Dimensionnement d’un Mur Cantilever

Dimensionnement d'un Mur Cantilever en Béton Armé

Le Principe du Mur Cantilever

Contrairement au mur-poids qui se stabilise par sa propre masse, le mur cantileverMur de soutènement en béton armé en forme de T inversé, dont la stabilité est assurée par le poids des terres sur sa semelle et par sa résistance en flexion. (ou mur en L ou en T inversé) est une structure plus élancée qui fonctionne comme une série de consoles (ou "cantilevers"). Le mur vertical (le voilePartie verticale du mur cantilever, qui agit comme une console encastrée dans la semelle.) est encastré dans la semelle de fondation et retient la poussée des terres. La semelle elle-même, avec sa partie arrière (le talonPartie de la semelle située sous le remblai. Le poids des terres sur le talon est un élément clé de la stabilité au renversement.), utilise le poids du remblai pour assurer la stabilité globale. Cette conception optimisée nécessite du béton armé, car les éléments travaillent en flexion et doivent être ferraillés pour résister aux efforts de traction.

Remarque Pédagogique : Le dimensionnement se fait à l'État Limite Ultime (ELU)État qui correspond à la ruine de la structure. Les calculs à l'ELU visent à s'assurer que le mur ne s'effondre pas sous les charges majorées.. Cela signifie que l'on majore les charges (poussée, poids propres) avec des coefficients de sécurité pour calculer les sollicitations maximales (moment fléchissant, effort tranchant), puis on dimensionne les aciers pour que la structure puisse résister à ces sollicitations.

Données de l'étude

On dimensionne les armatures principales d'un mur cantilever en béton armé. On suppose la stabilité externe (glissement, renversement) déjà vérifiée.

Géométrie et Matériaux :

Hauteur totale du voile (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Épaisseur du voile (à la base) : \(h_v = 0.40 \, \text{m}\)
Épaisseur de la semelle : \(h_s = 0.50 \, \text{m}\)
Longueur du talon : \(L_t = 2.5 \, \text{m}\)
Béton : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
Acier : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\) (Haute Adhérence)
Enrobage des aciers : \(c = 4 \, \text{cm}\)

Sol et Charges :

Poids volumique du sol (\(\gamma_s\)) : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
Coefficient partiel sur les actions permanentes (poussée) : \(\gamma_G = 1.35\)

Schéma du Mur Cantilever

Questions à traiter

Calculer le moment fléchissant ultime (\(M_{u,1}\)) à la base du voile (Section 1).
Dimensionner les armatures principales (\(A_{s1}\)) pour reprendre ce moment.
Calculer le moment fléchissant ultime (\(M_{u,2}\)) à l'encastrement du talon (Section 2).
Dimensionner les armatures principales (\(A_{s2}\)) du talon.

Correction : Dimensionnement d'un Mur Cantilever en Béton Armé

Question 1 : Moment Fléchissant Ultime (\(M_{u,1}\)) dans le Voile

Principe :

Le voile se comporte comme une console verticale encastrée dans la semelle. La charge est la poussée des terres, qui est triangulaire. Le moment fléchissant est maximal à la base (l'encastrement). On calcule ce moment à l'ELU en majorant la force de poussée.

Calcul(s) :

Coefficient de poussée active \(K_a\) :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{32^\circ}{2}\right) = \tan^2(29^\circ) \approx 0.307

Force de poussée à l'ELU (\(F_{a,u}\)) :

\begin{aligned} F_{a,u} &= \gamma_G \times \left( \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2 \right) \\ &= 1.35 \times \left( \frac{1}{2} \times 0.307 \times 19 \times 5.0^2 \right) \\ &= 1.35 \times 72.91 \\ &\approx 98.43 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Moment fléchissant ultime \(M_{u,1}\) :

\begin{aligned} M_{u,1} &= F_{a,u} \times \frac{H}{3} \\ &= 98.43 \times \frac{5.0}{3} \\ &\approx 164.05 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le moment fléchissant ultime à la base du voile est \(M_{u,1} \approx 164.1 \, \text{kNm/m}\).

Question 2 : Armatures du Voile (\(A_{s1}\))

Principe :

Pour résister au moment de flexion, l'acier (armatures) doit être placé du côté tendu de la section. Pour le voile, la poussée vient du remblai, donc la face intérieure (côté remblai) est tendue. On utilise les formules de flexion simple du béton armé (Eurocode 2) pour trouver la section d'acier nécessaire.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul se fait en plusieurs étapes : calcul du moment réduit (\(\mu\)), puis du bras de levier (\(z\)) et enfin de la section d'acier (\(A_s\)). On utilise un bras de levier \(z\) qui représente la distance entre le centre de la compression dans le béton et le centre des aciers tendus. Une bonne approximation pour commencer est \(z \approx 0.9d\).

Calcul(s) :

Hauteur utile (\(d\)) : \(d = h_v - c = 0.40 - 0.04 = 0.36 \, \text{m}\)

Contraintes de calcul :

f_{cd} = \frac{f_{ck}}{1.5} = \frac{25}{1.5} \approx 16.67 \, \text{MPa}

f_{yd} = \frac{f_{yk}}{1.15} = \frac{500}{1.15} \approx 435 \, \text{MPa}

Moment réduit (\(\mu_{cu}\)) :

\mu_{cu} = \frac{M_{u,1}}{1 \cdot d^2 \cdot f_{cd}} = \frac{0.1641}{1 \times 0.36^2 \times 16.67} \approx 0.076

Comme \(\mu_{cu} < 0.186\) (pivot A), les aciers sont à leur limite élastique. On peut calculer le bras de levier \(z\):

\begin{aligned} z &= d \left(0.5 + \sqrt{0.25 - \frac{\mu_{cu}}{1.134}}\right) \\ &= 0.36 \left(0.5 + \sqrt{0.25 - \frac{0.076}{1.134}}\right) \\ &\approx 0.334 \, \text{m} \end{aligned}

Section d'acier requise (\(A_{s1}\)) :

\begin{aligned} A_{s1} &= \frac{M_{u,1}}{z \cdot f_{yd}} \\ &= \frac{0.1641}{0.334 \times 435} \\ &\approx 0.00113 \, \text{m}^2/\text{m} \\ &= 11.3 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La section d'armatures principales requise est \(A_{s1} \approx 11.3 \, \text{cm}^2/\text{m}\) à placer sur la face intérieure du voile.

Question 3 : Moment Fléchissant Ultime (\(M_{u,2}\)) dans le Talon

Principe :

Le talon est une console encastrée dans le voile. Il est soumis au poids des terres situées au-dessus de lui. Cette charge crée un moment de flexion qui tend à "casser" le talon vers le bas. La section critique est donc à la jonction avec le voile.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le poids du sol sur le talon qui contribue le plus à la stabilité au renversement du mur. Cependant, ce même poids génère des efforts de flexion importants dans le talon lui-même, nécessitant une quantité significative d'armatures.

Calcul(s) :

Charge verticale sur le talon à l'ELU (\(P_{u,talon}\)) :

\begin{aligned} P_{u,talon} &= \gamma_G \times (\text{Poids des terres}) \\ &= 1.35 \times (H \times L_t \times \gamma_s) \\ &= 1.35 \times (5.0 \times 2.5 \times 19) \\ &= 320.6 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Moment fléchissant ultime \(M_{u,2}\) :

\begin{aligned} M_{u,2} &= P_{u,talon} \times \frac{L_t}{2} \\ &= 320.6 \times \frac{2.5}{2} \\ &\approx 400.8 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le moment fléchissant ultime à l'encastrement du talon est \(M_{u,2} \approx 400.8 \, \text{kNm/m}\).

Question 4 : Armatures du Talon (\(A_{s2}\))

Principe :

Le poids des terres fait fléchir le talon vers le bas. La face supérieure de la semelle est donc tendue. Les armatures principales du talon doivent être placées en nappe supérieure pour résister à cette traction.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'erreur classique est de placer les aciers du talon en bas, comme pour une poutre normale. Ici, la charge venant du dessus et l'encastrement dans le voile inversent la flexion. Les aciers doivent être en nappe supérieure, bien ancrés dans le voile.

Calcul(s) :

Hauteur utile (\(d\)) : \(d = h_s - c = 0.50 - 0.04 = 0.46 \, \text{m}\)

Moment réduit (\(\mu_{cu}\)) :

\mu_{cu} = \frac{M_{u,2}}{1 \cdot d^2 \cdot f_{cd}} = \frac{0.4008}{1 \times 0.46^2 \times 16.67} \approx 0.114

Comme \(\mu_{cu} < 0.186\), on procède comme précédemment. Bras de levier \(z\):

\begin{aligned} z &= d \left(0.5 + \sqrt{0.25 - \frac{\mu_{cu}}{1.134}}\right) \\ &= 0.46 \left(0.5 + \sqrt{0.25 - \frac{0.114}{1.134}}\right) \\ &\approx 0.408 \, \text{m} \end{aligned}

Section d'acier requise (\(A_{s2}\)) :

\begin{aligned} A_{s2} &= \frac{M_{u,2}}{z \cdot f_{yd}} \\ &= \frac{0.4008}{0.408 \times 435} \\ &\approx 0.00226 \, \text{m}^2/\text{m} \\ &= 22.6 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La section d'armatures requise est \(A_{s2} \approx 22.6 \, \text{cm}^2/\text{m}\) à placer en nappe supérieure du talon.

Tableau Récapitulatif des Armatures

Élément	Moment Ultime (\(M_u\))	Section d'Acier Requise (\(A_s\))	Position des Aciers
Voile (Section 1)	Cliquez	Cliquez	Face intérieure (côté terres)
Talon (Section 2)	Cliquez	Cliquez	Nappe supérieure

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Si une surcharge d'exploitation de \(q = 10 \, \text{kN/m}^2\) est appliquée sur le remblai (avec un \(\gamma_Q = 1.5\)), quel est le nouveau moment ultime total \(M_{u,1}\) dans le voile ?

Nouveau \(M_{u,1}\) (kNm/m) =

Simulation Interactive des Armatures

Variez la hauteur du mur et les caractéristiques du sol pour voir comment les aciers requis évoluent.

Paramètres de Simulation

Hauteur Mur (\(H\)): 5.0 m

Angle Frottement Sol (\(\phi'\)): 32 °

Résultats (cm²/m)

Aciers Voile (\(A_{s1}\))

Aciers Talon (\(A_{s2}\))

Pièges à Éviter

Oublier les coefficients de sécurité : Le calcul à l'ELU impose d'utiliser des coefficients partiels sur les charges (\(\gamma_G=1.35\)) et sur les résistances des matériaux (\(\gamma_c=1.5, \gamma_s=1.15\)). Les oublier conduit à un sous-dimensionnement dangereux.

Mauvais positionnement des aciers : Les aciers doivent TOUJOURS être placés du côté tendu de la section. Pour le voile, c'est côté remblai. Pour le talon, c'est en nappe supérieure. Pour le patin (non calculé ici), c'est en nappe inférieure.

Le Saviez-Vous ?

En plus des armatures principales calculées pour la flexion, un mur cantilever nécessite des armatures de répartition (secondaires), perpendiculaires aux armatures principales. Leur rôle est de répartir les charges et de limiter la fissuration due au retrait et aux effets thermiques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le moment dans le talon est-il si élevé, plus que dans le voile ?

Le moment dans le talon dépend du poids de toute la colonne de terre au-dessus de lui, sur une grande longueur (\(L_t\)). Le moment dans le voile dépend de la poussée, qui est une fraction du poids des terres. De plus, le bras de levier pour le poids sur le talon (\(L_t/2\)) peut être très important. C'est souvent le talon qui demande le plus d'aciers.

Et l'effort tranchant ?

En plus de la flexion, le voile et la semelle sont soumis à un effort tranchant. Il faut donc vérifier que le béton seul peut le reprendre, ou sinon, calculer des armatures d'effort tranchant (cadres ou épingles). Pour les murs de soutènement courants, l'épaisseur du béton est souvent suffisante pour se passer de ces armatures spécifiques.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un mur cantilever, les aciers principaux du voile sont placés :

Du côté des terres (remblai).
Du côté extérieur.
Au milieu du voile.

2. Si on utilise un béton plus résistant (ex: \(f_{ck} = 30\) MPa au lieu de 25), la quantité d'acier nécessaire pour un même moment...

...augmente.
...diminue légèrement.
...ne change pas.

D’autres exercices d’ouvrages de soutenement:

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Principe :

Calcul(s) :

Question 2 : Armatures du Voile (\(A_{s1}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Calcul(s) :

Question 3 : Moment Fléchissant Ultime (\(M_{u,2}\)) dans le Talon

Principe :

Remarque Pédagogique :

Calcul(s) :

Question 4 : Armatures du Talon (\(A_{s2}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Calcul(s) :

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