Calcul de la Butée Mobilisable

Contexte : La Stabilité Horizontale des Fondations Profondes

Les fondations profondes (pieux, barrettes, parois moulées) ne sont pas seulement sollicitées verticalement. De nombreux ouvrages, comme les piles de pont, les quais, les tours de télécommunication ou les murs de soutènement, leur transmettent des efforts horizontaux considérables (poussée du vent, des vagues, d'un talus, séisme...). Pour assurer la stabilité de la fondation, il faut que le sol situé "devant" l'élément de fondation soit capable de développer une réaction suffisante pour s'opposer à la charge. Cette réaction maximale que le sol peut opposer s'appelle la butéePoussée maximale qu'un massif de sol peut exercer sur un écran qui se déplace contre lui. C'est l'état de contrainte opposé à la poussée.. Le calcul de cette butée mobilisable est donc une étape clé pour le dimensionnement de ces ouvrages.

Remarque Pédagogique : Contrairement à la poussée (où le sol "pousse" l'écran), la butée nécessite un déplacement de la structure contre le sol pour être mobilisée. La valeur de la butée calculée est une résistance ultime ; en service, le déplacement sera beaucoup plus faible et la réaction du sol sera une fraction de cette butée maximale.

Objectifs Pédagogiques

Définir les états de contrainte de poussée et de butée du sol.
Calculer le coefficient de butée (\(K_p\)) pour un sol donné.
Établir le diagramme de la contrainte de butée en fonction de la profondeur.
Calculer la force de butée résultante sur une hauteur donnée.
Comprendre l'influence des caractéristiques du sol (angle de frottement) sur la butée mobilisable.

Données de l'étude

Un pieu de grand diamètre (type pieu de pont), de diamètre \(D = 1.2 \, \text{m}\), est encastré sur une hauteur de \(H = 5.0 \, \text{m}\) dans un massif de sable dense. Le pieu est soumis à un effort horizontal de calcul à l'ELU, \(H_d\), en tête. On cherche à déterminer la force de butée maximale que le sol peut mobiliser sur la hauteur du pieu pour s'opposer à cet effort.

Schéma de la Sollicitation

Données géotechniques et de calcul :

Angle de frottement interne du sable : \(\phi' = 35^\circ\).
Cohésion effective du sable : \(c' = 0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent).
Poids volumique total du sable : \(\gamma = 20 \, \text{kN/m}^3\).

Questions à traiter

Calculer le coefficient de butée du sol \(K_p\).
Déterminer l'expression de la contrainte de butée \(\sigma_p(z)\) en fonction de la profondeur \(z\), et calculer sa valeur à la base du pieu (\(z=H\)).
Calculer la force de butée résultante (\(F_p\)) qui s'exerce sur le pieu.

Correction : Calcul de la Butée Mobilisable

Question 1 : Calcul du Coefficient de Butée (\(K_p\))

Principe :

Le coefficient de butée \(K_p\) est un nombre sans dimension qui traduit l'amplification de la contrainte horizontale lorsque le sol est comprimé. Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)) et une interface sol-structure verticale et sans frottement, on peut utiliser la formule de Rankine, qui ne dépend que de l'angle de frottement interne du sol \(\phi'\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : \(K_p\) est l'inverse du coefficient de poussée \(K_a\). Pour un sol avec \(\phi' = 30^\circ\), \(K_a = 1/3\) (le sol pousse avec un tiers de la contrainte verticale) tandis que \(K_p = 3\) (le sol peut résister jusqu'à trois fois la contrainte verticale). La capacité du sol à résister en butée est donc bien plus grande que sa tendance à pousser.

Formule(s) utilisée(s) :

Coefficient de butée de Rankine :

K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin(\phi')}{1 - \sin(\phi')}

Donnée(s) :

Angle de frottement interne \(\phi' = 35^\circ\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{35^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ + 17.5^\circ) \\ &= \tan^2(62.5^\circ) \\ &= (1.921)^2 \\ &\approx 3.69 \end{aligned}

Points de vigilance :

Hypothèses de Rankine : La formule de Rankine suppose un écran parfaitement lisse et vertical, et une surface de sol horizontale. Si l'interface sol/pieu est rugueuse, on peut mobiliser un \(K_p\) plus élevé (formules de Caquot-Kérisel ou de Coulomb), mais le calcul est plus complexe.

Résultat : Le coefficient de butée du sol est \(K_p \approx 3.69\).

Question 2 : Diagramme de Contrainte de Butée (\(\sigma_p(z)\))

Principe :

Dans un sol homogène, la contrainte verticale due au poids des terres (\(\sigma_v\)) augmente linéairement avec la profondeur \(z\). La contrainte de butée est le produit de cette contrainte verticale par le coefficient \(K_p\). Le diagramme de butée est donc triangulaire.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce diagramme représente la butée *maximale* que le sol peut fournir à chaque profondeur. Pour la mobiliser entièrement, il faudrait un déplacement important du pieu. En réalité, le pieu ne se déplace pas uniformément (il pivote), donc le diagramme de pression réel est plus complexe. Le diagramme triangulaire reste cependant la base du dimensionnement.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_p(z) = K_p \times \sigma_v(z) = K_p \times \gamma \times z

Donnée(s) :

Coefficient de butée \(K_p = 3.69\)
Poids volumique du sol \(\gamma = 20 \, \text{kN/m}^3\)
Hauteur totale du pieu \(H = 5.0 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

1. Expression de la contrainte de butée :

\begin{aligned} \sigma_p(z) &= 3.69 \times 20 \times z \\ &= 73.8 \times z \quad (\text{avec } \sigma_p \text{ en kPa et } z \text{ en m}) \end{aligned}

2. Contrainte à la base du pieu (\(z=H=5.0 \, \text{m}\)) :

\begin{aligned} \sigma_{p, \text{base}} &= 73.8 \times 5.0 \\ &= 369 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Présence de nappe phréatique : Si une nappe phréatique est présente, il faut utiliser le poids volumique déjaugé du sol (\(\gamma'\)) pour la partie immergée, ce qui réduit la contrainte de butée mobilisable.

Résultat : La contrainte de butée à la base du pieu est \(\sigma_{p, \text{base}} = 369 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Calcul de la Force de Butée Résultante (\(F_p\))

Principe :

La force de butée totale est la résultante des contraintes de butée qui s'exercent sur la surface du pieu. Pour un diagramme de contrainte triangulaire, cette force est simplement l'aire du diagramme multipliée par la largeur sur laquelle il s'applique (ici, le diamètre du pieu).

Formule(s) utilisée(s) :

La force résultante est l'aire du triangle de pression :

F_p = \left( \frac{1}{2} \times \sigma_{p, \text{base}} \times H \right) \times D

Donnée(s) :

Contrainte de butée à la base \(\sigma_{p, \text{base}} = 369 \, \text{kPa} = 369 \, \text{kN/m}^2\)
Hauteur du pieu \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Diamètre du pieu \(D = 1.2 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_p &= \left( \frac{1}{2} \times 369 \times 5.0 \right) \times 1.2 \\ &= (922.5 \, \text{kN/m}) \times 1.2 \, \text{m} \\ &= 1107 \, \text{kN} \end{aligned}

Points de vigilance :

Effet tridimensionnel (3D) : Pour un pieu de section circulaire, le sol peut se "contourner". Les formules planes sous-estiment la résistance. On applique souvent un facteur majorateur (pouvant aller jusqu'à 2 ou 3) à la butée calculée en 2D pour tenir compte de cet effet 3D favorable. Ce calcul simplifié ne l'inclut pas.

Le saviez-vous ?

Résultat : La force de butée mobilisable sur le pieu est \(F_p = 1107 \, \text{kN}\).

Simulation Interactive

Faites varier l'angle de frottement du sol et la hauteur d'encastrement du pieu pour voir leur impact sur la force de butée mobilisable.

Paramètres de Conception

Angle de frottement (\(\phi'\)) (35°)

Hauteur d'encastrement H (5.0 m)

Coefficient de Butée Kp

Force de Butée Totale Fp

Force de Butée Mobilisable (kN)

Le Saviez-Vous ?

Le concept de poussée et de butée des terres a été formalisé pour la première fois par l'ingénieur et physicien français Charles-Augustin de Coulomb en 1776, dans son "Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture". Ses travaux sont encore à la base de la mécanique des sols moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment la cohésion du sol influence-t-elle la butée ?

Dans un sol cohérent (\(c' > 0\)), la cohésion ajoute un terme constant à la contrainte de butée. La formule devient \(\sigma_p(z) = K_p \cdot \gamma \cdot z + 2\sqrt{K_p} \cdot c'\). Le diagramme de pression n'est plus triangulaire mais trapézoïdal, ce qui augmente significativement la résistance, surtout à faible profondeur.

Que se passe-t-il si l'effort horizontal est cyclique (vent, vagues) ?

Les chargements cycliques peuvent dégrader les propriétés du sol. La raideur du sol peut diminuer et des déformations permanentes peuvent s'accumuler à chaque cycle. Le dimensionnement doit alors prendre en compte ces phénomènes de fatigue et utiliser des paramètres de sol dégradés pour les calculs.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement \(\phi'\) du sol augmente, le coefficient de butée \(K_p\) :

Augmente.
Diminue.
Reste le même.

2. La force de butée sur un pieu est principalement proportionnelle :

À la hauteur d'encastrement (H).
Au diamètre du pieu (D).
Au carré de la hauteur d'encastrement (\(H^2\)).

Glossaire

Butée des Terres: État de contrainte maximale qu'un massif de sol peut mobiliser pour s'opposer au déplacement d'un écran (mur, pieu) qui le comprime. C'est une résistance passive.
Poussée des Terres: État de contrainte minimale exercée par un massif de sol sur un écran qui s'éloigne de lui. C'est une action active.
Coefficient de Butée (\(K_p\)): Facteur sans dimension qui lie la contrainte horizontale de butée à la contrainte verticale effective dans le sol. Il est toujours supérieur à 1.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\)): Paramètre de cisaillement d'un sol qui caractérise sa "rugosité" interne, c'est-à-dire sa capacité à résister au glissement entre ses grains. C'est le paramètre le plus important pour les sols pulvérulents (sables, graves).
Sol Pulvérulent: Sol dont la cohésion est nulle ou négligeable (ex: sable sec, gravier propre). Sa résistance au cisaillement provient uniquement du frottement entre les grains.

Calcul de la Butée Mobilisable

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la Sollicitation

Questions à traiter

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Question 1 : Calcul du Coefficient de Butée (\(K_p\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Question 2 : Diagramme de Contrainte de Butée (\(\sigma_p(z)\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Question 3 : Calcul de la Force de Butée Résultante (\(F_p\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

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