Calcul du chemin des contraintes

Mécanique des Sols : Chemin des Contraintes (Chargement Drainé)

Calcul du chemin des contraintes pour un chargement drainé

Contexte : Visualiser la Vie d'un Sol sous Charge

En mécanique des sols, un "chemin des contraintes" est une représentation graphique de l'évolution des contraintes au sein d'un échantillon de sol lorsqu'il est soumis à un chargement. C'est un outil essentiel pour comprendre et prédire le comportement du sol, notamment sa déformation et sa rupture. Dans un essai triaxial drainéEssai de laboratoire où un échantillon de sol est confiné par une pression (σ₃) puis chargé axialement (σ₁). En conditions drainées, la pression de l'eau interstitielle (u) peut se dissiper, donc u=0., on laisse l'eau s'échapper du sol pendant le chargement. Ainsi, la pression interstitielle reste nulle et les contraintes appliquées sont entièrement supportées par le squelette solide du sol. Cet exercice a pour but de tracer ce chemin et de le comparer au critère de rupture du sol.

Remarque Pédagogique : Le concept de chemin des contraintes permet de passer d'une vision statique (un seul état de contrainte) à une vision dynamique (l'historique du chargement). C'est fondamental pour analyser la stabilité des ouvrages géotechniques comme les fondations, les talus ou les barrages.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer les invariants de contrainte \(p'\) (contrainte moyenne effective) et \(q\) (déviateur des contraintes).
Comprendre la différence entre contraintes totales et contraintes effectives.
Tracer un chemin des contraintes dans le plan (\(p', q\)) pour un essai triaxial drainé.
Définir et appliquer le critère de Mohr-CoulombModèle mathématique qui décrit la résistance au cisaillement des sols. La rupture se produit lorsque le cisaillement atteint une valeur limite dépendant de la cohésion (c') et de l'angle de frottement (φ'). pour déterminer la rupture du sol.
Visualiser la relation entre le chemin des contraintes et la droite de rupture.

Données de l'étude

Un échantillon de sable est testé dans un appareil triaxial en conditions drainées. L'échantillon est d'abord consolidé sous une pression de confinement isotrope \(\sigma'_3 = 100 \, \text{kPa}\). Ensuite, on augmente la contrainte axiale \(\sigma_1\) tout en maintenant \(\sigma_3\) constante, jusqu'à la rupture.

Schéma de l'Essai Triaxial

Propriétés du sol :

Angle de frottement effectif : \(\phi' = 30^\circ\)
Cohésion effective : \(c' = 0 \, \text{kPa}\)

Questions à traiter

Calculer les invariants de contrainte \(p'\) et \(q\) à la fin de la phase de consolidation (avant l'application du déviateur).
Déterminer la contrainte déviatorique à la rupture, \(q_{\text{rup}}\).
Calculer les contraintes principales effectives \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) à la rupture.
Tracer le chemin des contraintes totales (CCT) et le chemin des contraintes effectives (CCE) dans le plan (\(p', q\)).

Correction : Calcul du chemin des contraintes

Question 1 : Invariants après Consolidation

Principe :

À la fin de la consolidation, le chargement est isotrope, ce qui signifie que les contraintes dans toutes les directions sont égales. La pression interstitielle \(u\) est nulle car l'essai est drainé. Le déviateur des contraintes, qui mesure l'écart à l'isotropie, est donc nul.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette première étape représente l'état de contrainte initial du sol en profondeur, avant qu'un nouvel ouvrage (comme une fondation) ne vienne ajouter des charges. C'est le point de départ de notre analyse.

Formule(s) utilisée(s) :

p' = \frac{\sigma'_1 + 2\sigma'_3}{3}

q = \sigma_1 - \sigma_3

Donnée(s) :

État isotrope : \(\sigma'_1 = \sigma'_3 = 100 \, \text{kPa}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} p' &= \frac{100 + 2 \times 100}{3} \\ &= \frac{300}{3} \\ &= 100 \, \text{kPa} \end{aligned}

\begin{aligned} q &= \sigma_1 - \sigma_3 \\ &= 100 - 100 \\ &= 0 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Contraintes effectives vs totales : En conditions drainées, la pression interstitielle \(u\) est nulle. Donc, les contraintes effectives (\(\sigma'\)) sont égales aux contraintes totales (\(\sigma\)). Attention, ce n'est pas le cas en conditions non drainées !

Le saviez-vous ?

Résultat : Le point de départ du chemin des contraintes est (\(p' = 100 \, \text{kPa}\), \(q = 0 \, \text{kPa}\)).

Question 2 : Déviateur des Contraintes à la Rupture

Principe :

La rupture se produit lorsque le chemin des contraintes, qui représente l'évolution de l'état du sol, intercepte la droite de rupture de Mohr-Coulomb. Cette droite définit la limite de résistance du sol.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La rupture n'est pas un point unique, mais une ligne de possibilités. En trouvant l'intersection entre le "chemin" suivi par le sol et la "frontière" de sa résistance, on peut prédire exactement à quel moment et sous quelle charge il va céder.

Formule(s) utilisée(s) :

Droite de rupture de Mohr-Coulomb :

q = p' \sin\phi' + c' \cos\phi'

Chemin des contraintes effectives (CCE) pour un essai drainé :

q = 3(p' - \sigma'_3) \Rightarrow p' = \frac{q}{3} + \sigma'_3

Donnée(s) :

Pression de confinement \(\sigma'_3 = 100 \, \text{kPa}\)
Angle de frottement \(\phi' = 30^\circ\)
Cohésion \(c' = 0 \, \text{kPa}\)

Calcul(s) :

On substitue l'expression de \(p'_{\text{rup}}\) dans l'équation de Mohr-Coulomb :

\begin{aligned} q_{\text{rup}} &= \left(\frac{q_{\text{rup}}}{3} + \sigma'_3\right) \sin\phi' + c' \cos\phi' \\ q_{\text{rup}} \left(1 - \frac{\sin\phi'}{3}\right) &= \sigma'_3 \sin\phi' + c' \cos\phi' \\ q_{\text{rup}} &= \frac{\sigma'_3 \sin\phi' + c' \cos\phi'}{1 - \frac{1}{3}\sin\phi'} \end{aligned}

Avec les données de l'exercice (\(c' = 0\)) :

\begin{aligned} q_{\text{rup}} &= \frac{100 \times \sin(30^\circ)}{1 - \frac{1}{3}\sin(30^\circ)} \\ &= \frac{100 \times 0.5}{1 - \frac{0.5}{3}} \\ &= \frac{50}{1 - 0.1667} \\ &= \frac{50}{0.8333} \\ &\approx 60 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Angles en degrés ou radians : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" pour calculer sin(30°). Une erreur courante est d'utiliser des radians, ce qui donnerait un résultat complètement faux.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le déviateur des contraintes à la rupture est \(q_{\text{rup}} \approx 60 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Contraintes Principales à la Rupture

Principe :

Connaissant le déviateur à la rupture \(q_{\text{rup}}\), qui est la différence entre la contrainte axiale et la contrainte de confinement, on peut en déduire la contrainte principale majeure \(\sigma'_1\) à la rupture. La contrainte mineure \(\sigma'_3\) reste constante durant cette phase de l'essai.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est cette contrainte axiale \(\sigma'_1\) qui représente la charge maximale que le sol peut supporter dans ces conditions de confinement avant de "casser". C'est une valeur cruciale pour le dimensionnement des fondations.

Formule(s) utilisée(s) :

q = \sigma'_1 - \sigma'_3 \Rightarrow \sigma'_1 = q + \sigma'_3

Donnée(s) :

Déviateur à la rupture \(q_{\text{rup}} = 60 \, \text{kPa}\)
Contrainte de confinement \(\sigma'_{3} = 100 \, \text{kPa}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \sigma'_{\text{1,rup}} &= q_{\text{rup}} + \sigma'_{3} \\ &= 60 + 100 \\ &= 160 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ne pas confondre q et \(\sigma'_1\): Le déviateur \(q\) n'est pas la contrainte axiale, mais l'augmentation de la contrainte axiale par rapport à la contrainte de confinement. Il faut toujours l'ajouter à \(\sigma'_3\) pour obtenir \(\sigma'_1\).

Le saviez-vous ?

Résultat : À la rupture, \(\sigma'_{\text{1,rup}} = 160 \, \text{kPa}\) et \(\sigma'_{\text{3,rup}} = 100 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Tracé du Chemin des Contraintes

Principe :

Le chemin des contraintes totales (CCT) et le chemin des contraintes effectives (CCE) sont tracés dans le plan (p, q). Pour un essai drainé, la pression interstitielle \(u\) est nulle à tout moment. Puisque \(p = p' + u\), on a \(p=p'\). Les deux chemins sont donc identiques et se superposent.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le graphique est la synthèse de tout l'exercice. Il montre d'où part le sol (point A), le chemin qu'il emprunte sous la charge (la droite unique représentant CCE et CCT), et où il casse (point B, à l'intersection avec la frontière de rupture). C'est un outil de visualisation extrêmement puissant.

Formule(s) utilisée(s) :

Les chemins sont des droites entre le point A et le point B.

\text{CCE: } A = (p'_{\text{initial}}, q_{\text{initial}}) = (100, 0); \quad B = (p'_{\text{rup}}, q_{\text{rup}}) = (120, 60)

\text{CCT: } p = p' + u; \quad \text{Comme } u=0, p=p'. \text{ Le CCT est identique au CCE.}

Donnée(s) :

Point initial A: \(p' = p = 100 \, \text{kPa}, q = 0 \, \text{kPa}\)
Point final B: \(p' = p \approx 120 \, \text{kPa}, q \approx 60 \, \text{kPa}\)

Tracé Graphique :

Points de vigilance :

Échelle du graphique : Pour une bonne visualisation, les axes doivent être à la même échelle et bien gradués. Un mauvais choix d'échelle peut déformer la perception des pentes et des intersections.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le CCE et le CCT sont des droites confondues reliant le point A(\(p=p'=100 \, \text{kPa}, q=0 \, \text{kPa}\)) au point de rupture B(\(p=p'_{\text{rup}} \approx 120 \, \text{kPa}, q_{\text{rup}} \approx 60 \, \text{kPa}\)).

Simulation Interactive du Chemin des Contraintes

Modifiez la pression de confinement ou les propriétés du sol pour voir comment le chemin des contraintes et le point de rupture sont affectés.

Paramètres de l'Essai

Pression de confinement \(\sigma'_3\) (100 kPa)

Angle de frottement \(\phi'\) (30 °)

Déviateur à la rupture \(q_{\text{rup}}\)

Contrainte moyenne à la rupture \(p'_{\text{rup}}\)

Graphique (\(p', q\))

Le Saviez-Vous ?

Le principe de la contrainte effective, \(\sigma' = \sigma - u\), a été formulé par Karl von Terzaghi en 1925. Cette idée simple mais révolutionnaire, selon laquelle le comportement du sol est gouverné par les contraintes supportées par son squelette solide, est considérée comme l'acte de naissance de la mécanique des sols moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passerait-il dans un essai non drainé ?

Dans un essai non drainé, l'eau ne peut pas s'échapper. Le chargement provoque une augmentation de la pression interstitielle \(u\). Le chemin des contraintes effectives (CCE) ne serait plus une droite de pente 3, car \(p'\) diminuerait avec l'augmentation de \(u\). Le chemin des contraintes totales (CCT) serait vertical, car la contrainte totale moyenne \(p\) resterait constante.

Pourquoi la cohésion est-elle nulle pour un sable ?

La cohésion représente "l'attraction" ou la cimentation entre les particules de sol. Dans un sable propre, les grains sont en contact direct mais ne sont pas "collés" les uns aux autres. Leur résistance au cisaillement provient uniquement du frottement entre les grains, d'où un angle de frottement \(\phi'\) non nul mais une cohésion \(c'\) nulle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un essai triaxial drainé, si on augmente la pression de confinement \(\sigma'_3\), que devient le déviateur à la rupture \(q_{\text{rup}}\) ?

Il diminue.
Il augmente.
Il reste constant.

2. Quelle est la pente du chemin des contraintes effectives (CCE) dans le plan (p', q) pour un essai de compression triaxial drainé standard ?

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Glossaire

Contrainte Effective (\(\sigma'\)): Partie de la contrainte totale supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui contrôle la résistance et la déformation du sol. \(\sigma' = \sigma - u\).
Chemin des Contraintes: Lieu des points représentant l'état de contrainte (par ex. dans le plan p'-q) au cours d'un processus de chargement ou de déchargement.
Essai Drainé: Essai de laboratoire où le chargement est appliqué suffisamment lentement pour permettre à la pression d'eau interstitielle de se dissiper. La variation de pression interstitielle est donc nulle (\(\Delta u = 0\)).
Critère de Mohr-Coulomb: Loi de rupture qui exprime la contrainte de cisaillement maximale qu'un sol peut supporter en fonction de la contrainte normale effective, de la cohésion (\(c'\)) et de l'angle de frottement interne (\(\phi'\)).
Invariants de Contrainte (p', q): \(p'\) est la contrainte moyenne effective, représentant la partie isotrope (uniforme) de la contrainte. \(q\) est le déviateur des contraintes, représentant la partie déviatorique (cisaillement) de la contrainte.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de l'Essai Triaxial

Questions à traiter

Correction : Calcul du chemin des contraintes

Question 1 : Invariants après Consolidation

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Déviateur des Contraintes à la Rupture

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Contraintes Principales à la Rupture

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 4 : Tracé du Chemin des Contraintes

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Tracé Graphique :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive du Chemin des Contraintes

Paramètres de l'Essai

Graphique (\(p', q\))

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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