Calcul du coefficient de réaction du sol (k) à partir d'un essai à la plaque
Contexte : Le Sol comme un Matelas de Ressorts
Pour dimensionner des radiers ou des dallages, les ingénieurs modélisent souvent le sol comme une série de ressorts indépendants. La raideur de ces ressorts est définie par le coefficient de réaction du solNoté k, il représente la pression nécessaire pour produire un enfoncement unitaire du sol. Il s'exprime en force par unité de volume (ex: MN/m³)., noté \(k\). Ce coefficient n'est pas une propriété intrinsèque du sol, mais dépend à la fois du sol et de la fondation. L'essai à la plaque est un essai de chargement in-situ qui permet de mesurer directement cette interaction et de déterminer une valeur de \(k\) utilisable pour les calculs de structure.
Remarque Pédagogique : Le modèle de sol élastique (Winkler) est une simplification, mais il reste extrêmement utile et répandu pour le calcul des dalles et radiers. Cet exercice montre comment passer d'un essai de terrain concret à la détermination du paramètre clé de ce modèle.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe de l'essai à la plaque et le modèle de Winkler.
- Tracer et interpréter une courbe de chargement (pression-tassement).
- Déterminer un module de réaction du sol (\(k_s\)) à partir de la courbe.
- Appliquer des facteurs de correction pour extrapoler le résultat à une fondation réelle.
- Calculer le tassement probable d'une fondation réelle à partir du coefficient de réaction.
Données de l'étude
Schéma de l'Essai à la Plaque
| Pression appliquée, \(\sigma\) (kPa) | Tassement mesuré, \(s\) (mm) |
|---|---|
| 0 | 0.00 |
| 25 | 0.15 |
| 50 | 0.31 |
| 75 | 0.46 |
| 100 | 0.62 |
| 125 | 0.85 |
| 150 | 1.15 |
Questions à traiter
- Tracer la courbe de chargement \(\sigma = f(s)\).
- Déterminer le module de réaction du sol sous la plaque, \(k_{s,plaque}\), pour un tassement de 1.25 mm.
- Calculer le coefficient de réaction du sol, \(k_s\), pour une fondation carrée de 3m de côté, en utilisant la formule de Terzaghi.
- Estimer le tassement de cette fondation sous une pression de 100 kPa.
Correction : Calcul du Coefficient de Réaction
Question 1 : Tracé de la Courbe de Chargement
Principe :
La première étape consiste à visualiser les résultats de l'essai en traçant la pression appliquée (\(\sigma\)) en fonction du tassement mesuré (\(s\)). Cette courbe nous renseigne sur la rigidité du sol : une pente forte indique un sol rigide, tandis qu'une pente faible indique un sol compressible.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette courbe est la "signature" de la réaction du sol au chargement. Sa forme nous renseigne sur le comportement du sol : est-il élastique (la courbe est une droite), ou plastique (la courbe s'infléchit) ?
Tracé Graphique :
Question 2 : Module de Réaction sous la Plaque (\(k_{s,plaque}\))
Principe :
Le coefficient de réaction du sol est la pente de la courbe pression-tassement. Il représente la pression nécessaire pour causer un tassement unitaire. On le calcule en divisant une pression donnée par le tassement correspondant.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Comme la courbe n'est pas parfaitement droite, la valeur de \(k\) dépend du point choisi. Pour les calculs, on utilise souvent la valeur correspondant à un tassement de référence (ici 1.25 mm) ou la pente de la partie pseudo-élastique de la courbe.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
D'après la courbe, pour un tassement de \(s = 1.25 \, \text{mm} = 0.00125 \, \text{m}\), on lit une pression d'environ \(\sigma \approx 160 \, \text{kPa}\).
- Pression lue : \(\sigma \approx 160 \, \text{kPa}\)
- Tassement de référence : \(s = 1.25 \, \text{mm} = 0.00125 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités du résultat : Le coefficient de réaction s'exprime en force par unité de volume (kN/m³ ou MN/m³). Il faut être très attentif à la conversion des unités du tassement (de mm en m) et de la pression (de kPa en kN/m²).
Le saviez-vous ?
Question 3 : Coefficient de Réaction pour la Fondation Réelle (\(k_s\))
Principe :
Le coefficient de réaction n'est pas une constante du sol, il dépend de la taille de la surface chargée. Une fondation plus large mobilise un volume de sol plus important, ce qui entraîne des tassements plus grands pour une même pression. La valeur de \(k\) diminue donc lorsque la largeur de la fondation augmente. La formule de Terzaghi permet d'estimer ce changement d'échelle.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est une étape cruciale d'extrapolation. On ne peut pas utiliser directement la valeur mesurée avec une petite plaque pour une grande fondation. La formule de Terzaghi est une manière simple et reconnue de prendre en compte cet effet d'échelle.
Formule(s) utilisée(s) :
Formule de Terzaghi (1955) pour une fondation carrée :
Donnée(s) :
- \(k_{s,plaque} = 128 \, \text{MN/m}^3\)
- Largeur de la plaque : \(B_{plaque} = 0.6 \, \text{m}\)
- Largeur de la fondation : \(B_{fondation} = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Formule pour les sols cohérents : La formule de Terzaghi présentée ici est valable pour les sols pulvérulents (sables, graviers). Pour les sols cohérents (argiles), l'effet d'échelle est moins prononcé et la formule est différente : \(k_s = k_{s,plaque} \frac{B_{plaque}}{B_{fondation}}\).
Le saviez-vous ?
Question 4 : Estimation du Tassement de la Fondation
Principe :
Une fois le coefficient de réaction \(k_s\) pour la fondation réelle déterminé, on peut inverser la relation pour estimer le tassement (\(s\)) que subira cette fondation sous une pression de service donnée (\(\sigma\)).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est l'aboutissement de la démarche : utiliser un essai simple pour prédire la déformation d'un ouvrage réel. C'est ce calcul qui permet de vérifier que le bâtiment ne s'enfoncera pas de manière préjudiciable.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Pression de service : \(\sigma = 100 \, \text{kPa} = 0.1 \, \text{MN/m}^2\)
- Coefficient de réaction : \(k_s = 5.12 \, \text{MN/m}^3\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités finales : Le calcul donne un tassement en mètres. Il est d'usage de le convertir en centimètres ou en millimètres pour le comparer plus facilement aux limites admissibles, qui sont généralement exprimées dans ces unités.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive du Coefficient de Réaction
Modifiez la rigidité du sol (représentée par \(k_{s,plaque}\)) et la taille de la fondation pour voir leur impact sur le coefficient de réaction final et le tassement.
Paramètres du Sol et de la Fondation
Résultats Estimés
Le Saviez-Vous ?
Le modèle de Winkler (sol assimilé à des ressorts) a été proposé en 1867. Bien qu'il soit très simple (il ignore le cisaillement entre les ressorts), il reste la base de nombreux logiciels de calcul de dalles et de radiers en raison de sa robustesse et de sa facilité de mise en œuvre.
Foire Aux Questions (FAQ)
La formule de Terzaghi est-elle toujours la même ?
Non, la formule dépend de la forme de la fondation et du type de sol. Pour une fondation rectangulaire de dimensions BxL sur un sol sableux, la formule est \( k_s = k_{s,plaque} \left(\frac{B+L}{2B}\right)^2 \). Pour les argiles, la relation est différente et moins sensible à la taille de la fondation.
Pourquoi ne pas tester directement avec une grande plaque ?
Réaliser un essai avec une plaque de plusieurs mètres de côté serait extrêmement coûteux et logistiquement complexe, car cela nécessiterait un contrepoids immense (plusieurs dizaines ou centaines de tonnes) pour appliquer la charge. Il est beaucoup plus simple et économique de tester avec une petite plaque et d'extrapoler les résultats.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on utilise une plaque d'essai plus petite (ex: 30 cm au lieu de 60 cm) sur le même sol, la valeur de \(k_{s,plaque}\) mesurée sera :
2. Le coefficient de réaction du sol \(k_s\) est un paramètre utilisé pour vérifier :
Glossaire
- Coefficient de Réaction du Sol (k)
- Rapport entre la pression appliquée sur une surface de sol et le tassement résultant. Il représente la raideur du sol modélisé comme un lit de ressorts (modèle de Winkler). Unité : [Force]/[Longueur]³.
- Essai à la Plaque
- Essai de chargement in-situ où une plaque rigide est chargée par paliers et où l'on mesure l'enfoncement correspondant pour déterminer la déformabilité du sol.
- Tassement
- Enfoncement vertical d'une fondation sous l'effet des charges. La vérification du tassement relève de l'État Limite de Service (ELS).
- Modèle de Winkler
- Modèle simplifié où le sol est représenté par une série de ressorts élastiques, indépendants les uns des autres, dont la raideur est définie par le coefficient de réaction \(k\).
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