ÉTUDE GÉOTECHNIQUE

Calcul du Facteur de Sécurité d’un Bloc Rocheux

Calcul du Facteur de Sécurité au Glissement Plan

Calcul du Facteur de Sécurité d'un Bloc Rocheux

Comprendre le Glissement Plan

Le glissement plan est l'un des modes de rupture les plus courants dans les massifs rocheux. Il se produit lorsqu'un bloc de roche glisse le long d'une discontinuité plane (un joint, une faille, un plan de stratification) qui plonge vers l'extérieur du talus. La stabilité de ce bloc dépend de l'équilibre entre les forces motrices (qui poussent le bloc vers le bas, principalement son propre poids) et les forces résistantes (la friction et la cohésion le long du plan de glissement, et d'éventuels renforcements). Le calcul du facteur de sécurité (FoS), qui est le rapport des forces résistantes sur les forces motrices, permet de quantifier cette stabilité.

Données de l'étude

On analyse la stabilité d'un bloc rocheux sur un talus. Le bloc est délimité par une discontinuité qui plonge vers la vallée.

  • Hauteur du talus : \(H = 25 \, \text{m}\)
  • Angle du talus avec l'horizontale : \(\psi_f = 60^\circ\)
  • Pendage du plan de glissement : \(\psi_p = 35^\circ\)
  • Poids volumique de la roche : \(\gamma_r = 26 \, \text{kN/m}^3\)
  • Caractéristiques de la discontinuité :
    • Cohésion : \(c = 25 \, \text{kPa}\)
    • Angle de frottement : \(\phi = 30^\circ\)
Schéma : Glissement Plan d'un Bloc Rocheux
W N=Wcosψp T=Wsinψp \(\psi_f\) \(\psi_p\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) du plan de glissement par mètre linéaire de talus.
  2. Calculer le poids du bloc (\(W\)) par mètre linéaire.
  3. Calculer les forces résistantes totales (cohésion + friction).
  4. Calculer la force motrice totale.
  5. Déterminer le facteur de sécurité (\(F_s\)) et conclure sur la stabilité du bloc.

Correction : Calcul du Facteur de Sécurité au Glissement Plan

Question 1 : Aire du plan de glissement (\(A\))

Principe :

L'aire du plan de glissement \(A\) pour un bloc de hauteur \(H\) est donnée par une relation géométrique simple. On considère une tranche de 1 mètre d'épaisseur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{H}{\sin \psi_p} \times (1 \, \text{m}) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{25 \, \text{m}}{\sin(35^\circ)} \times 1 \, \text{m} \\ &\approx \frac{25}{0.5736} \\ &\approx 43.59 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire du plan de glissement est \(A \approx 43.6 \, \text{m}^2\) par mètre linéaire.

Question 2 : Poids du bloc (\(W\))

Principe :

Le poids du bloc par mètre linéaire est égal au volume du prisme rocheux multiplié par le poids volumique de la roche. Le volume est calculé par des relations géométriques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = \frac{1}{2} \gamma_r H^2 \left(\frac{1}{\tan \psi_p} - \frac{1}{\tan \psi_f}\right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{1}{2} \times 26 \times (25)^2 \times \left(\frac{1}{\tan(35^\circ)} - \frac{1}{\tan(60^\circ)}\right) \\ &= 13 \times 625 \times \left(\frac{1}{0.700} - \frac{1}{1.732}\right) \\ &= 8125 \times (1.428 - 0.577) \\ &= 8125 \times 0.851 \\ &\approx 6912 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le poids du bloc rocheux est \(W \approx 6912 \, \text{kN}\) par mètre linéaire.

Question 3 & 4 : Forces Résistantes et Motrices

Principe :

La force motrice est la composante du poids parallèle au plan de glissement. Les forces résistantes sont la somme de la force de cohésion (qui dépend de l'aire) et de la force de frottement (qui dépend de la composante normale du poids).

Calculs :
\[ \begin{aligned} \text{Force Motrice (T)} &= W \sin \psi_p \\ &= 6912 \times \sin(35^\circ) \\ &\approx 6912 \times 0.5736 \approx 3964 \, \text{kN} \\ \\ \text{Force Normale (N)} &= W \cos \psi_p \\ &= 6912 \times \cos(35^\circ) \\ &\approx 6912 \times 0.8191 \approx 5662 \, \text{kN} \\ \\ \text{Forces Résistantes (R)} &= (c \times A) + (N \times \tan \phi) \\ &= (25 \, \text{kPa} \times 43.6 \, \text{m}^2) + (5662 \, \text{kN} \times \tan(30^\circ)) \\ &= 1090 \, \text{kN} + (5662 \times 0.577) \\ &= 1090 + 3267 \\ &= 4357 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Question 5 : Facteur de Sécurité (\(F_s\)) et Conclusion

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_s = \frac{\text{Forces Résistantes}}{\text{Forces Motrices}} = \frac{c A + N \tan \phi}{W \sin \psi_p} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_s &= \frac{4357 \, \text{kN}}{3964 \, \text{kN}} \\ &\approx 1.099 \end{aligned} \]
Conclusion : Le facteur de sécurité est \(F_s \approx 1.1\). Cette valeur est très faible, généralement considérée comme inacceptable pour un talus permanent (on vise souvent \(F_s \ge 1.3\) à \(1.5\)). Le bloc est donc considéré comme instable ou à la limite de la stabilité.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si de l'eau s'infiltre dans le plan de glissement, quel sera l'effet principal ?

2. Un facteur de sécurité \(F_s = 0.9\) signifie que :

3. Quelle action de confortement serait la plus efficace pour augmenter le facteur de sécurité dans ce cas ?

Glossaire

Glissement Plan
Mode de rupture d'un talus rocheux où un bloc de roche glisse le long d'une seule discontinuité plane qui plonge vers l'extérieur du talus.
Facteur de Sécurité (FoS)
Rapport entre la somme des forces qui résistent au mouvement (forces résistantes) et la somme des forces qui provoquent le mouvement (forces motrices). Si FoS > 1, le système est stable ; si FoS < 1, il est instable.
Cohésion (\(c\))
Partie de la résistance au cisaillement d'un matériau qui est indépendante de la contrainte normale. Elle représente "l'adhésion" ou le "ciment" le long d'un plan. Unité : Pa ou kPa.
Angle de Frottement (\(\phi\))
Angle qui caractérise la partie de la résistance au cisaillement qui est proportionnelle à la contrainte normale. Il représente la rugosité et l'imbrication des surfaces en contact.
Calcul du Facteur de Sécurité au Glissement Plan - Exercice d'Application

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