Capacité portante d'une fondation sur sol renforcé

Contexte : Le renforcement des solsTechnique de géotechnique visant à améliorer les propriétés mécaniques (capacité portante, résistance au cisaillement) d'un sol en y incorporant des éléments résistants (géosynthétiques, colonnes, etc.)..

Lorsqu'une fondation doit être construite sur un sol médiocre (faible capacité portante, forte compressibilité), l'une des solutions consiste à améliorer le sol en place. Le renforcement par géosynthétiquesProduits manufacturés, souvent en polymère, utilisés en géotechnique pour des fonctions de séparation, filtration, drainage, renforcement ou étanchéité. (géogrilles, géotextiles) est une méthode courante. Elle consiste à placer des nappes de renforcement sous la fondation pour augmenter la capacité portante et réduire les tassements.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à évaluer l'apport d'un renforcement géosynthétique sur la capacité portante ultime d'une semelle filante, en utilisant une méthode analytique basée sur la théorie de Terzaghi et des modèles de comportement du sol renforcé.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la capacité portante ultime d'une semelle sur sol non renforcé (Terzaghi).
Dimensionner la géométrie d'un bloc de sol renforcé.
Appliquer le modèle du "bloc renforcé" (Meyerhof & Hanna).
Calculer le gain de portance (BCR - Bearing Capacity Ratio).
Comprendre l'influence des différents paramètres (géométrie, résistance du sol).

Données de l'étude

On étudie une semelle filante de largeur \(B = 2.0 \text{ m}\), ancrée à une profondeur \(D_f = 1.0 \text{ m}\) dans un sol sableux. Pour améliorer sa performance, on place 3 nappes de géogrille (N=3) sous la semelle.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Largeur semelle (B)	2.0 m
Profondeur d'ancrage (D_f)	1.0 m
Nombre de nappes (N)	3
Espacement 1ère nappe (u)	0.30 m
Espacement nappes (h)	0.30 m

Schéma de la Fondation Renforcée

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Poids volumique du sol	\(\gamma\)	17.0	kN/m³
Angle de frottement	\(\varphi\)	28	degrés
Cohésion	\(c\)	0	kPa

Questions à traiter

Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\)) du sol *non renforcé* (selon Terzaghi).
Déterminer la profondeur du bloc de sol renforcé (\(d\)).
Calculer la capacité portante à la base du bloc (\(q_b\)), en considérant le bloc comme une fondation profonde.
Calculer l'augmentation de portance due au cisaillement latéral (\(\Delta q_s\)) selon le modèle de Meyerhof & Hanna.
Calculer la capacité portante ultime du sol renforcé (\(q_{u,R}\)) et le ratio d'amélioration (BCR).

Les bases sur la Capacité Portante

La capacité portante d'une fondation est la pression maximale que le sol peut supporter avant de rompre (rupture par cisaillement). Les géosynthétiques améliorent cette capacité en créant un "bloc" de sol composite plus rigide et plus résistant.

1. Formule de Terzaghi (Semelle Filante)
Pour un sol avec \(\varphi > 0\) et \(c=0\) (sable), la formule de la capacité portante ultime \(q_u\) est : \[ q_u = q \cdot N_q + 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \] Où \(q = \gamma \cdot D_f\) est la surcharge au niveau de la base de la fondation, et \(N_q\), \(N_{\gamma}\) sont les facteurs de portanceCoefficients adimensionnels qui dépendent uniquement de l'angle de frottement φ du sol. Ils représentent la contribution de la surcharge, du poids propre du sol et de la cohésion..

2. Modèle du "Bloc Renforcé" (Meyerhof & Hanna, 1980)
Ce modèle suppose que le renforcement crée un bloc de sol composite de profondeur \(d\) qui se comporte comme une fondation rigide. La capacité portante ultime renforcée \(q_{u,R}\) est la somme de deux termes :
1. La portance à la base du bloc (\(q_b\)) agissant sur une "fondation fictive" de largeur B à la profondeur \(D_f + d\).
2. La résistance au cisaillement (\(F_s\)) mobilisée sur les deux faces latérales du bloc, rapportée à la surface de la fondation (\(\Delta q_s\)). \[ q_{u,R} = q_b + \Delta q_s \]

Correction : Calcul de la capacité portante d'une fondation sur sol renforcé

Question 1 : Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\)) du sol non renforcé (selon Terzaghi).

Principe

La première étape est de déterminer la capacité portante de la fondation *avant* d'ajouter le renforcement. Cela nous servira de référence pour évaluer le gain apporté par les géosynthétiques. Nous utilisons la formule classique de Terzaghi pour une semelle filante sur un sol pulvérulent (sable, \(c=0\)).

Mini-Cours

La formule de Terzaghi pour un sol sableux (c=0) est :
\[ q_u = q \cdot N_q + 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \]
Le terme \(q \cdot N_q\) représente la contribution de la surcharge (le poids du sol à côté de la fondation).
Le terme \(0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}\) représente la contribution du poids du sol directement sous la fondation (le coin de rupture).
Les facteurs \(N_q\) et \(N_{\gamma}\) dépendent exponentiellement de \(\varphi\). On les trouve dans des abaques ou des tableaux standards.

\(\varphi\)	\(N_c\)	\(N_q\)	\(N_{\gamma}\)
20°	14.83	6.40	5.39
25°	20.72	10.66	10.88
28°	25.80	14.72	16.72
30°	30.14	18.40	22.40

Remarque Pédagogique

Pour \(\varphi = 28^\circ\), les valeurs des facteurs de portance (Terzaghi) sont données dans l'énoncé. C'est une étape cruciale : une petite erreur sur \(\varphi\) entraîne une grande erreur sur les facteurs \(N\), et donc sur \(q_u\).

Normes

Nous utilisons ici la formulation académique de Terzaghi. Les normes modernes (comme l'Eurocode 7) utilisent des formulations similaires mais ajoutent des facteurs de sécurité partiels sur les propriétés du sol (\(\gamma, \varphi\)) et sur les charges, ainsi que des facteurs de forme et d'inclinaison.

Formule(s)

Capacité portante ultime (Terzaghi, c=0)

q_u = q \cdot N_q + 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}

Surcharge effective

q = \gamma \cdot D_f

Hypothèses

On suppose que la fondation est "filante" (longueur \(L \gg B\)). Le sol est homogène. La nappe phréatique est très profonde (pas d'influence). La rupture se produit selon le mécanisme de Terzaghi.

Donnée(s)

On extrait les données nécessaires pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Poids volumique	\(\gamma\)	17.0	kN/m³
Largeur semelle	B	2.0	m
Profondeur d'ancrage	\(D_f\)	1.0	m
Facteur de portance	\(N_q\)	14.72	(adimensionnel)
Facteur de portance	\(N_{\gamma}\)	16.72	(adimensionnel)

Astuces

Attention aux unités ! Le poids volumique (\(\gamma\)) est en \(\text{kN/m³}\) et les dimensions (B, \(D_f\)) sont en \(\text{m}\). Le résultat \(q_u\) sera donc directement en \(\text{kN/m²}\), ce qui équivaut à des \(\text{kPa}\). Pas besoin de convertir.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise le problème : une semelle de 2m de large, ancrée à 1m de profondeur. La rupture (lignes pointillées) se développe sous la semelle et remonte vers la surface.

Mécanisme de rupture de Terzaghi (non renforcé)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surcharge \(q\)

On calcule d'abord le poids du sol à côté de la fondation, à la profondeur \(D_f\).

\begin{aligned} q &= \gamma \cdot D_f \\ q &= 17.0 \text{ kN/m³} \cdot 1.0 \text{ m} \\ q &= 17.0 \text{ kPa} \end{aligned}

Cette valeur de 17.0 kPa représente la contrainte effective à la base de la fondation.

Étape 2 : Calcul de la capacité portante ultime \(q_u\)

Maintenant, on applique la formule de Terzaghi en insérant toutes nos valeurs.

\begin{aligned} q_u &= (q \cdot N_q) + (0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}) \\ q_u &= (17.0 \cdot 14.72) + (0.5 \cdot 17.0 \cdot 2.0 \cdot 16.72) \\ q_u &= 250.24 + 284.24 \\ q_u &= 654.21 \text{ kPa} \end{aligned}

Le premier terme (250.24 kPa) est la contribution de la surcharge, et le second (284.24 kPa) est la contribution du poids du sol sous la semelle.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur de pression unique. Ce schéma illustre cette pression ultime agissant sur le sol.

Résultat : Pression Ultime Non Renforcée

Réflexions

Un chiffre seul ne veut rien dire. Le résultat \(q_u = 654.2 \text{ kPa}\) (ou \(654.2 \text{ kN/m²}\)) représente la pression *ultime* de rupture. En pratique, on appliquerait un facteur de sécurité (par exemple \(FS = 3\)) pour obtenir la pression de service admissible \(q_{adm} = q_u / 3 \approx 218 \text{ kPa}\). C'est cette valeur \(q_{adm}\) que l'ingénieur compare à la charge de service réelle du bâtiment.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier un des deux termes de l'équation (le terme de surcharge \(qN_q\) ou le terme de poids propre \(0.5\gamma B N_{\gamma}\)). De plus, si le sol avait une cohésion \(c\), il faudrait ajouter un troisième terme \(c \cdot N_c\).

Points à retenir

Si vous ne deviez retenir que quelques points clés de cette question, ce seraient ceux-là.

La capacité portante d'un sol sableux dépend de la surcharge (\(q\)) et du poids propre du sol (\(\gamma\)).
Les facteurs \(N_q\) et \(N_{\gamma}\) sont très sensibles à \(\varphi\).

Le saviez-vous ?

Karl von Terzaghi est souvent appelé le "père de la mécanique des sols". Sa formule, publiée dans les années 1940, est la pierre angulaire de l'ingénierie des fondations, bien qu'elle ait été raffinée depuis par Meyerhof, Hansen et Vésic pour inclure plus de paramètres.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La capacité portante ultime du sol non renforcé est \(q_u = 654.2 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Que se passerait-il si l'angle de frottement \(\varphi\) était de 30° (au lieu de 28°), avec \(N_q = 18.40\) et \(N_{\gamma} = 22.40\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Capacité portante de Terzaghi (référence).
Formule Essentielle : \(q_u = qN_q + 0.5\gamma B N_{\gamma}\).
Point de Vigilance Majeur : Unités (kPa) et choix des facteurs \(N\).

Question 2 : Déterminer la profondeur du bloc de sol renforcé (\(d\)).

Principe

Le "bloc renforcé" est la zone de sol qui contient les nappes de géosynthétiques. Sa profondeur \(d\) est déterminée par la géométrie du renforcement : elle va de la base de la fondation jusqu'à la dernière nappe. Nous devons calculer cette profondeur totale.

Mini-Cours

La profondeur \(d\) du bloc composite est la somme de la distance de la première nappe (\(u\)) et de la hauteur couverte par les autres nappes. S'il y a \(N\) nappes espacées de \(h\), il y a \(N-1\) intervalles.
La formule est donc : \[ d = u + (N-1) \cdot h \] Cette profondeur \(d\) définit la dimension verticale du "bloc" rigide que nous allons considérer dans les questions suivantes.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien comprendre la géométrie. \(N=3\) signifie qu'il y a 3 nappes. La profondeur totale \(d\) n'est PAS \(N \cdot h\), mais bien la distance jusqu'à la *dernière* nappe. On compte \(N-1\) espaces de hauteur \(h\).

Normes

La géométrie du renforcement (u, h, N) est un choix de conception. Des guides (ex: FHWA, recommandations de fabricants) suggèrent des valeurs optimales pour \(u/B\) et \(h/B\) (souvent entre 0.2 et 0.5) pour garantir que le renforcement interagisse efficacement avec la zone de rupture du sol.

Formule(s)

Profondeur du bloc renforcé

d = u + (N-1) \cdot h

Hypothèses

On suppose que l'espacement \(h\) est constant entre les nappes 2 et 3. Les nappes sont horizontales et posées avec précision.

Donnée(s)

Nous utilisons les données géométriques de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de nappes	N	3	(adimensionnel)
Espacement 1ère nappe	u	0.30	m
Espacement nappes	h	0.30	m

Astuces

Faites un petit dessin rapide pour vérifier votre calcul. 1ère nappe à 0.30m. 2ème nappe à 0.30m + 0.30m = 0.60m. 3ème nappe à 0.60m + 0.30m = 0.90m. Le compte est bon.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre un zoom sur les espacements \(u\) (base à nappe 1) et \(h\) (nappe 1 à nappe 2, nappe 2 à nappe 3) qui s'additionnent pour former la profondeur totale \(d\).

Zoom sur la Géométrie du Renforcement

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la profondeur \(d\)

On applique la formule en utilisant \(N=3\), \(u=0.30 \text{ m}\) et \(h=0.30 \text{ m}\).

\begin{aligned} d &= u + (N-1) \cdot h \\ d &= 0.30 + (3-1) \cdot 0.30 \\ d &= 0.30 + 2 \cdot 0.30 \\ d &= 0.30 + 0.60 \\ d &= 0.90 \text{ m} \end{aligned}

La profondeur totale du bloc renforcé est donc de 0.90 m.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une dimension, \(d = 0.90 \text{ m}\). Cette valeur sera utilisée pour définir le "bloc composite" dans les questions suivantes.

Réflexions

La profondeur \(d = 0.90 \text{ m}\) est inférieure à la largeur de la fondation \(B = 2.0 \text{ m}\) (soit \(d/B = 0.45\)). C'est une géométrie de renforcement "classique". Si \(d\) était très grande, le modèle du bloc ne serait plus valable (on passerait à un modèle de sol stratifié).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de calculer \(d = N \cdot h = 3 \cdot 0.30 = 0.90 \text{ m}\). Dans ce cas précis, comme \(u = h\), le résultat est le même ! Mais c'est un hasard. Si \(u\) était de 0.40m, la bonne réponse serait \(d = 0.40 + (2 \cdot 0.30) = 1.0 \text{ m}\), alors que la mauvaise méthode donnerait \(3 \cdot 0.30 = 0.90 \text{ m}\).

Points à retenir

La profondeur du bloc \(d\) se mesure de la base de la fondation à la dernière nappe.
La formule est \(d = u + (N-1)h\).

Le saviez-vous ?

La profondeur optimale \(d\) est souvent liée au mécanisme de rupture. On cherche à ce que \(d\) intercepte la totalité du coin de rupture de Terzaghi (Zone I et II), qui s'étend typiquement jusqu'à une profondeur de \(B \cdot \tan(\varphi)\) ou plus.

FAQ

...

Résultat Final

La profondeur du bloc de sol renforcé est \(d = 0.90 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si on avait utilisé \(N=4\) nappes (tout le reste étant identique), quelle serait la profondeur \(d\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Définition géométrique du bloc renforcé.
Formule Essentielle : \(d = u + (N-1)h\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas confondre \(N\) et \(N-1\).

Question 3 : Calculer la capacité portante à la base du bloc (\(q_b\)), en considérant le bloc comme une fondation profonde.

Principe

Le modèle du "bloc renforcé" suppose que la zone de sol de profondeur \(d\) se comporte comme un seul bloc rigide. L'étape 1 consiste à calculer la capacité portante *sous* ce bloc, comme s'il s'agissait d'une fondation fictive de largeur \(B\) mais située à une profondeur \(D_f' = D_f + d\).

Mini-Cours

Nous réutilisons la formule de Terzaghi de la Q1, mais avec une profondeur d'ancrage modifiée. \[ q_b = q' \cdot N_q + 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \] La seule chose qui change est le terme de surcharge, \(q'\), qui est maintenant calculé à la profondeur \(D_f' = D_f + d\). \[ q' = \gamma \cdot (D_f + d) \] Le terme \(0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}\) ne change pas, car il dépend de \(B\) et \(\gamma\), qui sont les mêmes.

Remarque Pédagogique

C'est la première composante du gain. En "reportant" la rupture plus en profondeur, on augmente massivement le terme de surcharge (\(q'\) est bien plus grand que \(q\)), et donc on augmente la capacité portante. C'est "l'effet de fondation profonde".

Normes

Ce modèle (Meyerhof & Hanna) est une simplification, mais il est largement accepté pour une première estimation. Il suppose que le bloc renforcé est parfaitement rigide et ne se déforme pas, et que la rupture se produit bien *sous* la dernière nappe.

Formule(s)

Portance à la base du bloc

q_b = q' \cdot N_q + 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}

Nouvelle surcharge effective

q' = \gamma \cdot (D_f + d)

Hypothèses

Le bloc (sol + nappes) est considéré comme un monolithe. Les propriétés du sol (\(\gamma, \varphi\)) sous le bloc sont les mêmes que celles du sol au-dessus.

Donnée(s)

On reprend les données de la Q1, en y ajoutant \(d\) de la Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Poids volumique	\(\gamma\)	17.0	kN/m³
Largeur semelle	B	2.0	m
Profondeur d'ancrage	\(D_f\)	1.0	m
Profondeur bloc	d	0.90	m
Facteur de portance	\(N_q\)	14.72	(adimensionnel)
Facteur de portance	\(N_{\gamma}\)	16.72	(adimensionnel)

Astuces

Nous avons déjà calculé le terme \(0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}\) à la Q1. Il valait 284.24 kPa. Il n'y a pas besoin de le recalculer ! Seul le terme de surcharge \(qN_q\) change.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le bloc vert (de profondeur \(d\)) agissant comme une fondation rigide. La rupture de Terzaghi (lignes pointillées) se développe maintenant *sous* ce bloc, à une profondeur totale \(D_f' = D_f + d\).

Calcul de \(q_b\) à la base du bloc

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la nouvelle profondeur \(D_f'\) et surcharge \(q'\)

On calcule la profondeur totale de la base du bloc.

\begin{aligned} D_f' &= D_f + d \\ D_f' &= 1.0 \text{ m} + 0.90 \text{ m} = 1.90 \text{ m} \end{aligned}

Puis on calcule la nouvelle surcharge \(q'\) à cette profondeur.

\begin{aligned} q' &= \gamma \cdot D_f' \\ q' &= 17.0 \text{ kN/m³} \cdot 1.90 \text{ m} \\ q' &= 32.3 \text{ kPa} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la portance à la base \(q_b\)

On utilise la formule de Terzaghi avec \(q'\) et le terme de poids propre (identique à la Q1).

\begin{aligned} q_b &= (q' \cdot N_q) + (0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}) \\ q_b &= (32.3 \cdot 14.72) + (284.24) \quad \text{(terme de la Q1)} \\ q_b &= 575.65 + 284.24 \\ q_b &= 859.89 \text{ kPa} \end{aligned}

La portance à la base du bloc seul est déjà de 859.9 kPa.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre la pression \(q_b\) agissant à la base du bloc renforcé. Cette valeur est la première des deux composantes de la portance totale.

Réflexions

En considérant simplement le bloc comme une fondation plus profonde, la capacité portante passe de 654.2 kPa à 859.9 kPa. C'est une augmentation de \((859.9 - 654.2) = 205.7 \text{ kPa}\). Cette augmentation est due *uniquement* à la différence de surcharge (\(q' - q\)) multipliée par \(N_q\).

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier que le terme \(0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma}\) reste le même. Ce terme ne dépend que de \(\gamma\), \(B\) et \(\varphi\), pas de la profondeur d'ancrage.

Points à retenir

Le renforcement transforme la fondation en une fondation "profonde" fictive.
La portance de base \(q_b\) se calcule à la profondeur \(D_f' = D_f + d\).
L'essentiel du gain vient de l'augmentation du terme de surcharge \(q' \cdot N_q\).

Le saviez-vous ?

Ce principe est similaire à celui des "fondations compensées", où l'on creuse plus profondément pour augmenter la surcharge \(q\) et donc la capacité portante. Ici, au lieu de creuser, on "construit" un bloc rigide qui reporte la charge plus bas.

FAQ

...

Résultat Final

La capacité portante à la base du bloc renforcé est \(q_b = 859.9 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Si le bloc avait une profondeur \(d = 1.5 \text{ m}\) (au lieu de 0.9m), quelle serait la valeur de \(q_b\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Effet de fondation profonde du bloc.
Formule Essentielle : \(q_b = (\gamma \cdot (D_f + d)) \cdot N_q + 0.5\gamma B N_{\gamma}\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas recalculer le terme en \(N_{\gamma}\).

Question 4 : Calculer l'augmentation de portance due au cisaillement latéral (\(\Delta q_s\)) selon le modèle de Meyerhof & Hanna.

Principe

C'est la deuxième composante du gain. Le sol "à côté" du bloc renforcé exerce une poussée passive. Cette poussée, via le frottement sol-sol (\(\tan \varphi\)), crée une force de cisaillement verticale (\(F_s\)) le long des deux faces du bloc. Cette force \(F_s\) aide à porter la charge. \(\Delta q_s\) est cette force \(F_s\) répartie sur la surface de la fondation (\(B \times 1\)).

Mini-Cours

La force de cisaillement \(F_s\) sur les deux faces (de profondeur \(d\)) est : \[ F_s = 2 \cdot P_p \cdot \tan \varphi \] Où \(P_p\) est la poussée passiveForce horizontale maximale que le sol peut exercer sur une structure avant de rompre. C'est le sol qui "résiste" à être poussé. totale du sol sur la hauteur \(d\). \[ P_p = 0.5 \cdot \gamma \cdot d^2 \cdot K_p \] \(K_p\) est le coefficient de poussée passive : \(K_p = \tan^2(45^\circ + \varphi/2)\).
On répartit \(F_s\) sur la surface de la semelle (\(B \cdot 1\)) pour obtenir une contrainte \(\Delta q_s\): \[ \Delta q_s = \frac{F_s}{B \cdot 1} = \frac{2 \cdot (0.5 \cdot \gamma \cdot d^2 \cdot K_p) \cdot \tan \varphi}{B} \]

Remarque Pédagogique

Ce terme devient très important pour les sols avec un \(\varphi\) élevé (car \(K_p\) et \(\tan \varphi\) augmentent vite) et pour les renforcements profonds (car \(d\) est au carré).

Normes

Ce modèle suppose un frottement sol-sol parfait (\(\tan \varphi\)) le long d'un plan de cisaillement vertical. C'est une simplification, mais elle est admise pour ce type de calcul.

Formule(s)

Coefficient de poussée passive

K_p = \tan^2(45^\circ + \varphi/2)

Gain par cisaillement

\Delta q_s = \frac{\gamma \cdot d^2 \cdot K_p \cdot \tan \varphi}{B}

Hypothèses

On suppose que la rupture se produit sur un plan vertical le long du bloc. Le cisaillement est purement frictionnel (sol-sol).

Donnée(s)

On utilise \(\gamma, d, B\) et \(\varphi\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Poids volumique	\(\gamma\)	17.0	kN/m³
Profondeur bloc	d	0.90	m
Largeur semelle	B	2.0	m
Angle de frottement	\(\varphi\)	28	degrés

Astuces

Calculez d'abord les termes adimensionnels : \(\tan(28^\circ)\) et \(K_p\). L'angle pour \(K_p\) est \(45^\circ + 28/2 = 45^\circ + 14^\circ = 59^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le bloc vert (de profondeur \(d\)) soumis à la poussée passive (flèches orange) du sol environnant. Cette poussée crée une force de cisaillement \(F_s\) (flèches bleues) qui "aide" à soutenir la charge \(q_{u,R}\).

Modèle du "Bloc Renforcé" (Meyerhof-Hanna)

(B x d) F_s F_s Poussée
passive q_b

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des coefficients \(\tan \varphi\) et \(K_p\)

On calcule les valeurs adimensionnelles pour \(\varphi = 28^\circ\).

\begin{aligned} \tan \varphi &= \tan(28^\circ) = 0.5317 \\ K_p &= \tan^2(45^\circ + \varphi/2) = \tan^2(45^\circ + 14^\circ) \\ K_p &= \tan^2(59^\circ) = (1.6643)^2 \\ K_p &= 2.77 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du gain par cisaillement \(\Delta q_s\)

On insère toutes les valeurs dans la formule. Attention, \(d\) est au carré !

\begin{aligned} \Delta q_s &= \frac{\gamma \cdot d^2 \cdot K_p \cdot \tan \varphi}{B} \\ \Delta q_s &= \frac{17.0 \cdot (0.90)^2 \cdot 2.77 \cdot 0.5317}{2.0} \\ \Delta q_s &= \frac{17.0 \cdot 0.81 \cdot 2.77 \cdot 0.5317}{2.0} \\ \Delta q_s &= \frac{20.28}{2.0} \\ \Delta q_s &= 26.91 \text{ kPa} \end{aligned}

Le gain de portance apporté par le cisaillement sur les côtés du bloc est de 26.91 kPa.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre les deux composantes de la portance du bloc.

Composantes de la Portance Renforcée

Réflexions

L'augmentation due au cisaillement latéral est de 26.91 kPa. Cette valeur est assez faible comparée au gain de 205.7 kPa obtenu par l'effet de profondeur (Q3). Cela est dû au faible \(\varphi\) et au ratio \(d/B\) modéré. Si le sol avait un \(\varphi\) plus élevé (ex: 35°), \(K_p\) et \(\tan \varphi\) seraient bien plus grands, et ce terme deviendrait prédominant.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier \(B\) au dénominateur. On calcule une force totale \(F_s = 20.28 \text{ kN}\) par mètre linéaire, et on la divise par la largeur \(B = 2.0 \text{ m}\) pour la transformer en contrainte équivalente (kPa).

Points à retenir

La deuxième composante du gain est le cisaillement latéral (\(\Delta q_s\)).
Il dépend de la poussée passive \(K_p\), du frottement \(\tan \varphi\), et est proportionnel à \(d^2\).

Le saviez-vous ?

Ce modèle est une simplification. En réalité, le plan de cisaillement n'est pas parfaitement vertical. De plus, il existe d'autres mécanismes de renforcement, comme "l'effet de membrane" (la nappe se déforme et "porte" la charge comme un hamac) et "l'effet de confinement" (la nappe empêche le sol de s'étaler latéralement).

FAQ

...

Résultat Final

Le gain de portance dû au cisaillement latéral est \(\Delta q_s = 26.9 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Si on garde \(\varphi=28^\circ\) mais qu'on a un bloc plus profond \(d = 1.2 \text{ m}\), quel serait le gain \(\Delta q_s\) ? (Rappel: \(\Delta q_s\) est prop. à \(d^2\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Gain par cisaillement latéral (poussée passive).
Formule Essentielle : \(\Delta q_s = (\gamma \cdot d^2 \cdot K_p \cdot \tan \varphi) / B\).
Point de Vigilance Majeur : Le terme \(d^2\) et la division par \(B\).

Question 5 : Calculer la capacité portante ultime du sol renforcé (\(q_{u,R}\)) et le ratio d'amélioration (BCR).

Principe

C'est la conclusion de notre étude. La capacité portante totale du système renforcé (\(q_{u,R}\)) est simplement la somme des deux composantes que nous venons de calculer : la portance à la base (\(q_b\)) et le gain par cisaillement (\(\Delta q_s\)). Le BCR (Bearing Capacity Ratio) est le ratio qui compare ce résultat à notre valeur de référence (cas non renforcé, Q1).

Mini-Cours

La formule finale du modèle de Meyerhof & Hanna est : \[ q_{u,R} = q_b + \Delta q_s \] Le ratio d'amélioration (BCR) est une mesure de l'efficacité du renforcement : \[ BCR = \frac{q_{u,R}}{q_u} \] Un BCR de 1.0 signifie aucun gain. Un BCR de 1.5 signifie une augmentation de 50% de la capacité portante.

Remarque Pédagogique

Le BCR est l'indicateur clé pour l'ingénieur. Il permet de justifier économiquement le coût d'installation des géosynthétiques. Si le BCR est faible (ex: 1.1), le renforcement n'est peut-être pas la solution la plus rentable.

Normes

Les normes exigent des facteurs de sécurité globaux sur la capacité portante. Pour un sol renforcé, on applique un facteur de sécurité (ex: 2.5 ou 3) à \(q_{u,R}\) pour obtenir la charge de service admissible \(q_{adm,R}\). On vérifie aussi que ce \(q_{adm,R}\) ne provoque pas un tassement excessif.

Formule(s)

Capacité portante ultime renforcée

q_{u,R} = q_b + \Delta q_s

Ratio d'amélioration (BCR)

BCR = \frac{q_{u,R}}{q_u}

Hypothèses

On suppose que les deux mécanismes (portance de base et cisaillement latéral) sont additifs et se mobilisent simultanément.

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Portance non renforcée (Q1)	\(q_u\)	654.2	kPa
Portance base bloc (Q3)	\(q_b\)	859.9	kPa
Gain cisaillement (Q4)	\(\Delta q_s\)	26.9	kPa

Astuces

Gardez bien en tête les différentes valeurs : \(q_u\) (référence), \(q_b\) (1ère composante) et \(\Delta q_s\) (2ème composante). Ne les mélangez pas !

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma-bilan montre \(q_u\) (cas non renforcé) comparé à \(q_{u,R}\) (cas renforcé), et met en évidence le BCR, qui est le ratio entre la hauteur de la barre verte et celle de la barre rouge.

Comparaison : Non Renforcé vs. Renforcé

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la portance ultime renforcée \(q_{u,R}\)

On additionne les résultats des questions 3 et 4.

\begin{aligned} q_{u,R} &= q_b + \Delta q_s \\ q_{u,R} &= 859.9 \text{ kPa} + 26.9 \text{ kPa} \\ q_{u,R} &= 886.8 \text{ kPa} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du ratio d'amélioration (BCR)

On compare ce résultat à la valeur non renforcée de la Q1.

\begin{aligned} BCR &= \frac{q_{u,R}}{q_u} \\ BCR &= \frac{886.8 \text{ kPa}}{654.2 \text{ kPa}} \\ BCR &= 1.356 \end{aligned}

On arrondit à \(BCR = 1.36\). Cela signifie une augmentation de 36% de la capacité portante.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est le même que ci-dessus, montrant le résultat final.

Réflexions

Le renforcement, tel que dimensionné (N=3, d/B=0.45), entraîne une augmentation de la capacité portante ultime de 35.6%. C'est une amélioration notable. On remarque que l'essentiel du gain (\(205.7 \text{ kPa}\)) provient de l'"effet de profondeur" (le terme \(q_b\)) et non du cisaillement latéral (\(\Delta q_s = 26.91 \text{ kPa}\)), qui est faible dans ce cas.

Points de vigilance

Ne pas diviser par le mauvais terme. Le BCR compare toujours le résultat final *renforcé* (\(q_{u,R}\)) au résultat initial *non renforcé* (\(q_u\)).

Points à retenir

La portance totale est la somme de la portance de base et du cisaillement.
Le BCR (\(q_{u,R} / q_u\)) quantifie l'efficacité du renforcement.

Le saviez-vous ?

Dans de nombreux cas, le renforcement est encore plus critique pour le contrôle des tassements que pour la capacité portante. Les géosynthétiques agissent comme un matelas répartiteur qui réduit les tassements différentiels, souvent plus dommageables pour la structure que la rupture du sol.

FAQ

...

Résultat Final

La capacité portante ultime renforcée est \(q_{u,R} = 886.8 \text{ kPa}\), soit un BCR de 1.36.

A vous de jouer

Si le sol non renforcé avait une portance \(q_u = 500 \text{ kPa}\) et que notre système renforcé donnait \(q_{u,R} = 750 \text{ kPa}\), quel serait le BCR ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Bilan et efficacité du renforcement.
Formule Essentielle : \(q_{u,R} = q_b + \Delta q_s\).
Indicateur Clé : \(BCR = q_{u,R} / q_u\).

Outil Interactif : Simulateur de BCR

Utilisez cet outil pour voir comment la géométrie du renforcement (profondeur \(d\)) et la qualité du sol (\(\varphi\)) impactent le gain (BCR). L'outil recalcule tout l'exercice en temps réel.

Paramètres d'Entrée

Angle de frottement (\(\varphi\)) 28 degrés

Profondeur du bloc (\(d\)) 0.9 m

Résultats Clés

\(q_u\) (Non renforcé) -

\(q_b\) (Base) -

\(\Delta q_s\) (Cisaillement) -

\(q_{u,R}\) (Total Renforcé) -

BCR (Gain) -

Glossaire

Capacité Portante Ultime (\(q_u\)): La pression maximale (contrainte) que le sol peut supporter juste avant la rupture par cisaillement.
BCR (Bearing Capacity Ratio): Ratio (\(q_{u,R} / q_u\)) comparant la capacité portante du sol renforcé à celle du sol non renforcé. C'est une mesure de l'efficacité.
Facteurs de Portance (\(N_c, N_q, N_{\gamma}\)): Coefficients adimensionnels utilisés dans les formules de capacité portante (Terzaghi, Meyerhof, etc.) qui dépendent uniquement de l'angle de frottement \(\varphi\) du sol.
Géosynthétique: Matériau polymère (ex: géogrille, géotextile) utilisé pour améliorer les fonctions du sol (renforcement, drainage, filtration, séparation).
Poussée Passive (\(K_p\)): La résistance horizontale maximale qu'un massif de sol peut mobiliser lorsqu'il est comprimé (poussé). C'est le contraire de la poussée active (qui pousse).
Surcharge (\(q\)): Le poids du sol situé au-dessus du niveau de la base de la fondation (\(q = \gamma \cdot D_f\)).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de la Fondation Renforcée

Questions à traiter

Les bases sur la Capacité Portante

Correction : Calcul de la capacité portante d'une fondation sur sol renforcé

Question 1 : Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\)) du sol *non renforcé* (selon Terzaghi).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Mécanisme de rupture de Terzaghi (non renforcé)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Pression Ultime Non Renforcée

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Déterminer la profondeur du bloc de sol renforcé (\(d\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur la Géométrie du Renforcement

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la capacité portante à la base du bloc (\(q_b\)), en considérant le bloc comme une fondation profonde.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul de \(q_b\) à la base du bloc

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer l'augmentation de portance due au cisaillement latéral (\(\Delta q_s\)) selon le modèle de Meyerhof & Hanna.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Question 1 : Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\)) du sol non renforcé (selon Terzaghi).