Calcul de la poussée sur un écran de soutènement

Contexte : Conception d'un mur cantilever pour un talus routier.

Vous êtes chargé de vérifier le dimensionnement géotechnique d'un mur de soutènementOuvrage destiné à retenir des terres. de type cantilever. Le sol en place n'est pas homogène : il est constitué de deux couches distinctes aux caractéristiques mécaniques différentes. L'objectif est de calculer la force de poussée activeAction exercée par le sol sur le mur lorsqu'il se déplace légèrement vers l'extérieur. qui s'exerce sur l'arrière du mur selon la théorie de Rankine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'importance de traiter chaque couche de sol séparément et de bien gérer les discontinuités de contraintes aux interfaces.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les coefficients de poussée ($K_{\text{a}}$) pour différents sols.
Déterminer les contraintes verticales effectives à différentes profondeurs.
Tracer le diagramme des pressions horizontales avec stratification.
Calculer la force résultante totale de poussée.

Données de l'étude

On considère un mur de soutènement vertical à parement lisse, retenant un massif de sol horizontal.

Géométrie et Caractéristiques des Sols

Couche	Épaisseur ($h$)	Poids vol. ($\gamma$)	Angle frottement ($\phi'$)	Cohésion ($c'$)
1 (Sable supérieur)	3 m	18 kN/m³	30°	0 kPa
2 (Sable dense inférieur)	3 m	20 kN/m³	35°	0 kPa

La hauteur totale du mur est $H = 6$ m. On néglige la présence d'eau pour cet exercice (sol sec).

Schéma du Problème

Questions à traiter

Calculer les coefficients de poussée active $K_{\text{a}1}$ et $K_{\text{a}2}$.
Calculer les contraintes verticales effectives ($\sigma'_{\text{v}}$) aux profondeurs $z=0, 3, 6$ m.
Déterminer les contraintes horizontales de poussée ($\sigma'_{\text{a}}$) à ces profondeurs (attention à l'interface).
Calculer les forces résultantes partielles pour chaque diagramme de pression.
En déduire la force de poussée totale $F_{\text{a}}$.

Les bases théoriques : État Limite Actif (Rankine)

Selon la théorie de Rankine, pour un écran vertical et un terre-plein horizontal sans frottement mur-sol, la contrainte horizontale effective est directement liée à la contrainte verticale effective par un rapport constant dépendant uniquement des propriétés de frottement du sol.

Coefficient de Poussée Active ($K_{\text{a}}$)
Ce coefficient représente le rapport entre la contrainte horizontale et la contrainte verticale lorsque le sol est en état de rupture par cisaillement (état limite actif). Il dépend de l'angle de frottement interne $\phi'$.

Formule de Rankine (Sol horizontal)

K_{\text{a}} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

Contrainte Horizontale de Poussée ($\sigma'_{\text{a}}$)
C'est la pression latérale effective exercée par le massif de sol sur le mur. En l'absence de cohésion, elle est proportionnelle à la contrainte verticale.

Loi de comportement (Rankine)

\sigma'_{\text{a}} = K_{\text{a}} \cdot \sigma'_{\text{v}} - 2c'\sqrt{K_{\text{a}}}

Dans notre cas d'étude (sable sec, $c'=0$), cette relation se simplifie considérablement en : $\sigma'_{\text{a}} = K_{\text{a}} \cdot \sigma'_{\text{v}}$.

Correction : Calcul de la poussée sur un écran de soutènement (Sol Stratifié)

Question 1 : Calcul des coefficients $K_{\text{a}}$

Principe

Pour déterminer la pression latérale que le sol exerce sur le mur, nous devons d'abord quantifier la capacité du sol à se "tenir" lui-même. C'est le rôle du coefficient de poussée active $K_{\text{a}}$. Comme nous avons deux couches de sol distinctes avec des propriétés mécaniques différentes (angles de frottement $\phi'_1$ et $\phi'_2$), nous devons calculer un coefficient $K_{\text{a}}$ spécifique pour chaque couche indépendamment.

Mini-Cours

Signification physique de $K_{\text{a}}$ : Le coefficient $K_{\text{a}}$ est toujours inférieur à 1 pour un sol frottant. Plus l'angle de frottement interne $\phi'$ est élevé (sol "rugueux" et dense), plus $K_{\text{a}}$ est faible. Cela signifie qu'un sol de meilleure qualité mécanique (fort $\phi'$) exerce moins de poussée sur l'ouvrage de soutènement qu'un sol médiocre. C'est le rapport des contraintes principales à la rupture.

Remarque Pédagogique

Attention aux unités d'angles ! La formule $\tan^2(45 - \phi/2)$ utilise des degrés, tandis que les fonctions trigonométriques sur calculatrice peuvent être configurées en radians. La formule avec le sinus $\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}$ est souvent plus sûre pour éviter les erreurs de conversion.

Normes

Dans le cadre de l'Eurocode 7 (EN 1997-1), le calcul des coefficients de poussée est détaillé dans l'Annexe C. Pour un mur vertical rugueux avec un talus horizontal, l'Eurocode propose des formules analytiques ou des abaques (type Caquot-Kerisel) prenant en compte l'angle de frottement sol-mur $\delta$. Ici, nous utilisons l'hypothèse simplifiée de Rankine ($\delta = 0$), souvent utilisée en pré-dimensionnement.

Formule(s)

Formule de Rankine simplifiée

Coefficient de poussée active

K_{\text{a}} = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

Hypothèses

Pour appliquer cette formule simple, nous validons les hypothèses suivantes :

Surface du sol horizontale ($\beta = 0$).
Parement du mur vertical ($\lambda = 0$).
Frottement mur-sol négligé ($\delta = 0$).
État d'équilibre limite atteint (le mur s'est suffisamment déplacé pour mobiliser la résistance du sol).

Donnée(s)

Couche	Description	Angle $\phi'$
1	Sable supérieur	30°
2	Sable dense inférieur	35°

Astuces

Mémorisez la valeur clé : pour $\phi=30^\circ$ (cas très fréquent pour les sables classiques), $\sin(30)=0.5$, ce qui donne $K_{\text{a}} = (1-0.5)/(1+0.5) = 0.5/1.5 = 1/3 \approx 0.333$. C'est un repère mental très utile.

Schéma : Situation Initiale

Plus l'angle est grand, plus le sol est stable.

Calcul(s)

Application numérique directe de la formule pour chaque couche :

Pour la couche 1 ($\phi'_1 = 30°$)

Nous commençons par la couche supérieure (Sable, $\phi' = 30^\circ$). On sait que $\sin(30^\circ) = 0.5$. On substitue dans la formule :

\begin{aligned} K_{\text{a}1} &= \frac{1 - \sin(30^\circ)}{1 + \sin(30^\circ)} \\ &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &= \frac{1}{3} \\ &\approx \mathbf{0.333} \end{aligned}

Ce résultat de 1/3 est classique pour un sable lâche à moyen. Soit exactement un tiers.

Pour la couche 2 ($\phi'_2 = 35°$)

Ensuite pour la couche inférieure (Sable dense, $\phi' = 35^\circ$). La calculatrice donne $\sin(35^\circ) \approx 0.5736$. On substitue :

\begin{aligned} K_{\text{a}2} &= \frac{1 - \sin(35^\circ)}{1 + \sin(35^\circ)} \\ &\approx \frac{1 - 0.5736}{1 + 0.5736} \\ &= \frac{0.4264}{1.5736} \\ &\approx \mathbf{0.271} \end{aligned}

La valeur est plus faible, ce qui est cohérent avec un sol plus résistant. Le coefficient diminue, réduisant la poussée.

Réflexions

On observe logiquement que $K_{\text{a}2} < K_{\text{a}1}$. Le sable dense de la couche inférieure a un meilleur angle de frottement (35° contre 30°), ce qui implique qu'il est intrinsèquement plus stable. Par conséquent, il transmettra une proportion plus faible de la contrainte verticale vers le mur sous forme de poussée horizontale.

Points de vigilance

Ne confondez pas $K_{\text{a}}$ (poussée active) et $K_{\text{p}}$ (butée passive). $K_{\text{p}}$ est l'inverse de $K_{\text{a}}$ dans la théorie de Rankine ($K_{\text{p}} = 1/K_{\text{a}}$) et vaut ici 3.0 et 3.69 respectivement. Une erreur d'inversion mènerait à un dimensionnement catastrophique, car la butée est une force résistante, pas une force motrice.

Points à Retenir

Relation inverse : Lorsque la qualité du sol augmente ($\phi'$ augmente), le coefficient de poussée $K_{\text{a}}$ diminue.

Le saviez-vous ?

William Rankine, ingénieur écossais, a présenté cette théorie en 1857. C'est l'une des plus anciennes théories de la mécanique des sols encore utilisée quotidiennement, bien qu'elle soit une simplification par rapport à la méthode de Coulomb (1776) qui prend en compte le frottement mur-sol.

FAQ

Peut-on avoir un coefficient $K_{\text{a}}$ supérieur à 1 ?

Non, jamais pour un sol frottant standard en poussée active. Cela signifierait que la poussée horizontale est supérieure au poids des terres, ce qui est physiquement impossible dans cette configuration gravitaire.

Les coefficients sont $K_{\text{a}1} \approx 0.333$ et $K_{\text{a}2} \approx 0.271$.

A vous de jouer
Calculez $K_{\text{a}}$ pour un angle de frottement de 40° (graviers très compacts).

📝 Mémo
$\phi = 30^\circ \Rightarrow K_{\text{a}} = 1/3$.
$\phi = 0^\circ \Rightarrow K_{\text{a}} = 1$ (Comportement de liquide parfait).

Question 2 : Contraintes Verticales Effectives ($\sigma'_{\text{v}}$)

Principe

Avant de connaître la poussée horizontale, il faut déterminer "le poids" qui s'exerce verticalement à une profondeur donnée. On appelle cela la contrainte géostatique verticale. Dans un sol stratifié, on calcule cette contrainte en cumulant le poids des différentes couches de sol situées au-dessus du point de calcul.

Mini-Cours

Contrainte effective ($\sigma'$) vs Contrainte totale ($\sigma$) :
Selon le principe fondamental de Terzaghi, $\sigma' = \sigma - u$ (où $u$ est la pression interstitielle de l'eau). Ici, le sol est sec, donc $u=0$, ce qui simplifie le problème : la contrainte effective est égale à la contrainte totale ($\sigma' = \sigma$). C'est cette contrainte qui contrôle le comportement mécanique du sol.

Remarque Pédagogique

Il est fondamental de calculer les contraintes à chaque changement de géométrie ou de matériau (interfaces). Ici, les points clés sont la surface ($z=0$), l'interface ($z=3$) et le fond ($z=6$).

Normes

L'Eurocode 7 préconise d'utiliser les poids volumiques caractéristiques ($\gamma_{\text{k}}$) des sols. Les valeurs données ici (18 et 20 kN/m³) sont typiques de sables respectivement moyennement compacts et très compacts.

Formule(s)

Contrainte verticale géostatique

\sigma'_{\text{v}}(z) = \sum_{i=1}^{n} \gamma_i \cdot h_i

Où $\gamma_i$ est le poids volumique de la couche $i$ et $h_i$ son épaisseur traversée.

Hypothèses

Nous considérons le sol comme un milieu continu semi-infini. Les couches sont supposées horizontales et d'épaisseur constante (hypothèse de terrain plat).

Donnée(s)

Couche	Poids vol. $\gamma$ (kN/m³)	Épaisseur totale (m)
1	18	3
2	20	3

Astuces

Pensez à l'analogie de l'empilement de livres : pour connaître la pression sur votre main en bas de la pile, vous devez additionner le poids de tous les livres posés dessus, un par un. Le poids du livre du dessus ne disparait pas quand on change de livre !

Schéma : Situation Initiale

Profil stratigraphique

Calcul(s)

On procède par étape descendante (cumulatif) :

À la surface ($z = 0$ m) :
Au niveau du terrain naturel ($z=0$), la hauteur de sol $h$ est nulle. Aucun sol au-dessus. $\sigma'_{\text{v}}(0) = 0 \text{ kPa}$
La pression est nulle en surface.
À l'interface ($z = 3$ m) :
À la base de la première couche, nous avons traversé 3m de sable. Poids de la couche 1 uniquement ($\gamma_1=18$, $h_1=3$). $\begin{aligned} \sigma'_{\text{v}}(3) &= \gamma_1 \times h_1 \\ &= 18 \times 3 \\ &= \mathbf{54 \text{ kPa}} \end{aligned}$
C'est la charge que la couche 1 applique sur la couche 2.
Au fond de fouille ($z = 6$ m) :
Pour atteindre le fond, on ajoute le poids de la couche 2 à la contrainte précédente. On reprend la contrainte déjà présente à 3m et on ajoute le poids de la couche 2 ($\gamma_2=20$, $h_2=3$). $\begin{aligned} \sigma'_{\text{v}}(6) &= \sigma'_{\text{v}}(3) + (\gamma_2 \times h_2) \\ &= 54 + (20 \times 3) \\ &= 54 + 60 \\ &= \mathbf{114 \text{ kPa}} \end{aligned}$
C'est la contrainte verticale maximale.

Schéma : Situation Finale Validée (Diagramme $\sigma'_{\text{v}}$)

Évolution linéaire de la contrainte verticale.

Réflexions

On remarque une légère rupture de pente dans le diagramme des contraintes verticales à 3m. La pente est plus raide dans la deuxième couche car le sol est plus dense ($20 > 18$), donc la contrainte augmente plus vite avec la profondeur ($d\sigma/dz = \gamma$).

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier la "surcharge" de la couche 1 sur la couche 2. À 6m de profondeur, le sol "sent" le poids de TOUT ce qui est au-dessus, pas seulement la couche 2.

Points à Retenir

La contrainte verticale est toujours continue aux interfaces (pas de saut brusque de valeur), contrairement à la contrainte horizontale que nous verrons ensuite.

Le saviez-vous ?

100 kPa équivaut approximativement à la pression exercée par 10 mètres d'eau, ou ici environ 5 à 6 mètres de sol (car le sol est environ 2 fois plus lourd que l'eau).

FAQ

Que faire si la nappe phréatique est présente ?

Il faudrait utiliser le poids volumique déjaugé $\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}$ (environ $\gamma - 10$) pour calculer la contrainte effective, et ajouter la pression de l'eau $u$ séparément à la fin.

Les contraintes verticales clés sont 0, 54 et 114 kPa.

A vous de jouer
Si la couche 1 avait un poids volumique de 20 kN/m³ (comme la couche 2), quelle serait la contrainte à 3m ?

📝 Mémo
$\sigma'_{\text{v}}$ se cumule toujours de haut en bas. C'est l'intégrale du poids volumique.

Question 3 : Contraintes Horizontales ($\sigma'_{\text{a}}$)

Principe

Maintenant que nous connaissons la contrainte verticale $\sigma'_{\text{v}}$ à chaque profondeur, nous pouvons calculer la contrainte horizontale $\sigma'_{\text{a}}$ (la poussée) en appliquant le coefficient de Rankine $K_{\text{a}}$ correspondant à la couche de sol où l'on se trouve. C'est l'étape cruciale pour tracer le diagramme de poussée.

Mini-Cours

La discontinuité des contraintes : Contrairement à la contrainte verticale qui est continue (le poids ne disparaît pas), la contrainte horizontale peut subir des sauts brusques (discontinuités) aux interfaces entre deux sols différents. Pourquoi ? Parce que si $\sigma'_{\text{v}}$ est identique juste au-dessus et juste au-dessous de l'interface, le facteur multiplicateur $K_{\text{a}}$ change instantanément.

Remarque Pédagogique

Il est impératif de calculer DEUX valeurs de contrainte horizontale à la profondeur de l'interface ($z=3$m) : une valeur "C1 bas" (juste au-dessus de la ligne) et une valeur "C2 haut" (juste au-dessous).

Normes

L'Eurocode 7 et les normes nationales (NF P 94-281) exigent de vérifier la stabilité interne et externe. Le calcul précis de ce diagramme de pression est la base de la vérification de la structure du mur (flexion du béton armé).

Formule(s)

Loi de Rankine (sans cohésion)

\sigma'_{\text{a}}(z) = K_{\text{a}}(\text{couche}) \cdot \sigma'_{\text{v}}(z)

Hypothèses

Le sol est purement frottant ($c'=0$), donc la formule est une simple proportionnalité. Si $c'$ était non nul, on retrancherait le terme de cohésion $2c'\sqrt{K_{\text{a}}}$.

Donnée(s)

Profondeur	$\sigma'_{\text{v}}$ (kPa)	Couche concernée	$K_{\text{a}}$
3 m (sup)	54	1	0.333
3 m (inf)	54	2	0.271

Astuces

Pensez au sol du dessus comme une simple surcharge $q$ agissant sur la couche du dessous. La couche 2 "voit" une charge de 54 kPa sur sa tête, qu'elle transforme en poussée latérale selon son propre coefficient $K_{\text{a}2}$ (plus faible).

Schéma : Focus Interface

Illustration du saut de contrainte à l'interface.

Calcul(s)

Appliquons la formule $\sigma'_{\text{a}} = K_{\text{a}} \times \sigma'_{\text{v}}$ pour chaque point caractéristique :

1. En surface ($z=0$m, Couche 1)

On utilise le coefficient de la couche 1.

\begin{aligned} \sigma'_{\text{a}}(0) &= K_{\text{a}1} \times \sigma'_{\text{v}}(0) \\ &= 0.333 \times 0 \\ &= \mathbf{0 \text{ kPa}} \end{aligned}

Pas de contrainte verticale, donc pas de poussée horizontale.

2. À l'interface, base de la couche 1 ($z=3$m)

On utilise toujours le coefficient de la couche 1 car on est "dans" le sable du dessus.

\begin{aligned} \sigma'_{\text{a}}(3_{\text{sup}}) &= K_{\text{a}1} \times \sigma'_{\text{v}}(3) \\ &= 0.333 \times 54 \\ &= \mathbf{18.00 \text{ kPa}} \end{aligned}

C'est la poussée maximale exercée par la couche 1.

3. À l'interface, toit de la couche 2 ($z=3$m)

On passe dans la couche 2. La contrainte verticale est la même (continuité), mais le coefficient change brutalement.

\begin{aligned} \sigma'_{\text{a}}(3_{\text{inf}}) &= K_{\text{a}2} \times \sigma'_{\text{v}}(3) \\ &= 0.271 \times 54 \\ &= \mathbf{14.63 \text{ kPa}} \end{aligned}

La poussée diminue instantanément car le sol 2 est meilleur.

4. Au fond de fouille ($z=6$m, Couche 2)

On utilise le coefficient de la couche 2 avec la contrainte verticale totale au fond.

\begin{aligned} \sigma'_{\text{a}}(6) &= K_{\text{a}2} \times \sigma'_{\text{v}}(6) \\ &= 0.271 \times 114 \\ &= \mathbf{30.89 \text{ kPa}} \end{aligned}

C'est la pression maximale au pied du mur.

Schéma : Diagramme des Poussées

\sigma'_{\text{a},3m}(\text{sup}) = 18.00 > \sigma'_{\text{a},3m}(\text{inf}) = 14.63

Réflexions

On observe un "saut" de contrainte régressif (de 18 à 14.63 kPa). Cela s'explique physiquement : le sol de la couche 2 est plus "fort" (meilleur angle de frottement), il a donc besoin de moins "s'appuyer" sur le mur pour rester stable que le sol de la couche 1, même sous la même charge verticale.

Points de vigilance

Ne faites surtout pas la moyenne des deux valeurs à 3m ! Ce saut est réel et physique. Dans le calcul des forces (Question 4), il faudra traiter ce saut en découpant les aires correctement.

Points à Retenir

Interface "Sol Faible sur Sol Fort" = Saut de pression qui diminue.
Interface "Sol Fort sur Sol Faible" = Saut de pression qui augmente.

Le saviez-vous ?

Si le sol avait de la cohésion ($c' > 0$), la formule $\sigma'_{\text{a}} = K_{\text{a}} \sigma'_{\text{v}} - 2c'\sqrt{K_{\text{a}}}$ pourrait donner des valeurs négatives en surface. Le sol "collerait" à lui-même et n'exercerait aucune poussée sur les premiers mètres (théoriquement, mais on néglige souvent cette traction en calcul de sécurité).

FAQ

Ce saut de contrainte ne risque-t-il pas de cisaillement local ?

Le diagramme de pression représente l'action du sol sur le mur. Le mur (en béton) lisse ces efforts par sa rigidité. Ce n'est pas une contrainte de cisaillement dans le sol lui-même à cet endroit.

Valeurs clés : 18.00 kPa (base C1) et 14.63 kPa (haut C2).

A vous de jouer
Si Ka2 valait 0.5 (sol très mauvais), quelle serait la contrainte en haut de la couche 2 (avec $\sigma'_{\text{v}}=54$) ?

📝 Mémo
$\sigma'_{\text{a}}$ subit une discontinuité à chaque changement de sol ($\phi'$).

Question 4 : Forces Résultantes Partielles

Principe

Une contrainte (en kPa) est une pression répartie sur une surface. Pour dimensionner le mur, nous avons besoin de connaître la Force équivalente (en kN). Pour cela, on intègre le diagramme des pressions sur la hauteur. En pratique, cela revient à calculer l'aire géométrique du diagramme de poussée ($\sigma'_{\text{a}}$ en fonction de $z$).

Mini-Cours

Méthode des aires :
Le diagramme de pression est découpé en formes simples : triangles et rectangles.
- L'aire d'un triangle représente une force dont le bras de levier est au 1/3 de la hauteur.
- L'aire d'un rectangle représente une force dont le bras de levier est à la mi-hauteur.

Remarque Pédagogique

Pourquoi calculer des forces partielles ? Parce que cela simplifie le calcul du point d'application final (centre de poussée) via le théorème des moments, ce qui sera nécessaire pour vérifier le renversement du mur.

Normes

Les calculs de stabilité (Eurocode 7 - EQU et GEO) comparent ces forces motrices (poussée) aux forces résistantes (poids du mur, butée). Une erreur ici se répercute directement sur le coefficient de sécurité global de l'ouvrage.

Formule(s)

Calculs d'aires géométriques

Force issue d'un triangle

F = \frac{1}{2} \times (\sigma_{\text{base}} - \sigma_{\text{sommet}}) \times H

Force issue d'un rectangle

F = \sigma_{\text{constante}} \times H

Hypothèses

Calcul par mètre linéaire de mur (ml). Le mur est supposé infiniment long.

Donnée(s)

Forme	Hauteur ($H$)	Base / Largeur ($\sigma$)
Triangle (C1)	3 m	18.0 kPa
Rectangle (C2)	3 m	14.63 kPa
Triangle (C2)	3 m	$30.89 - 14.63 = 16.26$ kPa

Astuces

Vérification dimensionnelle : $[kPa] \times [m] = [kN/m^2] \times [m] = [kN/m]$. Vous obtenez bien une force linéique.

Schéma : Diagramme des Pressions Décomposé

Décomposition du diagramme en aires élémentaires.

Calcul(s)

Détail des calculs pour chaque force :

Force F1 (Poussée du sol 1 sur lui-même)

On applique la formule de l'aire du triangle pour la couche 1. Base = 18.0 kPa, Hauteur = 3m.

\begin{aligned} F_1 &= \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \\ &= \frac{1}{2} \times 18.0 \times 3 \\ &= \mathbf{27.00 \text{ kN/ml}} \end{aligned}

Cette force agit au tiers inférieur de la couche 1 (soit à 1m au-dessus de l'interface).

Force F2 (Effet "Surcharge" du sol 1 sur le sol 2)

Forme rectangulaire. La surcharge de 14.63 kPa est constante sur toute la hauteur de 3m de la couche 2.

\begin{aligned} F_2 &= \text{Largeur} \times \text{Hauteur} \\ &= 14.63 \times 3 \\ &= \mathbf{43.89 \text{ kN/ml}} \end{aligned}

C'est la part rectangulaire du diagramme. Notez que la largeur de ce rectangle est bien 14.63 (début de la couche 2), pas 18.0 (fin de la couche 1).

Force F3 (Poussée propre du sol 2)

Forme triangulaire (partie variable). On calcule d'abord la base du triangle (différence de pression), puis l'aire.

\begin{aligned} \text{Base Triangle} &= \sigma'_{\text{a,bas}} - \sigma'_{\text{a,haut}} \\ &= 30.89 - 14.63 \\ &= 16.26 \text{ kPa} \\[1em] F_3 &= \frac{1}{2} \times 16.26 \times 3 \\ &= \mathbf{24.39 \text{ kN/ml}} \end{aligned}

C'est la part triangulaire due au poids propre de la couche 2.

Réflexions

La force $F_2$ est la plus importante ! Cela montre que pour un mur de soutènement profond, le poids des couches supérieures (transmis comme une surcharge) génère souvent plus d'efforts dans le bas du mur que la poussée propre des couches inférieures.

Points de vigilance

Erreur fréquente : Pour $F_2$, utiliser 18.0 kPa au lieu de 14.63 kPa. N'oubliez pas que la surcharge est "filtrée" par le coefficient $K_{\text{a}2}$ dès qu'elle entre dans la couche 2.

Points à Retenir

Le diagramme dans la couche inférieure est toujours un trapèze (jamais un triangle simple), sauf si la couche supérieure a un poids nul.

Le saviez-vous ?

En méthode des éléments finis (FEM), on ne décompose pas ainsi : le logiciel intègre numériquement les contraintes sur les éléments de contact sol-structure.

FAQ

Où s'appliquent ces forces ?

$F_1$ s'applique à $h_1/3$ au-dessus de l'interface (4m du fond). $F_2$ à $h_2/2$ (1.5m du fond). $F_3$ à $h_2/3$ (1m du fond). Ces bras de levier servent au calcul du moment de renversement.

Forces partielles : $F_1 = 27.00$, $F_2 = 43.89$, $F_3 = 24.39$ kN/ml.

A vous de jouer
Si la couche 1 faisait 4m de haut, quelle serait la valeur de $F_1$ ? (Rappel: $\sigma'_{\text{v},4m} = 72$, $\sigma'_{\text{a}} = 24$)

📝 Mémo
Décomposition : 1 couche = 1 triangle. Couches suivantes = 1 rectangle + 1 triangle.

Question 5 : Force de Poussée Totale ($F_{\text{a}}$)

Principe

La force totale de poussée est la résultante unique qui a le même effet mécanique sur le mur que l'ensemble des pressions réparties. Puisque toutes nos forces partielles ($F_1, F_2, F_3$) sont horizontales et orientées dans le même sens (du sol vers le mur), la norme de la résultante est simplement la somme algébrique des normes des forces partielles.

Mini-Cours

Résultante statique : En mécanique, un système de forces parallèles peut être réduit à une force unique. Si $R = \sum F_i$, alors le moment de cette résultante par rapport à un point est égal à la somme des moments des forces composantes ($R \cdot d = \sum F_i \cdot d_i$). Cela permettrait de trouver la position $d$ de la résultante.

Remarque Pédagogique

C'est cette valeur $F_{\text{total}}$ que vous utiliserez pour vérifier le glissement du mur sur sa base ($F_{\text{total}} < F_{\text{frottement}} / \gamma_{\text{glissement}}$).

Normes

Attention, les normes de dimensionnement (Eurocode 7) appliquent des facteurs partiels de sécurité soit sur les paramètres du sol ($\phi', c'$), soit directement sur les actions ($F_{\text{a}}$). La valeur calculée ici est la valeur "caractéristique" (non pondérée).

Formule(s)

Somme des forces

\begin{aligned} F_{\text{a,total}} &= \sum F_i \\ &= F_1 + F_2 + F_3 \end{aligned}

Hypothèses

Hypothèse de mur rigide indéformable (les mouvements relatifs permettent de mobiliser la poussée active simultanément sur toute la hauteur).

Donnée(s)

Force partielle	Valeur (kN/ml)
$F_1$	27.00
$F_2$	43.89
$F_3$	24.39

Astuces

Vérification d'ordre de grandeur : Imaginez un "sol moyen" homogène sur 6m. Si $\gamma \approx 19$ et $K_{\text{a}} \approx 0.3$. $F \approx 0.5 \times 0.3 \times 19 \times 6^2 \approx 102$ kN/ml. Notre résultat (95.28) est proche, donc cohérent !

Schéma : Force Résultante Unique

Action résultante sur l'écran.

Calcul(s)

On effectue la somme arithmétique :

\begin{aligned} F_{\text{total}} &= 27.00 + 43.89 + 24.39 \\ &= 70.89 + 24.39 \\ &= \mathbf{95.28 \text{ kN/ml}} \end{aligned}

Cela correspond à environ 9.5 tonnes par mètre linéaire de mur.

Schéma : Situation Finale Validée

F_{\text{tot}} = 95.28 \text{ kN} \text{ par mètre linéaire}

Réflexions

Une force de ~95 kN (environ 9.5 tonnes) s'exerce sur chaque mètre de largeur du mur. Pour un mur de 20 mètres de long, la poussée totale est de 1900 tonnes ! Cela illustre les forces colossales en jeu dans les ouvrages géotechniques.

Points de vigilance

Ne pas oublier que cette force est une action permanente. Le mur doit la supporter pendant toute sa durée de vie (50 ans, 100 ans...).

Points à Retenir

La résultante permet de vérifier l'équilibre global (translation/rotation), mais pour calculer le ferraillage du mur (flexion), il faut revenir au diagramme de pression local.

Le saviez-vous ?

Pour réduire cette poussée, on place souvent des barbacanes (trous) et des matériaux drainants derrière le mur pour éviter que l'eau ne s'accumule et n'ajoute sa propre pression hydrostatique.

FAQ

Est-ce que cette force dépend de la rugosité du mur ?

Dans la théorie de Rankine, non ($\delta=0$). Dans la théorie de Coulomb, oui : un mur rugueux réduit légèrement la poussée active car le frottement retient le sol.

La force de poussée totale est $F_{\text{a}} \approx 95.28 \text{ kN/ml}$.

A vous de jouer
Si on arrondit les forces à 27, 44 et 24, quelle est la somme rapide ?

📝 Mémo
"L'union fait la force" : La résultante est la somme de toutes les contributions.

Schéma Bilan : Résultante des Forces

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir

🔑
Discontinuité : $K_{\text{a}}$ change avec la couche de sol, créant un saut horizontal de contrainte à l'interface, même si $\sigma'_{\text{v}}$ est continue.
📐
Surcharge virtuelle : La couche supérieure agit comme une surcharge uniforme ($q = \gamma_1 h_1$) sur la couche inférieure (générant un diagramme rectangulaire).
⚠️
Méthode : Décomposer le diagramme de poussée complexe en formes simples (rectangles, triangles) pour calculer la résultante facilement.
💡
Additivité : La force totale est simplement la somme arithmétique des surfaces du diagramme de pression.

"Diviser pour mieux régner : décomposez vos diagrammes complexes en formes simples pour vaincre la statique !"

🎛️ Simulateur interactif de Poussée

Faites varier les angles de frottement des deux couches pour voir l'impact sur la force totale de poussée.

Paramètres du Sol

Angle de frottement Couche 1 ($\phi'_1$) : 30°

Angle de frottement Couche 2 ($\phi'_2$) : 35°

Coeff Ka1 : -

Coeff Ka2 : -

Poussée Totale ($F_{\text{a}}$) : - kN/ml

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement $\phi'$ augmente, que fait le coefficient de poussée $K_{\text{a}}$ ?

Il augmente (plus de poussée).
Il diminue (moins de poussée).
Il reste constant.

2. À l'interface entre deux couches de sol différentes, la contrainte horizontale $\sigma'_{\text{a}}$ est-elle toujours continue ?

Non, il y a généralement un saut car $K_{\text{a}}$ change.
Oui, les contraintes sont toujours continues.

📚 Glossaire

Mur Cantilever: Mur en béton armé en forme de T inversé ou de L, dont la stabilité est assurée par le poids des terres sur sa semelle.
Contrainte Effective: Partie de la contrainte totale reprise par le squelette solide du sol ($\sigma' = \sigma - u$).
Rankine: Théorie plastique supposant que le sol est en état d'équilibre limite sur des plans de glissement plans.
Cohésion: Force d'attraction inter-particulaire, nulle pour les sables propres.

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BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Géométrie et Caractéristiques des Sols

Schéma du Problème

Questions à traiter

Les bases théoriques : État Limite Actif (Rankine)

Correction : Calcul de la poussée sur un écran de soutènement (Sol Stratifié)

Question 1 : Calcul des coefficients \(K_{\text{a}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Situation Initiale

Calcul(s)

Pour la couche 1 (\(\phi'_1 = 30°\))

Pour la couche 2 (\(\phi'_2 = 35°\))

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Contraintes Verticales Effectives (\(\sigma'_{\text{v}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Situation Initiale

Calcul(s)

Schéma : Situation Finale Validée (Diagramme \(\sigma'_{\text{v}}\))

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Contraintes Horizontales (\(\sigma'_{\text{a}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Focus Interface

Calcul(s)

1. En surface (\(z=0\)m, Couche 1)

2. À l'interface, base de la couche 1 (\(z=3\)m)

3. À l'interface, toit de la couche 2 (\(z=3\)m)

4. Au fond de fouille (\(z=6\)m, Couche 2)

Schéma : Diagramme des Poussées

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Forces Résultantes Partielles

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Diagramme des Pressions Décomposé

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance