Calcul du Tassement Élastique d’une Fondation
Contexte : Le tassement élastiqueDéformation verticale et réversible du sol sous une fondation due à l'application d'une charge..
En génie civil, il est crucial de s'assurer que les fondations d'un ouvrage (bâtiment, pont, etc.) ne s'enfoncent pas excessivement dans le sol. Cet enfoncement, appelé tassement, peut causer des désordres structurels importants. Le tassement élastique est la part de cette déformation qui est immédiate et réversible. Le calculer permet de vérifier que la déformation restera dans des limites acceptables pour la structure, conformément aux normes de l'État Limite de Service (ELS).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la théorie de l'élasticité pour quantifier le tassement d'une fondation superficielle (semelle), une compétence fondamentale en géotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de tassement élastique et ses causes.
- Identifier les paramètres du sol et de la fondation qui influencent ce tassement.
- Appliquer la méthode de calcul basée sur la formule de Boussinesq.
- Savoir interpréter le résultat et le comparer aux exigences normatives (Eurocode 7).
Données de l'étude
Schéma de la fondation
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Q | Charge verticale centrée | 1000 | kN |
| B | Côté de la semelle carrée | 2,0 | m |
| E | Module de YoungMesure de la rigidité du sol. Un module élevé indique un sol rigide qui se déforme peu. du sol | 20 | MPa |
| ν | Coefficient de PoissonRapport entre la déformation transversale et la déformation axiale. Pour les sols, il est souvent compris entre 0,2 et 0,4. du sol | 0,3 | - |
Questions à traiter
- Calculer le tassement élastique au centre de la fondation.
- Calculer le tassement élastique à un coin de la fondation.
- Calculer le tassement différentiel \(\Delta s_e\) entre le centre et un coin de la fondation.
- Le tassement différentiel admissible est souvent limité à L'/500, où L' est la distance entre les points considérés. Conclure sur la validité de la fondation vis-à-vis de ce critère.
Les bases sur le Tassement Élastique
Le calcul du tassement élastique est basé sur la théorie de l'élasticité. On modélise le sol comme un massif semi-infini, homogène et isotrope. La charge appliquée par la fondation crée des contraintes dans le sol, qui se déforme en retour.
Formule générale du tassement
Le tassement élastique \(s_e\) en un point d'une fondation flexible est donné par la formule :
\[ s_e = q \cdot B \cdot \frac{1 - \nu^2}{E} \cdot I \]
Où :
- \(q\) est la pression de contact uniforme sous la fondation.
- \(B\) est une dimension caractéristique de la fondation (le côté pour une semelle carrée).
- \(E\) et \(\nu\) sont les paramètres élastiques du sol.
- \(I\) est le facteur d'influence, qui dépend de la forme de la fondation et de la position du point où le tassement est calculé.
Correction : Calcul du Tassement Élastique d’une Fondation
Question 1 : Calculer le tassement élastique au centre de la fondation.
Principe
On applique une charge sur le sol via la fondation. Le sol, modélisé comme un matériau élastique, se comprime sous cette charge. Le tassement est maximal au centre de la zone chargée, là où l'influence de toute la surface de la fondation est la plus forte.
Mini-Cours
La formule utilisée dérive des travaux de Boussinesq (1885) sur la distribution des contraintes dans un massif élastique semi-infini dues à une charge ponctuelle. En intégrant cette solution sur une surface chargée, on obtient le tassement. Le facteur d'influence \(I\) est le résultat adimensionnel de cette intégration mathématique.
Remarque Pédagogique
Concentrez-vous sur la logique : Tassement = Pression × Taille × (Souplesse du sol / Rigidité du sol) × Facteur de forme. Chaque terme de l'équation a un sens physique clair. Comprendre ce sens est plus important que de mémoriser la formule par cœur.
Normes
Ce calcul relève des vérifications aux États Limites de Service (ELS), définies dans la norme Eurocode 7 (NF EN 1997-1). Cette norme n'impose pas de valeur de tassement direct, mais exige que les déformations de la fondation restent compatibles avec ce que la superstructure peut supporter sans dommage.
Formule(s)
Formule du tassement élastique
Hypothèses
On suppose que le sol est un massif élastique, homogène et semi-infini. La fondation est supposée parfaitement flexible, ce qui signifie qu'elle se déforme librement avec le sol et applique une pression uniforme.
Origine du Facteur d'Influence (I)
D'où vient la valeur de I ? Ce coefficient n'est pas calculé avec une formule simple. Il est tiré d'abaques (graphiques) et de tableaux de référence issus de la théorie de l'élasticité, que l'on trouve dans les manuels de géotechnique. En pratique, on ne le recalcule pas. L'abaque et le tableau ci-dessous montrent des exemples de ces outils.
Abaque du Facteur d'Influence (Fondation Flexible)
| Forme | Point | Fondation Flexible | Fondation Rigide |
|---|---|---|---|
| Carrée (L/B=1) | Centre | 1,12 | 0,82 (uniforme) |
| Coin | 0,56 | ||
| Circulaire | Centre | 1,00 | 0,79 (uniforme) |
| Bord | 0,64 |
Donnée(s)
Nous reprenons les données de l'énoncé et y ajoutons le facteur d'influence pour le centre d'une fondation carrée flexible, qui est une valeur tabulée.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge verticale | Q | 1000 | kN |
| Côté de la semelle | B | 2,0 | m |
| Module de Young | E | 20 | MPa |
| Coefficient de Poisson | ν | 0,3 | - |
| Facteur d'influence (centre) | \(I_{\text{centre}}\) | 1,12 | - |
Astuces
La première étape est toujours de calculer la pression de contact \(q\). C'est la force divisée par la surface. Ensuite, assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes (Mètres, Newtons, Pascals) avant d'appliquer la formule principale.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma permet de visualiser la charge, les dimensions et le point d'intérêt (le centre) avant de commencer l'application numérique.
Point de calcul : Centre de la fondation
Calcul(s)
Calcul de la pression de contact (q)
Conversion de la pression en Pa
Conversion du module de Young en Pa
Calcul du tassement au centre
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessous représente la fondation après déformation, avec une flèche indiquant le tassement maximal au centre.
Visualisation du Tassement au Centre
Réflexions
Le tassement calculé est d'environ 25,5 mm. Cette valeur doit être comparée aux tassements admissibles pour le type d'ouvrage concerné. Pour de nombreux bâtiments courants, un tassement total de 25 mm est une limite usuelle à ne pas dépasser pour éviter des désordres (fissures, etc.). Notre valeur est juste à cette limite.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est la gestion des unités. Mélanger des kPa et des MPa est une garantie d'erreur. La deuxième source d'erreur est le choix du facteur d'influence \(I\), qui dépend de la forme de la fondation (carrée, rectangulaire, circulaire) et de sa rigidité (flexible ou rigide).
Points à retenir
- La formule du tassement élastique est un outil fondamental en géotechnique.
- La cohérence des unités (Pa, N, m) est absolument critique pour obtenir un résultat correct.
- Le tassement est maximal au centre pour une fondation flexible.
Le saviez-vous ?
Le concept de "bulbe de contraintes" a été développé par Boussinesq pour montrer comment la pression appliquée en surface se diffuse en profondeur dans le sol. Environ 80% du tassement se produit dans une profondeur égale à environ deux fois la largeur de la fondation.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez le tassement au centre si le sol était plus rigide, avec un module E = 30 MPa.
Question 2 : Calculer le tassement élastique à un coin de la fondation.
Principe
Le principe de calcul reste identique, mais le tassement est plus faible dans les coins car ces points subissent moins d'influence des zones chargées éloignées. Cette différence est entièrement capturée par le facteur d'influence \(I\).
Mini-Cours
Le facteur d'influence \(I\) au coin peut être utilisé avec le principe de superposition pour calculer le tassement en n'importe quel point sous une fondation de forme rectangulaire. En décomposant la surface en plusieurs rectangles dont le point d'intérêt est un coin commun, on peut sommer les tassements.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est essentiel pour évaluer le tassement différentiel, qui est souvent plus critique pour la structure que le tassement absolu. Un bâtiment peut s'enfoncer uniformément de 5 cm sans dommage, mais se fissurer avec une différence de 1 cm entre deux points.
Normes
La vérification aux ELS selon l'Eurocode 7 porte non seulement sur le tassement total mais aussi sur les tassements différentiels et la distorsion angulaire, qui sont directement dérivés du calcul de tassement en plusieurs points comme le centre et le coin.
Formule(s)
Formule du tassement élastique au coin
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : sol élastique, homogène, semi-infini et fondation flexible.
Origine du Facteur d'Influence (I)
On utilise les mêmes outils de référence (abaques et tableaux) que pour la question 1. Pour une fondation carrée flexible (L/B = 1), on lit la valeur correspondant au coin sur les outils ci-dessous.
Abaque du Facteur d'Influence (Fondation Flexible)
| Forme | Point | Fondation Flexible | Fondation Rigide |
|---|---|---|---|
| Carrée (L/B=1) | Centre | 1,12 | 0,82 (uniforme) |
| Coin | 0,56 | ||
| Circulaire | Centre | 1,00 | 0,79 (uniforme) |
| Bord | 0,64 |
Donnée(s)
Les données sont identiques à la question 1, à l'exception du facteur d'influence pour le coin d'une fondation carrée flexible.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression de contact | q | 250 x 10³ | Pa |
| Côté de la semelle | B | 2,0 | m |
| Module de Young | E | 20 x 10⁶ | Pa |
| Coefficient de Poisson | ν | 0,3 | - |
| Facteur d'influence (coin) | \(I_{\text{coin}}\) | 0,56 | - |
Astuces
Puisque tous les paramètres sauf \(I\) sont identiques à la question 1, on peut calculer le nouveau tassement par une simple règle de trois : \( s_{e, \text{coin}} = s_{e, \text{centre}} \times (I_{\text{coin}} / I_{\text{centre}}) \). Cela permet une vérification rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Le point d'intérêt est maintenant l'un des quatre coins de la surface chargée.
Point de calcul : Coin de la fondation
Calcul(s)
Calcul du tassement au coin
Schéma (Après les calculs)
Le profil de déformation d'une fondation flexible sous une charge uniforme prend la forme d'une cuvette, illustrant la différence de tassement entre le centre et le bord.
Profil du Tassement (Fondation Flexible)
Réflexions
Le tassement au coin (12,7 mm) est exactement la moitié du tassement au centre (25,5 mm), car \(I_{\text{coin}} = 0.56\) est la moitié de \(I_{\text{centre}} = 1.12\). Cela illustre bien le concept de tassement différentiel : la fondation ne s'enfonce pas de manière uniforme.
Points de vigilance
Ne présumez pas que le tassement au coin est toujours la moitié de celui au centre. Cette relation n'est valable que pour une fondation carrée. Pour une fondation rectangulaire, le rapport des facteurs d'influence sera différent.
Points à retenir
- Le tassement n'est pas uniforme sous une fondation flexible.
- La valeur du tassement dépend du point de calcul via le facteur d'influence \(I\).
- Le calcul du tassement aux points extrêmes (centre, coin) est nécessaire pour évaluer le tassement différentiel.
Le saviez-vous ?
Dans la réalité, aucune fondation n'est parfaitement flexible ou parfaitement rigide. La rigidité réelle dépend de l'épaisseur de la semelle en béton par rapport à ses dimensions en plan et de la rigidité relative entre la semelle et le sol.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant l'astuce de la règle de trois, quel serait le tassement au coin si le tassement au centre était de 30 mm ?
Question 3 : Calculer le tassement différentiel \(\Delta s_e\).
Principe
Le tassement différentiel est la différence de tassement entre deux points d'une même fondation. C'est une donnée plus critique que le tassement absolu, car elle peut induire des contraintes de flexion et de cisaillement dans la superstructure (poutres, murs), menant à des fissures et des dommages. On le calcule simplement en soustrayant les tassements obtenus aux questions précédentes.
Mini-Cours
Le tassement différentiel \(\Delta s_e\) entre deux points distants de L' induit une rotation ou "distorsion angulaire" \(\beta\), approximée par \(\beta \approx \Delta s_e / L'\). C'est cette distorsion qui est la cause directe des désordres dans les structures, car elle force les éléments structurels (conçus pour être droits ou plans) à se courber.
Remarque Pédagogique
Imaginez une bibliothèque posée sur un sol qui s'affaisse plus au centre que sur les bords. Les étagères vont se courber, les portes ne fermeront plus correctement. C'est l'effet du tassement différentiel. La structure du bâtiment réagit de la même manière.
Normes
L'Eurocode 7 (Annexe H) fournit des valeurs limites indicatives pour les déformations des structures. Par exemple, il suggère des limites de distorsion angulaire (\(\beta\)) pour éviter les dommages aux finitions (environ 1/300) ou à la structure portante (environ 1/150).
Formule(s)
Formule du tassement différentiel
Hypothèses
Ce calcul ne requiert aucune hypothèse supplémentaire ; il découle directement des résultats précédents.
Donnée(s)
On utilise les résultats finaux des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tassement au centre | \(s_{e,\text{centre}}\) | 25,5 | mm |
| Tassement au coin | \(s_{e,\text{coin}}\) | 12,7 | mm |
Astuces
Aucune astuce particulière pour une simple soustraction. L'important est d'avoir calculé correctement les deux valeurs de base.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la déformée de la fondation et met en évidence la différence de niveau vertical entre le centre et le coin.
Illustration du Tassement Différentiel
Calcul(s)
Calcul du tassement différentiel
Schéma (Après les calculs)
Le schéma met en évidence la valeur numérique du tassement différentiel sur la déformée de la fondation.
Valeur du Tassement Différentiel
Réflexions
Un tassement différentiel de près de 1,3 cm entre le centre et le bord d'une semelle de 2m de côté est significatif. Cela signifie que la fondation s'incurve de manière notable, ce qui sera transmis à la structure qu'elle supporte.
Points de vigilance
Ne jamais conclure sur la validité d'une fondation en regardant uniquement le tassement total. Le tassement différentiel est le paramètre le plus important pour l'intégrité de la superstructure.
Points à retenir
- Le tassement différentiel est la différence de tassement entre deux points.
- Il est la cause principale des désordres (fissures) dans les bâtiments.
- Son calcul est une étape indispensable de la conception des fondations.
Le saviez-vous ?
La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre au monde de tassement différentiel. Le sol sous le côté sud de la tour est plus compressible que sous le côté nord, ce qui a provoqué un tassement inégal et l'inclinaison que nous connaissons tous.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le tassement au centre était de 30mm et au coin de 20mm, quel serait le tassement différentiel ?
Question 4 : Comparer au critère admissible (L'/500) et conclure.
Principe
Les normes, comme l'Eurocode 7, ne fixent pas de limites de tassement absolu, mais plutôt des limites de tassement différentiel ou de distorsion angulaire (\(\beta \approx \Delta s / L'\)) pour prévenir les désordres. Une valeur commune pour les structures en béton armé est de 1/500. Nous allons donc calculer la limite pour notre cas et la comparer à la valeur réelle.
Mini-Cours
La distorsion angulaire (\(\beta\)) est un indicateur de la courbure ou de la pente imposée à la superstructure. Les limites de \(\beta\) dépendent du type de structure. Une structure en acier est plus tolérante (peut accepter \(\beta\) > 1/250) qu'une structure en maçonnerie non armée, très sensible à la fissuration (\(\beta\) < 1/1000).
Remarque Pédagogique
Cette étape finale est le cœur du métier d'ingénieur : il ne s'agit plus seulement de calculer, mais de comparer un résultat à un critère réglementaire ou de l'état de l'art, et de prendre une décision : le design est-il acceptable ou doit-il être modifié ?
Normes
La vérification de la distorsion angulaire est une vérification à l'État Limite de Service (ELS) explicitement requise par l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1). L'annexe H de cette norme donne des ordres de grandeur de déformations admissibles pour les bâtiments.
Formule(s)
Calcul de la distance L'
Calcul du tassement admissible
Hypothèses
On suppose que le critère L'/500 est pertinent pour la superstructure reposant sur cette fondation (par exemple, un portique en béton armé).
Donnée(s)
On utilise le tassement différentiel calculé à la question 3 et les dimensions de la fondation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tassement différentiel calculé | \(\Delta s_e\) | 12,8 | mm |
| Côté de la semelle | B | 2,0 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs, effectuez tous les calculs de la limite admissible en mètres, puis convertissez le résultat final en millimètres pour le comparer facilement au tassement différentiel calculé.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la distorsion angulaire, qui est l'angle formé par la déformée de la fondation par rapport à l'horizontale.
Distorsion Angulaire
Calcul(s)
Calcul de la distance L' (centre au coin)
Calcul du tassement différentiel admissible
Comparaison
Schéma (Après les calculs)
Le schéma compare visuellement la pente réelle de la fondation déformée à la pente maximale admissible.
Comparaison de la Distorsion Angulaire
Réflexions
Le tassement différentiel calculé est plus de 4 fois supérieur à la limite admissible couramment acceptée. Cela signifie qu'une structure classique posée sur cette fondation subirait très probablement des dommages (fissurations importantes). L'hypothèse d'une fondation flexible est ici défavorable. Une fondation rigide (plus épaisse) permettrait de réduire ce tassement différentiel.
Points de vigilance
Ne pas oublier de calculer la distance L' correctement. Pour un tassement différentiel entre le centre et le milieu d'un côté, L' serait simplement B/2. Le choix des points de comparaison est crucial.
Points à retenir
- La vérification du tassement différentiel est souvent plus dimensionnante que celle du tassement absolu.
- La limite de distorsion angulaire (ex: 1/500) est un critère de conception fondamental.
- Un résultat non conforme impose une modification du projet de fondation.
Le saviez-vous ?
À Mexico, construite sur un ancien lac, le sol se tasse de plusieurs centimètres par an. Les ingénieurs doivent concevoir des bâtiments avec des fondations sur pieux profonds et des systèmes de vérins pour réajuster périodiquement le niveau des édifices et contrer les effets dévastateurs du tassement différentiel à grande échelle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la structure était une halle métallique plus tolérante, avec un critère admissible de L'/250, la fondation serait-elle validée ?
Outil Interactif : Simulateur de Tassement
Utilisez cet outil pour visualiser l'influence de la largeur de la fondation et de la rigidité du sol sur le tassement au centre. La charge Q (1000 kN) et le coefficient de Poisson ν (0,3) sont fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. De quoi dépend principalement le tassement élastique ?
2. Pour une fondation carrée flexible avec une charge uniforme, où le tassement est-il maximal ?
3. Si le module de Young (E) du sol augmente, comment le tassement évolue-t-il ?
4. Le calcul du tassement est une vérification relevant de :
- Tassement élastique
- Déformation verticale, immédiate et réversible du sol sous une fondation, due à la déformation élastique des grains du sol.
- Module de Young (E)
- Aussi appelé module d'élasticité, il caractérise la rigidité d'un matériau. Plus E est élevé, plus le matériau est rigide et moins il se déforme sous une contrainte donnée.
- Coefficient de Poisson (ν)
- Rapport sans dimension entre la déformation transversale et la déformation axiale. Il décrit la tendance d'un matériau à se contracter dans les directions perpendiculaires à la direction de compression.
- État Limite de Service (ELS)
- Selon l'Eurocode 7, c'est l'état au-delà duquel les critères d'utilisation normale d'un ouvrage ne sont plus satisfaits (par ex. déformations excessives, vibrations, fissures...).
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