Comparaison Hoek-Brown et Mohr-Coulomb
Contexte : Le dimensionnement en mécanique des roches.
En ingénierie géotechnique, l'évaluation de la résistance d'un massif rocheux est cruciale pour la conception d'ouvrages tels que les tunnels, les fondations ou les talus. Deux des critères de rupture les plus utilisés sont celui de Mohr-Coulomb, un modèle linéaire simple, et celui de Hoek-Brown, un modèle non-linéaire empirique plus adapté aux massifs rocheux fracturés. Cet exercice a pour but de comparer leurs domaines de validité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler le critère de Hoek-Brown, à trouver ses paramètres équivalents de Mohr-Coulomb, et à comprendre visuellement pourquoi un modèle linéaire est une approximation d'un comportement non-linéaire plus réaliste.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les paramètres du critère de Hoek-Brown généralisé (\(m_b, s, a\)).
- Déterminer l'enveloppe de rupture non-linéaire de Hoek-Brown.
- Calculer les paramètres équivalents de Mohr-Coulomb (cohésionForce qui maintient ensemble les particules d'un matériau. C'est la résistance au cisaillement pour une contrainte normale nulle. et angle de frottementAngle caractérisant la résistance au cisaillement d'un matériau due au frottement entre ses particules.).
- Comparer graphiquement et analytiquement les deux critères de rupture.
- Comprendre les limites du modèle linéaire de Mohr-Coulomb pour les massifs rocheux.
Données de l'étude
Caractéristiques du massif rocheux
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance en compression uniaxiale (roche intacte) | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 MPa |
| Constante du matériau (granite) | \(m_i\) | 17 |
| Geological Strength Index | GSI | 55 |
| Facteur de dommage (excavation de bonne qualité) | \(D\) | 0 |
Questions à traiter
- Calculer les paramètres \(m_b\), \(s\) et \(a\) du critère de Hoek-Brown généralisé.
- Calculer la résistance maximale \(\sigma_1\) selon Hoek-Brown pour des contraintes de confinement \(\sigma_3\) de 0, 2, 5 et 10 MPa.
- Déterminer la plage de contrainte de calcul \(\sigma_{3\text{max}}\) pour l'équivalence.
- Calculer l'angle de frottement \(\phi'\) et la cohésion \(c'\) équivalents du critère de Mohr-Coulomb.
- Comparer les valeurs de \(\sigma_1\) obtenues avec les deux modèles pour les mêmes contraintes de confinement et analyser les résultats.
Les bases sur les critères de rupture
Pour prédire si une roche va rompre sous un état de contrainte donné (\(\sigma_1, \sigma_3\)), on utilise une fonction mathématique appelée critère de rupture, qui définit une enveloppe dans le plan des contraintes.
1. Critère de Mohr-Coulomb (Linéaire)
Exprimé en contraintes principales, il s'écrit :
\[ \sigma_1 = \sigma_3 \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} + 2c' \frac{\cos\phi'}{1-\sin\phi'} \]
Où \(c'\) est la cohésion et \(\phi'\) est l'angle de frottement effectif. C'est une droite dans le plan (\(\sigma_3, \sigma_1\)).
2. Critère de Hoek-Brown (Non-linéaire)
Il est plus adapté aux massifs rocheux et s'écrit :
\[ \sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{\text{ci}} \left( m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)^a \]
Les paramètres \(m_b, s, a\) dépendent de la qualité du massif (GSI) et des propriétés de la roche intacte (\(m_i\)).
Correction : Comparaison Hoek-Brown et Mohr-Coulomb
Question 1 : Calcul des paramètres \(m_b\), \(s\) et \(a\)
Principe
Les paramètres \(m_b\), \(s\) et \(a\) permettent d'adapter le critère de Hoek-Brown, initialement défini pour la roche intacte, à l'échelle du massif rocheux en tenant compte de sa fracturation (via le GSI) et des dommages liés à l'excavation (via D).
Mini-Cours
Le critère de Hoek-Brown est empirique, ce qui signifie qu'il est basé sur l'observation et l'expérience plutôt que sur une théorie fondamentale. Les paramètres \(m_b\) (qui régit l'influence du frottement), \(s\) (qui représente la "cohésion" du massif) et \(a\) (qui ajuste la courbure de l'enveloppe) sont des fonctions ajustées sur de très nombreuses données d'essais pour refléter la dégradation des propriétés mécaniques de la roche intacte vers le massif fracturé.
Remarque Pédagogique
Pensez à ces paramètres comme des "potentiomètres" qui ajustent la courbe de résistance. Un GSI élevé donne des paramètres qui se rapprochent de ceux de la roche intacte (la courbe est plus haute et plus "forte"), tandis qu'un GSI faible les dégrade fortement, aplatissant la courbe de résistance.
Normes
Ces formules sont issues des publications de Evert Hoek et ses collaborateurs. Elles ne proviennent pas d'une norme au sens strict (comme l'Eurocode), mais elles constituent l'état de l'art et sont universellement reconnues et recommandées dans la pratique de l'ingénierie des roches.
Formule(s)
Formule du paramètre \(m_b\)
Formule du paramètre \(s\)
Formule du paramètre \(a\)
Hypothèses
Le calcul de ces paramètres suppose que le massif rocheux peut être considéré comme un milieu homogène et isotrope à l'échelle de l'ouvrage étudié. On suppose également que les valeurs de GSI, \(m_i\) et D sont représentatives de l'ensemble du massif.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Geological Strength Index | GSI | 55 |
| Constante du matériau | \(m_i\) | 17 |
| Facteur de dommage | \(D\) | 0 |
Astuces
Pour une excavation de bonne qualité, \(D=0\), ce qui simplifie les dénominateurs des exposants à 28 et 9. Mémoriser ces deux valeurs peut accélérer les calculs courants.
Schéma (Avant les calculs)
Processus de détermination des paramètres
Calcul(s)
Calcul du paramètre \(m_b\)
Calcul du paramètre \(s\)
Calcul du paramètre \(a\)
Schéma (Après les calculs)
Paramètres de sortie calculés
Réflexions
La valeur de \(m_b\) (3.41) est bien plus faible que celle de \(m_i\) (17), ce qui confirme que la fracturation du massif a considérablement réduit sa résistance par rapport à la roche saine. La valeur de \(s\) est très faible mais non nulle, indiquant une très faible cohésion du massif. La valeur de \(a\) (légèrement supérieure à 0.5) est typique des massifs rocheux de qualité moyenne à médiocre.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est une faute de frappe dans les longues formules exponentielles. Vérifiez bien les signes et l'ordre des opérations (GSI - 100, et non l'inverse). Assurez-vous aussi que votre calculatrice gère correctement les priorités.
Points à retenir
Retenez que GSI, \(m_i\) et D sont les trois ingrédients fondamentaux pour "cuisiner" les paramètres du massif. GSI et D décrivent l'état du massif, tandis que \(m_i\) décrit la nature de la roche elle-même.
Le saviez-vous ?
Le GSI a été développé par Evert Hoek dans les années 1990 pour fournir un système de quantification de la qualité des massifs rocheux qui soit plus pratique sur le terrain pour les ingénieurs, en comblant le vide laissé par les classifications existantes qui étaient soit trop complexes, soit trop simplistes pour les roches de mauvaise qualité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la valeur de \(m_b\) pour un massif de moins bonne qualité avec un GSI = 40 (tous les autres paramètres inchangés).
Question 2 : Calcul de la résistance \(\sigma_1\) selon Hoek-Brown
Principe
En utilisant les paramètres calculés et le critère de Hoek-Brown, on peut déterminer la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) que le massif peut supporter avant de rompre, pour une contrainte de confinement \(\sigma_3\) donnée.
Mini-Cours
La résistance d'une roche n'est pas une valeur unique. Elle dépend fortement de la contrainte de confinement \(\sigma_3\). Plus la roche est "serrée" (confinée), plus elle est capable de supporter une contrainte axiale \(\sigma_1\) élevée avant de rompre. Le critère de Hoek-Brown modélise cette augmentation de résistance de manière non-linéaire, ce qui est très représentatif du comportement réel des roches.
Remarque Pédagogique
Visualisez un tas de sable : sans confinement (\(\sigma_3 = 0\)), il ne peut supporter aucune charge verticale. Si vous le serrez dans vos mains (\(\sigma_3 > 0\)), il devient capable de supporter un poids. Les roches fracturées se comportent de manière similaire : le confinement referme les fissures et augmente le frottement interne.
Normes
L'application de la formule de Hoek-Brown est une pratique standard dans le domaine de l'ingénierie des roches, recommandée par de nombreuses sociétés savantes comme l'ISRM (International Society for Rock Mechanics).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que l'état de contrainte est bien décrit par les contraintes principales \(\sigma_1\) (majeure) et \(\sigma_3\) (mineure), et que la rupture se produit selon ce critère.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance compression uniaxiale | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 MPa |
| Paramètre Hoek-Brown | \(m_b\) | 3.41 |
| Paramètre Hoek-Brown | \(s\) | 0.00674 |
| Paramètre Hoek-Brown | \(a\) | 0.504 |
Astuces
Commencez toujours par calculer le terme entre parenthèses \(\left( m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)\), puis élevez-le à la puissance \(a\). Cela évite les erreurs de priorité dans la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
État de contrainte et enveloppe de rupture
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Points sur l'enveloppe de rupture
Réflexions
La résistance en compression "simple" du massif (pour \(\sigma_3=0\)) est de 9.25 MPa, soit seulement 7.7% de la résistance de la roche intacte (120 MPa). Cela illustre l'effet drastique de la fracturation. On note aussi que l'augmentation de la résistance est rapide au début (passer de 0 à 2 MPa de confinement triple quasiment la résistance) puis ralentit, ce qui est caractéristique de la non-linéarité.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes vos contraintes sont dans la même unité (MPa ici) avant d'appliquer la formule. Ne mélangez jamais des GPa et des MPa !
Points à retenir
Le point clé est que le confinement augmente la résistance de manière non-linéaire. Le gain de résistance est plus important à faible confinement qu'à fort confinement.
Le saviez-vous ?
Certaines roches, comme les schistes ou les évaporites, peuvent avoir un comportement plastique ou visqueux sous fort confinement, où elles se déforment sans rompre brutalement. Le critère de Hoek-Brown est un critère de rupture fragile et ne s'applique pas directement à ces comportements.
FAQ
Résultat Final
| \(\sigma_3\) (MPa) | 0 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) (MPa) | 9.25 | 30.68 | 50.18 | 74.45 |
A vous de jouer
Calculez la résistance \(\sigma_1\) pour une contrainte de confinement \(\sigma_3 = 1 \text{ MPa}\).
Question 3 : Déterminer la plage de contrainte de calcul \(\sigma_{3\text{max}}\)
Principe
Pour trouver des paramètres de Mohr-Coulomb "équivalents", il faut d'abord définir la plage de contraintes sur laquelle l'ajustement linéaire sera effectué. Cette plage dépend du type de problème (talus, tunnel, fondation). Pour un tunnel, on utilise une formule empirique qui estime la contrainte maximale pertinente.
Mini-Cours
L'idée est d'approximer une courbe par une droite. Cette approximation ne sera bonne que sur un intervalle limité. Le choix de cet intervalle est crucial. Pour les talus, le confinement est faible, donc on choisit un \(\sigma_{3\text{max}}\) bas. Pour les fondations sous de hauts barrages, le confinement est très élevé, on choisit un \(\sigma_{3\text{max}}\) plus grand. Pour les tunnels, la formule empirique donne un bon compromis pour les contraintes typiques autour d'une excavation souterraine.
Remarque Pédagogique
C'est comme essayer de tracer une droite sur une section d'un arc de cercle. Si vous prenez une section très petite, la droite sera une excellente approximation. Si vous essayez de représenter tout le demi-cercle par une seule droite, l'approximation sera très mauvaise. Le choix de \(\sigma_{3\text{max}}\) définit la "longueur" de l'arc que vous essayez d'approximer.
Normes
Les formules pour \(\sigma_{3\text{max}}\) sont des recommandations issues des travaux de Hoek, Carranza-Torres & Corkum (2002), basées sur l'analyse numérique de nombreux cas de figure. Elles sont considérées comme des bonnes pratiques d'ingénierie.
Formule(s)
La contrainte de confinement maximale \(\sigma_{3\text{max}}\) est estimée par la relation suivante pour les tunnels :
Hypothèses
On suppose que le problème d'ingénierie concerne bien une excavation souterraine (tunnel) et que les contraintes autour de l'ouvrage resteront majoritairement dans cette plage.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance compression uniaxiale | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 MPa |
Astuces
Le facteur 0.25 est facile à retenir : c'est un quart de la résistance de la roche intacte. Pour les talus, une autre valeur commune à retenir est \(\sigma_{3\text{max}} = 0.1 \cdot \sigma_{\text{c,massif}}\), où \(\sigma_{\text{c,massif}}\) est la résistance du massif (calculée avec \(\sigma_3=0\)).
Schéma (Avant les calculs)
Plage d'équivalence
Calcul(s)
Calcul de la contrainte de confinement maximale
Schéma (Après les calculs)
Plage d'équivalence définie
Réflexions
L'équivalence entre les deux critères ne sera donc optimisée que pour une plage de confinement allant de 0 à 30 MPa. En dehors de cette plage, l'approximation de Mohr-Coulomb sera moins précise. C'est une limite importante à garder en tête lors de l'interprétation des résultats d'un calcul utilisant ces paramètres équivalents.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser des paramètres de Mohr-Coulomb équivalents sans connaître la plage de validité \(\sigma_{3\text{max}}\) pour laquelle ils ont été calculés. Utiliser ces paramètres pour un problème de talus (faible confinement) alors qu'ils ont été calculés pour un tunnel (confinement moyen) peut mener à des erreurs de dimensionnement significatives.
Points à retenir
La notion d'équivalence est toujours liée à une plage de validité. Il n'existe pas de paramètres Mohr-Coulomb "universellement" équivalents à un critère de Hoek-Brown donné.
Le saviez-vous ?
Le choix de la plage d'équivalence est l'une des plus grandes sources de discussion et d'incertitude dans la pratique. Certains ingénieurs préfèrent ajuster la droite de Mohr-Coulomb pour qu'elle soit tangente à la courbe de Hoek-Brown au point de contrainte moyen attendu, plutôt que de faire une régression sur toute une plage.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(\sigma_{3\text{max}}\) si la roche intacte avait une résistance \(\sigma_{\text{ci}}\) de 200 MPa ?
Question 4 : Calculer les paramètres équivalents \(c'\) et \(\phi'\)
Principe
On utilise des formules de régression développées par Hoek et al. qui permettent de trouver la meilleure droite (critère de Mohr-Coulomb) qui s'ajuste à la courbe de Hoek-Brown sur la plage de contrainte \([0, \sigma_{3\text{max}}]\) définie précédemment.
Mini-Cours
Mathématiquement, il s'agit d'un problème d'optimisation. On cherche une droite (définie par sa pente \(\phi'\) et son ordonnée à l'origine \(c'\)) qui minimise l'erreur (par exemple, la somme des carrés des écarts) par rapport à la courbe de Hoek-Brown sur l'intervalle \([0, \sigma_{3\text{max}}]\). Les formules fournies par Hoek sont la solution analytique de ce problème d'ajustement.
Remarque Pédagogique
Ne vous laissez pas intimider par la complexité des formules. Elles ne sont que l'application de la méthode. L'important est de comprendre le "pourquoi" : on force un modèle linéaire simple à ressembler le plus possible à un modèle non-linéaire plus réaliste, sur la zone qui nous intéresse.
Normes
Ces formules sont la méthode de référence proposée dans les publications de Hoek, Carranza-Torres & Corkum (2002) et sont intégrées dans la plupart des logiciels de calcul géotechnique (comme Rocscience).
Formule(s)
Formule de l'angle de frottement équivalent \(\phi'\)
Formule de la cohésion équivalente \(c'\)
Avec \(\sigma_{3n} = \sigma_{3\text{max}} / \sigma_{\text{ci}}\).
Hypothèses
Les formules supposent que l'on cherche une équivalence sur la plage \([0, \sigma_{3\text{max}}]\). Si la plage de contraintes d'intérêt était différente (par exemple, \([\sigma_{3\text{min}}, \sigma_{3\text{max}}]\)), les formules d'équivalence seraient différentes.
Donnée(s)
On utilise les paramètres H-B et la valeur de \(\sigma_{3\text{max}}\) précédemment calculés.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Paramètres H-B | \(m_b, s, a\) | 3.41, 0.00674, 0.504 |
| Contrainte max. | \(\sigma_{3\text{max}}\) | 30 MPa |
| Contrainte roche intacte | \(\sigma_{\text{ci}}\) | 120 MPa |
Astuces
Ces calculs sont longs à la main. Il est fortement recommandé d'utiliser un tableur (Excel, Google Sheets) pour les effectuer pas à pas, en dédiant une cellule à chaque terme intermédiaire. Cela minimise les risques d'erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Ajustement linéaire de la courbe H-B
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte de confinement normalisée \(\sigma_{3n}\)
Étape 2 : Calcul du terme intermédiaire
Étape 3 : Calcul de l'angle de frottement équivalent \(\phi'\)
Étape 4 : Calcul de la cohésion équivalente \(c'\)
On calcule d'abord le numérateur de la fraction :
Puis le dénominateur :
Et enfin la cohésion :
Schéma (Après les calculs)
Superposition des critères H-B et M-C
Réflexions
L'angle de frottement obtenu (36.5°) et la cohésion (6.46 MPa) sont des valeurs typiques pour un granite de cette qualité. Ils n'ont de sens physique qu'en tant que couple de paramètres décrivant la meilleure droite d'ajustement. Ils ne représentent pas directement le frottement ou la cohésion "réels" au niveau microscopique.
Points de vigilance
Attention aux angles ! La formule donne \(\phi'\) en radians. N'oubliez pas de le convertir en degrés pour l'interprétation. De même, si vous utilisez un tableur, assurez-vous que les fonctions trigonométriques (sin, arcsin) utilisent l'unité (degrés ou radians) que vous attendez.
Points à retenir
Retenez que \(c'\) et \(\phi'\) ne sont pas des propriétés intrinsèques du massif. Ce sont des paramètres "équivalents" qui dépendent de la plage de contraintes choisie. Si on avait choisi \(\sigma_{3\text{max}} = 10\) MPa, on aurait obtenu des valeurs de \(c'\) et \(\phi'\) différentes.
Le saviez-vous ?
De nombreux logiciels géotechniques n'acceptent en entrée que des paramètres de Mohr-Coulomb. C'est pourquoi cette procédure de calcul des paramètres équivalents est si fondamentale en pratique : elle permet d'utiliser des modèles de calcul simples (basés sur M-C) tout en tenant compte, de manière approchée, de la non-linéarité du comportement des massifs rocheux via Hoek-Brown.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Sans faire le calcul complet, si le GSI était plus faible (ex: 40), vous attendriez-vous à un angle de frottement \(\phi'\) plus grand ou plus petit ?
Question 5 : Comparaison et analyse des deux modèles
Principe
Le but de cette dernière étape est de superposer les deux modèles (le "vrai" modèle non-linéaire de Hoek-Brown et son approximation linéaire de Mohr-Coulomb) pour visualiser et quantifier l'erreur que l'on commet en utilisant le modèle simplifié. C'est l'étape d'analyse critique des résultats.
Mini-Cours
La différence entre les deux modèles illustre un concept fondamental en ingénierie : le compromis entre la précision et la simplicité. Le critère de Mohr-Coulomb est beaucoup plus simple à intégrer dans des calculs analytiques (stabilité de talus, capacité portante), mais il ne capture pas la courbure de l'enveloppe de rupture des roches. Cette courbure implique que le "gain" de résistance dû au confinement diminue à mesure que le confinement augmente. L'analyse de l'erreur nous renseigne sur la pertinence de l'approximation pour notre problème spécifique.
Remarque Pédagogique
Obtenir des chiffres est une chose, mais un ingénieur doit surtout comprendre ce qu'ils signifient. Cette étape vous entraîne à ne pas accepter aveuglément un résultat de calcul, mais à le critiquer en le comparant à un modèle plus raffiné. Demandez-vous toujours : "mon modèle simplifié est-il conservateur (sécuritaire) ou non-conservateur (dangereux) dans la zone qui m'intéresse ?"
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais l'analyse comparative est une démarche intellectuelle fondamentale recommandée dans tous les guides de bonne pratique en modélisation numérique et en ingénierie. Elle relève de la validation de modèle.
Formule(s)
Formule de Hoek-Brown (rappel)
Formule de Mohr-Coulomb (rappel)
Hypothèses
On suppose que le critère de Hoek-Brown représente le comportement "réel" du massif et que le critère de Mohr-Coulomb en est une approximation. La comparaison est effectuée pour les mêmes états de contrainte de confinement \(\sigma_3\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Paramètres H-B | \(m_b, s, a, \sigma_{ci}\) | 3.41, 0.00674, 0.504, 120 MPa |
| Paramètres M-C | \(c', \phi'\) | 6.46 MPa, 36.5° |
| Contraintes de confinement | \(\sigma_3\) | 0, 2, 5, 10 MPa |
Astuces
Pour calculer rapidement le facteur multiplicateur de \(\sigma_3\) dans la formule de M-C, vous pouvez le pré-calculer une seule fois : \(K_p = \tan^2(45^\circ + 36.5^\circ/2) \approx 3.94\). De même pour le terme de cohésion : \(2c'\sqrt{K_p} \approx 2 \cdot 6.46 \cdot \sqrt{3.94} \approx 25.6\). La formule devient alors la simple équation de droite : \(\sigma_1 \approx 3.94 \sigma_3 + 15.96\).
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la comparaison
Calcul(s)
On applique la formule de Mohr-Coulomb pour chaque valeur de \(\sigma_3\) et on compare au résultat de la question 2.
| \(\sigma_3\) (MPa) | \(\sigma_1\) (H-B) (MPa) | \(\sigma_1\) (M-C) (MPa) | Différence (%) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9.25 | 15.96 | +72.5% |
| 2 | 30.68 | 23.83 | -22.3% |
| 5 | 50.18 | 35.63 | -29.0% |
| 10 | 74.45 | 55.30 | -25.7% |
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des enveloppes de rupture H-B et M-C
Réflexions
L'analyse montre que le critère de Mohr-Coulomb équivalent sur-estime significativement la résistance à faible confinement (+72.5% d'erreur pour \(\sigma_3=0\)), ce qui est potentiellement dangereux pour l'analyse de la stabilité des parois d'un tunnel où le confinement est nul. En revanche, il sous-estime la résistance pour des confinements plus élevés, ce qui serait trop conservateur (et donc anti-économique) pour des calculs de fondations profondes. Cela démontre la nécessité de choisir le bon critère pour le bon problème.
Points de vigilance
Le principal danger est d'utiliser le modèle de Mohr-Coulomb équivalent dans une zone où il est non-conservateur (c'est-à-dire qu'il prédit une résistance plus élevée que la réalité). Pour un tunnel, la zone la plus critique est souvent la paroi (\(\sigma_3=0\)), précisément là où l'erreur est la plus grande et la plus dangereuse.
Points à retenir
Une approximation linéaire d'un phénomène non-linéaire n'est jamais parfaite. Elle sera toujours optimiste dans certaines zones et pessimiste dans d'autres. L'analyse critique de ces zones est une compétence essentielle pour l'ingénieur.
Le saviez-vous ?
Pour pallier ce problème, certains logiciels de calcul numérique avancés (comme les codes par éléments finis ou par éléments distincts) permettent d'implémenter directement le critère de Hoek-Brown non-linéaire, évitant ainsi d'avoir recours à l'approximation de Mohr-Coulomb et aux erreurs qui en découlent.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
D'après le graphique, l'erreur entre les deux modèles semble s'annuler pour une certaine valeur de \(\sigma_3\). Approximativement, à quel niveau de confinement (en MPa) les deux courbes se croisent-elles ?
Outil Interactif : Comparaison des Critères
Utilisez les curseurs pour faire varier les propriétés du massif rocheux et observez en temps réel comment les enveloppes de rupture de Hoek-Brown (courbe pleine) et de son équivalent Mohr-Coulomb (droite) évoluent.
Paramètres du Massif
Paramètres M-C Équivalents
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente principalement le GSI (Geological Strength Index) ?
- L'état de fracturation et la qualité des discontinuités du massif.
- La présence d'eau dans le massif.
2. Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est représenté par :
- Une droite.
- Une courbe exponentielle.
3. Dans quel cas le critère de Hoek-Brown est-il généralement plus approprié ?
- Pour des essais sur des échantillons de roche intacte en laboratoire.
- Pour l'analyse de la stabilité d'un tunnel dans un massif rocheux fracturé.
4. Une diminution de la valeur du GSI implique :
- Une diminution de la résistance du massif rocheux.
- Aucune influence sur la résistance du massif.
5. L'équivalence entre Hoek-Brown et Mohr-Coulomb est :
- Une transformation mathématique exacte quel que soit le niveau de contrainte.
- Impossible à réaliser.
Glossaire
- Contrainte de confinement (\(\sigma_3\))
- La contrainte principale mineure, qui agit pour "serrer" la roche. Elle a un effet majeur sur la résistance au cisaillement.
- Critère de rupture
- Une équation qui définit la limite entre un état de contrainte stable et un état de contrainte provoquant la rupture du matériau.
- Geological Strength Index (GSI)
- Un indice visuel (de 0 à 100) utilisé pour estimer la résistance d'un massif rocheux en fonction de sa structure et de l'état des discontinuités.
- Résistance en compression uniaxiale (\(\sigma_{\text{ci}}\))
- La contrainte maximale qu'un échantillon de roche intacte (sans fissures) peut supporter avant de rompre, lorsqu'il est comprimé dans une seule direction sans confinement.
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