Calcul des Poussées des Terres selon Coulomb
Comprendre la Poussée des Terres dans des Conditions Complexes
La théorie de Charles-Augustin de Coulomb (1776) est plus générale que celle de Rankine. Elle permet de calculer la poussée des terres en considérant un coin de sol triangulaire qui glisse le long d'une surface de rupture plane. Cette méthode a l'avantage de pouvoir intégrer l'inclinaison du mur (\(\theta\)), l'inclinaison du remblai (\(\beta\)) et le frottement entre le sol et le mur (\(\delta\)). Elle est donc plus polyvalente pour analyser des cas de figure plus proches de la réalité.
Remarque Pédagogique : La formule de Coulomb peut sembler intimidante, mais elle repose sur l'équilibre des forces agissant sur le coin de sol supposé être en rupture. La poussée est alors inclinée d'un angle \(\delta\) par rapport à la normale au dos du mur. Dans cet exercice, nous nous concentrerons sur le calcul du coefficient de poussée active \(K_a\).
Données de l'étude
On étudie un mur-poids de 5 mètres de haut, dont le parement intérieur est incliné. Il retient un remblai sableux dont la surface forme un talus.
Caractéristiques géométriques et du sol :
- Hauteur verticale du mur (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
- Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
- Angle de frottement interneParamètre qui décrit la résistance au cisaillement d'un sol due à la friction entre ses grains. Plus l'angle est élevé, plus le sol est résistant. (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
- Angle de frottement mur-solAngle qui caractérise la friction entre le matériau du mur (béton, acier...) et le sol. Il est souvent pris entre (1/2)ϕ' et (2/3)ϕ'. (\(\delta\)) : \(20^\circ\)
- Inclinaison du dos du murAngle du parement intérieur du mur par rapport à la verticale. Un mur vertical a un angle θ = 90°. (\(\theta\)) : \(95^\circ\) (légèrement incliné vers le remblai)
- Inclinaison du talusAngle de la surface du remblai par rapport à l'horizontale. (\(\beta\)) : \(10^\circ\)
Schéma du Mur de Coulomb
Questions à traiter
- Calculer le coefficient de poussée active de Coulomb (\(K_a\)).
- Calculer la force de poussée active totale (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
- Déterminer l'inclinaison de la force de poussée et ses composantes horizontale et verticale.
Correction : Calcul de la Poussée selon Coulomb
Question 1 : Coefficient de Poussée Active de Coulomb (\(K_a\))
Principe :
Le coefficient \(K_a\) de Coulomb est déterminé par une formule complexe qui prend en compte tous les angles : l'angle de frottement du sol \(\phi'\), le frottement mur-sol \(\delta\), l'inclinaison du mur \(\theta\) et l'inclinaison du talus \(\beta\). La formule est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des produits de sinus et de racines carrées.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le calcul manuel de cette formule est fastidieux et source d'erreurs. Il est essentiel de faire attention aux signes des angles et d'utiliser une calculatrice en mode degrés. Heureusement, cette formule est souvent implémentée dans des logiciels de calcul ou des feuilles de calcul préprogrammées.
Formule(s) utilisée(s) :
Données(s) :
- \(\phi' = 32^\circ\)
- \(\delta = 20^\circ\)
- \(\theta = 95^\circ\)
- \(\beta = 10^\circ\)
Calcul(s) :
1. Calcul des termes angulaires :
2. Calcul du terme sous la racine :
3. Calcul de \(K_a\) :
Question 2 : Force de Poussée Active Totale (\(P_a\))
Principe :
La force totale de poussée est calculée en considérant un diagramme de contraintes triangulaire agissant sur la hauteur verticale H du mur. La force est l'aire de ce diagramme. Elle s'applique au tiers inférieur de la hauteur verticale du mur.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La force de poussée augmente avec le carré de la hauteur. Un mur deux fois plus haut subit une poussée quatre fois plus grande ! C'est pourquoi les grands ouvrages de soutènement représentent un défi d'ingénierie majeur.
Formule(s) utilisée(s) :
Données(s) :
- \(K_a = 0.272\)
- \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
- \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Test de Compréhension : Si le frottement mur-sol \(\delta\) augmentait, la valeur de \(K_a\) (et donc de \(P_a\)) aurait tendance à :
Question 3 : Inclinaison et Composantes de la Force de Poussée
Principe :
Une des particularités de la méthode de Coulomb est que la force de poussée \(P_a\) n'est pas horizontale. Elle est inclinée d'un angle \(\delta\) par rapport à la normale au dos du mur. On la décompose donc en une composante horizontale (\(P_{ah}\)) et une composante verticale (\(P_{av}\)), qui seront utilisées dans les calculs de stabilité du mur.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La composante verticale \(P_{av}\) est une force stabilisatrice. Elle s'ajoute au poids du mur, augmentant la résistance au glissement à sa base. Un frottement mur-sol élevé est donc bénéfique pour la stabilité globale de l'ouvrage.
Calcul(s) :
1. Angle de la poussée par rapport à l'horizontale :
La poussée est inclinée de \(\delta = 20^\circ\) par rapport à la normale du mur. La normale est à \(95^\circ-90^\circ=5^\circ\) de l'horizontale. L'angle total avec l'horizontale est donc \(20^\circ+5^\circ=25^\circ\).
2. Décomposition de la force \(P_a\) :
Test de Compréhension : La composante verticale de la poussée, \(P_{av}\), aide à...
Tableau Récapitulatif Interactif
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Coefficient de poussée active (\(K_a\)) | Cliquez pour révéler |
| Force de Poussée Active Totale (\(P_{a}\)) | Cliquez pour révéler |
| Composante Horizontale (\(P_{ah}\)) | Cliquez pour révéler |
| Composante Verticale (\(P_{av}\)) | Cliquez pour révéler |
À vous de jouer ! (Défi)
Nouveau Scénario : Le frottement mur-sol est plus faible, avec \(\delta = 15^\circ\). Recalculez la force de poussée totale \(P_a\) pour ce nouveau sol (en gardant les autres paramètres identiques). Entrez votre réponse en kN/m, arrondie à une décimale.
Pièges à Éviter
Unités d'angles : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode DEGRÉS pour tous les calculs trigonométriques. Une erreur de mode (radians vs degrés) est très fréquente.
Hauteur du mur : La force \(P_a\) est proportionnelle au carré de la hauteur verticale \(H\), et non à la longueur inclinée du parement du mur.
Simplification abusive : N'utilisez pas la formule de Rankine (\(K_a = \tan^2(45-\phi'/2)\)) lorsque les conditions de Coulomb (mur incliné, talus, frottement \(\delta\)) sont présentes. Cela mènerait à une sous-estimation ou sur-estimation importante de la poussée.
Simulation Interactive de la Poussée
Variez les angles pour observer leur influence sur le coefficient de poussée et la force résultante.
Paramètres de Simulation
Résultats de la Simulation (\(H=5\text{m}, \theta=95^\circ\))
Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion
1. Butée selon Coulomb :
Il existe une formule symétrique pour calculer le coefficient de butée passive de Coulomb, \(K_p\). Elle est encore plus sensible aux angles que \(K_a\). Le calcul de la butée est essentiel pour vérifier la stabilité au glissement de la base du mur.
2. Poussée sismique :
En zone sismique, des accélérations horizontales et verticales s'ajoutent aux forces de gravité. La méthode de Mononobe-Okabe, une extension de la théorie de Coulomb, permet de calculer la poussée dynamique additionnelle générée par un séisme, qui peut être très significative.
3. Surcharges sur le remblai :
Si des charges (comme une route, un stock de matériaux...) sont appliquées sur la surface du remblai derrière le mur, elles créent une poussée supplémentaire. Cette poussée, souvent de forme rectangulaire, s'ajoute au diagramme triangulaire de la poussée des terres.
Le Saviez-Vous ?
Les Incas étaient des maîtres de la construction de murs de soutènement en pierre sèche. Leurs murs en terrasses, que l'on voit au Machu Picchu, ne sont pas seulement esthétiques. Ils sont inclinés vers l'arrière (\(\theta > 90^\circ\)) et le remblai est soigneusement drainé avec des couches de gravier. Ces deux techniques, modélisables par la théorie de Coulomb, réduisent drastiquement la poussée des terres et de l'eau, assurant leur stabilité sur des siècles sans mortier.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la poussée de Coulomb est-elle inclinée ?
Lorsque le mur se déplace, le sol "glisse" le long de son parement. Si le mur est rugueux, cette friction (\(\delta\)) s'oppose au mouvement relatif du sol. Cette force de friction, combinée à la réaction normale, donne une force de poussée résultante qui est inclinée par rapport à la normale au mur.
Quelle valeur prendre pour le frottement mur-sol \(\delta\) ?
La valeur de \(\delta\) dépend de la rugosité du mur et de la nature du sol. Pour un mur en béton coulé en place contre un remblai granulaire, on prend souvent \(\delta \approx (2/3)\phi'\). Pour un mur plus lisse (préfabriqué, en acier), on peut prendre \(\delta \approx (1/2)\phi'\). Dans le doute, prendre \(\delta = 0\) est une hypothèse conservatrice qui ramène au cas de Rankine (si le mur est vertical et le talus horizontal).
La méthode est-elle toujours valide ?
La méthode de Coulomb, comme celle de Rankine, suppose que le sol est homogène et que la surface de rupture est un plan. En réalité, la surface de rupture est légèrement courbe. Pour la poussée active, l'erreur est faible et acceptable. Pour la butée passive, surtout avec un grand angle de frottement mur-sol, l'erreur peut être plus importante, et la méthode de Coulomb peut surestimer la résistance. Des méthodes plus avancées (log-spiral) sont parfois utilisées.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lequel de ces paramètres n'est PAS pris en compte par la théorie de Rankine, mais l'est par celle de Coulomb ?
2. Un talus montant derrière un mur (\(\beta > 0\)) a pour effet de :
Glossaire
- Angle de frottement mur-sol (\(\delta\))
- Angle qui caractérise la friction entre le matériau du mur (béton, acier...) et le sol. Il est souvent pris entre (1/2)\(\phi'\) et (2/3)\(\phi'\).
- Inclinaison du dos du mur (\(\theta\))
- Angle du parement intérieur du mur (côté sol) par rapport à la verticale. Un mur parfaitement vertical a un angle \(\theta = 90^\circ\).
- Inclinaison du talus (\(\beta\))
- Angle de la surface du remblai derrière le mur par rapport à l'horizontale.
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