}{6866} \\ &\approx 0.90 \end{aligned}

Points de vigilance :

La Contrainte Effective : La force de frottement ne dépend pas de la force normale totale (\(W \cos\psi_p\)) mais de la force normale *effective*, c'est-à-dire la force normale totale moins la sous-pression de l'eau (\(U\)). Oublier de soustraire U est une erreur majeure qui surestime grandement la stabilité.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le facteur de sécurité est FS ≈ 0.90. La falaise est instable.

Simulation Interactive de la Stabilité

Faites varier les paramètres de résistance du plan de glissement et la hauteur d'eau dans la fissure pour observer leur influence critique sur le facteur de sécurité.

Paramètres de Stabilité

Angle de Frottement (\(\phi'\)) (30°)

Cohésion (\(c'\)) (20 kPa)

Remplissage Fissure (100 %)

Facteur de Sécurité (FS)

Évaluation du Risque

Pour Aller Plus Loin : Glissement en Dièdre (Wedge Failure)

Un cas plus complexe : Le glissement plan est le cas le plus simple. Souvent, l'instabilité est contrôlée par l'intersection de deux plans de discontinuité, formant un "dièdre" ou "coin" rocheux (wedge). L'analyse est alors tridimensionnelle et plus complexe, car le glissement se produit le long de la ligne d'intersection des deux plans. Des logiciels spécialisés sont généralement utilisés pour ce type d'analyse.

Le Saviez-Vous ?

Pour surveiller les falaises instables, les géotechniciens utilisent des technologies de pointe comme le Lidar terrestre ou les radars interférométriques. Ces appareils peuvent mesurer des déplacements de l'ordre du millimètre à plusieurs centaines de mètres de distance, permettant de détecter les signes précurseurs d'un glissement et de déclencher des alertes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelles sont les solutions pour stabiliser cette falaise ?

Puisque le FS est inférieur à 1, des travaux sont nécessaires. Les solutions possibles incluent : 1) Le drainage : installer des drains horizontaux pour évacuer l'eau et réduire les pressions U et V (la solution la plus efficace). 2) Le renforcement : installer des ancrages actifs (boulons précontraints) qui traversent le plan de glissement pour "clouer" le bloc instable au massif stable. 3) Le terrassement : purger le bloc instable de manière contrôlée ou remodeler la géométrie de la falaise (adoucir la pente), si cela est possible.

La cohésion est-elle toujours présente ?

La cohésion représente la "colle" naturelle du plan de discontinuité. Pour une fissure ouverte ou un plan qui a déjà bougé, il est plus prudent de considérer une cohésion nulle (\(c'=0\)). Pour un joint fermé et rugueux, une certaine cohésion peut être prise en compte, mais elle reste un paramètre difficile à mesurer et incertain.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel paramètre a l'impact le plus direct sur la réduction de la résistance au frottement ?

Le poids du bloc (W).
La cohésion (c').
La sous-pression de l'eau (U).

2. Si on installe des drains efficaces qui vident complètement la fissure, le facteur de sécurité va :

Diminuer.
Augmenter significativement.
Rester inchangé.

Glossaire

Glissement Plan: Mode de rupture où un bloc rocheux glisse le long d'un unique plan de discontinuité (joint, faille, plan de stratification) orienté de manière défavorable.
Facteur de Sécurité (FS): Rapport des forces résistantes (qui empêchent le mouvement) sur les forces motrices (qui provoquent le mouvement). FS < 1 indique une instabilité.
Cohésion (c'): Résistance au cisaillement d'un matériau ou d'un joint qui ne dépend pas de la contrainte normale. C'est "l'adhésion" ou la "colle" du plan.
Angle de Frottement (\(\phi'\)): Paramètre qui décrit la résistance au cisaillement d'un plan due au frottement entre ses deux épontes. Cette résistance est proportionnelle à la force normale appliquée sur le plan.
Fissure de Traction: Fissure qui s'ouvre au sommet d'un versant lorsque le mouvement de glissement commence. Elle indique que le massif rocheux est en extension.

D’autres exercices de mécanique des roches:

Analyse de la stabilité de la falaise

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la Falaise

Questions à traiter

Correction : Analyse de la stabilité de la falaise

Question 1 : Poids du Bloc Instable (W)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Forces Hydrostatiques (U et V)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Facteur de Sécurité (FS) et Conclusion

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive de la Stabilité

Paramètres de Stabilité

Évaluation du Risque

Pour Aller Plus Loin : Glissement en Dièdre (Wedge Failure)

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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