Application du Critère de Rupture de Hoek-Brown
Contexte : La stabilité des massifs rocheux.
L'évaluation de la stabilité des excavations dans la roche (tunnels, mines, talus) est un enjeu majeur en génie civil et minier. Pour prédire si une masse rocheuse se rompra sous l'effet des contraintes, les ingénieurs utilisent des critères de rupture. L'un des plus reconnus et utilisés est le critère de Hoek-BrownUn critère de rupture empirique utilisé pour estimer la résistance des massifs rocheux fracturés. Il relie la contrainte principale majeure à la contrainte principale mineure au moment de la rupture., un modèle empirique qui tient compte des caractéristiques de la roche intacte et de l'état de fracturation du massif.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application pratique du critère de Hoek-Brown. Vous apprendrez à utiliser des paramètres géologiques concrets (comme le GSI) pour quantifier la résistance d'un massif rocheux et évaluer la stabilité d'un ouvrage souterrain.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et utiliser les paramètres du critère de Hoek-Brown : \(\sigma_{\text{ci}}\), GSI, \(m_{\text{i}}\), et D.
- Calculer les paramètres du massif rocheux (\(m_{\text{b}}\), \(s\), \(a\)).
- Déterminer la contrainte de rupture d'un massif rocheux pour un état de contrainte donné.
- Évaluer la stabilité d'un point dans un massif rocheux en comparant la contrainte existante à la résistance.
Données de l'étude
Contexte Géotechnique
Schéma du problème
| Caractéristique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance à la compression uniaxiale (roche intacte) | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 | MPa |
| Constante du matériau (granite) | \(m_{\text{i}}\) | 17 | - |
| Indice de résistance géologique | GSI | 65 | - |
| Facteur de perturbation (tir de bonne qualité) | D | 0 | - |
| Poids volumique de la roche | \(\gamma\) | 27 | kN/m³ |
| Rapport des contraintes horizontales/verticales | K | 1.5 | - |
Questions à traiter
- Calculer les contraintes in-situ verticale (\(\sigma_{\text{v}}\)) et horizontale (\(\sigma_{\text{h}}\)) à 300 m de profondeur. Identifier la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) et mineure \(\sigma_3\).
- Déterminer les paramètres du massif rocheux : \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\).
- En utilisant la contrainte mineure \(\sigma_3\) calculée, déterminer la résistance du massif rocheux, c'est-à-dire la contrainte principale majeure à la rupture, notée \(\sigma_{1,\text{rup}}\).
- Comparer la contrainte majeure in-situ \(\sigma_1\) à la résistance \(\sigma_{1,\text{rup}}\). Conclure sur la stabilité de la paroi du tunnel à ce point.
Les bases sur le Critère de Hoek-Brown
Le critère de rupture généralisé de Hoek-Brown (2002) est un des outils les plus utilisés pour estimer la résistance des massifs rocheux. Il relie la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) et la contrainte principale mineure \(\sigma_3\) à la rupture.
1. Équation principale du critère
La relation entre les contraintes principales à la rupture est donnée par :
\[ \sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{\text{ci}} \left( m_{\text{b}} \frac{\sigma_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)^a \]
2. Paramètres du massif rocheux
Les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\) dépendent de la qualité du massif rocheux (via le GSI) et du degré de perturbation (D) induit par l'excavation. Ils sont calculés comme suit :
\[ m_{\text{b}} = m_{\text{i}} \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{28 - 14D}\right) \]
\[ s = \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{9 - 3D}\right) \]
\[ a = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( e^{-\text{GSI}/15} - e^{-20/3} \right) \]
Correction : Application du Critère de Rupture de Hoek-Brown
Question 1 : Calcul des contraintes in-situ
Principe
La contrainte verticale (\(\sigma_{\text{v}}\)) à une profondeur \(z\) est due au poids des terrains sus-jacents. La contrainte horizontale (\(\sigma_{\text{h}}\)) est souvent différente en raison des contraintes tectoniques passées et présentes du massif. On relie les deux via le coefficient K.
Mini-Cours
La contrainte due au poids des terres est appelée contrainte lithostatique. Dans un massif rocheux, les contraintes ne sont pas nécessairement isotropes (égales dans toutes les directions). Le coefficient \(K = \sigma_{\text{h}} / \sigma_{\text{v}}\) reflète cet état. Si K=1, le champ de contrainte est isotrope. Si K>1 ou K<1, il est anisotrope, ce qui est le cas le plus courant en raison de l'histoire géologique de la région.
Remarque Pédagogique
Toujours commencer par visualiser l'état de contrainte. Est-ce que la contrainte verticale ou horizontale est la plus forte ? Cela conditionne l'identification de \(\sigma_1\) (la plus grande contrainte de compression) et \(\sigma_3\) (la plus petite), qui sont les deux entrées fondamentales de tous les critères de rupture en 2D.
Normes
Référence Réglementaire : L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) fournit des lignes directrices pour la détermination des actions géotechniques, y compris la pression des terres et la définition des états de contrainte dans le sol et la roche.
Formule(s)
Formule de la contrainte verticale
Formule de la contrainte horizontale
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose que :
- Le massif rocheux est un milieu continu, homogène et isotrope à l'échelle du calcul.
- La surface du sol est horizontale.
- Le poids volumique \(\gamma\) est constant sur toute la hauteur \(z\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique | \(\gamma\) | 27 | kN/m³ |
| Profondeur | z | 300 | m |
| Rapport des contraintes | K | 1.5 | - |
Astuces
Attention aux unités ! C'est le piège N°1. Le produit \(\gamma \times z\) donne un résultat en kPa. Comme les autres données (\(\sigma_{\text{ci}}\)) sont en MPa, il faut impérativement convertir : 1 MPa = 1000 kPa. Prenez l'habitude de tout convertir en MPa dès le début pour éviter les erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation du champ de contrainte in-situ
Calcul(s)
Calcul de la contrainte verticale
Calcul de la contrainte horizontale
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des contraintes principales calculées
Réflexions
Les contraintes principales sont, par définition, la contrainte la plus élevée (\(\sigma_1\)) et la plus faible (\(\sigma_3\)). Puisque \(\sigma_{\text{h}} = 12.15\) MPa est supérieur à \(\sigma_{\text{v}} = 8.1\) MPa, on a :
- Contrainte principale majeure : \(\sigma_1 = \sigma_{\text{h}} = 12.15 \text{ MPa}\)
- Contrainte principale mineure : \(\sigma_3 = \sigma_{\text{v}} = 8.1 \text{ MPa}\)
Un coefficient K > 1 indique un champ de contrainte où les efforts horizontaux sont prépondérants, ce qui est typique des zones ayant subi des poussées tectoniques importantes.
Points de vigilance
Ne jamais supposer que \(\sigma_1\) est toujours vertical. C'est une erreur fréquente. \(\sigma_1\) est la plus grande des contraintes, quelle que soit son orientation. L'identification correcte de \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) est une étape critique qui conditionne la suite des calculs.
Points à retenir
- La contrainte verticale est liée au poids des terres : \(\sigma_{\text{v}} = \gamma z\).
- Le coefficient K relie les contraintes horizontale et verticale : \(\sigma_{\text{h}} = K \sigma_{\text{v}}\).
- \(\sigma_1\) est la contrainte la plus forte, \(\sigma_3\) la plus faible.
Le saviez-vous ?
Le coefficient K peut dépasser 2 ou 3 dans des régions à forte activité tectonique passée, comme la Scandinavie ou le bouclier canadien. Ces fortes contraintes horizontales peuvent provoquer des phénomènes de rupture par éclatement ("rockburst") très dangereux lors du creusement de tunnels.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la contrainte majeure \(\sigma_1\) si le site était dans un contexte géologique "extensif" avec K = 0.8.
Question 2 : Détermination des paramètres du massif rocheux
Principe
Les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\) traduisent l'effet des discontinuités (fractures, joints) sur la résistance de la roche. On passe des propriétés de la roche "intacte" (décrite par \(m_{\text{i}}\) et \(\sigma_{\text{ci}}\)) aux propriétés du "massif rocheux" à grande échelle en appliquant des facteurs de réduction basés sur la qualité géologique (GSI) et la méthode de creusement (D).
Mini-Cours
Les trois paramètres ont un sens physique : \(m_{\text{b}}\) est un coefficient de friction qui dépend de l'imbrication des blocs de roche. \(s\) représente la cohésion du massif, c'est-à-dire sa capacité à résister même sans confinement. \(a\) ajuste la courbure de l'enveloppe de rupture. Pour une roche intacte (GSI=100), on a \(m_{\text{b}} = m_{\text{i}}\), \(s=1\) et \(a=0.5\).
Remarque Pédagogique
Ces formules sont purement empiriques, issues de l'ajustement de centaines de résultats d'essais. Ne cherchez pas une démonstration mathématique, mais comprenez l'influence de chaque paramètre : un GSI plus faible ou un facteur D plus élevé (mauvaise méthode de creusement) dégradent fortement \(m_{\text{b}}\) et \(s\), et donc la résistance globale.
Normes
Référence Réglementaire : Les formules utilisées sont celles de la publication de référence "Hoek, E., Carranza-Torres, C., & Corkum, B. (2002). Hoek-Brown failure criterion-2002 edition." qui fait autorité dans la profession au niveau international.
Formule(s)
Formule du paramètre \(m_b\)
Formule du paramètre s
Formule du paramètre a
Hypothèses
On suppose que les valeurs de GSI et D fournies sont représentatives de l'ensemble du massif rocheux concerné par l'excavation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Indice de résistance géologique | GSI | 65 |
| Constante du matériau | \(m_{\text{i}}\) | 17 |
| Facteur de perturbation | D | 0 |
Astuces
Pour éviter les erreurs, calculez d'abord l'exposant (le terme dans la parenthèse de l'exponentielle), puis appliquez la fonction `exp()`. Notez que pour D=0, les dénominateurs sont 28 et 9, ce qui simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison conceptuelle Roche Intacte vs Massif Rocheux
Calcul(s)
Calcul de \(m_{\text{b}}\)
Calcul de \(s\)
Calcul de \(a\)
Schéma (Après les calculs)
Illustration de la dégradation des propriétés
Réflexions
Les résultats montrent une dégradation significative par rapport à la roche intacte : \(m_{\text{b}}\) (4.87) est bien plus faible que \(m_{\text{i}}\) (17), et \(s\) (0.02) est très inférieur à 1. Cela quantifie le fait que la présence de fractures et de joints a drastiquement réduit les propriétés de friction et de cohésion du massif.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une faute de frappe dans les longues formules. Vérifiez deux fois les valeurs entrées dans votre calculatrice, notamment les signes négatifs dans les exposants.
Points à retenir
La résistance d'un massif rocheux n'est PAS la résistance de la roche intacte. Elle est systématiquement plus faible et doit être calculée via des paramètres réduits (\(m_{\text{b}}\), \(s\)) qui dépendent de la qualité géologique (GSI).
Le saviez-vous ?
Le GSI a été développé par Evert Hoek dans les années 90 pour fournir une méthode plus visuelle et pratique que les anciennes classifications (comme le RMR de Bieniawski) afin d'estimer les propriétés des massifs rocheux pour la conception d'ouvrages souterrains.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la valeur de \(s\) pour un massif de très mauvaise qualité (GSI = 25, D=0).
Question 3 : Calcul de la résistance du massif \(\sigma_{1,\text{rup}}\)
Principe
On applique l'équation principale de Hoek-Brown. Cette équation définit une "enveloppe de rupture" dans le plan des contraintes (\(\sigma_3, \sigma_1\)). Pour une contrainte de confinement \(\sigma_3\) donnée, on calcule la valeur maximale de \(\sigma_1\) que le massif peut supporter avant de rompre.
Mini-Cours
La résistance d'un matériau géotechnique n'est pas une valeur unique, elle dépend du confinement. C'est le principe de base de la mécanique des roches et des sols. Un confinement élevé (\(\sigma_3\) grand) "serre" les fractures et augmente la friction, ce qui augmente la résistance globale du massif (\(\sigma_{1,\text{rup}}\)). C'est pourquoi les tunnels profonds sont paradoxalement souvent plus stables que les tunnels de surface.
Remarque Pédagogique
Pensez à l'équation comme une machine : vous entrez la contrainte latérale \(\sigma_3\) et les caractéristiques de la roche (\(\sigma_{\text{ci}}, m_{\text{b}}, s, a\)), et la machine vous sort la résistance axiale maximale \(\sigma_{1,\text{rup}}\). C'est le cœur du dimensionnement.
Normes
Référence Réglementaire : Ce calcul est l'étape centrale de la vérification de la stabilité d'un massif rocheux selon les approches semi-empiriques recommandées par de nombreux guides de conception de tunnels et d'ouvrages souterrains.
Formule(s)
Critère de rupture de Hoek-Brown
Hypothèses
On suppose que le critère de Hoek-Brown est applicable au type de roche et à l'échelle du problème. Le massif est considéré comme un milieu continu équivalent.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Contrainte mineure | \(\sigma_3\) | 8.1 MPa |
| Résistance intacte | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 MPa |
| Paramètre massif | \(m_{\text{b}}\) | 4.87 |
| Paramètre massif | \(s\) | 0.0205 |
| Paramètre massif | \(a\) | 0.502 |
Astuces
Décomposez le calcul pour éviter les erreurs : 1. Calculez le terme \(m_{\text{b}} \cdot (\sigma_3 / \sigma_{\text{ci}})\). 2. Ajoutez \(s\). 3. Élevez le résultat à la puissance \(a\). 4. Multipliez par \(\sigma_{\text{ci}}\). 5. Enfin, ajoutez \(\sigma_3\).
Schéma (Avant les calculs)
Détermination de la résistance sur l'enveloppe de rupture
Calcul(s)
Calcul de la résistance à la rupture
Schéma (Après les calculs)
Point de rupture calculé sur l'enveloppe
Réflexions
La résistance calculée (\(\sigma_{1,\text{rup}} \approx 78.9\) MPa) est bien inférieure à la résistance de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)=120 MPa), mais largement supérieure à la contrainte de confinement (\(\sigma_3\)=8.1 MPa). Cela illustre parfaitement l'effet bénéfique du confinement sur la résistance d'un massif fracturé.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'élever le terme entre parenthèses à la puissance \(a\). C'est une omission fréquente qui conduit à des résultats erronés. Assurez-vous aussi que toutes les contraintes sont dans la même unité (MPa ici) avant de commencer le calcul.
Points à retenir
La résistance du massif rocheux \(\sigma_{1,\text{rup}}\) n'est pas une constante, elle dépend directement de la contrainte de confinement \(\sigma_3\). Plus le confinement est fort, plus la résistance est élevée.
Le saviez-vous ?
Pour déterminer expérimentalement ces enveloppes de rupture, on réalise en laboratoire des "essais triaxiaux" : on confine un échantillon de roche cylindrique avec une pression latérale \(\sigma_3\) et on augmente la pression axiale \(\sigma_1\) jusqu'à la rupture. En répétant l'essai pour plusieurs valeurs de \(\sigma_3\), on peut tracer l'enveloppe de rupture point par point.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la résistance \(\sigma_{1,\text{rup}}\) si le tunnel était moins profond, avec un confinement \(\sigma_3\) de seulement 2 MPa (gardez les mêmes paramètres de massif).
Question 4 : Conclusion sur la stabilité
Principe
Le cœur du métier d'ingénieur consiste à comparer la sollicitation (ce que la structure subit) à la résistance (ce qu'elle peut supporter). Si la résistance est supérieure à la sollicitation, la structure est stable. On quantifie cette marge par le Facteur de Sécurité.
Mini-Cours
Le Facteur de Sécurité (FoS) est un ratio qui mesure la marge de sécurité d'une conception. Il est défini par : FoS = Résistance / Sollicitation. En mécanique des roches, on peut le définir par \( \text{FoS} = \sigma_{1,\text{rup}} / \sigma_1 \). Un FoS de 1 signifie que la roche est exactement à sa limite de rupture. Un FoS supérieur à 1 indique une marge de sécurité.
Remarque Pédagogique
La conclusion n'est pas juste "stable" ou "instable". Un ingénieur doit quantifier *à quel point* c'est stable. Le calcul du facteur de sécurité est une excellente habitude à prendre pour évaluer la robustesse du dimensionnement.
Normes
Référence Réglementaire : Les normes de conception (comme l'Eurocode 7) imposent des facteurs de sécurité minimaux à respecter en fonction de la criticité de l'ouvrage et des incertitudes sur les paramètres. Pour les ouvrages souterrains, un FoS de 1.5 à 2.0 est souvent requis pour le dimensionnement final.
Formule(s)
Formule du Facteur de Sécurité
Hypothèses
On suppose que l'état de contrainte calculé est représentatif de la zone la plus critique et que le modèle de Hoek-Brown décrit correctement le comportement du massif.
Donnée(s)
- Contrainte majeure in-situ (Sollicitation) : \(\sigma_1 = 12.15 \text{ MPa}\)
- Résistance du massif (Résistance) : \(\sigma_{1,\text{rup}} = 78.9 \text{ MPa}\)
Astuces
Le FoS est un nombre sans dimension. Assurez-vous que les deux contraintes sont dans la même unité avant de faire la division. Le résultat est généralement donné avec deux décimales.
Schéma (Avant les calculs)
Positionnement du point de contrainte in-situ
Calcul(s)
Calcul du Facteur de Sécurité
Schéma (Après les calculs)
Comparaison graphique de la sollicitation et de la résistance
Réflexions
Un FoS de 6.49 est très élevé. Cela indique que le champ de contrainte naturel est loin de provoquer la rupture du massif rocheux. La roche est dans un état très stable. Cependant, cette conclusion est valable pour le massif "loin" du tunnel. L'excavation va localement modifier les contraintes (concentration de contraintes), ce qui réduira le FoS au voisinage de la paroi.
Points de vigilance
Ne pas conclure trop vite sur la stabilité de l'ouvrage ! Ce calcul ne concerne que le champ de contrainte in-situ (avant creusement). Autour du tunnel, \(\sigma_1\) augmentera et \(\sigma_3\) diminuera (surtout à la paroi), ce qui rapprochera le massif de la rupture. Cet exercice est la première étape d'une analyse complète.
Points à retenir
- La stabilité est assurée si Sollicitation < Résistance.
- Le Facteur de Sécurité (FoS = Résistance / Sollicitation) quantifie la marge de sécurité.
- Un FoS > 1 est nécessaire pour la stabilité. En pratique, on vise des valeurs supérieures (ex: 1.5 à 2.0).
Le saviez-vous ?
Pour analyser précisément les contraintes modifiées autour d'un tunnel, les ingénieurs utilisent des solutions analytiques (comme les équations de Kirsch pour un trou circulaire dans un milieu élastique) ou, plus couramment, des logiciels de modélisation numérique par éléments finis ou différences finies (comme FLAC, Plaxis, RS2).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la réglementation impose un FoS minimal de 1.8 pour cet ouvrage, quelle serait la contrainte \(\sigma_1\) maximale admissible pour ce massif (en gardant \(\sigma_{1,\text{rup}} = 78.9 \text{ MPa}\)) ?
Outil Interactif : Enveloppe de Rupture
Utilisez les curseurs pour voir comment l'indice de qualité du massif (GSI) et la contrainte de confinement (\(\sigma_3\)) influencent la résistance de la roche (\(\sigma_1\)). Le graphique montre l'enveloppe de rupture : la zone sous la courbe est stable, la zone au-dessus est instable.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente principalement l'indice GSI (Geological Strength Index) ?
2. Si le facteur de perturbation D augmente (par exemple, suite à des tirs d'explosifs de mauvaise qualité), comment la résistance du massif rocheux évolue-t-elle ?
3. Le critère de Hoek-Brown est de nature :
4. Pour une roche parfaitement intacte (GSI=100, D=0), que vaut le paramètre \(s\) ?
5. Que se passe-t-il si le point de contrainte (\(\sigma_3, \sigma_1\)) se trouve au-dessus de l'enveloppe de rupture de Hoek-Brown ?
Glossaire
- Critère de Hoek-Brown
- Un critère de rupture empirique utilisé pour estimer la résistance des massifs rocheux fracturés. Il relie la contrainte principale majeure à la contrainte principale mineure au moment de la rupture.
- GSI (Geological Strength Index)
- Un indice quantitatif qui caractérise la qualité d'un massif rocheux en se basant sur sa structure (de intacte à très fracturée) et l'état des surfaces des discontinuités (de très bonne à très mauvaise qualité).
- Contrainte de Compression Uniaxiale (\(\sigma_{\text{ci}}\))
- La contrainte maximale qu'un échantillon de roche intacte peut supporter avant de se rompre lorsqu'il est comprimé selon un seul axe, sans confinement latéral.
- Facteur de Perturbation (D)
- Un facteur allant de 0 (non perturbé) à 1 (très perturbé) qui quantifie le degré de dégradation du massif rocheux causé par les méthodes d'excavation (ex: tirs d'explosifs, tunneliers).
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