Calcul de la Poussée Hydrostatique et Drainage

Le Pire Ennemi d'un Mur : L'Eau

La présence d'eau derrière un mur de soutènement est le scénario le plus défavorable et le plus redouté par les ingénieurs. L'eau s'infiltre dans le sol, s'accumule et exerce une poussée hydrostatiquePression exercée par l'eau stagnante. Elle augmente linéairement avec la profondeur et s'ajoute à la poussée des terres. qui s'ajoute à celle des terres. Cette force supplémentaire peut être considérable, car l'eau est bien plus lourde que l'air contenu dans un sol sec. De plus, l'eau diminue la résistance au frottement du sol sous la fondation. Pour ces raisons, un système de drainageEnsemble des dispositifs (drains, barbacanes, etc.) qui permettent de collecter et d'évacuer l'eau derrière un mur pour annuler la poussée hydrostatique. efficace n'est pas une option, mais une nécessité absolue pour garantir la pérennité de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique : On considère que la poussée hydrostatique s'ajoute intégralement à la poussée des terres déjaugées. Le calcul doit donc prendre en compte deux diagrammes de pression superposés : celui du sol (avec son poids déjaugé sous l'eau) et celui de l'eau.

Données de l'étude

Un mur-poids de 4m de haut retient un remblai. Suite à un défaut de drainage, une nappe phréatique s'est établie à 2m sous la surface du remblai.

Géométrie et Matériaux :

Hauteur totale du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Hauteur de la nappe phréatique (\(H_w\)) : \(2.0 \, \text{m}\)

Caractéristiques du Sol et de l'Eau :

Poids volumique du sol (\(\gamma_s\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
Poids volumique du sol saturé (\(\gamma_{\text{sat}}\)) : \(20 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\) (\(\Rightarrow K_a = 1/3\))
Poids volumique de l'eau (\(\gamma_w\)) : \(10 \, \text{kN/m}^3\)

Schéma des Pressions avec Nappe Phréatique

Questions à traiter

Calculer la force de poussée (\(F_{a1}\)) due au sol sec (au-dessus de la nappe).
Calculer la force de poussée (\(F_{a2}\)) due au sol déjaugé (sous la nappe).
Calculer la force de poussée hydrostatique (\(U\)).
Calculer le moment de renversement total (\(M_{\text{total}}\)) à la base du mur.

Correction : Calcul de la Poussée Hydrostatique et Drainage

Question 1 : Poussée des Terres Sèches (\(F_{a1}\))

Principe :

La partie du sol située au-dessus de la nappe phréatique agit comme un remblai sec classique. Elle génère une pression triangulaire sur la partie supérieure du mur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La poussée des terres au-dessus de la nappe est calculée exactement comme pour un mur retenant un sol entièrement sec, mais seulement sur la hauteur concernée. C'est la première brique de notre calcul total.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{a1} = \frac{1}{2} K_a \gamma_s (H-H_w)^2

Donnée(s) :

\begin{cases} K_a = 1/3 \\ \gamma_s = 18 \, \text{kN/m}^3 \\ H = 4.0 \, \text{m} \\ H_w = 2.0 \, \text{m} \end{cases}

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_{a1} &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 18 \times (4.0-2.0)^2 \\ &= 12.0 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Son bras de levier par rapport à la base du mur est \( z_1 = H_w + \frac{H-H_w}{3} = 2.0 + \frac{2.0}{3} \approx 2.67 \, \text{m} \).

Résultat Question 1 : La force de poussée du sol sec est \(F_{a1} = 12.0 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Poussée des Terres Déjaugées (\(F_{a2}\))

Principe :

Sous l'eau, le poids du sol est "allégé" par la poussée d'Archimède. On utilise le poids volumique déjaugéPoids du sol saturé diminué du poids de l'eau. C'est le poids "effectif" du sol lorsqu'il est immergé. γ' = γ_sat - γ_w. (\(\gamma'\)). La pression due au poids des terres au-dessus de la nappe se transmet, créant un diagramme de pression trapézoïdal sur la partie basse du mur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de poids déjaugé est fondamental. C'est la poussée d'Archimède de l'eau qui 'soulage' les grains de sol, réduisant ainsi leur contribution à la poussée. C'est pourquoi on utilise \(\gamma'\) et non \(\gamma_{sat}\) pour la partie immergée.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{a2} = F_{a2, \text{rect}} + F_{a2, \text{tri}}

\begin{cases} F_{a2, \text{rect}} = K_a \gamma_s (H-H_w) H_w \\ F_{a2, \text{tri}} = \frac{1}{2} K_a \gamma' H_w^2 \end{cases}

Donnée(s) :

\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w = 20 - 10 = 10 \, \text{kN/m}^3

Calcul(s) :

Le diagramme est un trapèze, décomposable en un rectangle (pression des terres du dessus) et un triangle (poids du sol déjaugé).

\begin{aligned} F_{a2, \text{rect}} &= \frac{1}{3} \times 18 \times 2.0 \times 2.0 \\ &= 24.0 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} F_{a2, \text{tri}} &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 10 \times 2.0^2 \\ &\approx 6.67 \, \text{kN/m} \end{aligned}

F_{a2} = 24.0 + 6.67 = 30.67 \, \text{kN/m}

Résultat Question 2 : La force de poussée du sol déjaugé est \(F_{a2} \approx 30.7 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Poussée Hydrostatique (\(U\))

Principe :

L'eau exerce une pression qui augmente linéairement avec la profondeur. Cette pression est indépendante des caractéristiques du sol (\(K_a\) n'intervient pas). Elle génère un diagramme de pression triangulaire sur la hauteur de la nappe.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pression de l'eau (\(U\)) ne dépend que de la hauteur d'eau et de son poids volumique. Elle est isotrope (s'exerce dans toutes les directions) et donc le coefficient de poussée des terres \(K_a\) ne s'applique pas ici. C'est une erreur commune de l'appliquer.

Formule(s) utilisée(s) :

U = \frac{1}{2} \gamma_w H_w^2

Donnée(s) :

\begin{cases} \gamma_w = 10 \, \text{kN/m}^3 \\ H_w = 2.0 \, \text{m} \end{cases}

Calcul(s) :

\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} \times 10 \times (2.0)^2 \\ &= 20.0 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Son bras de levier par rapport à la base du mur est \( z_U = \frac{H_w}{3} = \frac{2.0}{3} \approx 0.67 \, \text{m} \).

Résultat Question 3 : La force de poussée hydrostatique est \(U = 20.0 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Moment de Renversement Total (\(M_{\text{total}}\))

Principe :

Le moment total est la somme des moments créés par chaque force de poussée (sol sec, sol déjaugé et eau), chacune multipliée par son bras de levier respectif par rapport à la base du mur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'addition des moments se fait simplement car ils s'appliquent tous au même point (la base du mur). Il est essentiel de bien identifier le bras de levier pour chaque force individuelle pour obtenir un résultat correct.

Formule(s) utilisée(s) :

M_{\text{total}} = M_1 + M_{2} + M_U

Donnée(s) :

On utilise les forces et bras de levier calculés dans les questions précédentes.

Calcul(s) :

On calcule le moment de chaque force et on les somme.

M_1 = F_{a1} \times z_1 = 12.0 \times 2.67 = 32.04 \, \text{kNm/m}

Pour \(F_{a2}\), on calcule le moment de ses composantes rectangulaire et triangulaire.

M_{2,rect} = 24.0 \times \frac{H_w}{2} = 24.0 \times 1.0 = 24.0 \, \text{kNm/m}

M_{2,tri} = 6.67 \times \frac{H_w}{3} = 6.67 \times 0.67 \approx 4.47 \, \text{kNm/m}

M_U = U \times z_U = 20.0 \times 0.67 \approx 13.4 \, \text{kNm/m}

\begin{aligned} M_{\text{total}} &= M_1 + M_{2,rect} + M_{2,tri} + M_U \\ &= 32.04 + 24.0 + 4.47 + 13.4 \\ &\approx 73.9 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le moment de renversement total est \(M_{\text{total}} \approx 73.9 \, \text{kNm/m}\).

Tableau Récapitulatif des Poussées

Origine de la Poussée	Force (kN/m)	Moment à la base (kNm/m)
Sol sec (\(F_{a1}\))	12.0	32.0
Sol déjaugé (\(F_{a2}\))	30.7	28.5
Eau (\(U\))	20.0	13.4
TOTAL	Cliquez	Cliquez

Pièges à Éviter

Oublier le poids déjaugé : L'erreur la plus commune est de calculer la poussée du sol sous l'eau avec son poids volumique total (\(\gamma_s\)) au lieu de son poids déjaugé (\(\gamma'\)). Cela surestime la poussée du sol.

Négliger la poussée de l'eau : Ne jamais oublier d'ajouter la poussée hydrostatique (\(U\)) en plus de celle du sol. C'est une force directe et souvent très importante.

Ne pas installer de drainage : La conclusion de tout calcul avec de l'eau est qu'un drainage est indispensable. Concevoir un mur sans système d'évacuation des eaux est une garantie de défaillance à moyen terme.

Le Saviez-Vous ?

Un système de drainage efficace, comme un drain vertical derrière le mur associé à des barbacanes (trous d'évacuation), est conçu pour que la hauteur d'eau \(H_w\) soit nulle en conditions normales. Le calcul avec nappe est donc un scénario "accidentel" (drain bouché) ou transitoire (forte pluie) que la structure doit pouvoir supporter sans s'effondrer.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le poids déjaugé est-il utilisé ?

Le poids déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{sat} - \gamma_w\)) représente la contrainte effective entre les grains du sol. C'est cette contrainte effective qui génère la poussée des terres. La pression de l'eau (\(U\)) est une pression interstitielle qui agit séparément et directement sur le mur. On calcule donc les deux effets (poussée du "squelette" de sol et poussée de l'eau) et on les additionne.

Comment dimensionne-t-on un drain ?

Le dimensionnement d'un drain dépend de la perméabilité du sol (\(k\)) et du débit d'eau à évacuer. On utilise des lois d'écoulement (comme la loi de Darcy) pour estimer le débit entrant dans le drain. On choisit ensuite un drain (matériau géocomposite ou drain granulaire) et des barbacanes dont la capacité d'évacuation est supérieure au débit calculé, pour éviter toute mise en charge.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La présence d'eau derrière un mur :

Diminue la poussée totale car le sol est plus léger.
N'a pas d'effet si le mur est en béton.
Augmente significativement la poussée totale.

2. Pour calculer la poussée d'un sol immergé, on utilise :

Le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)).
Le poids volumique sec (\(\gamma_s\)).
Le poids volumique de l'eau (\(\gamma_w\)).

D’autres exercices d’ouvrages de soutenement:

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Données de l'étude

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Question 1 : Poussée des Terres Sèches (\(F_{a1}\))

Principe :

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Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Poussée des Terres Déjaugées (\(F_{a2}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Poussée Hydrostatique (\(U\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Moment de Renversement Total (\(M_{\text{total}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

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Pièges à Éviter

Le Saviez-Vous ?

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