Dimensionnement des Liernes et Butons

Génie Civil : Dimensionnement des Liernes et Butons pour un Blindage de Fouille

Dimensionnement des liernes et des butons pour un blindage de fouille

Contexte : Le Transfert des Charges de Soutènement

Pour les fouilles larges ou profondes, une paroi de soutènement simple (en console) n'est plus suffisante. Il faut ajouter un ou plusieurs niveaux d'appuis intermédiaires pour limiter les déformations de la paroi et les moments fléchissants. Ces appuis peuvent être des tirants d'ancrageAncrages actifs scellés dans le sol derrière la paroi, qui sont mis en tension pour retenir la paroi. ou, comme dans cet exercice, des butonsÉléments structuraux travaillant en compression, placés transversalement dans une fouille pour que les parois opposées se soutiennent mutuellement. qui s'appuient sur la paroi opposée. La poussée des terres, qui s'exerce sur toute la surface de la paroi, est collectée par une poutre horizontale appelée liernePoutre horizontale continue qui suit la paroi de soutènement, servant à collecter les efforts de la paroi et à les transmettre aux appuis (butons ou tirants).. La lierne reporte ensuite ces efforts de manière ponctuelle sur les butons. Cet exercice se concentre sur le calcul de ces deux éléments clés : la lierne (poutre en flexion) et le buton (poteau en compression).

Remarque Pédagogique : Ce problème illustre la "descente de charges" dans un ouvrage de soutènement. La pression du sol est d'abord reprise par la paroi verticale, qui la transmet à la lierne, qui à son tour la transmet aux butons. Chaque élément doit être dimensionné pour l'effort qu'il reçoit.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la pression des terres sur une paroi butonnée.
Déterminer l'effort de réaction au niveau d'un appui (buton).
Dimensionner une lierne en flexion (choix d'un profilé métallique).
Calculer l'effort de compression dans un buton.
Vérifier la stabilité au flambement d'un buton.

Données de l'étude

Une fouille de \(H = 8.0 \, \text{m}\) de profondeur et de \(L = 12.0 \, \text{m}\) de largeur est blindée par des parois berlinoises. Un lit de butons et de liernes est placé à \(h_1 = 2.0 \, \text{m}\) de la surface. Les profilés verticaux de la paroi sont espacés de \(e_v = 2.5 \, \text{m}\) et les butons sont espacés horizontalement de \(e_h = 5.0 \, \text{m}\).

Schéma du Blindage Butonné

Données géotechniques et matérielles :

Sol : Sable avec \(\phi' = 30^\circ\) et \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\).
On utilisera un diagramme de pression des terres rectangulaire (méthode de Terzaghi et Peck) pour un sable.
Acier des profilés (liernes et butons) : nuance S235, avec une limite d'élasticité \(f_y = 235 \, \text{MPa}\).

Questions à traiter

Calculer la pression de calcul à l'ELU sur la paroi.
Déterminer la réaction d'appui au niveau du buton, par mètre linéaire de lierne.
Dimensionner la lierne : calculer le moment fléchissant maximal et choisir un profilé adéquat (ex: HEB).
Dimensionner le buton : calculer l'effort de compression et vérifier la stabilité au flambement pour un profilé choisi.

Correction : Dimensionnement des Liernes et Butons

Question 1 : Calcul de la Pression de Calcul sur la Paroi

Principe :

Pour une paroi de soutènement appuyée (butonnée ou ancrée), le diagramme de pression des terres n'est plus triangulaire. La paroi se déformant principalement entre les appuis, les pressions se redistribuent. Pour les sables, Terzaghi et Peck ont proposé un diagramme de pression uniforme "apparent" plus réaliste pour le calcul des efforts dans les appuis.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'utilisation d'un diagramme de pression apparent est une méthode semi-empirique qui a prouvé son efficacité. Elle donne une enveloppe des pressions qui est globalement sûre pour le dimensionnement des appuis (liernes, butons, tirants).

Formule(s) utilisée(s) :

Pression apparente pour les sables (Terzaghi & Peck) :

p_a = 0.65 \times K_a \times \gamma \times H

Pression de calcul à l'ELU (avec \(\gamma_G = 1.35\)) :

p_{a,d} = p_a \times \gamma_G

Donnée(s) :

Hauteur de fouille \(H = 8.0 \, \text{m}\)
Poids volumique du sable \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement \(\phi' = 30^\circ \Rightarrow K_a = 1/3\)
Coefficient de sécurité \(\gamma_G = 1.35\)

Calcul(s) :

1. Calcul de la pression apparente caractéristique :

\begin{aligned} p_a &= 0.65 \times \frac{1}{3} \times 18 \times 8.0 \\ &= 31.2 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Calcul de la pression de calcul :

\begin{aligned} p_{a,d} &= 31.2 \times 1.35 \\ &= 42.12 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Type de Sol : Ce diagramme rectangulaire est spécifique aux sables. Pour les argiles molles, le diagramme apparent est différent (trapézoïdal croissant avec la profondeur), et pour les argiles raides, il est encore différent. Il est crucial d'utiliser le bon diagramme en fonction de la nature du sol.

Le saviez-vous ?

Résultat : La pression de calcul à utiliser pour le dimensionnement des appuis est \(p_{a,d} \approx 42.1 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Calcul de la Réaction d'Appui du Buton

Principe :

La paroi verticale est modélisée comme une poutre continue sur deux appuis : le buton en haut et la fiche en bas. La pression des terres est une charge répartie. La réaction au niveau du buton est calculée en considérant la zone d'influence de cet appui. En première approximation, on peut considérer que le buton reprend la charge de la moitié supérieure de la fouille.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul des réactions d'une poutre sur plus de deux appuis est hyperstatique. Des méthodes simplifiées, comme la méthode de la "surface tributaire" ou des "lignes de rupture", sont souvent utilisées pour une estimation rapide. Ici, on considère que le buton reprend la charge sur une hauteur égale à la demi-distance entre les appuis.

Formule(s) utilisée(s) :

Réaction par mètre linéaire de paroi :

R_{\text{buton/ml}} = p_{a,d} \times \left( \frac{H}{2} \right)

Donnée(s) :

Pression de calcul \(p_{a,d} = 42.12 \, \text{kPa}\)
Hauteur de la fouille \(H = 8.0 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} R_{\text{buton/ml}} &= 42.12 \times \frac{8.0}{2} \\ &= 42.12 \times 4.0 \\ &= 168.48 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Cas multi-appuis : S'il y avait plusieurs lits de butons, la réaction de chaque niveau serait calculée en fonction de sa zone d'influence. Un buton intermédiaire reprendrait la charge sur une hauteur correspondant à la demi-distance avec le buton du dessus et celui du dessous.

Le saviez-vous ?

Résultat : La réaction d'appui au niveau de la lierne est de 168.5 kN par mètre linéaire.

Question 3 : Dimensionnement de la Lierne

Principe :

La lierne est une poutre horizontale, continue, qui repose sur les butons. Elle est chargée par les réactions ponctuelles des profilés verticaux de la paroi. Pour la dimensionner, on calcule le moment fléchissant maximal qu'elle subit, puis on choisit un profilé métallique dont le module de flexion est suffisant pour résister à ce moment sans dépasser la limite d'élasticité de l'acier.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix du profilé est un compromis technico-économique. On choisit le profilé le plus léger (donc le moins cher) qui possède le module de flexion requis. Les catalogues de produits sidérurgiques sont l'outil indispensable de l'ingénieur structure pour ce choix.

Formule(s) utilisée(s) :

Charge répartie sur la lierne : \(w = R_{\text{buton/ml}}\).

Moment maximal dans la lierne (poutre continue) :

M_{\text{max}} = \frac{w \times e_h^2}{8} \quad \text{(Approximation sur 2 travées)}

Module de flexion élastique requis :

W_{\text{el,req}} \ge \frac{M_{\text{max}}}{f_y}

Donnée(s) :

Charge linéaire sur la lierne \(w = 168.5 \, \text{kN/m}\)
Espacement des butons \(e_h = 5.0 \, \text{m}\)
Limite d'élasticité de l'acier \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)

Calcul(s) :

1. Moment maximal dans la lierne :

\begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{168.5 \times 5.0^2}{8} \\ &= \frac{4212.5}{8} \\ &= 526.6 \, \text{kN.m} \end{aligned}

2. Module de flexion requis :

\begin{aligned} W_{\text{el,req}} &\ge \frac{526.6 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 2,240,850 \, \text{mm}^3 = 2241 \, \text{cm}^3 \end{aligned}

D'après un catalogue de profilés, un HEB 450 a un \(W_{\text{el,y}}\) de 2599 cm³. Ce choix est donc valide.

Points de vigilance :

Modèle de calcul : La formule \(wL^2/8\) est valable pour une poutre sur deux appuis. Pour une lierne continue sur de nombreux butons, le moment maximal est plus proche de \(wL^2/10\), ce qui est moins défavorable. L'utilisation de \(wL^2/8\) est donc une simplification sécuritaire.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le moment maximal est de 527 kN.m. Un profilé HEB 450 est adéquat pour la lierne.

Question 4 : Dimensionnement du Buton

Principe :

Le buton est un élément comprimé. Pour un élément élancé, le risque principal n'est pas l'écrasement du matériau mais l'instabilité par flambement. On doit calculer la charge critique d'Euler, qui est la charge maximale que le buton peut supporter avant de flamber, et vérifier qu'elle est bien supérieure à l'effort de compression de calcul qu'il subit.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La résistance au flambement est très sensible à la longueur de l'élément (au carré !) et à ses conditions d'appuis (longueur de flambement \(L_f\)). Un buton articulé à ses deux extrémités (\(L_f = L\)) est beaucoup plus sensible au flambement qu'un buton encastré (\(L_f = 0.5L\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Effort de compression dans un buton :

N_{\text{buton}} = R_{\text{buton/ml}} \times e_h

Charge critique de flambement d'Euler (pour un poteau bi-articulé) :

N_{cr} = \frac{\pi^2 E I_{\text{min}}}{L_f^2}

Condition de stabilité : \(N_{\text{buton}} \le N_{cr}\).

Donnée(s) :

Réaction linéaire \(R_{\text{buton/ml}} = 168.5 \, \text{kN/m}\)
Espacement des butons \(e_h = 5.0 \, \text{m}\)
Longueur de flambement \(L_f = L = 12.0 \, \text{m}\)
Module d'Young de l'acier \(E = 210,000 \, \text{MPa}\)
On choisit un profilé HEB 300, avec une inertie minimale \(I_{\text{min}} = I_z = 6,392 \, \text{cm}^4\).

Calcul(s) :

1. Effort de compression dans le buton :

N_{\text{buton}} = 168.5 \times 5.0 = 842.5 \, \text{kN}

2. Charge critique de flambement :

\begin{aligned} N_{cr} &= \frac{\pi^2 \times (210000 \, \text{N/mm}^2) \times (6392 \times 10^4 \, \text{mm}^4)}{(12000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{1.32 \times 10^{17}}{1.44 \times 10^8} \\ &= 9.17 \times 10^8 \, \text{N} = 917,000 \, \text{kN} \end{aligned}

3. Vérification :

N_{\text{buton}} = 842.5 \, \text{kN} \ll N_{cr} = 917,000 \, \text{kN} \Rightarrow \text{VÉRIFIÉ}

Points de vigilance :

Vérification à l'ELU : L'approche d'Euler est une vérification de stabilité élastique. L'Eurocode 3 impose une vérification plus complète qui tient compte des imperfections du profilé et de la plastification de l'acier, en utilisant des courbes de flambement. Cette vérification est plus complexe mais plus précise.

Le saviez-vous ?

Résultat : L'effort dans le buton est de 843 kN. Un profilé HEB 300 est très largement stable vis-à-vis du flambement.

Simulation Interactive

Faites varier l'espacement des butons et la hauteur de la fouille pour voir leur impact sur les efforts et le dimensionnement.

Paramètres du Projet

Hauteur de fouille H (8.0 m)

Espacement des butons e_h (5.0 m)

Moment Lierne (M_max)

Effort Buton (N_buton)

Efforts dans les Éléments

Le Saviez-Vous ?

Le flambement est un phénomène d'instabilité découvert et formalisé par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. Sa fameuse formule de la "charge critique d'Euler" est toujours la pierre angulaire du dimensionnement des éléments comprimés élancés, des butons de soutènement aux colonnes de la Tour Eiffel.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment les butons sont-ils mis en précontrainte ?

Les butons sont souvent mis en précontrainte à l'aide de vérins hydrauliques lors de leur installation. Cette mise en tension permet de limiter les déformations de la paroi lors du terrassement et de mieux contrôler les tassements des bâtiments avoisinants. L'effort de précontrainte est généralement de l'ordre de 60% à 80% de l'effort de service attendu.

Qu'est-ce qu'un diagramme de pression apparent ?

C'est un diagramme de pression simplifié (souvent rectangulaire ou trapézoïdal) qui n'est pas physiquement exact à chaque point, mais dont la résultante et le point d'application sont choisis pour donner une estimation correcte et sécuritaire des efforts dans les appuis (butons, tirants) d'une paroi de soutènement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'espacement horizontal des butons (\(e_h\)), le moment dans la lierne :

Diminue.
Augmente.
Reste le même.

2. Le flambement est un risque majeur pour :

Les butons longs et élancés.
Les liernes courtes et trapues.
Les profilés de la paroi berlinoise.

Glossaire

Paroi Berlinoise: Type de paroi de soutènement discontinue, constituée de profilés métalliques verticaux (les "berlinois") et d'un blindage (généralement en bois) placé entre les profilés au fur et à mesure du terrassement.
Lierne: Poutre horizontale continue qui suit la paroi de soutènement, servant à collecter les efforts de la paroi et à les transmettre aux appuis (butons ou tirants).
Buton: Élément structural travaillant en compression, placé transversalement dans une fouille pour que les parois opposées se soutiennent mutuellement.
Flambement: Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à un effort de compression, qui le fait fléchir brusquement latéralement bien avant d'atteindre la résistance à la compression du matériau.

D’autres exercices d’ouvrages de soutènement:

Dimensionnement des Liernes et Butons

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Blindage Butonné

Questions à traiter

Correction : Dimensionnement des Liernes et Butons

Question 1 : Calcul de la Pression de Calcul sur la Paroi

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul de la Réaction d'Appui du Buton

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Dimensionnement de la Lierne

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 4 : Dimensionnement du Buton

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

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