Calcul de la Déformabilité d’un Massif Rocheux
Contexte : Le massif rocheuxEnsemble de la roche en place, incluant la roche intacte et les discontinuités (fractures, joints, etc.) qui l'affectent..
Le calcul de la déformabilité d'un massif rocheux est une étape cruciale dans le dimensionnement des grands ouvrages de génie civil (tunnels, barrages, fondations). Contrairement à un échantillon de roche intacte, le massif rocheux est caractérisé par la présence de discontinuités qui réduisent considérablement sa rigidité. Cet exercice vise à estimer le tassement d'une fondation superficielle en calculant le module de déformation du massif à l'aide du critère empirique de Hoek-BrownUn critère de rupture empirique utilisé pour estimer la résistance et la déformabilité des massifs rocheux fracturés..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à passer des propriétés de la roche intacte aux propriétés du massif rocheux, une compétence fondamentale en mécanique des roches.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le critère de Hoek-Brown pour déterminer les paramètres du massif rocheux.
- Calculer le module de déformation (\(E_{\text{m}}\)) d'un massif rocheux.
- Estimer le tassement élastique d'une fondation sur un massif rocheux.
Données de l'étude
Fiche Technique du Projet
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Nature de la roche | Granite |
| Type d'ouvrage | Fondation d'un bâtiment industriel |
| Qualité de l'excavation | Excellente (minage contrôlé) |
Modélisation de la fondation sur le massif
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance en compression uniaxiale (roche intacte) | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 | MPa |
| Constante du matériau (Hoek-Brown) | \(m_{\text{i}}\) | 32 | - |
| Indice de Résistance Géologique | GSI | 65 | - |
| Facteur de perturbation | D | 0 | - |
| Contrainte appliquée par la fondation | \(q\) | 2 | MPa |
| Largeur de la fondation (carrée) | B | 10 | m |
Questions à traiter
- Calculer les paramètres du critère de Hoek-Brown : \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\).
- Déterminer le module de déformation du massif rocheux, \(E_{\text{m}}\).
- Estimer le coefficient de Poisson du massif, \(\nu_{\text{m}}\).
- Calculer le tassement élastique immédiat au centre de la fondation.
- Comparer le module du massif (\(E_{\text{m}}\)) au module de la roche intacte (\(E_{\text{i}} \approx 60\) GPa) et conclure.
Les bases de la Mécanique des Roches
Le comportement d'un massif rocheux est gouverné par les propriétés de la roche intacte et, de manière prépondérante, par le réseau de discontinuités qui le traverse. Le critère de Hoek-Brown est un outil empirique puissant permettant de quantifier cette influence.
1. Critère de Hoek-Brown
Il relie la résistance du massif à des paramètres géologiques. Les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\) sont dérivés du GSI, de \(m_{\text{i}}\) et du facteur de perturbation D.
\[ m_{\text{b}} = m_{\text{i}} \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{28 - 14D}\right) \]
\[ s = \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{9 - 3D}\right) \]
2. Module de Déformation (\(E_{\text{m}}\))
C'est l'un des paramètres les plus importants pour les calculs de tassement. La formule de Hoek & Diederichs (2006) est couramment utilisée :
\[ E_{\text{m}} (\text{GPa}) = \left(1 - \frac{D}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma_{\text{ci}}}{100}} \cdot 10^{\frac{\text{GSI} - 10}{40}} \]
Correction : Calcul de la Déformabilité d’un Massif Rocheux
Question 1 : Calculer les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\).
Principe
Les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\) sont des coefficients empiriques qui adaptent le comportement de la roche intacte (décrit par \(\sigma_{\text{ci}}\) et \(m_{\text{i}}\)) à celui du massif rocheux en quantifiant l'effet de la fracturation (décrite par GSI) et des dommages liés à l'excavation (décrits par D).
Mini-Cours
Le critère de Hoek-Brown est l'un des plus utilisés en mécanique des roches. Il est passé par plusieurs révisions. Les formules utilisées ici sont celles de la version la plus récente qui intègre le GSI et le facteur D. Elles permettent de créer une enveloppe de rupture non-linéaire pour le massif, ce qui est plus réaliste qu'un critère linéaire comme celui de Mohr-Coulomb pour les roches fracturées.
Remarque Pédagogique
L'étape la plus importante est de bien comprendre d'où viennent les paramètres d'entrée. Le GSI est une évaluation visuelle qui demande de l'expérience. Une erreur sur le GSI a un impact exponentiel sur les résultats. Prenez toujours le temps de bien justifier votre choix de GSI.
Normes
Bien que le critère de Hoek-Brown soit empirique, son usage est validé et recommandé par de nombreuses normes et guides de conception, notamment dans les Eurocodes pour les aspects géotechniques (Eurocode 7). Les formules sont issues des publications de Evert Hoek.
Formule(s)
Formule du paramètre \(m_b\)
Formule du paramètre \(s\)
Formule du paramètre \(a\)
Hypothèses
On suppose que le massif rocheux est homogène et isotrope à l'échelle de l'ouvrage, ce qui signifie que ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. On suppose également que le critère de Hoek-Brown est applicable à ce type de roche.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de l'énoncé : \(\text{GSI} = 65\), \(m_{\text{i}} = 32\), \(D = 0\).
Astuces
Pour un calcul rapide, souvenez-vous que pour D=0, les dénominateurs sont 28 et 9. Ces valeurs sont fixes et faciles à mémoriser pour les cas courants de bonne qualité d'excavation.
Schéma (Avant les calculs)
Détermination des paramètres du massif
Calcul(s)
Calcul de \(m_{\text{b}}\)
Calcul de \(s\)
Calcul de \(a\)
Schéma (Après les calculs)
Enveloppe de Rupture de Hoek-Brown (Conceptuelle)
Réflexions
La valeur de \(m_{\text{b}}\) (9.17) est significativement plus faible que \(m_{\text{i}}\) (32), ce qui illustre la réduction de la résistance due à la fracturation. La valeur de \(s\) est très faible, ce qui est typique d'un massif de qualité correcte (GSI=65), indiquant qu'il possède encore une cohésion non négligeable.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier que la fonction 'exp' est utilisée. Ne multipliez pas par le résultat de la fraction, mais bien par l'exponentielle de ce résultat.
Points à retenir
- Les paramètres \(m_{\text{b}}\) et \(s\) décrivent la forme de l'enveloppe de rupture du massif.
- Ils dépendent de la roche intacte (\(m_{\text{i}}\)) et de la qualité du massif (GSI, D).
- Une baisse du GSI entraîne une forte diminution de \(m_{\text{b}}\) et \(s\).
Le saviez-vous ?
Le GSI a été développé par Evert Hoek dans les années 90 pour fournir un système de quantification de la qualité des massifs rocheux qui soit plus pratique sur le terrain que les classifications précédentes comme le RMR ou l'indice Q, surtout pour les massifs de mauvaise qualité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la valeur de \(m_{\text{b}}\) pour un massif de moins bonne qualité avec un GSI de 45. (gardez \(m_{\text{i}}=32, D=0\))
Question 2 : Déterminer le module de déformation \(E_{\text{m}}\).
Principe
Le module de déformation \(E_{\text{m}}\) représente la rigidité du massif rocheux. Il est estimé à partir des caractéristiques de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)), de la qualité du massif (GSI) et de la méthode d'excavation (D). Une valeur élevée de \(E_{\text{m}}\) indique un massif rigide qui se déforme peu sous charge.
Mini-Cours
Le module de déformation est analogue au module de Young pour les matériaux continus. Cependant, pour un massif rocheux, il n'est pas une constante intrinsèque mais une propriété d'échelle, qui dépend du volume de roche considéré. Les formules empiriques comme celle de Hoek & Diederichs visent à donner une valeur équivalente utilisable dans les calculs d'ingénierie standards.
Remarque Pédagogique
Ne confondez jamais le module de la roche intacte (\(E_{\text{i}}\)) avec celui du massif (\(E_{\text{m}}\)). \(E_{\text{i}}\) est mesuré en laboratoire sur un petit échantillon sans fractures, tandis que \(E_{\text{m}}\) représente le comportement à grande échelle. Utiliser \(E_{\text{i}}\) à la place de \(E_{\text{m}}\) conduirait à une sous-estimation drastique des tassements et pourrait mener à une rupture de l'ouvrage.
Normes
La formule de Hoek & Diederichs est une recommandation largement acceptée dans la pratique de l'ingénierie des roches et citée dans de nombreux manuels de conception. Elle est compatible avec les approches de calcul de l'Eurocode 7.
Formule(s)
Formule du module de déformation du massif
Hypothèses
Cette formule suppose que le massif est soumis à des contraintes faibles par rapport à sa résistance, de sorte que son comportement reste dans le domaine élastique. Elle est plus fiable pour des massifs de qualité moyenne à bonne (GSI > 40).
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de l'énoncé : \(\text{GSI} = 65\), \(\sigma_{\text{ci}} = 120 \text{ MPa}\), \(D = 0\).
Astuces
L'exposant de la puissance de 10, \((\text{GSI}-10)/40\), peut être vu comme un 'facteur de qualité'. Pour un GSI de 50 (massif moyen), l'exposant vaut 1, ce qui donne un facteur multiplicateur de 10. Pour un GSI de 90 (massif excellent), il vaut 2, donnant un facteur 100. Cela donne un bon ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre GSI et Module de Déformation
Calcul(s)
Calcul de \(E_{\text{m}}\)
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du résultat sur le graphe
Réflexions
Une valeur de 26 GPa est typique d'un massif de granite de bonne qualité. C'est une rigidité élevée, mais bien inférieure à celle de l'acier (210 GPa) ou même de la roche intacte (~60 GPa). Ce chiffre quantifie la "souplesse" ajoutée par les fractures.
Points de vigilance
Attention, la formule donne le résultat en GPa. Pour les calculs de tassement utilisant des contraintes en MPa, il est impératif de convertir : \(1 \text{ GPa} = 1000 \text{ MPa}\). Oublier cette conversion est une erreur fréquente.
Points à retenir
- \(E_{\text{m}}\) dépend fortement du GSI.
- \(E_{\text{m}}\) dépend plus faiblement de \(\sigma_{\text{ci}}\) (via la racine carrée).
- Le facteur D a un impact direct et linéaire sur la réduction de \(E_{\text{m}}\).
Le saviez-vous ?
La mesure directe de \(E_{\text{m}}\) sur site est possible via des essais complexes et coûteux comme l'essai au dilatomètre ou l'essai à la plaque. Les formules empiriques comme celle-ci sont donc extrêmement précieuses car elles fournissent une estimation fiable à partir de données géologiques plus simples à obtenir.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le module \(E_{\text{m}}\) si le granite était de moins bonne qualité (GSI=50) mais plus résistant en roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}=150\) MPa).
Question 3 : Estimer le coefficient de Poisson \(\nu_{\text{m}}\).
Principe et Justification du Choix
Imaginez que vous pressez une gomme : en s'aplatissant, elle s'élargit sur les côtés. Le coefficient de Poisson, noté \(\nu\), mesure précisément cet effet d'expansion latérale sous une compression. Pour le massif rocheux, il nous dit à quel point il a tendance à se "gonfler" sur les côtés lorsqu'il est comprimé par la fondation.
Contrairement au module de déformation, ce coefficient n'est généralement pas calculé avec une formule, mais estimé à partir de valeurs typiques, comme celles présentées dans le tableau ci-dessous.
Valeurs Typiques du Coefficient de Poisson
| Type de Roche | Coefficient de Poisson (\(\nu\)) - Plage typique |
|---|---|
| Granite | 0.20 - 0.30 |
| Basalte | 0.22 - 0.28 |
| Calcaire | 0.24 - 0.30 |
| Grès | 0.15 - 0.25 |
| Schiste | 0.10 - 0.20 |
Pour un granite de bonne qualité (GSI = 65), une valeur de 0.25 se situe bien au milieu de la plage de référence. C'est une estimation standard et fiable, couramment utilisée en ingénierie. L'impact de ce paramètre sur le tassement final est bien moins important que celui du module de déformation, ce qui justifie l'utilisation d'une valeur tabulée.
Illustration du Concept
Résultat Final
Question 4 : Calculer le tassement élastique immédiat.
Principe
Le tassement est la déformation verticale du sol sous l'effet d'une charge. Pour une fondation sur un massif rocheux se comportant de manière élastique, le tassement peut être calculé à l'aide de la théorie de l'élasticité. Le calcul dépend de la contrainte appliquée, des dimensions de la fondation, et des propriétés de déformabilité du massif (\(E_{\text{m}}\), \(\nu_{\text{m}}\)).
Mini-Cours
La formule utilisée est issue des solutions de Boussinesq pour une charge appliquée sur un massif semi-infini, élastique, homogène et isotrope. Le facteur de forme \(I_s\) permet d'adapter la solution à la géométrie de la fondation (carrée, circulaire, rectangulaire) et au point où l'on souhaite calculer le tassement (centre, coin, etc.).
Remarque Pédagogique
Ce calcul ne représente que le tassement "immédiat" et élastique. Dans certains types de roches ou de sols, des tassements différés (consolidation, fluage) peuvent se produire sur le long terme. Pour un granite de bonne qualité, le tassement élastique est cependant prépondérant.
Normes
Les méthodes de calcul de tassement basées sur la théorie de l'élasticité sont fondamentales en géotechnique et sont la base des calculs préconisés par l'Eurocode 7.
Formule(s)
Formule du tassement élastique
Où \(I_s\) est un facteur d'influence géométrique. Pour le centre d'une fondation carrée, \(I_s \approx 1.12\).
Hypothèses
On suppose que le massif rocheux se comporte comme un milieu continu, homogène, isotrope et parfaitement élastique. On suppose que la charge est appliquée de manière uniforme et que la fondation est parfaitement flexible (elle ne redistribue pas les contraintes).
Donnée(s)
\(q = 2 \text{ MPa}\), \(B = 10 \text{ m}\), \(E_{\text{m}} = 25970 \text{ MPa}\), \(\nu_{\text{m}} = 0.25\), \(I_s = 1.12\).
Astuces
Observez l'influence des paramètres : le tassement est directement proportionnel à la charge (\(q\)) et à la largeur (\(B\)), mais inversement proportionnel à la rigidité (\(E_{\text{m}}\)). Doubler la largeur de la fondation doublera le tassement !
Schéma (Avant les calculs)
Illustration du Tassement
Calcul(s)
Conversion de la largeur B en mm
Application de la formule du tassement
Schéma (Après les calculs)
Résultat du Tassement
Réflexions
Un tassement de moins d'un millimètre pour une charge de 2 MPa est très faible. Cela confirme que le granite, même fracturé avec un GSI de 65, constitue une excellente fondation. Pour un sol, un tassement de plusieurs centimètres serait attendu pour la même charge.
Points de vigilance
La cohérence des unités est primordiale. Si \(E_{\text{m}}\) est en MPa et \(q\) en MPa, la largeur \(B\) doit être en mm pour obtenir un tassement en mm.
Points à retenir
- Le tassement est une déformation verticale.
- Il dépend de la charge, de la géométrie et des propriétés du massif.
- La formule de Boussinesq est un outil fondamental pour son estimation.
Le saviez-vous ?
Le célèbre gratte-ciel Burj Khalifa à Dubaï est fondé sur un massif de roches sédimentaires (calcaires et grès). Malgré la hauteur immense de la tour, les tassements mesurés sont restés de l'ordre de quelques centimètres seulement, grâce à une conception de fondations profondes très sophistiquée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Estimez le tassement si la fondation était deux fois plus large (B=20m) mais appliquait la même charge totale (donc contrainte q = 0.5 MPa). Utilisez les mêmes propriétés du massif.
Question 5 : Comparer \(E_{\text{m}}\) et \(E_{\text{i}}\) et conclure.
Principe
Cette question vise à quantifier l'impact des discontinuités sur la rigidité du matériau. La roche intacte (\(E_{\text{i}}\)) représente le comportement du matériau pur, tandis que le massif (\(E_{\text{m}}\)) intègre l'effet réducteur des fractures. Le rapport \(E_{\text{m}} / E_{\text{i}}\) est un indicateur clé de la qualité du massif.
Mini-Cours
La transition de l'échelle de l'échantillon à l'échelle du massif est le problème central de la mécanique des roches. Le rapport \(E_{\text{m}}/E_{\text{i}}\) est parfois appelé "Module Reduction Ratio". Il tend vers 1 pour un massif quasi-intact (GSI proche de 100) et peut descendre en dessous de 0.01 pour des massifs très fracturés.
Remarque Pédagogique
Cette comparaison finale est une excellente manière de synthétiser l'ensemble du problème. Elle transforme des calculs abstraits en une conclusion physique tangible : "à quel point le massif est-il endommagé par rapport à sa roche mère ?". C'est une information cruciale pour l'ingénieur.
Normes
Il n'y a pas de norme directe, mais la nécessité de prendre en compte la réduction de rigidité est un principe fondamental de toutes les réglementations géotechniques.
Formule(s)
Formule du rapport de rigidité
Hypothèses
On suppose que la valeur de \(E_{\text{i}}=60 \text{ GPa}\) est représentative de la roche intacte du site.
Donnée(s)
\(E_{\text{m}} \approx 25.97 \text{ GPa}\) (calculé à la question 2), \(E_{\text{i}} = 60 \text{ GPa}\) (donnée de l'énoncé).
Astuces
En phase d'avant-projet, si vous n'avez pas d'essais de laboratoire, le rapport \(E_{\text{i}}/\sigma_{\text{ci}}\) (appelé rapport de modules) est souvent utilisé. Pour le granite, il est typiquement autour de 500. Donc \(E_{\text{i}} \approx 500 \cdot \sigma_{\text{ci}} = 500 \cdot 120 = 60000 \text{ MPa} = 60 \text{ GPa}\). C'est un bon moyen de vérifier la cohérence des données.
Schéma (Avant les calculs)
Échelle de l'Échantillon vs Échelle du Massif
Calcul(s)
Calcul du rapport de rigidité
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Visuelle de la Rigidité
Réflexions
Un rapport de 0.43 signifie que le massif rocheux n'a que 43% de la rigidité de la roche intacte qui le compose. Les 57% de perte de rigidité sont entièrement dus à la présence du réseau de fractures et de joints. Cela démontre pourquoi il est fondamental de ne jamais utiliser les propriétés de la roche intacte pour dimensionner un ouvrage dans un massif rocheux.
Points de vigilance
Assurez-vous que \(E_{\text{m}}\) et \(E_{\text{i}}\) sont dans la même unité (GPa ou MPa) avant de faire le rapport. Le résultat final est sans dimension.
Points à retenir
- Le passage de l'échelle laboratoire à l'échelle du massif implique une réduction significative de la rigidité.
- Le rapport \(E_{\text{m}}/E_{\text{i}}\) est un bon indicateur de la qualité du massif.
- Cette réduction est la raison d'être de la mécanique des roches en tant que discipline distincte de la mécanique des matériaux.
Le saviez-vous ?
Le barrage des Trois-Gorges en Chine, le plus grand barrage hydroélectrique du monde, est fondé sur un massif de granite. Des études géotechniques extrêmement poussées ont été nécessaires pour cartographier les failles et les discontinuités afin de calculer la déformabilité du massif et assurer la stabilité de cet ouvrage colossal.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Cette section n'est pas applicable pour cette question de conclusion.
Outil Interactif : Simulateur de Tassement
Utilisez les curseurs pour voir comment la qualité du massif (GSI) et la résistance de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)) influencent le module de déformation et le tassement de la fondation.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente principalement l'Indice de Résistance Géologique (GSI) ?
2. Si l'on augmente la valeur du GSI, comment évolue le module de déformation \(E_{\text{m}}\) ?
3. Le facteur de perturbation 'D' est utilisé pour prendre en compte :
4. Par rapport au module de la roche intacte (\(E_{\text{i}}\)), le module du massif (\(E_{\text{m}}\)) est :
5. Un tassement de 0.81 mm pour une fondation de 10m sous 2 MPa est considéré comme :
- Module de Déformation (\(E_{\text{m}}\))
- Mesure de la rigidité d'un massif rocheux dans son ensemble. Il représente la relation entre la contrainte appliquée et la déformation qui en résulte, en tenant compte de l'effet des discontinuités.
- Indice de Résistance Géologique (GSI)
- Système de classification permettant d'estimer la qualité d'un massif rocheux à partir d'une observation visuelle de sa structure (de "très bon" à "très mauvais") et de l'état des surfaces des discontinuités.
- Critère de Hoek-Brown
- Un critère de rupture empirique (basé sur l'expérience) utilisé pour estimer la résistance et la déformabilité des massifs rocheux fracturés.
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