ÉTUDE GÉOTECHNIQUE

Analyse de l’Interaction Sol-Structure

Génie Civil : Analyse de l'Interaction Sol-Structure pour un Portique sur Semelles

Analyse de l'interaction sol-structure pour un portique sur semelles

Contexte : La Réalité des Appuis Flexibles

Dans les calculs de structures hyperstatiques, comme les portiques, une hypothèse courante est de considérer les appuis (fondations) comme parfaitement rigides (encastrements parfaits ou articulations parfaites). En réalité, les fondations reposent sur un sol qui est un matériau déformable. Le sol se tasse et tourne sous l'effet des charges, ce qui modifie le comportement de la structure. Cette interaction sol-structure (ISS)Phénomène par lequel la réponse du sol (tassement, rotation) influence la distribution des efforts dans la structure, et vice-versa. a pour effet de "soulager" les zones les plus chargées en redistribuant les efforts (notamment les moments fléchissants) vers les zones moins sollicitées. Ignorer l'ISS peut conduire à un surdimensionnement des fondations et à une mauvaise estimation des efforts dans la superstructure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à illustrer le concept fondamental de la redistribution des moments. En passant d'un appui infiniment rigide (encastrement) à un appui flexible (ressort de rotation), on verra que le moment en pied de poteau diminue, mais que cette diminution se traduit par une augmentation du moment en tête de poteau et dans la traverse.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser une fondation par sa raideur en rotation.
  • Calculer la raideur en rotation d'une semelle superficielle sur un sol élastique.
  • Calculer les raideurs des éléments structuraux (poteaux, traverse).
  • Appliquer une méthode simplifiée pour évaluer la redistribution des moments.
  • Quantifier l'impact de la flexibilité du sol sur les efforts dans la structure.

Données de l'étude

On étudie un portique simple en béton armé, symétrique, soumis à une charge uniformément répartie sur sa traverse. Le portique est fondé sur deux semelles carrées identiques.

Schéma du Portique et de sa Fondation
Charge q H L

Données géométriques et mécaniques :

  • Portée du portique : \(L = 8.0 \, \text{m}\).
  • Hauteur des poteaux : \(H = 4.0 \, \text{m}\).
  • Inertie des poteaux et de la traverse (supposée constante) : \(I = 0.005 \, \text{m}^4\).
  • Module d'Young du béton : \(E_b = 30,000 \, \text{MPa}\).
  • Dimensions des semelles carrées : \(B = 2.0 \, \text{m}\).
  • Module de réaction du sol (vertical) : \(k_v = 40,000 \, \text{kN/m}^3\).
  • Charge répartie de calcul (ELU) : \(q_d = 50 \, \text{kN/m}\).

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'encastrement parfait (\(M_{\text{enc}}\)) en pied de poteau, en supposant que les fondations sont infiniment rigides.
  2. Calculer la raideur en rotation de la fondation (\(K_f\)) et la raideur du poteau (\(K_p\)).
  3. En utilisant le rapport des raideurs, estimer le moment réel en pied de poteau (\(M_{\text{réel}}\)) en tenant compte de l'interaction sol-structure. Conclure sur l'effet de l'ISS.

Correction : Analyse de l'Interaction Sol-Structure

Question 1 : Calcul du Moment d'Encastrement Parfait (\(M_{\text{enc}}\))

Principe :
q M_enc

Dans un premier temps, on fait l'hypothèse classique d'une structure parfaitement encastrée sur des appuis indéformables. Le moment en pied de poteau est alors calculé à l'aide des formules standards de la Résistance des Matériaux pour un portique hyperstatique. Ce moment représente la valeur maximale théorique que la fondation devrait reprendre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul est la référence. C'est la valeur que l'on obtiendrait dans un logiciel de calcul de structure standard si on modélisait les appuis comme des encastrements parfaits. Toute la suite de l'exercice consistera à voir comment la réalité (la flexibilité du sol) modifie ce résultat initial.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un portique symétrique chargé symétriquement, le moment d'encastrement parfait est donné par :

\[ M_{\text{enc}} = \frac{q_d L^2}{12} \times \frac{1}{2+K} \quad \text{avec} \quad K = \frac{I_{\text{traverse}}}{I_{\text{poteau}}} \frac{H}{L} \]

Dans notre cas, les inerties et les matériaux sont les mêmes pour les poteaux et la traverse, donc \(K = H/L\).

Donnée(s) :
  • Charge de calcul \(q_d = 50 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L = 8.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Calcul du coefficient de raideur relative \(K\) :

\[ K = \frac{H}{L} = \frac{4.0}{8.0} = 0.5 \]

2. Calcul du moment d'encastrement parfait :

\[ \begin{aligned} M_{\text{enc}} &= \frac{50 \times 8.0^2}{12} \times \frac{1}{2 + 0.5} \\ &= \frac{3200}{12} \times \frac{1}{2.5} \\ &= 266.67 \times 0.4 \\ &\approx 106.7 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Validité de la formule : La formule de \(M_{\text{enc}}\) est une simplification pour un portique simple. Pour des structures plus complexes (plusieurs travées, hauteurs variables), il faut utiliser des méthodes de calcul plus générales comme la méthode des déplacements ou des logiciels de calcul de structure.

Le saviez-vous ?

Les structures hyperstatiques, comme les portiques, ont été un défi majeur pour les ingénieurs du 19ème siècle. La méthode de calcul des moments dans ces structures a été formalisée par des ingénieurs comme Clapeyron et a ouvert la voie à la construction de grands ponts et de charpentes métalliques.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si les charges ne sont pas symétriques ?

Si la charge n'est pas symétrique, le portique subit un déplacement horizontal global ("sway" en anglais). Le calcul devient plus complexe car il faut prendre en compte ce déplacement supplémentaire dans l'équilibre des forces et des moments.

Résultat : Le moment d'encastrement parfait en pied de poteau est \(M_{\text{enc}} \approx 107 \, \text{kN.m}\).

Question 2 : Calcul des Raideurs de la Fondation et du Poteau

Principe :
M θ

Le sol sous la semelle n'est pas infiniment rigide. Lorsqu'un moment est appliqué, la semelle tourne, et le sol réagit par une distribution de contraintes qui s'oppose à cette rotation. Cette opposition est modélisée par une raideur en rotation \(K_f\). De même, le poteau a sa propre raideur en flexion \(K_p\). L'interaction entre ces deux raideurs va dicter le comportement réel de l'assemblage.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La raideur en rotation de la fondation dépend de la rigidité du sol (le module de réaction \(k_v\)) et de la géométrie de la semelle (son inertie). Une grande semelle sur un sol très raide se comportera presque comme un encastrement parfait. Une petite semelle sur un sol mou se comportera presque comme une articulation.

Formule(s) utilisée(s) :

Raideur en rotation de la fondation (semelle carrée) :

\[ K_f = k_v \times I_f \quad \text{avec} \quad I_f = \frac{B^4}{12} \]

Raideur en flexion du poteau (pour une rotation à la base) :

\[ K_p = \frac{4 E_b I}{H} \]
Donnée(s) :
  • Module de réaction du sol \(k_v = 40,000 \, \text{kN/m}^3\)
  • Largeur de la semelle \(B = 2.0 \, \text{m}\)
  • Module d'Young du béton \(E_b = 30,000 \, \text{MPa} = 30 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2\)
  • Inertie du poteau \(I = 0.005 \, \text{m}^4\)
  • Hauteur du poteau \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Inertie de la semelle :

\[ I_f = \frac{2.0^4}{12} = \frac{16}{12} \approx 1.333 \, \text{m}^4 \]

2. Raideur en rotation de la fondation :

\[ \begin{aligned} K_f &= 40000 \times 1.333 \\ &= 53320 \, \text{kN.m/rad} \end{aligned} \]

3. Raideur du poteau :

\[ \begin{aligned} K_p &= \frac{4 \times (30 \times 10^6) \times 0.005}{4.0} \\ &= \frac{600000}{4.0} \\ &= 150000 \, \text{kN.m/rad} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Incertitude sur kv : Le module de réaction du sol \(k_v\) est le paramètre le plus difficile à déterminer avec précision. Il dépend de nombreux facteurs et peut varier considérablement sur un même site. Une analyse de sensibilité, en faisant varier \(k_v\), est souvent nécessaire pour évaluer la robustesse du dimensionnement.

Le saviez-vous ?

La raideur d'un poteau dépend de ses conditions d'appui à l'autre extrémité. Le facteur "4" dans \(4EI/H\) est valable pour un poteau encastré à une extrémité et guidé en rotation à l'autre (cas d'un portique symétrique). Si l'autre extrémité était une articulation, le facteur serait "3".

FAQ en rapport avec la question :
Comment est déterminé le module de réaction \(k_v\) ?

Idéalement, par un essai de chargement à la plaque sur le site. En l'absence d'essais, il est souvent estimé à partir de corrélations avec les résultats d'essais pressiométriques ou pénétrométriques. C'est une estimation qui comporte une part importante d'incertitude.

Résultat : La raideur de la fondation est \(K_f \approx 53,320 \, \text{kN.m/rad}\) et celle du poteau est \(K_p = 150,000 \, \text{kN.m/rad}\).

Question 3 : Calcul du Moment Réel et Conclusion

Principe :
Rigide Flexible M Redistribution

Le moment d'encastrement parfait se répartit entre la fondation et le poteau proportionnellement à leurs raideurs respectives. Le moment réellement repris par la fondation (et donc transmis au sol) est réduit par un facteur qui dépend du rapport de raideur \(\rho_k = K_p / K_f\). Plus le sol est souple par rapport à la structure, plus le moment en pied de poteau est faible.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La redistribution des efforts est un concept central en calcul de structure. Elle permet des conceptions plus optimisées et économiques. Cependant, il faut s'assurer que les éléments qui récupèrent les efforts (ici, la traverse) sont capables de les supporter sans se rompre.

Formule(s) utilisée(s) :

Le moment réel en pied de poteau est donné par la formule de distribution :

\[ M_{\text{réel}} = M_{\text{enc}} \times \frac{K_f}{K_f + K_p} = M_{\text{enc}} \times \frac{1}{1 + \rho_k} \]

avec \(\rho_k = K_p / K_f\).

Donnée(s) :
  • Moment d'encastrement parfait \(M_{\text{enc}} = 106.7 \, \text{kN.m}\)
  • Raideur de la fondation \(K_f = 53,320 \, \text{kN.m/rad}\)
  • Raideur du poteau \(K_p = 150,000 \, \text{kN.m/rad}\)
Calcul(s) :

1. Calcul du rapport de raideur \(\rho_k\) :

\[ \begin{aligned} \rho_k &= \frac{K_p}{K_f} \\ &= \frac{150000}{53320} \\ &\approx 2.81 \end{aligned} \]

2. Calcul du moment réel :

\[ \begin{aligned} M_{\text{réel}} &= 106.7 \times \frac{1}{1 + 2.81} \\ &= 106.7 \times \frac{1}{3.81} \\ &\approx 28.0 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

3. Conclusion :

Le moment réellement transmis à la fondation est de 28.0 kN.m, soit seulement 26% du moment d'encastrement parfait (\(28 / 106.7 \approx 0.26\)). L'interaction sol-structure a permis de réduire le moment en pied de poteau de près de 74%. Cet effort "manquant" a été redistribué dans la traverse et en tête du poteau opposé.

Points de vigilance :

Analyse globale : La diminution du moment en pied de poteau n'est pas "gratuite". Elle s'accompagne d'une augmentation du moment dans la traverse et d'une augmentation du déplacement horizontal du portique. Une analyse complète par un logiciel est nécessaire pour vérifier que tous les éléments de la structure restent dans les limites admissibles.

Le saviez-vous ?

L'analyse de l'interaction sol-structure est particulièrement critique pour les structures fondées sur des sols très différents (par exemple, un bâtiment à cheval sur du rocher et de l'argile). Ignorer l'ISS dans ce cas peut conduire à des tassements différentiels très importants et à des dommages sévères.

FAQ en rapport avec la question :
Comment les logiciels gèrent-ils l'ISS ?

Les logiciels de calcul par éléments finis modélisent la structure (poutres, poteaux) et le sol (par des ressorts ou par un volume continu de sol avec ses propres propriétés mécaniques). Le logiciel résout l'équilibre de l'ensemble du système, calculant simultanément les déformations du sol et les efforts dans la structure, ce qui permet une analyse très précise de l'ISS.

Résultat : Le moment réel en pied de poteau est \(M_{\text{réel}} \approx 28 \, \text{kN.m}\). L'ISS a un effet très significatif.

Simulation Interactive

Faites varier la raideur du sol et l'inertie du poteau pour visualiser l'effet de l'interaction sol-structure sur la redistribution des moments.

Paramètres de Conception
Raideur Fondation (Kf)
Raideur Poteau (Kp)
Moment Réel (M_réel)
Comparaison des Moments (kN.m)

Le Saviez-Vous ?

Le concept de modélisation du sol par des ressorts, connu sous le nom de "modèle de Winkler", a été proposé dès 1867. Bien qu'il soit une simplification (il ignore la continuité du sol), il reste extraordinairement populaire et efficace pour de nombreux problèmes d'interaction sol-structure, y compris les plus complexes résolus par les logiciels modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le sol est très rigide ?

Si le sol est très rigide (ex: un rocher), son module de réaction \(k_v\) tend vers l'infini. La raideur de la fondation \(K_f\) devient donc très grande par rapport à celle du poteau \(K_p\). Le rapport \(\rho_k = K_p/K_f\) tend vers zéro, et le moment réel \(M_{\text{réel}}\) tend vers le moment d'encastrement parfait \(M_{\text{enc}}\). L'hypothèse de l'encastrement parfait devient alors correcte.

Cette analyse est-elle suffisante pour dimensionner la fondation ?

Non, c'est une première étape. Une fois le moment réel \(M_{\text{réel}}\) et la charge verticale \(V_k\) connus, il faut mener les vérifications géotechniques classiques : vérifier la capacité portante du sol sous la distribution de contrainte excentrée, et vérifier la stabilité au glissement sous l'effet de l'effort horizontal transmis par le poteau.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la raideur du sol (kv), le moment en pied de poteau :

2. L'interaction sol-structure a pour effet de :

Glossaire

Interaction Sol-Structure (ISS)
Phénomène par lequel la réponse du sol (tassement, rotation) influence la distribution des efforts dans la structure, et vice-versa. C'est un couplage entre le comportement géotechnique et le comportement structurel.
Raideur en Rotation (\(K_f\))
Caractéristique d'un appui qui quantifie le moment nécessaire pour lui imposer une rotation unitaire. Elle s'exprime en force x longueur / angle (ex: kN.m/rad).
Moment d'Encastrement Parfait
Moment fléchissant qui apparaît à un appui si celui-ci est supposé infiniment rigide, c'est-à-dire qu'il empêche toute rotation.
Portique
Structure composée de poteaux (éléments verticaux) et de traverses (éléments horizontaux) assemblés de manière rigide. C'est une structure hyperstatique.
Analyse de l'interaction sol-structure pour un portique sur semelles

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