Calcul de Répartition des Efforts

Contexte : Fondations Profondes et Parois Moulées.

Dans les projets de grande envergure (tours, ouvrages d'art), les charges transmises au sol sont souvent considérables. Lorsque les fondations superficielles ne suffisent pas, on a recours à des BarrettesÉlément de fondation profonde en béton armé, de forme rectangulaire, en T ou en L, exécuté comme une paroi moulée.. La forme en "T" permet d'augmenter l'InertieCapacité d'une section à résister à la flexion. de la section et de mieux reprendre les moments de flexion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas dans le calcul des contraintes normales dans une section complexe en béton, soumise à une flexion composée (Effort Normal + Moment).

Objectifs Pédagogiques

Déterminer les caractéristiques géométriques d'une section composée (Centre de gravité, Inertie).
Appliquer le théorème de Huygens pour le transport des moments d'inertie.
Calculer la répartition des contraintes via la formule de Navier-Bernoulli.
Vérifier les critères de résistance du matériau (compression/traction).

Données de l'étude

On étudie une barrette de fondation en forme de T soumise à un effort de compression centré et un moment de flexion. On néglige le ferraillage pour le calcul des caractéristiques géométriques (section homogène béton).

Géométrie et Chargement

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur de la table (aile)	\(B\)	2.50	\(\text{m}\)
Épaisseur de la table	\(e_1\)	0.80	\(\text{m}\)
Hauteur de l'âme	\(H_{\text{ame}}\)	3.00	\(\text{m}\)
Épaisseur de l'âme	\(e_2\)	0.80	\(\text{m}\)
Effort Normal (Compression)	\(N\)	12.0	\(\text{MN}\)
Moment Fléchissant	\(M\)	4.0	\(\text{MN.m}\)

Coupe Transversale de la Barrette en T

Questions à traiter

Calculer la position du centre de gravité \(G\) de la section (distance \(v\) par rapport à la fibre supérieure).
Calculer le moment d'inertie quadratique \(I_{xx}\) de la section par rapport à son centre de gravité.
Déterminer les contraintes extrêmes \(\sigma_{\text{max}}\) et \(\sigma_{\text{min}}\) dans le béton.
Vérifier si la section est entièrement comprimée.

Rappels de Résistance des Matériaux

Théorème de Huygens (Transport d'inertie)
Pour calculer l'inertie d'une section composée par rapport à son centre de gravité global, on utilise la formule :

I_{G} = \sum (I_{Gi} + S_i \cdot d_i^2)

Où :

\(I_{Gi}\) : Inertie propre de la sous-section \(i\).
\(S_i\) : Aire de la sous-section \(i\).
\(d_i\) : Distance entre le centre de gravité de la sous-section et le CDG global.

Formule de Navier-Bernoulli
La contrainte normale \(\sigma\) en un point situé à une distance \(v\) de l'axe neutre est donnée par :

\sigma = \frac{N}{S} + \frac{M \cdot v}{I}

Attention aux signes : Par convention en fondation, une compression est souvent comptée positive, mais en RDM classique, la traction est positive. Ici, nous compterons la compression positive (+).

Correction : Calcul de Répartition des Efforts

Question 1 : Position du Centre de Gravité

Principe

Pour trouver le centre de gravité \(G\) d'une section composée, on utilise le principe du Moment StatiqueProduit de l'aire par la distance à un axe de référence.. Le moment statique total de la section est égal à la somme des moments statiques de ses parties constitutives.

Mini-Cours

Rappel : La coordonnée verticale \(y_G\) du centre de gravité est la moyenne des centres de gravité locaux pondérée par leurs aires respectives. C'est le point où la section peut être tenue en équilibre.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de définir un axe de référence clair dès le début. Ici, nous choisissons la fibre supérieure de la barrette (le haut du T) comme origine \(y=0\), avec l'axe y orienté vers le bas.

Normes

Le calcul des caractéristiques géométriques relève de la RDM classique (Résistance des Matériaux) et est indispensable avant toute application des Eurocodes 2 (Béton) ou 7 (Géotechnique).

Formule(s)

Position du Centre de Gravité

v_G = y_G = \frac{\sum (S_i \cdot y_i)}{\sum S_i}

Hypothèses

Le matériau (béton) est supposé homogène et isotrope.
On néglige la présence des cages d'armatures pour ce calcul géométrique préliminaire (section brute).

Donnée(s)

Section	Dimensions (m)	Aire \(S_i\) (\(\text{m}^2\))	\(y_i\) local (\(\text{m}\))
S1 (Table)	\(2.50 \times 0.80\)	2.00	\(0.80/2 = 0.40\)
S2 (Âme)	\(0.80 \times 3.00\)	2.40	\(0.80 + (3.00/2) = 2.30\)

Astuces

Dessinez toujours vos axes sur votre feuille de brouillon. L'erreur classique est de prendre \(y_2 = 1.50\) m (moitié de la hauteur de l'âme) au lieu de \(0.80 + 1.50 = 2.30\) m (distance depuis l'origine choisie en haut) !

Schéma : Décomposition en S1 et S2

Calcul(s)

1. Calcul du moment statique

On calcule le numérateur de la fraction en sommant les produits (Aire × distance) :

\begin{aligned} \sum (S_i \cdot y_i) &= (S_1 \cdot y_1) + (S_2 \cdot y_2) \\ &= (2.0 \times 0.4) + (2.4 \times 2.3) \\ &= 0.8 + 5.52 \\ &= 6.32 \text{ m}^3 \end{aligned}

Ce résultat de 6.32 m³ représente le moment de surface total par rapport à l'origine.

2. Calcul de l'aire totale

Ensuite, nous calculons l'**aire totale** de la section en additionnant les surfaces de la table et de l'âme :

\begin{aligned} S_{\text{tot}} &= S_1 + S_2 \\ &= 2.0 + 2.4 \\ &= 4.40 \text{ m}^2 \end{aligned}

La section totale de béton est de 4.40 m².

3. Calcul Final

Enfin, nous obtenons la position du centre de gravité \(v_G\) en divisant le moment statique total par l'aire totale :

Position vG

\begin{aligned} v_G &= \frac{6.32}{4.40} \\ &\approx 1.436 \text{ m} \end{aligned}

Le centre de gravité se situe donc à 1.436 mètres en dessous de la fibre supérieure.

Schéma (Résultat)

Réflexions

Le centre de gravité est situé à 1.436 m du haut. La hauteur totale étant de 3.80 m, le milieu se trouve à 1.90 m. Le CDG est donc nettement "remonté" vers le haut de la section, ce qui est cohérent car c'est là que se trouve la table massive (partie large du T).

Points de vigilance

Ne confondez pas la position du centre de gravité avec la mi-hauteur de la section (1.90 m ici). Pour une section non symétrique comme un T, \(G\) n'est jamais au milieu géométrique.

Points à Retenir

Toujours définir une origine (y=0) avant de commencer.
Vérifier la cohérence : \(y_{\text{min}} < y_G < y_{\text{max}}\).
Le CDG est toujours attiré par les zones où il y a le plus de matière.

Le saviez-vous ?

Dans les barrettes de très grande profondeur, la verticalité n'est jamais parfaite. Un écart de 1% est toléré lors de l'exécution, ce qui peut créer des excentricités additionnelles non prévues, décalant le point d'application de la charge par rapport au CDG théorique.

FAQ

Pourquoi négliger les aciers dans ce calcul ?

Car leur section est très faible (généralement moins de 1% de la section béton) et répartie. Leur impact sur la position de G est minime en première approche (quelques millimètres), négligeable face aux tolérances d'exécution.

\(v_G = 1.436 \text{ m}\)

A vous de jouer
Si la table faisait 1.0m d'épaisseur au lieu de 0.8m, le CDG monterait-il ou descendrait-il ?

📝 Mémo
\(y_G = \text{Moyenne pondérée des positions}\). C'est le barycentre des aires.

Question 2 : Moment d'Inertie \(I_{xx}\)

Principe

L'inertie (ou moment quadratique) mesure la résistance d'une section à la flexion. Plus l'inertie est grande, moins la poutre fléchira. Pour une forme complexe composée de rectangles décalés, on ne peut pas simplement sommer les inerties propres : il faut appliquer le théorème de transport (Huygens) pour tout ramener au même axe passant par G.

Mini-Cours

Théorème de Huygens : \(I_{/G} = I_{\text{propre}} + S \times d^2\).
- \(I_{\text{propre}} = \frac{bh^3}{12}\) pour un rectangle.
- Le terme \(S \times d^2\) représente le "coût" inertiel pour déplacer l'axe de rotation d'une distance \(d\).

Remarque Pédagogique

Le terme de transport \(S \cdot d^2\) est souvent beaucoup plus grand que l'inertie propre \(bh^3/12\) pour les parties éloignées du centre de gravité. C'est pour cela qu'on place la matière loin du centre dans les poutres optimisées.

Normes

Dans le cadre de l'Eurocode 2, cette inertie brute sert à calculer les rigidités initiales et les contraintes élastiques. Pour les calculs de flèche à long terme, on utilisera une inertie fissurée plus faible.

Formule(s)

Calcul de l'Inertie Totale

I_{xx} = \sum \left( \frac{b_i h_i^3}{12} + S_i \cdot (y_G - y_i)^2 \right)

Hypothèses

On considère la section brute non fissurée (Stade I - Élastique).

Donnée(s)

Section	\(I_{\text{propre}}\) (\(\text{m}^4\))	Distance \(d = \|y_G - y_i\|\) (\(\text{m}\))
S1 (Table)	\(\frac{2.5 \times 0.8^3}{12}\)	\(\|1.436 - 0.40\|\)
S2 (Âme)	\(\frac{0.8 \times 3.0^3}{12}\)	\(\|1.436 - 2.30\|\)

Astuces

Les distances \(d\) sont toujours positives car elles sont élevées au carré. Inutile de s'inquiéter du signe de \(y_G - y_i\).

Visualisation des distances de transport d

Calcul(s)

1. Inertie de la Table (S1)

Commençons par la **Table (S1)**. D'abord, son inertie propre par rapport à son propre centre de gravité \(G_1\) :

\begin{aligned} I_{G1} &= \frac{b_1 \cdot h_1^3}{12} = \frac{2.5 \times 0.8^3}{12} \\ &= \frac{2.5 \times 0.512}{12} \\ &= 0.1067 \text{ m}^4 \end{aligned}

C'est une valeur faible car la hauteur est petite (0.8m) et élevée au cube.

Ensuite, on applique le **théorème de Huygens**. On calcule le terme de transport lié à la distance \(d_1\) entre le centre de gravité global \(G\) et celui de la table \(G_1\) :

\begin{aligned} I_{\text{transp}1} &= S_1 \times (|v_G - y_1|)^2 \\ &= 2.0 \times (1.436 - 0.40)^2 \\ &= 2.0 \times 1.036^2 \\ &= 2.0 \times 1.073 \\ &= 2.146 \text{ m}^4 \end{aligned}

Le terme de transport est ici prépondérant (20 fois plus grand que l'inertie propre !).

L'inertie totale de la Table par rapport à l'axe global est la somme de ces deux termes :

\begin{aligned} I_1 &= I_{G1} + I_{\text{transp}1} \\ &= 0.1067 + 2.146 \\ &\approx 2.253 \text{ m}^4 \end{aligned}

2. Inertie de l'Âme (S2)

Passons à l'**Âme (S2)**. Son inertie propre est beaucoup plus importante car sa hauteur est grande (3.0 m) :

\begin{aligned} I_{G2} &= \frac{b_2 \cdot h_2^3}{12} = \frac{0.8 \times 3.0^3}{12} \\ &= \frac{0.8 \times 27}{12} \\ &= 1.800 \text{ m}^4 \end{aligned}

On calcule le terme de transport pour l'âme. La distance \(d_2\) sépare \(G\) de \(G_2\) :

\begin{aligned} I_{\text{transp}2} &= S_2 \times (|v_G - y_2|)^2 \\ &= 2.4 \times (1.436 - 2.30)^2 \\ &= 2.4 \times (-0.864)^2 \\ &= 2.4 \times 0.746 \\ &= 1.790 \text{ m}^4 \end{aligned}

L'inertie totale de l'Âme par rapport à l'axe global :

\begin{aligned} I_2 &= I_{G2} + I_{\text{transp}2} \\ &= 1.800 + 1.790 \\ &= 3.590 \text{ m}^4 \end{aligned}

3. Somme Totale

L'inertie totale de la barrette est simplement la somme des inerties de la Table et de l'Âme ramenées au même axe :

\begin{aligned} I_{xx} &= I_1 + I_2 \\ &= 2.253 + 3.590 \\ &= 5.843 \text{ m}^4 \end{aligned}

L'inertie totale de la section est donc de \(5.843\ \text{m}^4\). C'est cette valeur qui servira au calcul des contraintes.

Schéma (Contribution à l'inertie)

Répartition de l'inertie totale :

Réflexions

L'inertie de l'âme (3.59) est prépondérante (61%) par rapport à celle de la table (2.25). Cela s'explique par la hauteur \(h\) qui intervient au cube (\(h^3\)) dans la formule de l'inertie propre. L'âme étant très haute (3m), elle rigidifie énormément la section.

Points de vigilance

Attention aux unités ! \(d\) est en mètres, \(I\) en \(m^4\). Une erreur de virgule sur \(d\) et le résultat "explose" car c'est élevé au carré. Vérifiez toujours l'ordre de grandeur.

Points à Retenir

Pour un rectangle, l'inertie est faible par rapport à son propre axe.
L'éloignement de la matière (terme \(S \cdot d^2\)) est le moyen le plus efficace d'augmenter l'inertie.
Le théorème de Huygens est indispensable dès que \(G_{\text{local}} \neq G_{\text{global}}\).

Le saviez-vous ?

C'est ce principe d'éloignement de la matière qui justifie la forme des poutrelles en I (IPN, IPE) en acier : on met le maximum de matière le plus loin possible du centre (dans les ailes) pour maximiser le terme \(S \cdot d^2\) tout en économisant du poids.

FAQ

Est-ce que \(I_{xx}\) dépend du matériau ?

Non, l'inertie \(I\) est une caractéristique purement géométrique (forme). Cependant, pour calculer la rigidité réelle (EI) ou les flèches, on multipliera cette inertie par le Module de Young \(E\) qui, lui, dépend du matériau (Béton, Acier, Bois...).

\(I_xx \approx 5.843 \text{ m}^4\)

A vous de jouer
Calculez mentalement l'inertie \(I_{yy}\) (selon l'axe faible vertical). La table fait 2.5m de large, l'âme 0.8m. Qui contribue le plus cette fois ?

📝 Mémo
Huygens : On AJOUTE toujours le terme positif \(S \cdot d^2\). L'inertie par rapport à un axe quelconque est toujours supérieure à l'inertie minimale prise au CDG.

Question 3 : Calcul des Contraintes

Principe

On cherche à déterminer l'état de contrainte (pression) dans le béton pour savoir s'il va casser (compression excessive) ou fissurer (traction). On utilise le principe de superposition : l'état final est la somme de la contrainte due à l'effort normal (pression uniforme) et de la contrainte due au moment (pression triangle).

Mini-Cours

Superposition des contraintes :
\(\sigma_{\text{tot}} = \sigma_{\text{Normal}} + \sigma_{\text{Flexion}}\)
- \(\sigma_N = N/S\) : Constant sur toute la section.
- \(\sigma_M = (M \cdot v)/I\) : Varie linéairement, nul au CDG, max aux extrémités.

Remarque Pédagogique

Convention de signe "Fondations" : Ici, une Compression est Positive (+) et une Traction est Négative (-).
Un moment positif comprime la fibre supérieure (puisque le \(y\) pointe vers le bas, la flexion "courbe" la poutre vers le bas, comprimant le haut).

Normes

Les limites usuelles pour le dimensionnement :
- Compression béton max \(\sigma_{\text{bc}} \approx 0.6 f_{\text{ck}}\) (Service).
- Traction tolérée \(\sigma_{\text{bt}} \approx 0\) MPa (en calcul non armé, on considère que le béton ne résiste pas à la traction).

Formule(s)

Contrainte Normale (Navier-Bernoulli)

\sigma(y) = \frac{N}{S} \pm \frac{M \cdot v}{I}

Ici \(v\) est la distance absolue depuis le CDG jusqu'à la fibre considérée.

\sigma_{\text{sup}} = \frac{N}{S} + \frac{M \cdot v_{\text{sup}}}{I} \] \[ \sigma_{\text{inf}} = \frac{N}{S} - \frac{M \cdot v_{\text{inf}}}{I}

Hypothèses

Section plane reste plane après déformation (Hypothèse de Bernoulli).
Comportement élastique linéaire (Loi de Hooke).
Le béton est intact (pas de fissuration préalable).

Donnée(s)

Variable	Description	Valeur	Unité
\(N\)	Effort Normal	12.0	\(\text{MN}\)
\(M\)	Moment Fléchissant	4.0	\(\text{MN.m}\)
\(S\)	Aire Totale	4.40	\(\text{m}^2\)
\(I\)	Inertie	5.843	\(\text{m}^4\)
\(v_{\text{sup}}\)	Dist. CDG - Haut	1.436	\(\text{m}\)
\(v_{\text{inf}}\)	Dist. CDG - Bas	\(3.8 - 1.436 = 2.364\)	\(\text{m}\)

Astuces

Travaillez directement en MN (Méganewtons) et m (mètres). Le résultat sera directement en MPa (Mégapascal) car \(1 \text{ MN}/m^2 = 1 \text{ MPa}\). C'est très pratique pour éviter les erreurs de puissance de 10 !

Diagramme des efforts appliqués

Calcul(s)

1. Contrainte due à l'Effort Normal (Terme Constant)

Calculons d'abord la contrainte uniforme générée par l'**Effort Normal** \(N\). C'est une simple pression :

\begin{aligned} \sigma_N &= \frac{N}{S} \\ &= \frac{12.0}{4.40} \\ &= 2.727 \text{ MPa} \end{aligned}

Cette valeur de 2.727 MPa est notre "matelas" de sécurité en compression.

2. Contrainte due à la Flexion seule (Fibre Supérieure)

Calculons maintenant l'effet du **Moment Fléchissant** \(M\) sur la fibre supérieure (située à \(v_{\text{sup}} = 1.436\) m de l'axe neutre). Le moment comprime cette fibre :

\begin{aligned} \sigma_{M,\text{sup}} &= \frac{M \cdot v_{\text{sup}}}{I} \\ &= \frac{4.0 \times 1.436}{5.843} \\ &\approx +0.983 \text{ MPa} \end{aligned}

Le signe est positif (+) car c'est une compression additionnelle.

3. Contrainte due à la Flexion seule (Fibre Inférieure)

Calculons l'effet du moment sur la fibre inférieure (située à \(v_{\text{inf}} = 2.364\) m). Ici, la flexion tend à étirer le béton (traction), d'où le signe moins :

\begin{aligned} \sigma_{M,\text{inf}} &= -\frac{M \cdot v_{\text{inf}}}{I} \\ &= -\frac{4.0 \times 2.364}{5.843} \\ &\approx -1.618 \text{ MPa} \end{aligned}

Le signe est négatif (-) car c'est une détente (traction).

4. Superposition (Contraintes Totales)

Pour obtenir la contrainte réelle dans le matériau, on applique le **principe de superposition** en additionnant la composante normale et la composante de flexion :

\begin{aligned} \sigma_{\text{sup}} &= \sigma_N + \sigma_{M,\text{sup}} \\ &= 2.727 + 0.983 \\ &= 3.71 \text{ MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma_{\text{inf}} &= \sigma_N + \sigma_{M,\text{inf}} \\ &= 2.727 - 1.618 \\ &= 1.11 \text{ MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned}

On obtient donc une section qui reste entièrement comprimée, même en bas, grâce à l'effort normal initial.

Schéma (Diagramme final des contraintes)

Réflexions

On observe que l'effet de flexion (-1.618 MPa en bas) est important et tend la section. Cependant, l'effort normal massif de la tour (+2.727 MPa) "écrase" suffisamment la section pour compenser cette traction. Le résultat net reste positif partout.

Points de vigilance

Imaginez si \(N\) était plus faible (par exemple 5 MN au lieu de 12 MN). On aurait :
\(\sigma_N = 5/4.4 = 1.13 \text{ MPa}\).
\(\sigma_{\text{inf}} = 1.13 - 1.61 = -0.48 \text{ MPa}\).
On aurait alors de la traction ! C'est souvent le cas en phase de construction où le poids \(N\) n'est pas encore là, mais le vent \(M\) peut souffler.

Points à Retenir

La contrainte est maximale du côté où le moment comprime (ici en haut).
La contrainte est minimale (la plus critique pour la fissuration) du côté opposé (ici en bas).
L'effort normal \(N\) est bénéfique pour lutter contre la traction.

Le saviez-vous ?

C'est exactement le principe du béton précontraint : on ajoute artificiellement un très gros effort normal \(N\) via des câbles tendus pour empêcher le béton de fissurer sous l'effet des moments de flexion \(M\).

FAQ

Pourquoi la contrainte n'est-elle pas nulle au CDG ?

Parce qu'il y a un effort normal \(N\). La contrainte n'est nulle qu'à l'axe neutre "mécanique", qui est décalé du CDG géométrique. Ici, comme tout est comprimé, l'axe neutre est même sorti de la section (il est virtuel).

Max: \(3.71 \text{ MPa}\) | Min: \(1.11 \text{ MPa}\)

A vous de jouer
Quelle valeur de M (environ) provoquerait une contrainte nulle en fibre inférieure ? (Sachant que \(\sigma_N = 2.727\))

📝 Mémo
\(\sigma = \frac{N}{S} \pm \frac{M v}{I}\) : La formule reine de la flexion composée.

Question 4 : Vérification et Conclusion

Principe

Une fois les contraintes calculées, il faut les comparer aux critères de dimensionnement réglementaires pour valider la conception de la fondation.

Mini-Cours

Diagramme des contraintes :
- **Section entièrement comprimée :** Le diagramme est un trapèze entièrement du côté positif. C'est le cas idéal pour une fondation.
- **Section partiellement tendue :** Le diagramme croise l'axe 0. Il y a une zone triangulaire de traction. Le béton fissure.

Remarque Pédagogique

Dans une fondation profonde (pieu ou barrette), on tolère généralement très peu de traction car on ne peut pas inspecter les fissures à 30m de profondeur ! La durabilité des armatures serait compromise par l'eau du sol.

Normes

Critères typiques (simplifiés) :
1. **Non-traction :** \(\sigma_{\text{min}} \geq 0\) (Pas de décollement du sol, pas de fissure ouverte).
2. **Non-écrasement :** \(\sigma_{\text{max}} \leq 0.6 f_{\text{ck}}\) (Pour un béton C30/37, \(\approx 18 \text{ MPa}\)).

Formule(s)

Critère de validation

\sigma_{\text{min}} > 0

Hypothèses

On suppose que le béton ne reprend aucune traction. Si \(\sigma_{\text{min}} < 0\), le calcul élastique précédent devient faux dans la zone tendue.

Donnée(s)

Fibre	Contrainte Calculée	Limite (Exemple C30)	Statut
Supérieure	+3.71 \( \text{MPa} \)	18.0 \( \text{MPa} \) (ELS)	✅ OK (Très large)
Inférieure	+1.11 \( \text{MPa} \)	0 \( \text{MPa} \) (Pas de traction)	✅ OK

Astuces

Tant que l'excentricité de la charge \(e = M/N\) reste faible (on dit qu'elle reste dans le "noyau central"), la section reste entièrement comprimée. Ici \(e = 4/12 = 0.33 \text{ m}\), ce qui est faible devant la hauteur de 3.8m.

Calcul(s) de vérification

Le critère de validation est simple : la contrainte minimale (la plus défavorable) doit rester positive pour éviter toute fissuration du béton non armé. Comparons notre résultat :

\begin{aligned} \sigma_{\text{min}} &= 1.11 \text{ MPa} \\ 1.11 &> 0 \end{aligned}

La condition est respectée.

Schéma (Validation Visuelle)

Réflexions

La marge de sécurité vis-à-vis de la traction est confortable (1.11 MPa). On pourrait théoriquement augmenter le moment fléchissant sans risquer la fissuration immédiate. De plus, la contrainte maximale (3.71 MPa) est très faible par rapport à la capacité du béton (souvent 30 MPa à la rupture). La barrette est donc surdimensionnée en compression pure, mais dimensionnée par la géotechnique (frottement sol).

Points de vigilance

Attention : ce calcul est statique. Si le sol environnant bouge (séisme, terrassement voisin), le moment \(M\) peut augmenter drastiquement et inverser la situation, créant de la traction.

Points à Retenir

Un diagramme "tout bleu" (compression) est l'objectif pour une fondation.
La sécurité n'est pas seulement de ne pas casser, mais aussi de ne pas s'ouvrir (fissurer).

Le saviez-vous ?

Les barrettes sont souvent coulées avec un béton "plastique" très fluide pour bien remplir la forme complexe dans le sol, ce qui demande une vérification stricte de la qualité car trop d'eau affaiblit le béton.

FAQ

Et si j'avais trouvé \(\sigma_{\text{min}} = -2 \text{ MPa}\) ?

Il aurait fallu :
1. Recalculer la section en "section fissurée" (en négligeant le béton tendu).
2. Calculer la contrainte dans les aciers \( \sigma_s \).
3. Vérifier l'ouverture des fissures selon l'Eurocode 2.

Conclusion : La section est valide (Entièrement Comprimée).

A vous de jouer
Si \(\sigma_{\text{min}}\) était de -0.5 MPa (légère traction), quelle serait la solution la plus simple sur chantier sans changer les dimensions ?

📝 Mémo
Pas de traction = Pas de problèmes de fissuration = Durabilité assurée.

Schéma Bilan de l'Exercice

Répartition trapézoïdale des contraintes le long de la hauteur de la section.

📝 Grand Mémo : Barrette en T

Points clés pour le dimensionnement :

📐
Géométrie : Toujours décomposer la section complexe en rectangles simples pour calculer \(G\) et \(I\). Ne pas se tromper d'origine des axes.
🔄
Huygens : Ne pas oublier le terme de transport \(S \cdot d^2\). C'est souvent le terme prépondérant pour l'inertie !
📉
Contraintes : \(\sigma = N/S \pm Mv/I\). Une section entièrement comprimée est idéale. Si \(\sigma_{\text{min}} < 0\), le béton fissure et il faut ferrailler.

🎛️ Simulateur de Contraintes

Modifiez l'effort normal et le moment pour voir si la section passe en traction (zone rouge sur le graphique).

Paramètres de Chargement

Effort Normal N (MN) : 12

Moment M (MN.m) : 4

Contrainte Max (Comp.) : -

Contrainte Min : -

📝 Quiz Géotechnique

1. Pourquoi utilise-t-on une forme en T ou en L pour une barrette au lieu d'un rectangle simple ?

Pour économiser du béton uniquement.
Pour augmenter l'inertie et mieux résister à la flexion dans une direction donnée.
Pour faciliter le forage à la benne preneuse.

2. Si la contrainte minimale \(\sigma_{\text{min}}\) devient négative, que cela signifie-t-il concrètement ?

Il y a de la traction dans le béton, ce qui entraîne un risque de fissuration.
La section est trop comprimée, il y a un risque d'écrasement du béton.

📚 Glossaire

Barrette: Pieu foré de section non circulaire (rectangulaire, T, L, croix), réalisé avec les outils de paroi moulée (benne).
Benne Preneuse: Outil d'excavation à mâchoires utilisé pour creuser la tranchée de la barrette dans le sol.
Inertie (I): Grandeur géométrique (\(m^4\)) qui caractérise la résistance d'une section à la déformation (flexion). Plus I est grand, plus la structure est rigide.
Axe Neutre: Ligne imaginaire dans la section où la contrainte normale est nulle (passage de la zone comprimée à la zone tendue).
Eurocode 2: Normes européennes de conception et de calcul des ouvrages en béton.

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À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Géométrie et Chargement

Coupe Transversale de la Barrette en T

Questions à traiter

Rappels de Résistance des Matériaux

Correction : Calcul de Répartition des Efforts

Question 1 : Position du Centre de Gravité

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Décomposition en S1 et S2

Calcul(s)

1. Calcul du moment statique

2. Calcul de l'aire totale

3. Calcul Final

Schéma (Résultat)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Moment d'Inertie \(I_{xx}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Visualisation des distances de transport d

Calcul(s)

1. Inertie de la Table (S1)

2. Inertie de l'Âme (S2)

3. Somme Totale

Schéma (Contribution à l'inertie)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul des Contraintes

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Diagramme des efforts appliqués

Calcul(s)

1. Contrainte due à l'Effort Normal (Terme Constant)

2. Contrainte due à la Flexion seule (Fibre Supérieure)

3. Contrainte due à la Flexion seule (Fibre Inférieure)

4. Superposition (Contraintes Totales)

Schéma (Diagramme final des contraintes)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Vérification et Conclusion

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s) de vérification