Analyse des Contraintes In Situ

Mécanique des Roches : Contraintes In Situ autour d'une Excavation

Analyse des Contraintes In Situ autour d'une Excavation Circulaire

Contexte : La Roche sous Pression

Avant toute excavation, un massif rocheux en profondeur est soumis à des contraintes in situContraintes existant naturellement dans un massif rocheux avant toute perturbation par des travaux. Elles sont dues au poids des terrains sus-jacents et aux forces tectoniques., dues au poids des terrains et aux forces tectoniques. Lorsqu'on creuse un tunnel ou une galerie, on retire la roche qui s'opposait à ces contraintes. Celles-ci ne disparaissent pas, mais se "reconcentrent" et se redistribuent autour du vide créé. Ce phénomène entraîne des concentrations de contraintes, en particulier au niveau des parois de l'excavation (les "parements"). Comprendre et calculer cette redistribution est essentiel pour prédire les risques d'instabilité, comme l'écaillage ou la rupture en compression (éclatement de la roche).

Remarque Pédagogique : Les équations de Kirsch (1898) fournissent une solution analytique élégante pour ce problème dans le cas d'un trou circulaire dans un milieu élastique, homogène et isotrope. Bien que ce soit une simplification, elles constituent la base de toute l'analyse de stabilité des excavations souterraines et permettent de comprendre les concepts fondamentaux de concentration de contrainte.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de redistribution des contraintes autour d'un vide.
Appliquer les équations de Kirsch pour calculer les contraintes radiale et tangentielle.
Identifier les zones de concentration de contrainte (compression et traction).
Calculer le facteur de concentration de contrainte.
Discuter des implications de ces contraintes sur la stabilité de la galerie.

Données de l'étude

On étudie les contraintes autour d'une galerie circulaire de rayon \(a = 4 \, \text{m}\), creusée dans un massif rocheux. Les contraintes in situ (loin de l'excavation) sont :

Contraintes In Situ et autour de la Galerie

Contrainte verticale : \(\sigma_v = 20 \, \text{MPa}\)
Contrainte horizontale : \(\sigma_h = 10 \, \text{MPa}\)

Questions à traiter

Calculer la contrainte radiale (\(\sigma_r\)) sur la paroi de la galerie.
Calculer la contrainte tangentielle (\(\sigma_\theta\)) en différents points de la paroi : au toit (\(\theta=90^\circ\)) et sur les flancs (\(\theta=0^\circ\)).
Déterminer la contrainte maximale autour de la galerie et le facteur de concentration de contrainte.

Correction : Analyse des Contraintes In Situ autour d'une Excavation Circulaire

Question 1 : Calcul de la Contrainte Radiale (\(\sigma_r\))

Principe :

La contrainte radiale (\(\sigma_r\)) représente la pression exercée par la roche sur la paroi de la galerie. Comme la galerie est vide (pas de pression interne de soutènement), sa paroi est une surface "libre". Par définition, une surface libre ne peut subir de contrainte perpendiculaire à elle-même. La contrainte radiale sur la paroi est donc nulle.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est un concept fondamental. Le fait que \(\sigma_r = 0\) à la paroi est la condition aux limites qui permet de résoudre les équations de Kirsch. Cela signifie que toute la charge qui était initialement supportée par la roche excavée doit être reportée ailleurs, ce qui explique la reconcentration des contraintes.

Formule(s) utilisée(s) :

L'équation de Kirsch pour la contrainte radiale est :

\sigma_r = \frac{\sigma_v + \sigma_h}{2} \left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right) + \frac{\sigma_v - \sigma_h}{2} \left(1 - 4\frac{a^2}{r^2} + 3\frac{a^4}{r^4}\right) \cos(2\theta)

Sur la paroi, la distance radiale \(r\) est égale au rayon \(a\).

Donnée(s) :

À la paroi de la galerie : \(r = a\)

Calcul(s) :

En remplaçant \(r\) par \(a\) dans l'équation :

\begin{aligned} \sigma_r &= \frac{\sigma_v + \sigma_h}{2} \left(1 - \frac{a^2}{a^2}\right) + \frac{\sigma_v - \sigma_h}{2} \left(1 - 4\frac{a^2}{a^2} + 3\frac{a^4}{a^4}\right) \cos(2\theta) \\ &= \frac{\sigma_v + \sigma_h}{2} \left(1 - 1\right) + \frac{\sigma_v - \sigma_h}{2} \left(1 - 4 + 3\right) \cos(2\theta) \\ &= \frac{\sigma_v + \sigma_h}{2} \times 0 + \frac{\sigma_v - \sigma_h}{2} \times 0 \times \cos(2\theta) \\ &= 0 \, \text{MPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Condition de surface libre : Ce résultat n'est vrai que s'il n'y a pas de pression de soutènement appliquée sur la paroi. Si un soutènement actif (comme un voussoir de tunnelier mis sous pression) était installé, \(\sigma_r\) serait égal à la pression appliquée par le soutènement.

Le saviez-vous ?

Résultat : La contrainte radiale sur la paroi de la galerie est \(\sigma_r = 0 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Calcul de la Contrainte Tangentielle (\(\sigma_\theta\))

Principe :

La contrainte tangentielle (\(\sigma_\theta\)) est la contrainte qui s'exerce le long de la paroi de la galerie. C'est elle qui est responsable des instabilités. Sa valeur varie tout autour de l'excavation en fonction de l'angle \(\theta\). Les points les plus critiques sont généralement le toit/radier (\(\theta=90^\circ\)) et les flancs (\(\theta=0^\circ\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La variation de \(\sigma_\theta\) autour de la galerie est la raison pour laquelle les ruptures ne se produisent pas uniformément. Dans un champ de contrainte anisotrope (où \(\sigma_v \neq \sigma_h\)), les instabilités apparaissent préférentiellement dans les zones de plus forte concentration de contrainte.

Formule(s) utilisée(s) :

L'équation de Kirsch pour la contrainte tangentielle sur la paroi (\(r=a\)) est :

\sigma_\theta = (\sigma_v + \sigma_h) - 2(\sigma_v - \sigma_h) \cos(2\theta)

Donnée(s) :

\(\sigma_v = 20 \, \text{MPa}\)
\(\sigma_h = 10 \, \text{MPa}\)

Calcul(s) :

Au toit (\(\theta=90^\circ\), \(\cos(2\theta) = \cos(180^\circ) = -1\)) :

\begin{aligned} \sigma_{\theta, \text{toit}} &= (20 + 10) - 2(20 - 10) \times (-1) \\ &= 30 - 2(10) \times (-1) \\ &= 30 + 20 \\ &= 50 \, \text{MPa} \end{aligned}

Sur les flancs (\(\theta=0^\circ\), \(\cos(2\theta) = \cos(0^\circ) = 1\)) :

\begin{aligned} \sigma_{\theta, \text{flancs}} &= (20 + 10) - 2(20 - 10) \times (1) \\ &= 30 - 2(10) \\ &= 30 - 20 \\ &= 10 \, \text{MPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Angle \(\theta\) et cos(2\(\theta\)) : L'angle \(\theta\) est mesuré à partir de l'axe de la plus grande contrainte principale (ici, \(\sigma_v\)). Il faut être vigilant sur le calcul du cosinus de l'angle double (\(2\theta\)).

Le saviez-vous ?

Résultat : La contrainte tangentielle est de 50 MPa au toit et au radier, et de 10 MPa sur les flancs.

Question 3 : Contrainte Maximale et Facteur de Concentration

Principe :

La contrainte maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) autour de l'excavation est simplement la plus grande valeur de contrainte tangentielle calculée. Le facteur de concentration de contrainte (SCF) est un nombre sans dimension qui indique à quel point la contrainte a été amplifiée par rapport à la contrainte in situ. Il est calculé en divisant la contrainte maximale par la contrainte in situ la plus élevée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le SCF est un indicateur direct du risque de rupture. Si la contrainte maximale (\(\sigma_{\theta, \text{max}}\)) dépasse la résistance en compression de la roche (\(\sigma_c\)), une rupture par éclatement (rockburst) peut se produire. Le but du soutènement est de confiner la roche pour augmenter sa résistance et éviter que cette condition ne soit atteinte.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_{\text{max}} = \max(\sigma_\theta)

\text{SCF} = \frac{\sigma_{\text{max}}}{\sigma_{\text{max, in situ}}}

Donnée(s) :

Contrainte tangentielle maximale (au toit) : \(\sigma_{\theta, \text{max}} = 50 \, \text{MPa}\)
Contrainte in situ maximale : \(\sigma_v = 20 \, \text{MPa}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{SCF} &= \frac{\sigma_{\theta, \text{max}}}{\sigma_v} \\ &= \frac{50}{20} \\ &= 2.5 \end{aligned}

Points de vigilance :

Référence pour le SCF : Le SCF est toujours calculé par rapport à la contrainte in situ la plus élevée, car c'est elle qui pilote l'amplitude maximale de la redistribution.

Le saviez-vous ?

Résultat : La contrainte maximale est de 50 MPa au toit et au radier. Le facteur de concentration de contrainte est de 2.5.

Simulation des Contraintes Tangentielles

Faites varier le rapport des contraintes in situ (\(K = \sigma_h / \sigma_v\)) pour observer comment la distribution des contraintes tangentielles autour de la galerie est modifiée.

Paramètres de Simulation

Rapport des Contraintes K (=σh/σv) [0.5]

σθ au Toit (90°)

σθ aux Flancs (0°)

Distribution de σθ autour de la galerie

Pour Aller Plus Loin : Le Comportement Élasto-Plastique

Quand la roche se rompt : Les équations de Kirsch ne sont valables que si la roche reste dans le domaine élastique. Si la contrainte tangentielle maximale dépasse la résistance de la roche, une "zone plastifiée" (ou "zone rompue") se développe autour de la galerie. Dans cette zone, la roche a perdu sa cohésion et sa résistance. Des modèles de calcul plus complexes (analytiques ou numériques) sont nécessaires pour analyser la taille de cette zone rompue et dimensionner le soutènement nécessaire pour l'empêcher de se propager.

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment mesure-t-on les contraintes in situ ?

C'est très difficile. La méthode la plus courante est le "sur-carottage" (overcoring). On isole une petite colonne de roche au fond d'un forage, on y colle des jauges de déformation, puis on la libère en forant autour avec un plus grand diamètre. En mesurant la déformation de la colonne lorsqu'elle est libérée des contraintes, on peut remonter aux contraintes initiales. Une autre méthode est la fracturation hydraulique, où l'on mesure la pression nécessaire pour créer une fracture dans la roche.

L'eau a-t-elle un impact ?

Oui. Si le massif est saturé, la pression de l'eau (\(u\)) doit être prise en compte. Les calculs doivent alors être faits avec les contraintes effectives (\(\sigma' = \sigma - u\)), ce qui réduit les contraintes agissant sur le squelette rocheux et modifie la distribution finale autour de la galerie.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un champ de contrainte où \(\sigma_v > \sigma_h\), la contrainte de compression maximale autour d'une galerie circulaire se situe :

Sur les flancs (parois latérales).
Au toit et au radier (plancher).
Elle est constante tout autour.

2. Le facteur de concentration de contrainte maximal autour d'un trou circulaire peut-il être inférieur à 2 ?

Oui, si la roche est très résistante.
Oui, si la contrainte horizontale est nulle.
Non, il est théoriquement toujours supérieur ou égal à 2.

Glossaire

Contrainte In Situ: État de contrainte naturel d'un massif rocheux avant toute excavation, résultant du poids des terrains et des efforts tectoniques.
Équations de Kirsch: Solution mathématique qui décrit la distribution des contraintes élastiques autour d'un trou circulaire dans une plaque infinie.
Contrainte Radiale (\(\sigma_r\)): Composante de la contrainte agissant perpendiculairement à la paroi d'une excavation.
Contrainte Tangentielle (\(\sigma_\theta\)): Composante de la contrainte agissant tangentiellement à la paroi d'une excavation. C'est souvent la contrainte qui contrôle la stabilité.

D’autres exercices de Mécanique des roches:

Analyse des Contraintes In Situ

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Contraintes In Situ et autour de la Galerie

Questions à traiter

Correction : Analyse des Contraintes In Situ autour d'une Excavation Circulaire

Question 1 : Calcul de la Contrainte Radiale (\(\sigma_r\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul de la Contrainte Tangentielle (\(\sigma_\theta\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Contrainte Maximale et Facteur de Concentration

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation des Contraintes Tangentielles

Paramètres de Simulation

Distribution de σθ autour de la galerie

Pour Aller Plus Loin : Le Comportement Élasto-Plastique

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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Glossaire

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