Calcul des Poussées des Terres selon Rankine

Calcul de la Poussée des Terres (Rankine)

Calcul des Poussées des Terres selon Rankine

Comprendre la Poussée des Terres sur les Ouvrages de Soutènement

Lorsqu'un ouvrage de soutènement (comme un mur) retient une masse de sol, celle-ci exerce une poussée latérale sur l'ouvrage. La théorie de William Rankine (1857) est une méthode classique pour évaluer cette poussée. Elle suppose que le mur est vertical, sans frottement avec le sol, et que le remblai est horizontal. Rankine définit deux états d'équilibre plastique du sol : l'état de **poussée active**, où le mur s'éloigne légèrement du sol, minimisant la poussée, et l'état de **butée passive**, où le mur est poussé contre le sol, qui développe alors sa résistance maximale.

Remarque Pédagogique : En pratique, un mur de soutènement est presque toujours dimensionné pour résister à la poussée active, car les faibles déplacements nécessaires à sa mobilisation sont acceptables. La résistance de butée, qui nécessite de grands déplacements, n'est mobilisée que dans des cas spécifiques (par exemple, à la base d'un mur pour assurer sa stabilité au glissement).

Données de l'étude

On étudie un mur de soutènement vertical à parement lisse de 6 mètres de haut. Il retient un massif de sable sec et homogène dont la surface est horizontale.

Caractéristiques du mur et du sol :

Hauteur du mur (\(H\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interneParamètre qui décrit la résistance au cisaillement d'un sol due à la friction entre ses grains. Plus l'angle est élevé, plus le sol est résistant. du sable (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Cohésion du sable (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\)

Schéma du Mur de Soutènement

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée active (\(K_a\)) et le coefficient de butée passive (\(K_p\)).
Déterminer et dessiner le diagramme de la contrainte de poussée active sur le mur.
Calculer la force de poussée active totale (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur et son point d'application.
Déterminer et dessiner le diagramme de la contrainte de butée passive. Calculer la force de butée passive totale (\(P_p\)) et son point d'application.

Correction : Calcul des Poussées des Terres selon Rankine

Question 1 : Coefficients de Poussée (\(K_a\)) et de Butée (\(K_p\))

Principe :

Les coefficients \(K_a\) et \(K_p\) transforment la contrainte verticale du sol en contrainte horizontale. Ils ne dépendent que de l'angle de frottement interne \(\phi'\). \(K_a\) est toujours inférieur à 1 (le sol "pousse" moins qu'il ne pèse verticalement), tandis que \(K_p\) est toujours supérieur à 1 (le sol peut résister à une grande force horizontale avant de rompre).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Notez que \(K_p = 1/K_a\). Cette relation simple est une caractéristique fondamentale de la théorie de Rankine pour un sol sans cohésion. Mémoriser une seule des deux formules suffit donc à retrouver l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \quad ; \quad K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)

Données(s) :

Angle de frottement (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) = \tan^2(30^\circ) \approx 0.333 \\ K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) = \tan^2(60^\circ) = 3.0 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les coefficients sont \(K_a \approx 0.333\) et \(K_p = 3.0\).

Test de Compréhension : Si l'angle de frottement du sol augmente, le coefficient de poussée active \(K_a\)...

...augmente.
...diminue.
...reste identique.

Question 2 : Diagramme de Poussée Active

Principe :

La contrainte verticale dans le sol à une profondeur \(z\) est \(\sigma_v = \gamma z\). La contrainte de poussée active horizontale est \(\sigma_a = K_a \sigma_v\). Comme la contrainte verticale augmente linéairement avec la profondeur, la contrainte horizontale suit la même loi. Le diagramme des contraintes de poussée active est donc un triangle, nul en surface et maximal à la base du mur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La forme triangulaire est fondamentale. Elle nous indique que la majorité de l'effort s'applique sur le tiers inférieur du mur. C'est pourquoi les murs de soutènement sont souvent beaucoup plus épais à leur base qu'à leur sommet.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_a(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z

Calcul(s) et Diagramme :

Calcul de la contrainte à la base du mur (z = H) :

\begin{aligned} \sigma_a(H) &= K_a \cdot \gamma \cdot H \\ &= 0.333 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 6 \, \text{m} \\ &= 36 \, \text{kPa} \end{aligned}

Diagramme de la Poussée Active

Résultat Question 2 : Le diagramme des contraintes actives est un triangle, avec une valeur de 0 kPa en surface (z=0) et de 36 kPa à la base du mur (z=6m).

Question 3 : Force de Poussée Active (\(P_a\)) et Point d'Application

Principe :

La force totale de poussée, \(P_a\), est l'aire du diagramme des contraintes. Pour un diagramme triangulaire, cette aire est simple à calculer. Le point d'application de cette résultante se situe au centre de gravité du triangle, c'est-à-dire à un tiers de la hauteur en partant de la base.

Formule(s) utilisée(s) :

P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \quad ; \quad \text{Application à } \frac{H}{3} \text{ de la base}

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 0.333 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (6 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 36 \, \text{kPa} \times 6 \, \text{m} \\ &= 108 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Point d'application (depuis la base) :

z_a = \frac{H}{3} = \frac{6 \, \text{m}}{3} = 2 \, \text{m}

Résultat Question 3 : La force de poussée active est \(P_a = 108 \, \text{kN}\) par mètre linéaire, appliquée à 2 m au-dessus de la base du mur.

Test de Compréhension : Si la hauteur du mur \(H\) est doublée, la force de poussée totale \(P_a\) est multipliée par...

...4.
...2.
...8.

Question 4 : Force de Butée Passive (\(P_p\)) et Diagramme

Principe :

Le calcul pour la butée passive est symétrique à celui de la poussée. La contrainte de butée \(\sigma_p = K_p \sigma_v\) est également triangulaire. La force résultante \(P_p\) est l'aire de ce nouveau triangle, et elle s'applique aussi à H/3 de la base.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Comparez la valeur de \(P_p\) à celle de \(P_a\). La résistance passive du sol est bien plus grande que la poussée active qu'il exerce. C'est ce "super-pouvoir" du sol qui est utilisé pour stabiliser les ouvrages en s'ancrant dedans (par exemple, la base d'un mur ou des rideaux de palplanches).

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_p(z) = K_p \cdot \gamma \cdot z \quad ; \quad P_p = \frac{1}{2} K_p \gamma H^2

Calcul(s) et Diagramme :

1. Contrainte de butée à la base :

\begin{aligned} \sigma_p(H) &= K_p \cdot \gamma \cdot H \\ &= 3.0 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 6 \, \text{m} \\ &= 324 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Force de butée totale :

\begin{aligned} P_p &= \frac{1}{2} \times \sigma_p(H) \times H \\ &= \frac{1}{2} \times 324 \, \text{kPa} \times 6 \, \text{m} \\ &= 972 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Diagramme de la Butée Passive

Résultat Question 4 : La force de butée passive est \(P_p = 972 \, \text{kN}\) par mètre linéaire, appliquée à 2 m de la base.

Tableau Récapitulatif Interactif

Paramètre	Valeur Calculée
Coefficient de poussée active (\(K_a\))	Cliquez pour révéler
Coefficient de butée passive (\(K_p\))	Cliquez pour révéler
Force de Poussée Active (\(P_{a}\))	Cliquez pour révéler
Force de Butée Passive (\(P_{p}\))	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Le sable est en réalité plus dense, avec un angle de frottement \(\phi' = 35^\circ\). Recalculez la force de poussée active totale \(P_a\) pour ce nouveau sol (en gardant H=6m et \(\gamma=18 \text{ kN/m}^3\)). Entrez votre réponse en kN/m, arrondie à l'entier le plus proche.

\(P_{a}\) (en kN/m) =

Pièges à Éviter

Inverser \(K_a\) et \(K_p\) : Une erreur classique est d'utiliser \(K_p\) pour calculer la poussée. Rappelez-vous que la poussée est l'état "minimal" (\(K_a < 1\)), la butée est l'état "maximal" (\(K_p > 1\)).

Point d'application : La force résultante pour un diagramme triangulaire s'applique toujours à H/3 de la base (ou 2H/3 du sommet), jamais au milieu de la hauteur.

Unités : La force de poussée ou de butée est une force par mètre linéaire de mur, son unité est donc le kN/m (et non kN).

Simulation Interactive des Forces

Variez les paramètres pour observer l'impact sur les forces de poussée et de butée.

Paramètres de Simulation

Angle de frottement (\(\phi'\)): 30°

Hauteur du mur (H): 6.0 m

Résultats de la Simulation (par ml)

Poussée Active (\(P_a\))

Butée Passive (\(P_p\))

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Et si le remblai était incliné ?

Si la surface du remblai est inclinée d'un angle \(\beta\), les formules de Rankine se complexifient. La poussée n'est plus horizontale mais s'exerce parallèlement à la pente du remblai. Les coefficients \(K_a\) et \(K_p\) dépendent alors de \(\phi'\) et de \(\beta\).

2. Et s'il y avait une nappe phréatique ?

La présence d'eau change tout. Il faut décomposer le calcul : utiliser le poids volumique total \(\gamma\) pour la partie du sol au-dessus de la nappe, et le poids volumique déjaugé \(\gamma'\) pour la partie immergée. De plus, il faut ajouter la poussée hydrostatique (diagramme triangulaire de l'eau) à la poussée des terres.

3. Différence avec la théorie de Coulomb

La théorie de Coulomb est plus générale que celle de Rankine. Elle prend en compte le frottement entre le mur et le sol (angle \(\delta\)) et peut s'appliquer à des murs non verticaux. Elle donne généralement des résultats un peu plus réalistes (et plus faibles pour la poussée active) mais les calculs sont plus complexes.

Le Saviez-Vous ?

Les Incas étaient des maîtres de la construction de murs de soutènement en pierre sèche. Leurs murs en terrasses, que l'on voit au Machu Picchu, ne sont pas seulement esthétiques. Ils sont inclinés vers l'arrière et le remblai est soigneusement drainé avec des couches de gravier, deux techniques très efficaces pour réduire la poussée des terres et de l'eau, assurant leur stabilité sur des siècles sans mortier.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la théorie de Rankine suppose-t-elle un mur "lisse" ?

L'hypothèse d'un mur lisse (sans frottement) simplifie grandement les équations. Elle implique que la poussée est purement horizontale. En réalité, il y a toujours un frottement, ce qui fait que la poussée est légèrement inclinée. Pour la poussée active, ignorer ce frottement est conservateur (on surestime légèrement la force), ce qui est acceptable en conception.

À quel type de déplacement du mur correspondent les états actif et passif ?

L'état actif est atteint pour un très faible déplacement du mur vers l'extérieur (environ 0.1% à 0.5% de sa hauteur). L'état passif, en revanche, nécessite un déplacement beaucoup plus grand du mur vers l'intérieur du sol (environ 2% à 5% de sa hauteur) pour être pleinement mobilisé.

Cette méthode s'applique-t-elle aux argiles ?

Oui, mais avec des modifications. Pour une argile en conditions non drainées, on utilise une analyse avec une cohésion non drainée \(c_u\) et \(\phi_u=0\). Cela change les formules de \(K_a\) et \(K_p\) (qui valent alors 1.0) et introduit des termes de cohésion négatifs (pour la poussée) et positifs (pour la butée), ce qui peut mener à des zones de tension (poussée nulle) en haut du mur.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans la théorie de Rankine, la force de poussée active totale \(P_a\) sur un mur de hauteur H est proportionnelle à :

\(H\)
\(H^2\)
\(H^3\)

2. La résistance en butée d'un sol est :

Toujours égale à la poussée active.
Généralement plus faible que la poussée active.
Généralement beaucoup plus grande que la poussée active.

Glossaire

Coefficient de poussée active (\(K_a\)): Coefficient sans dimension utilisé pour calculer la contrainte horizontale minimale exercée par un sol sur un ouvrage de soutènement lorsque celui-ci peut se déplacer vers l'extérieur.
Coefficient de butée passive (\(K_p\)): Coefficient sans dimension utilisé pour calculer la contrainte horizontale maximale qu'un sol peut supporter lorsqu'il est comprimé par un ouvrage de soutènement qui se déplace vers lui.
Poussée des terres: Force latérale exercée par une masse de sol contre un ouvrage. L'état "actif" (poussée) est l'état de contrainte minimale.
Butée des terres: Réaction latérale d'une masse de sol qui résiste au déplacement d'un ouvrage vers elle. L'état "passif" (butée) est l'état de contrainte maximale.

Calcul des Poussées des Terres selon Rankine

Données de l'étude

Schéma du Mur de Soutènement

Questions à traiter

Correction : Calcul des Poussées des Terres selon Rankine

Question 1 : Coefficients de Poussée (\(K_a\)) et de Butée (\(K_p\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Diagramme de Poussée Active

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) et Diagramme :

Diagramme de la Poussée Active

Question 3 : Force de Poussée Active (\(P_a\)) et Point d'Application

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Force de Butée Passive (\(P_p\)) et Diagramme

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) et Diagramme :

Diagramme de la Butée Passive

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

Simulation Interactive des Forces

Paramètres de Simulation

Résultats de la Simulation (par ml)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Le Saviez-Vous ?

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Glossaire

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