Détermination des paramètres λ et κ du modèle Cam-Clay
Contexte : Le modèle Cam-ClayUn modèle de comportement des sols qui décrit la relation entre les contraintes, les déformations et l'indice des vides pour les sols argileux..
En mécanique des sols, il est crucial de pouvoir prédire le tassement des sols argileux sous l'effet des charges de construction. Le modèle Cam-Clay est un outil puissant pour cela, en particulier pour les argiles normalement consolidées. Ce modèle utilise deux paramètres clés, l'indice de compression λ (lambda)Pente de la droite de compression vierge dans le plan e-ln(p'). Il caractérise la compressibilité du sol. et l'indice de gonflement κ (kappa)Pente de la droite de décharge/recharge (gonflement) dans le plan e-ln(p'). Il caractérise l'élasticité du sol., qui sont déterminés à partir des résultats d'un essai oedométrique. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse des données de laboratoire pour extraire ces paramètres fondamentaux.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à interpréter les résultats bruts d'un essai de laboratoire standard, à les représenter graphiquement dans l'espace approprié \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\), et à en déduire des paramètres de modèle constitutif essentiels pour les calculs géotechniques.
Objectifs Pédagogiques
- Tracer et interpréter une courbe de compressibilité oedométrique.
- Déterminer graphiquement la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\).
- Calculer l'indice de compression λ à partir de la droite de compression vierge.
- Calculer l'indice de gonflement κ à partir de la courbe de décharge/recharge.
Données de l'étude
Schéma d'une cellule oedométrique
| Étape de chargement | Contrainte verticale effective (\(\sigma'_{\text{v}}\)) [kPa] | Indice des vides (e) [-] |
|---|---|---|
| Chargement 1 | 25 | 1.25 |
| Chargement 2 | 50 | 1.23 |
| Chargement 3 | 100 | 1.19 |
| Chargement 4 | 200 | 1.11 |
| Chargement 5 | 400 | 0.99 |
| Chargement 6 | 800 | 0.87 |
| Déchargement 1 | 200 | 0.90 |
| Déchargement 2 | 50 | 0.94 |
Questions à traiter
- Tracer la courbe de compressibilité en représentant l'indice des vides (e) en fonction du logarithme népérien de la contrainte verticale effective (\(\ln(\sigma'_{\text{v}})\)).
- Déterminer graphiquement la contrainte de préconsolidation (\(\sigma'_{\text{p}}\)) par la méthode de Casagrande.
- Calculer l'indice de compression, λ.
- Calculer l'indice de gonflement, κ.
Les bases du modèle Cam-Clay
Le modèle Cam-Clay est un modèle élasto-plastique qui décrit le comportement des sols argileux. Il postule que le comportement du sol peut être visualisé dans un plan \(e, \ln(p')\), où 'e' est l'indice des vides et 'p'' est la contrainte effective moyenne. Pour un essai oedométrique, on simplifie en utilisant la contrainte verticale effective \(\sigma'_{\text{v}}\).
1. Droite de Compression Vierge (Normal Consolidation Line - NCL)
Lorsqu'un sol est chargé au-delà de sa contrainte de préconsolidation, il suit une droite dans le plan \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\). La pente de cette droite est notée -λ.
\[ e = N - \lambda \ln(\sigma'_{\text{v}}) \]
Où N est une constante (l'indice des vides pour \(\sigma'_{\text{v}} = 1 \text{ kPa}\)).
2. Droite de Gonflement (Swelling Line - SL)
Lors de la décharge et de la recharge sous la contrainte de préconsolidation, le sol suit une autre droite de pente plus faible, notée -κ. Ce comportement est considéré comme principalement élastique.
\[ e = e_\kappa - \kappa \ln(\sigma'_{\text{v}}) \]
Correction : Détermination des paramètres λ et κ du modèle Cam-Clay
Question 1 : Tracer la courbe \(e - \ln(\sigma'_{\text{v}})\)
Principe
La première étape consiste à transformer nos données brutes pour les visualiser dans le plan pertinent pour le modèle Cam-Clay. L'utilisation du logarithme de la contrainte permet de linéariser les phases de compression et de gonflement, ce qui facilite grandement l'interprétation.
Mini-Cours
La transformation d'une échelle linéaire pour la contrainte en une échelle logarithmique est une technique courante en ingénierie. Elle permet de visualiser sur un seul graphique des phénomènes qui s'étendent sur plusieurs ordres de grandeur. En mécanique des sols, cette transformation révèle les relations linéaires distinctes prédites par des modèles comme Cam-Clay.
Donnée(s) et Calcul(s)
Nous devons calculer le logarithme népérien (ln) pour chaque valeur de contrainte \(\sigma'_{\text{v}}\) de l'énoncé.
| \(\sigma'_{\text{v}} \text{ [kPa]}\) | \(\ln(\sigma'_{\text{v}})\) | \(e \text{ [-]}\) |
|---|---|---|
| 25 | 3.22 | 1.25 |
| 50 | 3.91 | 1.23 |
| 100 | 4.61 | 1.19 |
| 200 | 5.30 | 1.11 |
| 400 | 5.99 | 0.99 |
| 800 | 6.68 | 0.87 |
| 200 | 5.30 | 0.90 |
| 50 | 3.91 | 0.94 |
Schéma (Après les calculs)
En reportant ces points sur un graphique, on obtient la courbe de compressibilité.
Courbe oedométrique dans le plan \(e - \ln(\sigma'_{\text{v}})\)
Réflexions
Le graphique obtenu met immédiatement en évidence l'histoire du sol. La partie initiale, plus plate, correspond à une recompression dans une plage de contraintes que le sol a déjà connue. La partie plus raide montre que le sol entre dans un état "vierge", où il se comprime beaucoup plus sous de nouvelles charges plus élevées. La courbe finale ascendante illustre le faible rebond élastique lors du déchargement.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est de mal calculer le logarithme ou de tracer les points sur un axe des abscisses linéaire, ce qui masquerait le comportement réel. Il faut toujours vérifier que l'axe du graphique est bien logarithmique ou que les valeurs de logarithme calculées sont reportées sur un axe linéaire, ce qui est équivalent. Assurez-vous que tous les points sont correctement placés avant de passer à l'interprétation.
Points à retenir
La courbe montre clairement deux comportements distincts : une première partie de recompression, suivie d'une compression vierge (pente plus forte), puis une phase de déchargement (gonflement) avec une pente plus faible.
Question 2 : Déterminer la contrainte de préconsolidation (\(\sigma'_{\text{p}}\))
Principe
La contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) est la contrainte effective maximale que le sol a subie dans son histoire. Elle marque la transition entre le comportement surconsolidé (pseudo-élastique) et le comportement normalement consolidé (plastique). On la détermine graphiquement par la méthode de Casagrande (1936).
Mini-Cours
Le concept de préconsolidation est fondamental en géotechnique. Il permet de distinguer les sols "surconsolidés" (OC), qui ont subi des contraintes plus élevées par le passé (\(\sigma'_{\text{v}} < \sigma'_{\text{p}}\)), des sols "normalement consolidés" (NC), qui sont actuellement à leur contrainte maximale historique (\(\sigma'_{\text{v}} = \sigma'_{\text{p}}\)). Les sols OC sont plus rigides et moins compressibles que les sols NC. La construction de Casagrande est une méthode graphique empirique, mais universellement acceptée, pour estimer cette valeur de contrainte cruciale.
Méthode (Casagrande)
- Identifier le point de courbure maximale (A) sur la courbe de compression.
- Tracer la tangente à la courbe en ce point (T1).
- Tracer une droite horizontale (H) passant par ce point.
- Tracer la bissectrice (B) de l'angle entre la tangente (T1) et l'horizontale (H).
- Prolonger la partie rectiligne de la fin de la courbe de compression (droite de compression vierge, T2).
- L'intersection de la bissectrice (B) et de la prolongation (T2) donne un point (C). L'abscisse de ce point est le logarithme de la contrainte de préconsolidation, \(\ln(\sigma'_{\text{p}})\).
Schéma (Après les calculs)
Appliquons la construction de Casagrande à notre courbe.
Construction de Casagrande
Réflexions
La valeur déterminée de \(\sigma'_{\text{p}} \approx 150 \text{ kPa}\) nous indique que si une future construction impose une contrainte inférieure à cette valeur, le tassement qui en résultera sera relativement faible (gouverné par le paramètre \(\kappa\)). En revanche, si la contrainte dépasse 150 kPa, le sol entrera en compression vierge et le tassement sera beaucoup plus important (gouverné par le paramètre \(\lambda\)). Cette information a des conséquences directes sur le dimensionnement des fondations.
Points de vigilance
La construction de Casagrande est subjective, notamment en ce qui concerne l'identification du point de courbure maximale. Des ingénieurs différents peuvent obtenir des valeurs légèrement différentes. Il est donc important d'être méthodique. L'étape la plus délicate est le tracé correct de la tangente (T1) et de la bissectrice (B). Une petite erreur d'angle peut décaler de manière significative le point d'intersection final.
Résultat Final
\[ \sigma'_{\text{p}} = e^{5.0} \approx 148 \text{ kPa} \] On arrondit à \(\sigma'_{\text{p}} \approx 150 \text{ kPa}\).
Question 3 : Calculer l'indice de compression λ
Principe
L'indice de compression \(\lambda\) (lambda) représente la compressibilité du sol une fois qu'il a dépassé son état de contrainte historique maximal (la préconsolidation). Physiquement, il mesure combien l'indice des vides diminue lorsque la contrainte effective augmente sur une échelle logarithmique. Une valeur de \(\lambda\) élevée signifie que le sol est très "mou" et se tassera beaucoup sous de nouvelles charges.
Mini-Cours
Le paramètre \(\lambda\) est la pente (en valeur absolue) de la "Droite de Compression Vierge" (Normal Consolidation Line - NCL) dans le plan \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\). Cette droite modélise le comportement irréversible (plastique) du sol. Tout point sur cette droite indique que le sol est à son état de contrainte maximal historique ; il est "normalement consolidé".
Remarque Pédagogique
Pour obtenir la valeur la plus précise de \(\lambda\), il est conseillé de choisir les deux points les plus éloignés possibles sur la partie clairement rectiligne de la courbe, après le "coude" de préconsolidation. Cela minimise les erreurs de lecture graphique et lisse les petites imperfections de l'essai.
Normes
La détermination de l'indice de compression à partir d'un essai oedométrique est une procédure standard en ingénierie géotechnique, décrite dans les manuels de mécanique des sols et les normes relatives aux essais géotechniques (par exemple, la série de normes NF P94-090 en France ou ASTM D2435).
Formule(s)
Formule de la pente
Hypothèses
Le calcul suppose que le comportement du sol en compression vierge peut être fidèlement représenté par une droite dans le plan \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\), ce qui est une hypothèse fondamentale du modèle Cam-Clay.
Donnée(s)
On choisit deux points sur la droite de compression vierge, par exemple les points correspondant à \(400 \text{ kPa}\) et \(800 \text{ kPa}\), car ils sont clairement situés après la contrainte de préconsolidation (\(\approx 150 \text{ kPa}\)).
- Point 1 : \(\sigma'_{\text{v1}} = 400 \text{ kPa}, e_1 = 0.99 \Rightarrow \ln(400) = 5.99\)
- Point 2 : \(\sigma'_{\text{v2}} = 800 \text{ kPa}, e_2 = 0.87 \Rightarrow \ln(800) = 6.68\)
Astuces
Pour vérifier rapidement, rappelez-vous que \(\lambda\) doit toujours être positif. Si vous obtenez un signe négatif, vous avez probablement inversé les points (\(e_2-e_1\)) ou (\(\ln_2-\ln_1\)) dans votre calcul, ou oublié le signe "-" dans la formule de base.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous met en évidence la Droite de Compression Vierge (NCL) sur la courbe oedométrique, ainsi que les deux points que nous utiliserons pour le calcul de sa pente.
Identification de la Droite de Compression Vierge (NCL)
Calcul(s)
Application de la formule et calcul
Schéma (Après les calculs)
Le calcul de la pente \(\lambda\) peut être visualisé comme le rapport des côtés d'un triangle rectangle formé par les deux points sur la droite NCL.
Visualisation de la pente λ
Réflexions
Une valeur de \(\lambda = 0.174\) est typique d'une argile de plasticité moyenne. Cela indique que le sol subira des tassements significatifs si les charges appliquées dépassent largement sa contrainte de préconsolidation. Cette valeur sera directement utilisée dans les modèles de calcul de tassement.
Points de vigilance
La principale erreur est de choisir des points qui ne sont pas sur la droite de compression vierge (par exemple, un point avant la préconsolidation). Assurez-vous également d'utiliser le logarithme népérien (ln) et non le logarithme décimal (log), une erreur fréquente qui fausse complètement le résultat.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : \(\lambda\) mesure la pente de la compression plastique (irréversible).
- Formule Essentielle : \(\lambda = - \Delta e / \Delta \ln(\sigma'_{\text{v}})\).
- Point de Vigilance Majeur : Utiliser uniquement les points de la droite de compression vierge (après \(\sigma'_{\text{p}}\)).
Le saviez-vous ?
Le modèle Cam-Clay a été développé à l'Université de Cambridge dans les années 1950 et 1960. Il fut l'un des premiers modèles de "mécanique des sols des états critiques" (Critical State Soil Mechanics), une avancée majeure qui a permis d'unifier les comportements de cisaillement et de compression des sols.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si pour une contrainte de \(1000 \text{ kPa}\), l'indice des vides était de 0.81, quelle serait la nouvelle valeur de \(\lambda\) calculée entre \(400 \text{ kPa}\) et \(1000 \text{ kPa}\) ?
Question 4 : Calculer l'indice de gonflement κ
Principe
L'indice de gonflement \(\kappa\) (kappa) représente la partie réversible (élastique) du comportement du sol. Il mesure la variation de l'indice des vides lorsque le sol est déchargé, puis rechargé sous sa contrainte de préconsolidation. Une faible valeur de \(\kappa\) indique que le sol "gonfle" peu lorsqu'on le décharge, ce qui signifie qu'une grande partie de la déformation est permanente.
Mini-Cours
Le paramètre \(\kappa\) est la pente (en valeur absolue) de la "Droite de Gonflement" (Swelling Line - SL) dans le plan \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\). Cette droite modélise le comportement élastique du sol. Contrairement à la compression vierge, les déformations sur cette droite sont en grande partie récupérables. On considère que le sol se comporte de manière élastique pour toute variation de contrainte sous la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\).
Remarque Pédagogique
La pente de décharge est souvent plus facile à identifier que celle de recharge, qui peut présenter une petite boucle d'hystérésis. Pour le calcul de \(\kappa\), il est donc plus fiable d'utiliser les points du chemin de déchargement, en s'assurant qu'ils couvrent une large plage de contraintes pour une meilleure précision.
Normes
Tout comme pour \(\lambda\), la détermination de l'indice de gonflement \(\kappa\) à partir du cycle de décharge-recharge de l'essai oedométrique est une procédure standardisée en géotechnique (ex: NF P94-090, ASTM D2435), essentielle pour les calculs de soulèvement ou de tassements dus à des rechargements ultérieurs.
Formule(s)
Formule de la pente
Hypothèses
Le calcul suppose que le comportement du sol pendant la décharge et la recharge peut être modélisé par une seule et même droite dans le plan \(e-\ln(\sigma'_{\text{v}})\), ce qui revient à négliger le phénomène d'hystérésis (petite boucle formée entre la décharge et la recharge).
Donnée(s)
On choisit deux points sur la droite de décharge. Les données fournies sont (\(800 \text{ kPa}\), 0.87), (\(200 \text{ kPa}\), 0.90), et (\(50 \text{ kPa}\), 0.94). Utilisons les points extrêmes pour une meilleure précision.
- Point 1 : \(\sigma'_{\text{v1}} = 800 \text{ kPa}, e_1 = 0.87 \Rightarrow \ln(800) = 6.68\)
- Point 2 : \(\sigma'_{\text{v2}} = 50 \text{ kPa}, e_2 = 0.94 \Rightarrow \ln(50) = 3.91\)
Astuces
Un contrôle de cohérence simple et efficace est de toujours vérifier que la valeur de \(\kappa\) est significativement inférieure à celle de \(\lambda\). Typiquement, le rapport \(\lambda/\kappa\) varie de 5 à 15 pour les argiles. Si vous trouvez un \(\kappa\) proche ou supérieur à \(\lambda\), il y a certainement une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant isole la courbe de déchargement (Swelling Line - SL) et les points utilisés pour le calcul de la pente \(\kappa\).
Identification de la Droite de Gonflement (SL)
Calcul(s)
Application de la formule et calcul
Note : Le calcul avec les points (\(800 \text{ kPa}\), 0.87) et (\(200 \text{ kPa}\), 0.90) aurait donné \(\kappa \approx 0.022\). La légère différence est due au fait que les points expérimentaux ne sont pas parfaitement alignés. Utiliser les points les plus éloignés est généralement préférable.
Schéma (Après les calculs)
Comme pour lambda, la pente kappa peut se visualiser par un triangle rectangle, cette fois sur la droite de gonflement (SL).
Visualisation de la pente κ
Réflexions
Une valeur de \(\kappa = 0.025\) est faible et confirme que le comportement élastique (réversible) du sol est limité. La majeure partie du tassement subi lors du chargement initial est plastique et permanente. Ce \(\kappa\) sera utilisé pour calculer le gonflement potentiel du sol suite à une excavation, ou le tassement dû à un rechargement qui reste inférieur à la contrainte de préconsolidation.
Points de vigilance
Ne mélangez jamais les points de la courbe de chargement et de déchargement pour calculer \(\kappa\). Ce paramètre est défini UNIQUEMENT sur le chemin de décharge/recharge. De plus, faites attention à l'ordre des points pour ne pas faire d'erreur de signe avant d'appliquer le signe négatif de la formule.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : \(\kappa\) mesure la pente de la déformation élastique (réversible).
- Formule Essentielle : \(\kappa = - \Delta e / \Delta \ln(\sigma'_{\text{v}})\) sur la droite de gonflement.
- Point de Vigilance Majeur : Utiliser uniquement les points du cycle de décharge/recharge.
Le saviez-vous ?
Le rapport \(C_{\text{c}} / (1+e_0)\) où \(C_{\text{c}}\) est l'indice de compression en base log10 est souvent appelé "indice de compressibilité". Dans le modèle Cam-Clay, on préfère \(\lambda\) car le logarithme népérien est mathématiquement plus "naturel" pour les dérivations du modèle. On a la relation : \(\lambda \approx C_{\text{c}} / \ln(10) \approx C_{\text{c}} / 2.302\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les points de décharge à \(200 \text{ kPa}\) (\(e=0.90\)) et \(50 \text{ kPa}\) (\(e=0.94\)), quelle valeur de \(\kappa\) obtenez-vous ?
Outil Interactif : Influence de λ et κ
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier les indices de compression (λ) et de gonflement (κ) et observez leur influence sur la forme de la courbe de compressibilité. La contrainte de préconsolidation est fixée à 150 kPa.
Paramètres du sol
Analyse
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le paramètre λ caractérise :
2. Un sol avec une valeur de λ élevée sera :
3. En général, la relation entre λ et κ est :
4. La contrainte de préconsolidation est déterminée :
5. Le paramètre κ représente :
Glossaire
- Indice des vides (e)
- Rapport du volume des vides sur le volume des grains solides dans un échantillon de sol. C'est une mesure de la compacité du sol.
- Contrainte effective (σ')
- La contrainte supportée par le squelette solide du sol. Elle est calculée en soustrayant la pression interstitielle (pression de l'eau) de la contrainte totale.
- Contrainte de préconsolidation (σ'p)
- La contrainte effective verticale maximale que le sol a subie au cours de son histoire géologique. Elle sépare le comportement sur-consolidé du comportement normalement consolidé.
- Indice de compression (λ)
- Paramètre sans dimension qui quantifie la compressibilité du sol lorsqu'il est chargé au-delà de sa contrainte de préconsolidation (compression vierge).
- Indice de gonflement (κ)
- Paramètre sans dimension qui quantifie la variation de volume (gonflement ou recompression) du sol lors d'un cycle de décharge-recharge sous la contrainte de préconsolidation.
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