Calcul de l’Effet Stabilisateur de la Butée

Calcul de l'Effet Stabilisateur de la Butée

Contexte : L'Importance de la Butée de Pied

Dans l'exercice précédent, nous avons constaté que le mur-poids était instable au glissement. Une solution pour améliorer cette stabilité, sans modifier le mur lui-même, est de prendre en compte la résistance du sol situé à l'avant de la fondation. Lorsque le mur tente de glisser, il comprime ce sol, qui réagit en développant une force résistante appelée poussée passiveForce résistante développée par un sol lorsque celui-ci est comprimé horizontalement par une structure. C'est l'inverse de la poussée active., ou plus communément, **butée**. Ce calcul est crucial pour optimiser le dimensionnement des ouvrages de soutènement, mais il doit être fait avec prudence.

Remarque Pédagogique : On ne peut compter sur la butée que si l'on est certain que le terrain à l'avant du mur ne sera jamais excavé durant la vie de l'ouvrage. C'est pourquoi, dans les premières phases de conception, on la néglige souvent par sécurité. La prendre en compte constitue une optimisation.

Données de l'étude

Nous reprenons le mur-poids de l'exercice précédent, qui était instable au glissement (\(F_{\text{SG}} \approx 1.14 < 1.5\)). Nous allons maintenant vérifier si la prise en compte de la butée du sol à l'avant du pied permet de le stabiliser.

Rappel des forces déstabilisatrices :

Poussée active des terres (\(F_a\)) : \(48 \, \text{kN/m}\)

Rappel des forces stabilisatrices (sans la butée) :

Poids du mur (\(W\)) : \(150 \, \text{kN/m}\)
Force de frottement (\(W \cdot \tan(\delta)\)) : \(54.6 \, \text{kN/m}\)

Nouvelles données pour le sol en butée :

Hauteur du sol en butée (\(H_b\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
Le sol en butée est le même que le remblai : \(\gamma_s = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(\phi' = 30^\circ\).

Schéma des Forces avec Butée

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée passive (\(K_p\)).
Calculer la force de butée maximale (\(F_p\)) et son point d'application.
Appliquer un facteur de sécurité sur la butée mobilisée.
Vérifier la stabilité au glissement finale du mur.

Correction : Vérification de la Stabilité avec Butée

Question 1 : Coefficient de Poussée Passive (\(K_p\))

Principe :

Le coefficient de poussée passive, \(K_p\), est l'inverse du coefficient de poussée active, \(K_a\). Il représente la capacité maximale du sol à résister à la compression avant de refluer. Sa valeur est toujours supérieure à 1.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le coefficient de poussée passive \(K_p\) est toujours supérieur à 1 et souvent bien plus grand que le coefficient de poussée active \(K_a\). Cela signifie qu'un sol peut résister à une force bien plus grande en compression (butée) qu'il n'en exerce en expansion (poussée).

Formule(s) utilisée(s) :

K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1}{K_a}

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(60^\circ) \\ &= 3.0 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée passive est \(K_p = 3.0\).

Question 2 : Force de Butée Maximale (\(F_p\))

Principe :

Similaire à la poussée active, la force de butée maximale est l'aire du diagramme de pression passive. Ce diagramme est aussi triangulaire, mais la pression augmente beaucoup plus vite avec la profondeur, en raison du coefficient \(K_p\) élevé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Notez que la force de butée, comme la poussée, augmente avec le carré de la hauteur du sol concerné. Une petite hauteur de butée peut donc avoir un effet non négligeable, et doubler cette hauteur quadruplerait la force de butée maximale.

Formule(s) utilisée(s) :

F_p = \frac{1}{2} K_p \gamma_s H_b^2

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_p &= \frac{1}{2} \times 3.0 \times 18 \times (1.0)^2 \\ &= 27 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Le point d'application de cette force est à \(y_p = H_b/3 = 1.0/3 \approx 0.33 \, \text{m}\) au-dessus de la base du mur.

Résultat Question 2 : La force de butée maximale théorique est \(F_p = 27 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Appliquer un Facteur de Sécurité sur la Butée

Principe :

La mobilisation totale de la butée nécessite un déplacement important du mur, ce qui est souvent incompatible avec les exigences de service. De plus, le sol de surface est plus susceptible d'être remanié. Pour ces raisons, les normes (comme l'Eurocode 7) imposent d'appliquer un facteur de sécurité partiel sur la butée. On ne comptera donc que sur une fraction de la force maximale calculée.

Point Clé : Une valeur courante pour ce facteur de sécurité sur la butée est de 2.0. On ne retiendra donc que 50% de la force calculée. C'est une étape de calcul **essentielle** pour une conception sûre.

Calcul(s) :

Butée mobilisable pour le calcul de stabilité :

F_{p, \text{mob}} = \frac{F_p}{2.0} = \frac{27}{2.0} = 13.5 \, \text{kN/m}

Résultat Question 3 : La force de butée retenue dans le calcul de stabilité est \(F_{p, \text{mob}} = 13.5 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Vérification Finale de la Stabilité au Glissement

Principe :

On refait le calcul de la stabilité au glissement, mais cette fois-ci, la force de butée mobilisable s'ajoute aux forces résistantes (qui s'opposent au mouvement).

Formule(s) utilisée(s) :

F_{\text{SG}} = \frac{\text{Forces résistantes}}{\text{Forces motrices}} = \frac{W \cdot \tan(\delta) + F_{p, \text{mob}}}{F_a}

Calcul(s) :

Total des forces résistantes :

\begin{aligned} \text{Total}_{\text{résistant}} &= F_{\text{frottement}} + F_{p, \text{mob}} \\ &= 54.6 + 13.5 \\ &= 68.1 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Coefficient de sécurité final :

\begin{aligned} F_{\text{SG}} &= \frac{68.1}{48} \\ &\approx 1.42 \end{aligned}

Analyse du résultat : Le nouveau coefficient de \(1.42\) est très proche de la limite requise de \(1.50\). Bien que ce soit une amélioration significative, le mur reste techniquement non conforme selon les normes strictes. Dans un cas réel, une légère modification supplémentaire (par exemple, élargir la base de 10 cm) serait nécessaire pour atteindre le coefficient de 1.5.

Résultat Question 4 : Le nouveau coefficient de sécurité au glissement est \(F_{\text{SG}} \approx 1.42\). La butée a considérablement amélioré la stabilité, mais elle reste légèrement insuffisante.

Tableau Récapitulatif Final

Force	Type	Valeur (kN/m)
Poussée Active (\(F_a\))	Motrice	48.0
Frottement sur la base	Résistante	54.6
Butée mobilisée (\(F_{p, \text{mob}}\))	Résistante	13.5
Coefficient de Sécurité au Glissement (\(F_{\text{SG}}\))	-	Cliquez

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Quelle hauteur de butée minimale (\(H_b\)) faudrait-il (en théorie, avant application du facteur de sécurité) pour atteindre exactement le coefficient de sécurité au glissement de 1.5 ?

Hauteur \(H_b\) (en m) =

Pièges à Éviter

Oublier le facteur de sécurité : Ne jamais utiliser la valeur maximale théorique de la butée (\(F_p\)) dans les calculs de stabilité. Il est impératif d'appliquer un facteur de sécurité (typiquement 2.0 ou plus) pour obtenir la butée mobilisable.

Poussée vs. Butée : \(K_a\) et \(K_p\) sont liés (l'un est l'inverse de l'autre), mais ils décrivent des phénomènes physiques opposés. \(K_a\) est la poussée minimale (le sol "pousse" le mur), tandis que \(K_p\) est la butée maximale (le mur "pousse" le sol).

Le Saviez-Vous ?

La différence entre la poussée active (\(K_a\)) et la poussée passive (\(K_p\)) est énorme. Pour un sol avec \(\phi' = 30^\circ\), \(K_p\) est 9 fois plus grand que \(K_a\) (\(K_p = 3.0\), \(K_a = 1/3\)). Cela illustre à quel point un sol est plus résistant lorsqu'il est comprimé (butée) que lorsqu'il "s'éboule" (poussée).

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la butée n'intervient-elle pas dans la stabilité au renversement ?

La butée est une force résistante qui s'oppose au glissement. Dans le calcul au renversement, on étudie la rotation autour du pied avant du mur (point O). La force de butée, étant appliquée très bas et du même côté que le point de rotation, crée un moment résistant très faible, souvent négligé pour simplifier et rester sécuritaire. L'effet principal de la butée est d'empêcher la translation, pas la rotation.

Que se passe-t-il si le sol de butée est un remblai de mauvaise qualité ?

Si le sol à l'avant est de moins bonne qualité que le sol de remblai (par exemple, \(\phi'\) plus faible), il faut impérativement utiliser les caractéristiques de ce mauvais sol pour calculer la butée. La butée mobilisable sera alors beaucoup plus faible, et peut-être même négligeable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On néglige souvent la butée dans les calculs de stabilité par :

ce qu'elle est trop difficile à calculer.
prudence, car le sol à l'avant du mur peut être enlevé.
ce qu'elle est généralement trop faible pour être significative.

2. Pour un même sol, la force de butée passive sur 1m de hauteur est...

égale à la force de poussée active sur 1m de hauteur.
plus faible que la force de poussée active sur 1m de hauteur.
plus forte que la force de poussée active sur 1m de hauteur.

D’autres exercices d’ouvrages de soutenement:

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Questions à traiter

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Question 1 : Coefficient de Poussée Passive (\(K_p\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Force de Butée Maximale (\(F_p\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Appliquer un Facteur de Sécurité sur la Butée

Principe :

Calcul(s) :

Question 4 : Vérification Finale de la Stabilité au Glissement

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Final

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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