Analyse des Tassements Différentiels d'un Bâtiment

Contexte : Le tassement différentielDifférence de tassement vertical entre deux points d'une structure, pouvant causer des désordres (fissures, etc.). en fondations.

Lorsqu'un bâtiment est construit sur un sol qui n'est pas parfaitement homogène, les différentes parties de la fondation peuvent s'enfoncer de manière inégale. C'est ce qu'on appelle le tassement différentiel. S'il est trop important, il peut provoquer des fissures dans la structure. Cet exercice vise à calculer et comparer les tassements sous deux points d'un même bâtiment (A et B) reposant sur des couches de sol différentes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer le tassement total sous une fondation (semelle) en utilisant une méthode oedométrique simplifiée pour un sol multicouche, et à évaluer le tassement différentiel pour vérifier la stabilité de la structure selon les normes (Eurocode).

Objectifs Pédagogiques

Calculer la contrainte nette appliquée par une semelle isolée.
Calculer le tassement d'une semelle isolée sur un sol multicouche.
Déterminer le tassement différentielDifférence de tassement vertical entre deux points d'une structure, pouvant causer des désordres (fissures, etc.). entre two points de fondation.
Comparer le tassement différentiel aux limites admissibles (Eurocodes).

Données de l'étude de cas

Nous étudions un bâtiment reposant sur deux semelles isolées carrées (Semelle A et Semelle B) de mêmes dimensions et soumises à la même charge, mais les profils de sol sous-jacents diffèrent.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de fondation	Semelles isolées carrées
Dimensions (B x B)	2.0 m x 2.0 m
Charge nette appliquée (\(Q_{\text{net}}\))	800 kN (identique sur A et B)

Situation du Bâtiment et Points d'Étude

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Dimensions Semelles (B)	Semelles carrées	2.0	m
Charge Nette (\(Q_{\text{net}}\))	Charge de service corrigée	800	kN
Mod. Oedométrique (Sable)	\(E_{\text{oed,sable}}\)	30	MPa
Mod. Oedométrique (Argile)	\(E_{\text{oed,argile}}\)	10	MPa
Ep. Sable (Point A)	\(h_{\text{sable},A}\)	2	m
Ep. Sable (Point B)	\(h_{\text{sable},B}\)	4	m
Ep. Argile (Points A & B)	\(h_{\text{argile}}\)	4	m

Objectifs du Calcul

Calculer la contrainte nette appliquée au sol (\(\sigma_n\)) sous les semelles.
Calculer le tassement total (\(S_A\)) au point A (méthode oedométrique simplifiée).
Calculer le tassement total (\(S_B\)) au point B (méthode oedométrique simplifiée).
Déterminer le tassement différentiel (\(\Delta S = |S_A - S_B|\)).
Conclure sur l'acceptabilité du tassement différentiel.

Les bases du calcul de tassement

Le tassement d'une fondation est son enfoncement dans le sol sous l'effet des charges qu'elle transmet. Pour des sols cohérents (argiles) et pulvérulents (sables), on peut l'estimer en additionnant la compression de chaque couche de sol sous la fondation.

1. Contrainte Nette (\(\sigma_n\))
C'est la pression que la fondation applique *réellement* au sol. On la calcule en divisant la charge nette (charge du bâtiment moins le poids des terres excavées) par la surface de la semelle. Pour cet exercice, la charge nette \(Q_{\text{net}}\) est donnée. \[ \sigma_n = \frac{Q_{\text{net}}}{A} = \frac{Q_{\text{net}}}{B^2} \]

2. Tassement Oedométrique (Simplifié)
Le tassement d'une couche de sol \(i\) d'épaisseur \(h_i\) et de module oedométrique \(E_{\text{oed},i}\) est donné par : \( S_i = \frac{\Delta \sigma_v \cdot h_i}{E_{\text{oed},i}} \). Par simplification, nous supposerons que l'augmentation de contrainte \(\Delta \sigma_v\) est égale à \(\sigma_n\) et reste constante sur toute l'épaisseur des couches étudiées. \[ S_{\text{total}} = \sum S_i = \sum \frac{\sigma_n \cdot h_i}{E_{\text{oed},i}} \]

Correction : Analyse des Tassements Différentiels d'un Bâtiment

Question 1 : Calculer la contrainte nette appliquée (\(\sigma_n\))

Principe

Nous devons déterminer la pression (force par unité de surface) que les semelles A et B appliquent au sol. Comme elles sont identiques (dimensions et charge), la contrainte \(\sigma_n\) sera la même pour les deux.

Mini-Cours

La contrainte est la force divisée par la surface sur laquelle elle s'applique. Ici, la force est la charge nette \(Q_{\text{net}}\) et la surface est l'aire de la semelle carrée, \(A = B \times B\).

Remarque Pédagogique

Cette contrainte \(\sigma_n\) est une moyenne. En réalité, la distribution n'est pas parfaitement uniforme, mais cette simplification est standard pour les calculs de tassement oedométrique.

Normes

Ce calcul découle des principes de base de la mécanique (Pression = Force / Surface) et est fondamental pour toute application de l'Eurocode 7.

Formule(s)

La formule de base de la contrainte est :

\sigma_n = \frac{Q_{\text{net}}}{A} = \frac{Q_{\text{net}}}{B^2}

Hypothèses

On suppose que la charge est centrée sur la semelle et que la semelle est rigide, répartissant la contrainte de manière uniforme (en moyenne).

Charge centrée.
Semelle rigide.
\(Q_{\text{net}}\) est la charge nette (corrigée du poids des terres).

Donnée(s)

Les données nécessaires pour cette question sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Nette	\(Q_{\text{net}}\)	800	kN
Côté de la semelle	B	2.0	m

Astuces

Attention aux unités ! Si la charge est en kiloNewtons (kN) et la surface en mètres carrés (m²), le résultat sera en kiloNewtons par mètre carré (kN/m²), ce qui est exactement un kiloPascal (kPa).

Schéma (Avant les calculs)

Contrainte sous la semelle

Calcul(s)

Nous allons suivre un processus en deux étapes : d'abord, calculer la surface de la semelle, puis l'utiliser pour trouver la contrainte en appliquant la formule.

Étape 1 : Formule de la contrainte

Nous partons de la formule de base de la contrainte, qui est la force (Charge Nette \(Q_{\text{net}}\)) divisée par la surface (Aire \(A\)). Comme la semelle est carrée, \(A = B^2\).

\sigma_n = \frac{Q_{\text{net}}}{A} = \frac{Q_{\text{net}}}{B^2}

C'est notre outil de calcul.

Étape 2 : Substitution des valeurs

Maintenant, nous remplaçons les symboles \(Q_{\text{net}}\) et \(B\) par leurs valeurs numériques données dans l'énoncé : \(Q_{\text{net}} = 800 \text{ kN}\) et \(B = 2.0 \text{ m}\).

\begin{aligned} \sigma_n &= \frac{800 \text{ kN}}{(2.0 \text{ m})^2} \\ &= \frac{800 \text{ kN}}{4.0 \text{ m}^2} \end{aligned}

Le calcul intermédiaire montre que la surface \(A\) est de 4.0 m². Nous divisons 800 par 4.

Étape 3 : Résultat final

L'opération donne le résultat final. L'unité kN/m² (kiloNewton par mètre carré) est, par définition, un kiloPascal (kPa).

\begin{aligned} \sigma_n &= 200 \text{ kN/m}^2 \\ &= 200 \text{ kPa} \end{aligned}

Nous avons une contrainte de 200 kiloPascals.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de principe (ci-dessus) est validé. La pression uniformément répartie que nous utiliserons pour la suite des calculs est de 200 kPa.

Réflexions

Une contrainte de 200 kN/m² est la même chose que 200 kPa. C'est une valeur de contrainte tout à fait standard pour une fondation superficielle de bâtiment.

Points de vigilance

Ne pas confondre 200 kPa avec 200 MPa. Une erreur d'un facteur 1000 ! 1 MPa = 1000 kPa. Nos modules de sol seront en MPa, la conversion sera essentielle.

Points à retenir

La contrainte est la force (charge) divisée par la surface (aire de la semelle).
\(\sigma_n = Q/A\).
1 kN/m² = 1 kPa.

Le saviez-vous ?

La pression atmosphérique est d'environ 101 kPa. La contrainte appliquée par notre semelle (200 kPa) est donc environ 2 fois la pression de l'air qui nous entoure.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La contrainte nette appliquée au sol est \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Si la charge nette \(Q_{\text{net}}\) était de 1000 kN sur la même semelle (B=2m), quelle serait la contrainte \(\sigma_n\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Contrainte = Force / Surface.
Formule Essentielle : \(\sigma_n = Q_{\text{net}} / B^2\).
Résultat : 200 kPa.

Question 2 : Calculer le tassement total (\(S_A\)) au point A

Principe

Le tassement total au point A est la somme des tassements de chaque couche de sol sous la semelle A : la couche de sable (2m) et la couche d'argile (4m). Chaque couche se comprime sous la contrainte \(\sigma_n\).

Mini-Cours

Le tassement d'une couche de sol est proportionnel à l'épaisseur de la couche (\(h_i\)) et à la contrainte qu'elle subit (\(\sigma_n\)), et inversement proportionnel à sa raideur (son module oedométrique \(E_{\text{oed},i}\)). Une couche épaisse, molle (\(E\) faible) et très chargée tassera beaucoup.

Remarque Pédagogique

Cette méthode est une simplification. En réalité, la contrainte \(\sigma_n\) diminue avec la profondeur (elle se diffuse). Cependant, pour des couches peu profondes, supposer \(\sigma_n\) constant est une approximation acceptable et "conservative" (elle surestime le tassement, ce qui va dans le sens de la sécurité).

Normes

La méthode oedométrique est la méthode de référence de l'Eurocode 7 pour le calcul des tassements dans les sols fins (argiles). L'utilisation du module \(E_{\text{oed}}\) est centrale.

Formule(s)

Formule du tassement total

S_A = S_{\text{sable},A} + S_{\text{argile},A}

Formule du tassement d'une couche

S_i = \frac{\sigma_n \cdot h_i}{E_{\text{oed},i}}

Hypothèses

Nous utilisons la simplification majeure de cet exercice : la contrainte \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\) est supposée constante sur toute la hauteur des couches déformables (6m au total). Le rocher en dessous est indéformable (\(E_{\text{oed}} = \infty\), donc \(S_{\text{rocher}} = 0\)).

Donnée(s)

Nous avons besoin des données du sol A et de la contrainte \(\sigma_n\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte nette	\(\sigma_n\)	200	kPa
Ep. Sable (A)	\(h_{\text{sable},A}\)	2.0	m
Mod. Sable	\(E_{\text{oed,sable}}\)	30	MPa
Ep. Argile (A)	\(h_{\text{argile},A}\)	4.0	m
Mod. Argile	\(E_{\text{oed,argile}}\)	10	MPa

Astuces

L'erreur la plus fréquente : les unités ! Nous avons \(\sigma_n\) en kPa et \(E_{\text{oed}}\) en MPa. Il faut tout convertir dans la même unité. Le plus simple est de convertir les MPa en kPa :
1 MPa = 1 000 kPa.
Donc, \(E_{\text{sable}} = 30 \text{ MPa} = 30\,000 \text{ kPa}\) et \(E_{\text{argile}} = 10 \text{ MPa} = 10\,000 \text{ kPa}\).

Schéma (Avant les calculs)

Couches de sol au Point A

Calcul(s)

Nous allons calculer le tassement pour chaque couche séparément, puis les additionner. La cohérence des unités est critique ici.

Étape 1 : Conversion des modules (pour correspondre au kPa)

Notre contrainte \(\sigma_n\) est en kPa (200 kPa). Nos modules sont en MPa. Nous devons les convertir en kPa pour que les unités s'annulent. (Rappel : 1 MPa = 1000 kPa).

\begin{aligned} E_{\text{oed,sable}} &= 30 \text{ MPa} \\ &= 30 \times 1000 \\ &= 30\,000 \text{ kPa} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} E_{\text{oed,argile}} &= 10 \text{ MPa} \\ &= 10 \times 1000 \\ &= 10\,000 \text{ kPa} \end{aligned}

Nous utiliserons 30 000 kPa pour le sable et 10 000 kPa pour l'argile.

Étape 2 : Tassement couche de sable (A)

Nous appliquons la formule du tassement pour la première couche : le sable (\(h=2.0 \text{ m}\), \(E=30\,000 \text{ kPa}\)).

S_{\text{sable},A} = \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{sable},A}}{E_{\text{oed,sable}}}

Substitution des valeurs : \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\), \(h_{\text{sable},A} = 2.0 \text{ m}\), \(E_{\text{oed,sable}} = 30\,000 \text{ kPa}\).

\begin{aligned} S_{\text{sable},A} &= \frac{200 \text{ kPa} \times 2.0 \text{ m}}{30\,000 \text{ kPa}} \\ &= \frac{400}{30\,000} \text{ m} \end{aligned}

Notez que les 'kPa' s'annulent, et le résultat sera bien en mètres 'm'.

Résultat pour le sable :

S_{\text{sable},A} = 0.01333 \text{ m}

La couche de sable tasse donc d'environ 1.33 cm (ou 13.33 mm).

Étape 3 : Tassement couche d'argile (A)

Nous appliquons la même formule pour la couche d'argile (\(h=4.0 \text{ m}\), \(E=10\,000 \text{ kPa}\)).

S_{\text{argile},A} = \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{argile},A}}{E_{\text{oed,argile}}}

Substitution des valeurs : \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\), \(h_{\text{argile},A} = 4.0 \text{ m}\), \(E_{\text{oed,argile}} = 10\,000 \text{ kPa}\).

\begin{aligned} S_{\text{argile},A} &= \frac{200 \text{ kPa} \times 4.0 \text{ m}}{10\,000 \text{ kPa}} \\ &= \frac{800}{10\,000} \text{ m} \end{aligned}

Le calcul intermédiaire est 800 divisé par 10 000.

Résultat pour l'argile :

S_{\text{argile},A} = 0.08000 \text{ m}

La couche d'argile tasse de 8.0 cm (ou 80.0 mm). C'est beaucoup plus que le sable.

Étape 4 : Tassement total (A)

On additionne les tassements des deux couches (sable + argile) pour trouver le tassement total au point A.

\begin{aligned} S_A &= S_{\text{sable},A} + S_{\text{argile},A} \\ &= 0.01333 \text{ m} + 0.08000 \text{ m} \end{aligned}

Addition des deux valeurs calculées.

S_A = 0.09333 \text{ m} \quad (\text{soit } 93.33 \text{ mm})

Le tassement total au point A est donc de 93.33 millimètres.

Schéma (Après les calculs)

Résultats Tassement (A)

Réflexions

Le tassement total au point A est de 0.0933 m, soit 93.3 mm (ou 9.33 cm). On remarque que la couche d'argile, bien que seulement deux fois plus épaisse que le sable, contribue à \(0.080 / 0.0933 \approx 86\%\) du tassement total. C'est logique, car son module \(E_{\text{oed}}\) (sa raideur) est 3 fois plus faible.

Points de vigilance

Vérifiez toujours la conversion d'unités (MPa en kPa). C'est la source d'erreur n°1. Une erreur ici et le tassement est faux d'un facteur 1000 (93.3 m au lieu de 93.3 mm !).

Points à retenir

Le tassement total est la somme des tassements de chaque couche.
Les couches les plus molles (E faible) et les plus épaisses (h élevée) contribuent le plus au tassement.

Le saviez-vous ?

Le tassement des argiles (tassement de "consolidation") est un processus lent qui peut prendre des années, voire des décennies, car il est lié à l'expulsion de l'eau contenue dans le sol. Le tassement des sables est quasi-instantané.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le tassement total au point A est \(S_A = 0.0933 \text{ m}\) (soit 93.3 mm).

A vous de jouer

Pour vérifier, si le module de l'argile \(E_{\text{oed,argile}}\) était de 20 MPa (deux fois plus raide) au lieu de 10 MPa, quel serait le tassement total \(S_A\) en mm ? (Rappel: \(S_{\text{sable}}\) = 13.33 mm).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Tassement additif par couche.
Formule : \(S_A = S_{\text{sable},A} + S_{\text{argile},A}\).
Point de Vigilance : Conversion MPa \(\rightarrow\) kPa.

Question 3 : Calculer le tassement total (\(S_B\)) au point B

Principe

La méthode est identique à la question 2. Nous additionnons les tassements des couches sous la semelle B, en utilisant les épaisseurs spécifiques au point B (4m de sable, 4m d'argile).

Mini-Cours

Le principe reste le même : \(S_{\text{total}} = \sum S_i\). La seule chose qui change par rapport au point A, ce sont les "données d'entrée" géométriques, en l'occurrence l'épaisseur de la première couche, \(h_{\text{sable},B}\).

Remarque Pédagogique

C'est un exemple classique d'hétérogénéité du sol. Même si les fondations et les charges sont identiques, un changement dans le profil de sol (ici, l'épaisseur de la couche de sable) va inévitablement induire un tassement différent.

Normes

La méthodologie (sommation des tassements de couche) reste conforme à l'esprit de l'Eurocode 7.

Formule(s)

Formule du tassement total (B)

S_B = S_{\text{sable},B} + S_{\text{argile},B} = \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{sable},B}}{E_{\text{oed,sable}}} + \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{argile},B}}{E_{\text{oed,argile}}}

Hypothèses

Les hypothèses sont identiques à la Q2 : \(\sigma_n\) constant avec la profondeur, rocher indéformable, et les modules de sol sont les mêmes pour les couches de même nature (l'argile a \(E_{\text{oed}}=10 \text{ MPa}\) aux points A et B).

Donnée(s)

Attention, seule l'épaisseur de sable change par rapport au point A.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte nette	\(\sigma_n\)	200	kPa
Ep. Sable (B)	\(h_{\text{sable},B}\)	4.0	m
Mod. Sable	\(E_{\text{oed,sable}}\)	30	MPa
Ep. Argile (B)	\(h_{\text{argile},B}\)	4.0	m
Mod. Argile	\(E_{\text{oed,argile}}\)	10	MPa

Astuces

Nous avons déjà calculé le tassement pour 4m d'argile en Q2 (\(S_{\text{argile},A} = 80.0 \text{ mm}\)). Comme la couche d'argile en B a les mêmes propriétés (\(h=4\text{m}\), \(E=10 \text{ MPa}\)), son tassement sera identique ! \(S_{\text{argile},B} = 80.0 \text{ mm}\). Il ne reste qu'à calculer \(S_{\text{sable},B}\).

Schéma (Avant les calculs)

Couches de sol au Point B

Calcul(s)

La méthode est identique, mais nous utilisons les épaisseurs du point B. Les modules convertis sont les mêmes.

Étape 1 : Conversion des modules (identique)

Les propriétés des matériaux ne changent pas, donc les modules convertis sont identiques à ceux de la Question 2.

E_{\text{oed,sable}} = 30\,000 \text{ kPa} \quad | \quad E_{\text{oed,argile}} = 10\,000 \text{ kPa}

Nous avons nos valeurs de raideur prêtes.

Étape 2 : Tassement couche de sable (B)

Application pour la couche de sable, qui est maintenant plus épaisse (\(h=4.0 \text{ m}\), \(E=30\,000 \text{ kPa}\)).

S_{\text{sable},B} = \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{sable},B}}{E_{\text{oed,sable}}}

Substitution des valeurs : \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\), \(h_{\text{sable},B} = 4.0 \text{ m}\), \(E_{\text{oed,sable}} = 30\,000 \text{ kPa}\).

\begin{aligned} S_{\text{sable},B} &= \frac{200 \text{ kPa} \times 4.0 \text{ m}}{30\,000 \text{ kPa}} \\ &= \frac{800}{30\,000} \text{ m} \end{aligned}

Le calcul intermédiaire est 800 divisé par 30 000.

Résultat pour le sable :

S_{\text{sable},B} = 0.02667 \text{ m}

Le tassement de la couche de sable au point B est de 26.67 mm.

Étape 3 : Tassement couche d'argile (B)

Application pour la couche d'argile. Notez que les paramètres (\(h=4.0 \text{ m}\), \(E=10\,000 \text{ kPa}\)) sont identiques à ceux de la Question 2.

S_{\text{argile},B} = \frac{\sigma_n \cdot h_{\text{argile},B}}{E_{\text{oed,argile}}}

Substitution des valeurs : \(\sigma_n = 200 \text{ kPa}\), \(h_{\text{argile},B} = 4.0 \text{ m}\), \(E_{\text{oed,argile}} = 10\,000 \text{ kPa}\).

\begin{aligned} S_{\text{argile},B} &= \frac{200 \text{ kPa} \times 4.0 \text{ m}}{10\,000 \text{ kPa}} \\ &= \frac{800}{10\,000} \text{ m} \end{aligned}

Le calcul est identique à celui de la Q2 pour l'argile.

Résultat pour l'argile :

S_{\text{argile},B} = 0.08000 \text{ m}

Le tassement de l'argile au point B est de 80.0 mm (comme au point A).

Étape 4 : Tassement total (B)

On additionne les tassements des deux couches (sable + argile) pour trouver le tassement total au point B.

\begin{aligned} S_B &= S_{\text{sable},B} + S_{\text{argile},B} \\ &= 0.02667 \text{ m} + 0.08000 \text{ m} \end{aligned}

Addition des deux valeurs calculées pour le point B.

S_B = 0.10667 \text{ m} \quad (\text{soit } 106.67 \text{ mm})

Le tassement total au point B est donc de 106.67 millimètres.

Schéma (Après les calculs)

Résultats Tassement (B)

Réflexions

Le tassement total au point B est de 0.1067 m, soit 106.7 mm. C'est plus élevé que les 93.3 mm du point A. C'est logique : bien que la couche d'argile (très compressible) soit identique, la couche de sable (plus raide) est plus épaisse en B (4m vs 2m), elle contribue donc davantage au tassement (26.7 mm vs 13.3 mm).

Points de vigilance

N'appliquez pas l'astuce (réutiliser le 80.0 mm) sans vérifier. L'astuce ne fonctionne que parce que \(\sigma_n\), \(h_{\text{argile}}\) et \(E_{\text{oed,argile}}\) sont *strictement identiques* à la Q2.

Points à retenir

Le tassement de la couche de sable est \(\approx 26.7 \text{ mm}\).
Le tassement de la couche d'argile est \(\approx 80.0 \text{ mm}\).
Le tassement total S_B est la somme des deux.

Le saviez-vous ?

Dans la réalité, le sol n'est jamais en couches horizontales parfaites. Les interfaces sont souvent inclinées (en "biseau"). C'est exactement ce que simule notre exercice : la couche de sable s'épaissit du point A au point B, tandis que la couche d'argile reste constante.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le tassement total au point B est \(S_B = 0.1067 \text{ m}\) (soit 106.7 mm).

A vous de jouer

Si l'épaisseur de sable au point B (\(h_{\text{sable},B}\)) n'était que de 2m (identique au point A), quel serait le tassement total \(S_B\) en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Application de la même méthode avec des données différentes.
Formule : \(S_B = S_{\text{sable},B} + S_{\text{argile},B}\).
Résultat : 106.7 mm.

Question 4 : Déterminer le tassement différentiel (\(\Delta S\))

Principe

Le tassement différentiel est simplement la différence (en valeur absolue) entre le tassement au point B et le tassement au point A. C'est cette différence qui crée des contraintes dans le bâtiment.

Mini-Cours

Le tassement différentielDifférence de tassement vertical entre deux points d'une structure, pouvant causer des désordres (fissures, etc.)., noté \(\Delta S\), est la principale cause de désordres (fissures, rotations) dans les structures. Un bâtiment peut tasser de 10 cm uniformément sans aucun dommage (tassement absolu), mais un tassement différentiel de 2 cm entre deux poteaux peut être catastrophique.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de toujours prendre la valeur absolue. Un tassement différentiel 'négatif' n'a pas de sens physique ; c'est l'amplitude de la différence qui compte pour la structure. \(|S_B - S_A|\) est identique à \(|S_A - S_B|\).

Normes

Les normes (comme l'Eurocode 7) se concentrent sur ce \(\Delta S\) (ou plutôt sur la distorsion angulaire \(\Delta S / L\)) pour définir les états limites de service (ELS).

Formule(s)

Formule du tassement différentiel

\Delta S = |S_B - S_A|

Hypothèses

Nous supposons que les tassements \(S_A\) et \(S_B\) sont les tassements finaux (à long terme) et qu'ils ont été calculés avec une précision suffisante pour être comparés.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des questions 2 et 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tassement en A	\(S_A\)	93.33	mm
Tassement en B	\(S_B\)	106.67	mm

Astuces

Travaillez toujours dans la même unité. Le plus simple est de tout mettre en millimètres (mm) pour cette étape finale, car les tassements sont petits et les limites sont données en mm.

Schéma (Avant les calculs)

Schématisation du Tassement Différentiel

Calcul(s)

Nous prenons les valeurs totales en millimètres (mm) calculées en Q2 et Q3 et nous calculons leur différence.

Étape 1 : Formule

La formule est la valeur absolue de la différence entre le tassement au point B et celui au point A.

\Delta S = |S_B - S_A|

Étape 2 : Substitution des valeurs

Nous insérons les résultats totaux de Q2 (93.33 mm) et Q3 (106.67 mm).

\Delta S = |106.67 \text{ mm} - 93.33 \text{ mm}|

Le point B s'enfonce plus que le point A.

Étape 3 : Résultat final

Le résultat de la soustraction est la valeur qui nous intéresse.

\Delta S = 13.34 \text{ mm}

La différence de tassement entre les two points est de 13.34 mm (soit 1.33 cm).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessus est maintenant complété : \(\Delta S = 13.34 \text{ mm}\). On visualise un bâtiment qui 'penche' très légèrement vers le point B, avec une différence de niveau de 1.33 cm.

Réflexions

Le bâtiment s'enfonce de 1.33 cm de plus au point B qu'au point A. C'est cette différence qui va provoquer une légère "distorsion" ou "pente" de la structure entre ces deux points. La question est : est-ce que 1.33 cm est acceptable ?

Points de vigilance

N'oubliez pas la valeur absolue. Si \(S_A\) était de 110 mm et \(S_B\) de 100 mm, le \(\Delta S\) serait de 10 mm, et non de -10 mm. L'amplitude est la seule chose qui compte.

Points à retenir

\(\Delta S\) est la différence, pas le tassement total.
C'est la valeur la plus critique pour l'intégrité de la structure.

Le saviez-vous ?

La Tour de Pise a un tassement différentiel extrême de plusieurs mètres entre le côté Nord et le côté Sud de sa fondation circulaire ! C'est ce qui cause son inclinaison. Le tassement total est aussi de plusieurs mètres, mais c'est le différentiel qui la rend célèbre (et instable).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le tassement différentiel est \(\Delta S = 13.34 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Si, suite à une erreur de calcul, le tassement au point A (\(S_A\)) était de 85 mm et au point B (\(S_B\)) de 105 mm, quel serait le \(\Delta S\) en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Différence de tassement.
Formule : \(\Delta S = |S_B - S_A|\).
Résultat : 13.34 mm.

Question 5 : Conclure sur l'acceptabilité

Principe

Nous devons comparer le tassement différentiel calculé (\(\Delta S\)) à une valeur limite admissible (\(\Delta S_{\text{adm}}\)) fixée par les normes de construction pour garantir l'intégrité de la structure (éviter les fissures).

Mini-Cours

La 'distorsion angulaire' (\(\beta\)) est le paramètre le plus pertinent. \(\beta = \Delta S / L\), où L est la distance entre les points. Les normes (Eurocode 7) donnent des limites pour \(\beta\) (ex: 1/500 pour éviter des fissures, 1/300 pour des dommages architecturaux, 1/150 pour la ruine). Pour \(\Delta S\) seul, 20-30 mm est une limite empirique courante pour des portées L de 5 à 10m.

Remarque Pédagogique

La conclusion "acceptable" ou "inacceptable" n'est jamais absolue. Elle dépend du type de bâtiment (un entrepôt tolère plus qu'un hôpital), des matériaux (le béton armé est plus ductile que la maçonnerie) et des attentes du client (tolérance aux fissures esthétiques).

Normes

L'Eurocode 7 (Norme européenne de géotechnique) et ses annexes nationales fournissent des ordres de grandeur. Pour un bâtiment courant sur semelles isolées, un tassement différentiel admissible \(\Delta S_{\text{adm}}\) est souvent de l'ordre de 20 mm à 30 mm. Nous utiliserons une limite de 25 mm pour cet exercice.

Formule(s)

Critère de vérification

\Delta S \le \Delta S_{\text{adm}}

Hypothèses

Nous posons l'hypothèse d'une limite admissible \(\Delta S_{\text{adm}} = 25 \text{ mm}\), ce qui correspond à un bâtiment standard avec des finitions sensibles (cloisons, carrelage).

Donnée(s)

Les données pour la vérification sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tassement différentiel calculé	\(\Delta S\)	13.34	mm
Tassement différentiel admissible	\(\Delta S_{\text{adm}}\)	25.0	mm

Astuces

Si votre \(\Delta S\) calculé est très proche de \(\Delta S_{\text{adm}}\) (ex: 24 mm vs 25 mm), un ingénieur prudent referait les calculs avec une méthode plus précise ou proposerait des mesures correctives (ex: augmenter la taille des semelles pour réduire le tassement).

Schéma (Avant les calculs)

Vérification par rapport à la limite

Calcul(s)

Nous comparons le tassement différentiel calculé à la limite admissible que nous nous sommes fixée.

Étape 1 : Rappel du critère

Pour que la structure soit considérée comme sûre (vis-à-vis des fissures), le tassement différentiel calculé (\(\Delta S\)) doit être inférieur ou égal au tassement admissible (\(\Delta S_{\text{adm}}\)).

\Delta S \le \Delta S_{\text{adm}}

Étape 2 : Comparaison des valeurs

Nous insérons notre \(\Delta S\) calculé (13.34 mm) et la limite de l'énoncé (25.0 mm).

13.34 \text{ mm} \le 25.0 \text{ mm}

L'inégalité est-elle vraie ? Oui, 13.34 est bien plus petit que 25.0.

Étape 3 : Conclusion

Puisque l'inégalité est respectée, nous pouvons conclure.

\text{Le critère est VÉRIFIÉ.}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de vérification (ci-dessus) montre visuellement que notre barre "Calculé" (\(\Delta S_{\text{calc}}\)) est bien en dessous de la barre "Limite Admissible" (\(\Delta S_{\text{adm}}\)), confirmant notre conclusion.

Réflexions

Le tassement différentiel calculé (13.34 mm) est inférieur à la limite admissible (25 mm). Par conséquent, selon notre modèle simplifié, le bâtiment ne devrait pas subir de désordres structurels majeurs (comme des fissures importantes) dus à cette hétérogénéité du sol.

Points de vigilance

Notre calcul est très simplifié. Une analyse réelle (par ex. avec la méthode de Boussinesq) montrerait que la contrainte \(\sigma_n\) diminue avec la profondeur, ce qui réduirait les tassements calculés. Cependant, cette méthode simple donne un bon ordre de grandeur et est souvent utilisée en pré-dimensionnement.

Points à retenir

La vérification finale est \(\Delta S \le \Delta S_{\text{adm}}\).
La limite \(\Delta S_{\text{adm}}\) dépend du type de structure.
Notre calcul est "conservateur" (il surestime probablement le tassement, ce qui va dans le sens de la sécurité).

Le saviez-vous ?

Pour les très grands bâtiments ou les ponts, on installe des capteurs (tassomètres) pour mesurer le tassement réel pendant et après la construction, afin de le comparer aux calculs prévisionnels et d'agir avant l'apparition de désordres.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le tassement différentiel calculé (\(\Delta S \approx 13.3 \text{ mm}\)) est acceptable car il est inférieur à la limite admissible de 25 mm.

A vous de jouer

Si la limite admissible \(\Delta S_{\text{adm}}\) pour ce bâtiment avait été fixée à 10 mm (bâtiment très sensible), notre calcul de \(\Delta S = 13.34 \text{ mm}\) serait-il acceptable ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Vérification de sécurité (ELS).
Formule : \(\Delta S \le \Delta S_{\text{adm}}\).
Conclusion : 13.34 mm \(\le\) 25 mm. C'est VÉRIFIÉ.

Outil Interactif : Simulateur de Tassement

Utilisez les curseurs pour voir comment le tassement au point A (\(S_A\)) change si les propriétés de la couche d'argile varient. Nous fixons le tassement du sable à \(S_{\text{sable},A} = 13.33 \text{ mm}\) (calculé en Q2).

Paramètres d'Entrée (Point A)

Épaisseur Argile (\(h_{\text{argile},A}\)) 4 m

Module Argile (\(E_{\text{oed,argile}}\)) 10 MPa

Résultats Clés (Point A)

Tassement Sable (\(S_{\text{sable},A}\)) 13.33 mm

Tassement Argile (\(S_{\text{argile},A}\)) - mm

Tassement Total (\(S_A\)) - mm

Glossaire

Tassement (S): Enfoncement vertical du sol sous l'effet d'une charge. Exprimé en mètres (m) ou millimètres (mm).
Tassement différentiel (\(\Delta S\)): Différence de tassement vertical entre deux points d'une structure. C'est lui qui cause les désordres.
Module Oedométrique (\(E_{\text{oed}}\)): Caractéristique du sol mesurant sa raideur (sa capacité à résister à la compression). Un \(E\) faible signifie un sol mou (ex: argile), un \(E\) élevé signifie un sol raide (ex: sable dense, rocher).
Contrainte (\(\sigma\)): Force appliquée par unité de surface. Exprimée en Pascals (Pa), kiloPascals (kPa) ou MégaPascals (MPa).
kPa (kiloPascal): Unité de pression. \(1 \text{ kPa} = 1 \text{ kN/m}^2\). Très utilisée en géotechnique.
MPa (MégaPascal): Unité de pression. \(1 \text{ MPa} = 1000 \text{ kPa} = 1 \text{ MN/m}^2\).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude de cas

Fiche Technique

Situation du Bâtiment et Points d'Étude

Objectifs du Calcul

Les bases du calcul de tassement

Correction : Analyse des Tassements Différentiels d'un Bâtiment

Question 1 : Calculer la contrainte nette appliquée (\(\sigma_n\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Contrainte sous la semelle

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le tassement total (\(S_A\)) au point A

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Couches de sol au Point A

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultats Tassement (A)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le tassement total (\(S_B\)) au point B

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Couches de sol au Point B

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultats Tassement (B)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Déterminer le tassement différentiel (\(\Delta S\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses