Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)
Contexte : L'état de contrainte horizontal dans les sols.
En géotechnique, la détermination des contraintes horizontales dans un massif de sol est cruciale pour le dimensionnement des ouvrages de soutènement (murs, palplanches) et des fondations profondes. Le coefficient de pression des terres au repos (K₀)Rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale dans un sol où aucune déformation latérale n'est possible. est un paramètre clé qui régit cet état de contrainte. Sa valeur dépend fortement de l'histoire de chargement du sol, notamment s'il est normalement consolidé ou surconsolidé.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à distinguer les états de consolidation d'un sol et à appliquer les formules appropriées pour calculer les contraintes horizontales effectives et totales, une compétence fondamentale en mécanique des sols.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de coefficient de pression des terres au repos (K₀).
- Calculer K₀ pour un sol normalement consolidé et un sol surconsolidé.
- Déterminer les contraintes effectives et totales à une profondeur donnée.
Données de l'étude
Profil de Sol et Point d'Étude
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 28 | degrés (°) |
| Poids volumique saturé | \(\gamma_{\text{sat}}\) | 19 | kN/m³ |
| Rapport de surconsolidation | OCR | 3 | - |
| Profondeur de la nappe | \(z_{\text{n}}\) | 5 | m |
| Poids volumique de l'eau | \(\gamma_{\text{w}}\) | 9.81 | kN/m³ |
Questions à traiter
- Calculer le coefficient de pression des terres au repos pour l'état normalement consolidé (\(K_{0,\text{nc}}\)).
- En déduire le coefficient de pression des terres au repos pour l'état surconsolidé (\(K_{0,\text{oc}}\)).
- Calculer les contraintes verticales (totale et effective) à 10 m de profondeur.
- Calculer les contraintes horizontales (effective et totale) à 10 m de profondeur.
- Comparer la contrainte horizontale effective calculée à celle qu'on aurait eue si le sol était resté normalement consolidé. Conclure.
Les bases sur la Pression des Terres
La pression des terres au repos est un état de contrainte où le sol est confiné de telle sorte qu'aucune déformation latérale ne se produit. C'est le cas typique d'un terrain plat et horizontal.
1. Principe des contraintes effectives (Terzaghi)
La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point dans le sol se décompose en une contrainte effective (\(\sigma'\)), qui est reprise par le squelette solide, et une pression interstitielle (\(u\)), reprise par l'eau.
\[ \sigma = \sigma' + u \]
2. Coefficient de Pression au Repos (\(K_0\))
Il est défini comme le rapport de la contrainte effective horizontale sur la contrainte effective verticale.
\[ K_0 = \frac{\sigma'_{\text{h}}}{\sigma'_{\text{v}}} \]
Pour les sols normalement consolidés, la formule empirique de Jaky est couramment utilisée :
\[ K_{0,\text{nc}} = 1 - \sin(\phi') \]
Pour les sols surconsolidés, cette valeur est modifiée par le rapport de surconsolidation (OCR) :
\[ K_{0,\text{oc}} = K_{0,\text{nc}} \cdot \text{OCR}^{\sin(\phi')} \]
Correction : Calcul du Coefficient de Pression des Terres (K₀)
Question 1 : Calculer \(K_{0,\text{nc}}\)
Principe
La première étape consiste à calculer la valeur de base de \(K_0\) comme si le sol n'avait jamais été surconsolidé. Cette valeur dépend uniquement des propriétés de frottement interne du sol, représentées par l'angle de frottement effectif \(\phi'\).
Mini-Cours
Le coefficient \(K_{0,\text{nc}}\) représente l'état d'équilibre atteint par un sol sous son propre poids sans déformation latérale. C'est un état de référence. La formule de Jaky est une simplification issue d'analyses théoriques et d'observations expérimentales pour les sables, mais elle est très utilisée en pratique pour de nombreux types de sols en l'absence de données plus précises.
Remarque Pédagogique
Considérez \(K_{0,\text{nc}}\) comme le "point de départ". Avant de pouvoir évaluer l'effet de la surconsolidation, il faut toujours déterminer cette valeur de base. C'est la première brique de votre raisonnement.
Normes
Les Eurocodes (notamment l'Eurocode 7 - Calcul géotechnique) reconnaissent l'utilisation de formules empiriques comme celle de Jaky pour l'estimation de \(K_0\), en particulier pour les études préliminaires.
Formule(s)
Formule de Jaky
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est l'angle de frottement effectif.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 28 | degrés |
Astuces
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" lorsque vous calculez le sinus de l'angle \(\phi'\) !
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre la résistance au cisaillement d'un sol. La pente de la droite de Coulomb, tracée dans le plan contrainte de cisaillement (τ) vs contrainte normale effective (σ'), définit l'angle de frottement \(\phi'\).
Critère de Mohr-Coulomb
Calcul(s)
Application de la formule de Jaky
Résultat du calcul
Schéma (Après les calculs)
Le schéma illustre le rapport entre les contraintes pour un sol normalement consolidé. La contrainte horizontale effective est environ 53% de la contrainte verticale effective.
Rapport des contraintes effectives (NC)
Réflexions
Une valeur de 0.531 est typique pour un sol frottant comme une argile sableuse ou un silt. Elle indique que, dans un état non perturbé, la contrainte horizontale effective est environ la moitié de la contrainte verticale effective.
Points de vigilance
Ne pas confondre l'angle de frottement effectif (\(\phi'\)) avec l'angle de frottement total (\(\phi\)). Le calcul de \(K_0\) se base toujours sur les paramètres effectifs.
Points à retenir
La formule de Jaky (\(1-\sin(\phi')\)) est la base du calcul de \(K_0\). Elle représente l'état de contrainte "naturel" d'un sol déposé sans histoire de charge complexe.
Le saviez-vous ?
Jaky a proposé sa célèbre formule en 1944. Bien qu'il s'agisse d'une approximation, elle reste l'une des formules les plus utilisées au monde en ingénierie géotechnique, plus de 75 ans plus tard, en raison de sa simplicité et de sa robustesse.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait \(K_{0,\text{nc}}\) pour un sable lâche avec un angle de frottement de 32° ?
Question 2 : En déduire \(K_{0,\text{oc}}\)
Principe
L'histoire de chargement du sol a un impact majeur. Un sol surconsolidé a "mémorisé" des contraintes passées plus élevées, ce qui se traduit par des contraintes horizontales actuelles plus fortes que pour un sol normalement consolidé. On corrige donc \(K_{0,\text{nc}}\) en utilisant le rapport de surconsolidation (OCR).
Mini-Cours
La surconsolidation "verrouille" des contraintes horizontales dans le sol. Lors de l'érosion ou du déchargement qui a créé l'état surconsolidé, la contrainte verticale a diminué, mais la contrainte horizontale a diminué dans une moindre mesure. C'est pourquoi \(K_{0,\text{oc}}\) est plus élevé que \(K_{0,\text{nc}}\).
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale. C'est ici que l'on prend en compte l'histoire géologique du site. Une erreur ici conduirait à une sous-estimation dangereuse des efforts sur les ouvrages.
Normes
La formule utilisée est une relation empirique bien établie, citée dans de nombreux manuels de géotechnique de référence et conforme à l'esprit des Eurocodes, qui demandent de prendre en compte l'état de surconsolidation du sol.
Formule(s)
Formule pour sol surconsolidé
Hypothèses
Cette formule suppose que l'exposant de l'OCR peut être approximé par \(\sin(\phi')\). C'est une simplification courante de la formule originale de Mayne & Kulhawy où l'exposant est lié à l'indice de plasticité pour les argiles.
Donnée(s)
On utilise les valeurs des données de l'énoncé et le résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| K₀ normalement consolidé | \(K_{0,\text{nc}}\) | 0.531 | - |
| Rapport de surconsolidation | OCR | 3 | - |
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 28 | degrés |
Astuces
L'exposant \(\sin(\phi')\) est toujours inférieur à 1, donc l'augmentation de \(K_0\) est moins que proportionnelle à l'OCR. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre le concept de surconsolidation : le sol a subi une contrainte passée (préconsolidation) plus élevée que sa contrainte actuelle.
Chemin de contrainte et OCR
Calcul(s)
Calcul de l'exposant
Application de la formule
Résultat du calcul
Schéma (Après les calculs)
Le schéma montre que pour un sol surconsolidé, la contrainte horizontale est bien plus importante par rapport à la contrainte verticale, approchant presque sa magnitude.
Rapport des contraintes effectives (OC)
Réflexions
Comme attendu, \(K_{0,\text{oc}}\) (0.870) est significativement plus élevé que \(K_{0,\text{nc}}\) (0.531). Cela signifie que pour une même contrainte verticale, la contrainte horizontale sera beaucoup plus forte dans ce sol du fait de son histoire géologique.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser le \(K_{0,\text{nc}}\) calculé à la question 1 comme base, et non une autre valeur. L'erreur la plus fréquente est dans le calcul de la puissance, vérifiez bien vos parenthèses.
Points à retenir
La surconsolidation augmente \(K_0\). La formule \(K_{0,\text{oc}} = K_{0,\text{nc}} \cdot \text{OCR}^{\sin(\phi')}\) est l'outil principal pour quantifier cet effet.
Le saviez-vous ?
Le concept de surconsolidation a été introduit par Karl von Terzaghi, le "père de la mécanique des sols", après avoir observé le comportement de tassement des argiles qui ne correspondait pas aux théories existantes. Son intuition sur l' "histoire des contraintes" a révolutionné le domaine.
FAQ
Des questions ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'OCR était de 5 au lieu de 3, quel serait le nouveau \(K_{0,\text{oc}}\) ?
Question 3 : Calculer les contraintes verticales à 10 m
Principe
La contrainte verticale totale est due au poids de toutes les couches de sol situées au-dessus du point considéré. Pour obtenir la contrainte effective, il faut soustraire la pression de l'eau interstitielle, qui n'est pas supportée par le squelette solide du sol.
Mini-Cours
Le calcul des contraintes verticales est la base de toute l'ingénierie géotechnique. La contrainte totale est simple : c'est l'intégrale du poids volumique sur la profondeur. La pression de l'eau, ou pression interstitielle, est hydrostatique : elle augmente linéairement avec la profondeur sous le niveau de la nappe phréatique.
Remarque Pédagogique
Décomposez toujours le problème : calculez d'abord la contrainte totale, puis la pression de l'eau, et enfin la contrainte effective. Cette méthode systématique vous évitera des erreurs.
Normes
Le principe des contraintes effectives de Terzaghi est le fondement de toute la mécanique des sols moderne et est un principe de base de l'Eurocode 7.
Formule(s)
Contrainte verticale totale
Pression interstitielle
Contrainte verticale effective
Hypothèses
On suppose que le poids volumique du sol est constant avec la profondeur et que la pression interstitielle est hydrostatique (pas d'écoulement d'eau vertical).
Donnée(s)
On utilise les données du profil de sol de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique saturé | \(\gamma_{\text{sat}}\) | 19 | kN/m³ |
| Profondeur d'étude | z | 10 | m |
| Profondeur de la nappe | \(z_{\text{n}}\) | 5 | m |
| Poids volumique de l'eau | \(\gamma_{\text{w}}\) | 9.81 | kN/m³ |
Astuces
Pour calculer la contrainte effective, on peut aussi utiliser le poids volumique déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\)) pour les couches sous la nappe. C'est une bonne méthode de vérification.
Calcul de vérification avec le poids déjaugé
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma du profil de sol est la référence visuelle pour ce calcul. Il montre les différentes couches, la position de la nappe et le point d'intérêt à 10m.
Profil de Sol de l'Étude
Calcul(s)
Calcul de la contrainte verticale totale (\(\sigma_{\text{v}}\))
Calcul de la pression interstitielle (\(u\))
Calcul de la contrainte verticale effective (\(\sigma'_{\text{v}}\))
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Contraintes Verticales
Réflexions
Ces valeurs sont les contraintes de base qui vont nous servir à calculer les poussées horizontales. On remarque que la présence de l'eau réduit de manière significative la contrainte supportée par le squelette du sol (de 190 kPa à 141 kPa).
Points de vigilance
Une erreur classique est de mal calculer la hauteur d'eau pour la pression interstitielle, ou d'utiliser le poids volumique déjaugé au lieu de soustraire la pression interstitielle. Les deux méthodes sont valables mais ne doivent pas être mélangées.
Points à retenir
Le calcul des contraintes verticales est une procédure en 3 étapes : \(\sigma_v\), puis \(u\), puis \(\sigma'_{\text{v}} = \sigma_{\text{v}} - u\). Maîtrisez ce processus car il est fondamental.
Le saviez-vous ?
Le barrage de Vajont en Italie s'est effondré en 1963 en partie à cause d'une mauvaise estimation des pressions interstitielles dans les versants de la montagne, illustrant de manière tragique l'importance capitale de ce paramètre.
FAQ
Des questions ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte effective verticale si la nappe était à 2m de profondeur au lieu de 5m ?
Question 4 : Calculer les contraintes horizontales à 10 m
Principe
La contrainte horizontale effective est directement proportionnelle à la contrainte verticale effective, via le coefficient K₀. Une fois cette contrainte effective horizontale connue, on y ajoute la pression interstitielle (qui agit de manière isotrope) pour trouver la contrainte totale horizontale.
Mini-Cours
L'eau dans le sol n'a pas de résistance au cisaillement. Elle transmet donc la pression de manière égale dans toutes les directions (principe de Pascal). C'est pourquoi la pression interstitielle 'u' est la même verticalement et horizontalement, et on l'ajoute simplement à la fin pour passer de la contrainte effective horizontale à la contrainte totale horizontale.
Remarque Pédagogique
C'est ici que tous les calculs précédents se rejoignent. On combine \(K_0\) (de la question 2) et \(\sigma'_{\text{v}}\) (de la question 3) pour enfin obtenir la contrainte horizontale, qui est souvent la valeur que l'ingénieur cherche réellement.
Normes
Ce calcul est l'application directe de la définition du coefficient de pression des terres au repos, une méthode standardisée et reconnue par l'Eurocode 7.
Formule(s)
Contrainte horizontale effective
Contrainte horizontale totale
Hypothèses
On suppose que le coefficient \(K_0\) est constant sur la hauteur de la couche de sol étudiée. En réalité, il peut varier légèrement.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient \(K_{0,\text{oc}}\) | \(K_{0,\text{oc}}\) | 0.870 | - |
| Contrainte verticale effective | \(\sigma'_{\text{v}}\) | 140.95 | kPa |
| Pression interstitielle | u | 49.05 | kPa |
Astuces
Gardez toujours une trace claire de ce qui est "total" et ce qui est "effectif". Une bonne notation (avec l'apostrophe ' pour effectif) est la clé pour ne pas s'embrouiller.
Schéma (Avant les calculs)
On peut imaginer un élément de sol à 10m de profondeur sur lequel on va appliquer les contraintes calculées.
Élément de sol à 10 m
Calcul(s)
Calcul de la contrainte horizontale effective (\(\sigma'_{\text{h}}\))
Calcul de la contrainte horizontale totale (\(\sigma_{\text{h}}\))
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final montre l'état de contrainte complet sur l'élément de sol, avec les valeurs numériques calculées.
État de contrainte à 10m
Réflexions
La contrainte horizontale totale (171.68 kPa) est celle qui s'appliquera sur un ouvrage de soutènement. La contrainte effective (122.63 kPa) est celle qui gouverne la résistance du sol à la rupture.
Points de vigilance
Ne jamais multiplier \(K_0\) par la contrainte totale ! \(K_0\) est un rapport de contraintes effectives. L'erreur la plus commune est de calculer \(K_0 \cdot \sigma_{\text{v}}\), ce qui est physiquement incorrect et donne des résultats faux.
Points à retenir
Le calcul se fait en deux temps : d'abord le monde "effectif" (\(\sigma'_{\text{h}} = K_0 \cdot \sigma'_{\text{v}}\)), puis on "revient" dans le monde "total" en ajoutant l'eau (\(\sigma_{\text{h}} = \sigma'_{\text{h}} + u\)).
Le saviez-vous ?
La mesure directe de \(K_0\) in situ est très difficile. On utilise des appareils comme le pressiomètre ou le dilatomètre, mais les corrélations empiriques comme celles utilisées dans cet exercice restent très courantes en pratique.
FAQ
Des questions ?
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la contrainte horizontale effective à 8 m de profondeur (\(\sigma'_{\text{v}}\) à 8m = 102.77 kPa).
Question 5 : Comparer et conclure
Principe
Cette question vise à quantifier l'impact de la surconsolidation. On calcule la contrainte horizontale qu'on aurait eue sans surconsolidation (état NC) et on la compare au résultat réel (état OC) pour mettre en évidence l'augmentation des efforts horizontaux.
Mini-Cours
Cette comparaison met en lumière l'importance de l'investigation géotechnique. Déterminer si un sol est NC ou OC n'est pas un détail académique, c'est une information capitale qui peut changer radicalement le dimensionnement d'un projet, son coût et sa sécurité.
Remarque Pédagogique
C'est la conclusion de l'exercice. C'est le moment où vous, en tant qu'ingénieur, devez interpréter vos chiffres et expliquer leurs conséquences pratiques. Un calcul n'a de valeur que s'il est correctement interprété.
Normes
L'Eurocode 7 impose de justifier les paramètres géotechniques utilisés. La détermination de l'OCR et son utilisation dans le calcul des poussées est un parfait exemple de cette démarche.
Formule(s)
Contrainte horizontale effective (NC)
Hypothèses
On fait l'hypothèse d'un site "jumeau" où le sol aurait les mêmes propriétés (\(\phi', \gamma\)) mais n'aurait jamais été surconsolidé (OCR=1).
Donnée(s)
On combine les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(\sigma'_{\text{h}}\) (OC) | \(\sigma'_{\text{h,oc}}\) | 122.63 | kPa |
| K₀ (NC) | \(K_{0,\text{nc}}\) | 0.531 | - |
| Contrainte verticale effective | \(\sigma'_{\text{v}}\) | 140.95 | kPa |
Astuces
Vous pouvez trouver le ratio des contraintes directement en calculant le ratio des coefficients \(K_0\). C'est plus rapide !
Calcul du ratio des coefficients
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'objectif : comparer la poussée réelle (OC) à une poussée théorique (NC).
Comparaison conceptuelle
Calcul(s)
Calcul de \(\sigma'_{\text{h}}\) pour un état NC
Comparaison des contraintes
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Diagrammes de Poussée
Réflexions
Conclusion : L'histoire de surconsolidation du sol (OCR=3) a pour effet d'augmenter la contrainte horizontale effective de 64% par rapport à ce qu'elle serait si le sol était normalement consolidé. Ignorer la surconsolidation mènerait à une sous-estimation très importante des efforts horizontaux sur les ouvrages, ce qui pourrait compromettre leur sécurité.
Points de vigilance
Toujours se demander si l'hypothèse d'un sol normalement consolidé est réaliste. Dans de nombreuses régions du monde (anciennes zones glaciaires, zones d'érosion intense), la surconsolidation est la règle plutôt que l'exception.
Points à retenir
La surconsolidation augmente les poussées horizontales. Cette augmentation, quantifiée par l'OCR, doit impérativement être prise en compte dans le dimensionnement des ouvrages géotechniques.
Le saviez-vous ?
Dans certaines régions du monde, comme la Scandinavie ou le Canada, les argiles glaciaires peuvent avoir des OCR très élevés (>10), conduisant à des contraintes horizontales qui peuvent même dépasser les contraintes verticales (\(K_0 > 1\)). La gestion de ces efforts est un défi majeur pour les ingénieurs géotechniciens.
FAQ
Des questions ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si le sol était une argile sensible avec \(\phi'\)=22° et OCR=4, de combien de % la contrainte horizontale serait-elle augmentée ? (Indice: calculez \(K_{0,\text{nc}}\) et \(K_{0,\text{oc}}\)).
Outil Interactif : Simulateur de K₀
Utilisez les curseurs pour voir comment l'angle de frottement (\(\phi'\)) et le rapport de surconsolidation (OCR) influencent la valeur de \(K_0\).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente physiquement le coefficient K₀ ?
2. Selon la formule de Jaky, si l'angle de frottement φ' augmente, comment évolue \(K_{0,\text{nc}}\) ?
3. Un sol avec un OCR = 1 est...
4. Comment la contrainte effective se différencie-t-elle de la contrainte totale sous la nappe phréatique ?
5. Pour un même sol, \(K_0\) dans un état surconsolidé (OCR > 1) est généralement...
Glossaire
- Coefficient de Pression des Terres au Repos (K₀)
- Rapport entre la contrainte effective horizontale (\(\sigma'_{\text{h}}\)) et la contrainte effective verticale (\(\sigma'_{\text{v}}\)) dans une masse de sol où aucune déformation latérale ne peut se produire.
- Contrainte Effective (σ')
- La contrainte supportée par le squelette solide d'un sol. C'est la contrainte totale moins la pression interstitielle. Elle gouverne le comportement mécanique du sol (résistance, déformation).
- Rapport de Surconsolidation (OCR)
- Rapport entre la contrainte de préconsolidation (la plus grande contrainte effective verticale que le sol a subie dans son histoire) et la contrainte effective verticale actuelle. OCR > 1 indique un sol surconsolidé.
- Sol Normalement Consolidé (NC)
- Un sol dont la contrainte effective verticale actuelle est la plus grande qu'il n'ait jamais subie. Son OCR est égal à 1.
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