Calcul du Coefficient de Perméabilité

Exercice : Calcul du Coefficient de Perméabilité

Calcul du Coefficient de Perméabilité (k)

Contexte : L'étude de la perméabilitéCapacité d'un sol à se laisser traverser par l'eau sous l'effet d'un gradient hydraulique. C'est une propriété fondamentale en géotechnique. des sols.

En mécanique des sols, la perméabilité est une propriété cruciale qui régit la vitesse d'écoulement de l'eau à travers un sol. Elle influence directement la consolidation des sols, la stabilité des pentes et le débit des nappes phréatiques. Cet exercice se concentre sur la détermination du coefficient de perméabilité, noté 'k', à partir d'un essai réalisé en laboratoire sur un échantillon de sable.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application de la loi de Darcy, un principe fondamental de l'hydrogéologie, pour interpréter les résultats d'un essai au perméamètre à charge constante.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la loi de Darcy pour un écoulement en milieu poreux.
Calculer le coefficient de perméabilité (k) à partir de données expérimentales.
Analyser l'influence de la viscosité de l'eau sur la perméabilité.
Estimer le débit d'eau à travers un échantillon de sol.

Données de l'étude

Un essai de perméabilité à charge constante est réalisé sur un échantillon de sable fin. Le dispositif expérimental est schématisé ci-dessous.

Fiche Technique de l'Échantillon

Caractéristique	Valeur
Nature du sol	Sable fin de Fontainebleau
Masse volumique des grains (ρs)	2650 kg/m³
Indice des vides (e)	0.65

Schéma du Perméamètre à Charge Constante

Paramètre de l'essai	Symbole	Valeur	Unité
Longueur de l'échantillon	L	15	cm
Diamètre de l'échantillon	D	10	cm
Perte de charge hydraulique	Δh	25	cm
Volume d'eau recueilli	V	200	cm³
Durée de l'essai	t	180	s
Température de l'eau	T	20	°C

Questions à traiter

Calculer la section (surface) de l'échantillon de sol.
Déterminer le débit d'eau traversant l'échantillon.
Calculer le gradient hydraulique imposé durant l'essai.
En utilisant la loi de Darcy, calculer le coefficient de perméabilité (k) du sable à 20°C.
Si l'essai était réalisé à 10°C, quelle serait la nouvelle valeur de k, sachant que la viscosité de l'eau passe de 1.002x10⁻³ Pa.s à 20°C à 1.307x10⁻³ Pa.s à 10°C ?

Les bases sur la perméabilité des sols

L'écoulement de l'eau dans les sols est un phénomène fondamental en géotechnique. Il est principalement décrit par la loi de Darcy, établie expérimentalement par Henry Darcy au 19ème siècle.

1. Loi de Darcy
Cette loi stipule que la vitesse de filtration de l'eau (v) à travers un milieu poreux est directement proportionnelle au gradient hydraulique (i). Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de perméabilité (k). \[ v = k \cdot i \]

2. Gradient Hydraulique (i)
Le gradient hydraulique est un nombre sans dimension qui représente la perte de charge hydraulique (Δh) par unité de longueur (L) de l'écoulement. \[ i = \frac{\Delta h}{L} \]

Correction : Calcul du Coefficient de Perméabilité (k)

Question 1 : Calculer la section (surface) de l'échantillon de sol.

Principe

L'échantillon de sol est cylindrique. Sa section transversale, c'est-à-dire la surface par laquelle l'eau s'écoule, est un disque. Il faut donc calculer l'aire de ce disque en utilisant son diamètre.

Mini-Cours

L'aire d'une figure plane est la mesure de sa surface. Pour un cercle, cette aire dépend de son rayon (r) ou de son diamètre (D), avec D = 2r. La constante π (Pi) est le rapport constant de la circonférence d'un cercle à son diamètre, valant approximativement 3.14159.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous de ne pas confondre le rayon et le diamètre dans la formule. Si vous utilisez le rayon, la formule est A = π·r². Utiliser le diamètre est souvent plus direct car c'est la dimension mesurée sur le perméamètre.

Normes

Le calcul de l'aire d'un cercle est une formule géométrique de base et n'est pas spécifique à une norme de mécanique des sols. Cependant, les normes d'essai (par ex. NF P94-071) précisent les tolérances sur la mesure du diamètre.

Formule(s)

L'aire (A) d'un disque de diamètre (D) est donnée par la formule :

A = \frac{\pi \cdot D^2}{4}

Hypothèses

On suppose que l'échantillon de sol a une section parfaitement circulaire et constante sur toute sa longueur.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est le diamètre de l'échantillon.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de l'échantillon	D	10	cm

Astuces

Pour une meilleure précision, utilisez la touche π de votre calculatrice plutôt qu'une valeur approchée comme 3.14.

Schéma (Avant les calculs)

Section transversale de l'échantillon

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités

Pour la cohérence des calculs futurs, il est préférable de convertir le diamètre en mètres.

\begin{aligned} D &= 10 \text{ cm} \\ &= 0.10 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Application de la formule

On applique la formule de l'aire avec la valeur du diamètre en mètres.

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (0.10 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.01 \text{ m}^2}{4} \\ &\Rightarrow A \approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat du calcul de la section

Réflexions

La surface de 0.007854 m² peut sembler petite, mais c'est l'ordre de grandeur typique pour les échantillons de laboratoire. En cm², la surface est de 78.54 cm², ce qui est plus facile à visualiser.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier d'élever le diamètre au carré ou de diviser par 4. Une autre erreur fréquente est la mauvaise conversion des unités (par exemple, de cm² en m², le facteur est 10 000 et non 100).

Points à retenir

La maîtrise du calcul de la section est une étape préliminaire indispensable à de nombreux calculs en géotechnique. Retenez la formule A = πD²/4.

Le saviez-vous ?

Le concept de Pi (π) est connu depuis près de 4000 ans ! Les Babyloniens et les Égyptiens anciens avaient déjà des approximations de sa valeur pour des calculs d'ingénierie et de construction.

FAQ

Résultat Final

La section de l'échantillon est d'environ 0.007854 m².

A vous de jouer

Quelle serait la section A (en cm²) si le diamètre de l'échantillon était de 7.5 cm ?

Question 2 : Déterminer le débit d'eau traversant l'échantillon.

Principe

Le débit (Q) est la quantité de volume (V) qui s'écoule par unité de temps (t). Il représente la vitesse à laquelle l'eau traverse l'échantillon. C'est une mesure directe de la quantité d'eau qui passe.

Mini-Cours

Le débit volumique est un concept central en mécanique des fluides. Il est constant dans un conduit si le fluide est incompressible et le régime permanent. Dans notre cas, on mesure le volume total qui s'est écoulé pendant une certaine durée pour en déduire le débit moyen.

Remarque Pédagogique

Pensez au débit comme à la vitesse de remplissage d'un seau. Si vous connaissez le volume du seau et le temps qu'il a fallu pour le remplir, vous pouvez calculer le débit du robinet. C'est exactement ce que nous faisons ici.

Normes

La mesure du volume et du temps doit être effectuée avec des instruments étalonnés, comme spécifié dans les normes d'essai (éprouvette graduée, chronomètre).

Formule(s)

La formule du débit volumique est :

Q = \frac{V}{t}

Hypothèses

On suppose que le débit est resté constant pendant toute la durée de l'essai (régime d'écoulement permanent).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume d'eau recueilli	V	200	cm³
Durée de l'essai	t	180	s

Astuces

Il est souvent pratique de calculer d'abord le débit en cm³/s, car les données sont souvent en cm. On peut ensuite convertir le résultat final en m³/s si nécessaire pour les calculs ultérieurs.

Schéma (Avant les calculs)

Mesure du Débit

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités

Pour obtenir un débit en m³/s (unité SI), nous devons convertir le volume de cm³ en m³.

\begin{aligned} V &= 200 \text{ cm}^3 \\ &= 200 \times (10^{-2} \text{ m})^3 \\ &= 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \\ &= 0.0002 \text{ m}^3 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du débit

\begin{aligned} Q &= \frac{0.0002 \text{ m}^3}{180 \text{ s}} \\ &\Rightarrow Q \approx 1.111 \times 10^{-6} \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Débit

Réflexions

Un débit de 1.11 x 10⁻⁶ m³/s équivaut à 1.11 cm³/s. Cela signifie qu'un peu plus d'un centimètre cube d'eau (un petit dé) traverse l'échantillon chaque seconde. C'est un débit faible, typique d'un écoulement dans un sable fin.

Points de vigilance

L'erreur principale est encore une fois la conversion d'unités. Rappelez-vous que 1 m³ = 1 000 000 cm³ (10⁶ cm³).

Points à retenir

Le débit est le lien entre le volume et le temps. Sa maîtrise est essentielle pour comprendre la loi de Darcy.

Le saviez-vous ?

Le débit du fleuve Amazone, le plus grand du monde, est en moyenne de 209 000 m³/s. Il faudrait plus de 5 ans à notre échantillon de sable pour laisser passer le volume d'eau que l'Amazone déverse en une seule seconde !

FAQ

Résultat Final

Le débit d'eau à travers l'échantillon est d'environ 1.111 x 10⁻⁶ m³/s.

A vous de jouer

Si on collectait 300 cm³ en 4 minutes (240 s), quel serait le débit Q en cm³/s ?

Question 3 : Calculer le gradient hydraulique imposé durant l'essai.

Principe

Le gradient hydraulique (i) représente la "pente" de l'énergie de l'eau. C'est le moteur de l'écoulement. Il se calcule en divisant la différence de hauteur d'eau (perte de charge) par la distance sur laquelle cette perte se produit (la longueur de l'échantillon).

Mini-Cours

La charge hydraulique en un point est la somme de son altitude et de la hauteur de pression. La perte de charge Δh est la différence de charge hydraulique entre l'entrée et la sortie de l'échantillon. Le gradient est donc la dissipation d'énergie par unité de longueur.

Remarque Pédagogique

Imaginez une rampe : sa pente est la différence de hauteur divisée par sa longueur horizontale. Le gradient hydraulique est un concept similaire pour l'écoulement de l'eau. Une plus grande "pente" (gradient) entraîne un écoulement plus rapide.

Normes

Les normes d'essai au perméamètre définissent comment mesurer précisément la perte de charge Δh et la longueur L de l'échantillon.

Formule(s)

i = \frac{\Delta h}{L}

Hypothèses

On suppose que la perte de charge se produit linéairement le long de l'échantillon, ce qui est vrai pour un sol homogène.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Perte de charge hydraulique	Δh	25	cm
Longueur de l'échantillon	L	15	cm

Astuces

Le gradient hydraulique est un rapport de deux longueurs. Tant que les deux valeurs (Δh et L) sont dans la même unité (ici, les cm), il n'est pas nécessaire de les convertir en mètres pour le calcul. Le résultat sera sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)

Illustration du Gradient Hydraulique

Calcul(s)

\begin{aligned} i &= \frac{25 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} \\ &\Rightarrow i \approx 1.667 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Gradient Calculé

Réflexions

Un gradient de 1.667 est relativement élevé et est typique des essais en laboratoire où l'on cherche à obtenir un débit mesurable en un temps raisonnable. Dans la nature, les gradients sont souvent beaucoup plus faibles (parfois inférieurs à 0.01).

Points de vigilance

Assurez-vous que L représente bien la longueur de l'échantillon de sol (la distance entre les deux points où la charge est mesurée) et non la hauteur totale du perméamètre.

Points à retenir

Le gradient hydraulique i = Δh/L est le moteur de l'écoulement. C'est une valeur sans dimension qui est fondamentale dans la loi de Darcy.

Le saviez-vous ?

Le gradient hydraulique peut être supérieur à 1, comme dans notre cas. Cela signifie que la perte d'énergie par frottement dans le sol est supérieure à l'énergie potentielle due à la gravité seule. C'est courant dans les écoulements sous pression ou en laboratoire.

FAQ

Résultat Final

Le gradient hydraulique est d'environ 1.667.

A vous de jouer

Quel serait le gradient si la perte de charge était de 30 cm pour un échantillon de 20 cm de long ?

Question 4 : Calculer le coefficient de perméabilité (k) du sable à 20°C.

Principe

La loi de Darcy relie le débit (Q), la section (A), le coefficient de perméabilité (k) et le gradient hydraulique (i). En réarrangeant la loi, on peut isoler k et le calculer à partir des valeurs que nous avons déjà déterminées.

Mini-Cours

Le coefficient de perméabilité k, aussi appelé conductivité hydraulique, est une mesure de la facilité avec laquelle un fluide peut se déplacer à travers un milieu poreux. Il a les dimensions d'une vitesse (L/T, par exemple m/s). Il dépend à la fois des propriétés du sol (taille et agencement des grains) et du fluide (viscosité, densité).

Remarque Pédagogique

C'est la question centrale de l'exercice. Nous assemblons ici toutes les pièces du puzzle calculées précédemment (Q, A, i) pour trouver la propriété intrinsèque du sol que nous cherchons : son coefficient de perméabilité k.

Normes

La méthode de calcul est définie par la norme NF P94-071 "Sols : reconnaissance et essais - Essai de perméabilité à charge constante dans les sols".

Formule(s)

La loi de Darcy s'écrit : Q = k · i · A. On peut donc isoler k :

k = \frac{Q}{A \cdot i}

Hypothèses

On suppose que la loi de Darcy est applicable, ce qui est généralement le cas pour les sables fins en régime d'écoulement laminaire.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Débit (Q) ≈ 1.111 x 10⁻⁶ m³/s
Section (A) ≈ 0.007854 m²
Gradient hydraulique (i) ≈ 1.667

Astuces

Avant de faire le calcul final, vérifiez que toutes vos valeurs sont bien en unités SI (m, s). Cela évite toute erreur de conversion à la dernière étape.

Schéma (Avant les calculs)

Synthèse des paramètres pour la loi de Darcy

Calcul(s)

\begin{aligned} k &= \frac{Q}{A \cdot i} \\ &= \frac{1.111 \times 10^{-6} \text{ m}^3/\text{s}}{0.007854 \text{ m}^2 \cdot 1.667} \\ &= \frac{1.111 \times 10^{-6}}{0.01309} \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ &\Rightarrow k \approx 8.48 \times 10^{-5} \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Coefficient de Perméabilité Obtenu

Réflexions

Une valeur de k de l'ordre de 10⁻⁵ m/s est tout à fait typique pour un sable fin, ce qui confirme la cohérence de notre résultat. Un gravier aurait une perméabilité de 10⁻² à 1 m/s, tandis qu'une argile serait inférieure à 10⁻⁹ m/s.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique ici serait de mélanger les unités, par exemple en utilisant Q en cm³/s avec A en m². La cohérence est la clé !

Points à retenir

La formule k = Q / (A · i) est l'aboutissement de l'essai au perméamètre à charge constante. C'est la formule principale à retenir de cet exercice.

Le saviez-vous ?

Henry Darcy, l'ingénieur français qui a établi cette loi en 1856, ne travaillait pas sur la mécanique des sols mais sur l'approvisionnement en eau potable de la ville de Dijon ! Ses expériences sur des filtres à sable ont conduit à l'une des lois les plus fondamentales de l'hydrogéologie.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de perméabilité du sable à 20°C est k ≈ 8.48 x 10⁻⁵ m/s.

A vous de jouer

Avec les mêmes A et i, quel serait le coefficient k (en m/s) si le débit mesuré était de 2.0 x 10⁻⁶ m³/s ?

Question 5 : Estimer la nouvelle valeur de k à 10°C.

Principe

Le coefficient de perméabilité (k) dépend des propriétés du sol (perméabilité intrinsèque) mais aussi des propriétés du fluide, notamment sa viscosité (μ). Lorsque la température baisse, l'eau devient plus visqueuse et s'écoule moins facilement. Le coefficient k diminue donc.

Mini-Cours

La conductivité hydraulique k est liée à la perméabilité intrinsèque K (qui ne dépend que du sol, en m²) par la relation k = K·(ρg/μ), où ρ est la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et μ la viscosité dynamique. Comme K, ρ et g sont quasi-constants, k est essentiellement inversement proportionnel à la viscosité μ.

Remarque Pédagogique

C'est une étape importante pour comprendre que le 'k' que nous mesurons n'est pas une constante absolue du sol, mais une propriété du couple sol-fluide à une température donnée. Il est souvent nécessaire de corriger les résultats à une température de référence.

Normes

Les normes d'essai exigent de noter la température de l'eau et fournissent souvent des tables ou des formules de correction pour ramener la perméabilité à une température standard (souvent 20°C).

Formule(s)

La relation entre la perméabilité à deux températures différentes (T₁ et T₂) est inversement proportionnelle au rapport des viscosités dynamiques (μ).

k_{\text{T}_2} = k_{\text{T}_1} \cdot \frac{\mu_{\text{T}_1}}{\mu_{\text{T}_2}}

Hypothèses

On suppose que seule la viscosité de l'eau change de manière significative avec la température, et que les propriétés du squelette du sol (taille des pores) ne sont pas affectées.

Donnée(s)

k à 20°C (k₂₀) ≈ 8.48 x 10⁻⁵ m/s
Viscosité à 20°C (μ₂₀) = 1.002 x 10⁻³ Pa.s
Viscosité à 10°C (μ₁₀) = 1.307 x 10⁻³ Pa.s

Astuces

Pensez-y logiquement : plus froid -> plus visqueux -> plus difficile de s'écouler -> k plus petit. Votre résultat final pour k₁₀ doit être inférieur à k₂₀. Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement inversé le rapport des viscosités.

Schéma (Avant les calculs)

Influence de la Température sur la Viscosité

Calcul(s)

\begin{aligned} k_{\text{10°C}} &= k_{\text{20°C}} \cdot \frac{\mu_{\text{20°C}}}{\mu_{\text{10°C}}} \\ &= (8.48 \times 10^{-5} \frac{\text{m}}{\text{s}}) \cdot \frac{1.002 \times 10^{-3} \text{ Pa.s}}{1.307 \times 10^{-3} \text{ Pa.s}} \\ &= (8.48 \times 10^{-5}) \cdot 0.7666 \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ &\Rightarrow k_{\text{10°C}} \approx 6.50 \times 10^{-5} \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison de la Perméabilité

Réflexions

Une baisse de température de 10°C a entraîné une diminution de la perméabilité d'environ 23%. C'est une variation significative qui montre l'importance de prendre en compte la température de l'eau souterraine dans les calculs de débit réels sur le terrain.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser le rapport des viscosités. La nouvelle perméabilité est égale à l'ancienne multipliée par le rapport (ancienne viscosité / nouvelle viscosité).

Points à retenir

Le coefficient de perméabilité k est inversement proportionnel à la viscosité du fluide. C'est une relation fondamentale pour comparer des essais ou pour appliquer des résultats de laboratoire au terrain.

Le saviez-vous ?

La viscosité de l'eau est la raison pour laquelle il est plus difficile de nager dans une piscine froide que dans une piscine chaude. Cette même force de "friction" interne du fluide s'applique aux molécules d'eau qui se faufilent entre les grains de sol.

FAQ

Résultat Final

À 10°C, le coefficient de perméabilité serait d'environ 6.50 x 10⁻⁵ m/s.

A vous de jouer

En utilisant k₂₀ et μ₂₀, quelle serait la perméabilité k₃₀ à 30°C, sachant que μ₃₀ = 0.798 x 10⁻³ Pa.s ?

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez ce simulateur pour voir comment le débit d'eau (Q) varie en fonction de la perte de charge (Δh) et de la longueur de l'échantillon (L), pour le sable étudié (k = 8.48 x 10⁻⁵ m/s).

Paramètres d'Entrée

Perte de charge Δh (cm) 25 cm

Longueur L (cm) 15 cm

Résultats Clés

Gradient Hydraulique (i) -

Débit Q (cm³/s) -

Perméabilité (k): Propriété d'un sol décrivant la facilité avec laquelle l'eau peut s'écouler à travers ses vides. Elle est quantifiée par le coefficient de perméabilité, généralement exprimé en m/s.
Loi de Darcy: Loi physique qui décrit l'écoulement d'un fluide à travers un milieu poreux. Elle établit une relation de proportionnalité entre la vitesse de filtration et le gradient hydraulique.
Gradient Hydraulique (i): Rapport de la perte de charge hydraulique à la distance d'écoulement. C'est la force motrice de l'écoulement de l'eau dans le sol.
Charge Hydraulique: L'énergie potentielle de l'eau par unité de poids en un point donné. Elle est la somme de l'altitude et de la hauteur de pression.

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