Dimensionnement d'un Radier Nervuré
Contexte : Le radier nervuréType de fondation superficielle constituée d'une dalle en béton armé (le radier) rigidifiée par un réseau de poutres (les nervures) dans les deux directions. sur sol de faible portance.
Un bâtiment de bureaux de 4 étages (R+3) doit être construit sur un terrain dont le sol présente une faible capacité portante. Pour limiter les tassements différentiels et répartir efficacement les charges, la solution d'un radier nervuré est retenue. Cet exercice vise à valider les premières étapes du dimensionnement de cette fondation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à estimer la pression moyenne exercée par un bâtiment sur le sol, à la comparer à la capacité portante, et à initier le dimensionnement des nervures principales, qui agissent comme des poutres supportant la dalle.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la descente de charge d'un bâtiment et la pression moyenne au sol.
- Distinguer les vérifications à l'ELU (État Limite Ultime) et à l'ELS (État Limite de Service).
- Vérifier la condition de portance du sol.
- Modéliser une nervure de radier et calculer le moment fléchissant.
- Effectuer le prédimensionnement et le calcul de ferraillage d'une section en béton armé à l'ELU.
Données de l'étude
Fiche Technique (Bâtiment & Sol)
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Dimensions du radier | 20.0 m x 30.0 m |
| Type de fondation | Radier nervuré |
| Type de sol | Argile de faible portance |
Plan schématique du radier
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charges permanentes (G) (hors poids radier) | G | 12 | kN/m² |
| Charges d'exploitation (Q) | Q | 3 | kN/m² |
| Contrainte admissible du sol (ELS) | \(q_{\text{adm}}\) | 80 | kPa |
| Béton / Acier | \(f_{\text{c28}} / f_{\text{e}}\) | 25 MPa / 500 MPa | - |
Questions à traiter
- Calculer la charge surfacique à l'ELU (\(p_{\text{u}}\)) et la pression moyenne correspondante (\(q_{\text{u}}\)).
- Calculer la charge surfacique à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)) et vérifier la condition de portance du sol (\( q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \)).
- Une nervure principale (longueur 30m, 5 appuis) a un entraxe de 5m et des travées de 7.5m. Calculer la charge linéique (\(P_{\text{u}}\)) sur cette nervure et le moment fléchissant maximal en travée (on prendra \( M_{\text{u}} = P_{\text{u}} \cdot L^2 / 24 \)).
- On propose une nervure de b=40cm et h=80cm. Calculer sa hauteur utile (d=0.9h) et le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\).
- Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_{\text{s}}\)) requise à l'ELU pour cette nervure.
Les bases sur le Radier Nervuré
Un radier nervuré est une fondation qui combine une dalle (le radier) avec un réseau de poutres (les nervures) qui la rigidifient. Cette solution est idéale pour les sols de faible portance car elle répartit les charges sur une grande surface tout en offrant une grande inertie pour franchir des portées et limiter les tassements différentiels.
1. Pression au Sol et États Limites
On vérifie la fondation sous deux états :
- ELU (État Limite Ultime) : On vérifie la résistance de la structure. On utilise des charges pondérées : \( p_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \).
- ELS (État Limite de Service) : On vérifie la déformation et la portance. On utilise les charges de service : \( p_{\text{ser}} = G + Q \). La pression de service doit être inférieure à la contrainte admissible du sol : \( q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \).
2. Calcul en Béton Armé à l'ELU (Flexion simple)
Pour une section rectangulaire soumise à un moment \(M_{\text{u}}\), on calcule le moment réduit :
\[ \mu_{\text{cu}} = \frac{M_{\text{u}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}} \]
Où \(d\) est la hauteur utile, \(b\) la largeur, et \(f_{\text{cd}} = f_{\text{c28}} / \gamma_{\text{b}}\) (avec \(\gamma_{\text{b}} = 1.5\)).
On en déduit le bras de levier \(z_{\text{b}}\) et l'acier \(A_{\text{s}}\) :
\[ A_{\text{s}} = \frac{M_{\text{u}}}{z_{\text{b}} \cdot f_{\text{yd}}} \quad (f_{\text{yd}} = f_{\text{e}} / \gamma_{\text{s}}, \text{ avec } \gamma_{\text{s}} = 1.15) \]
Correction : Dimensionnement d'un Radier Nervuré
Question 1 : Calculer la charge surfacique à l'ELU (\(p_{\text{u}}\)) et la pression moyenne correspondante (\(q_{\text{u}}\)).
Principe
L'État Limite Ultime (ELU) concerne la sécurité et la résistance de la structure. Pour le trouver, nous devons majorer les charges permanentes (G) et les charges d'exploitation (Q) avec des coefficients de sécurité. La pression moyenne au sol (\(q_{\text{u}}\)) est simplement cette charge surfacique, car le radier la transmet directement.
Mini-Cours
La combinaison de charges fondamentale à l'ELU pour un bâtiment est donnée par la formule : \( P_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \).
- \(G\) représente les charges permanentes (poids propre, murs, planchers...).
- \(Q\) représente les charges d'exploitation (mobilier, personnes, neige...).
Remarque Pédagogique
Il est crucial de ne pas mélanger ELU et ELS. L'ELU (1.35G + 1.5Q) sert à calculer la *résistance* nécessaire (le béton, l'acier). L'ELS (G + Q) sert à vérifier la *portance* du sol et les *déformations* (tassements).
Normes
Les coefficients 1.35 et 1.5 sont issus de la norme Eurocode 0 (EN 1990) - "Bases de calcul des structures", pour les combinaisons d'actions des bâtiments.
Formule(s)
La formule que nous allons utiliser est la combinaison d'action fondamentale à l'ELU.
Charge surfacique ELU
Pression moyenne au sol (ELU)
Hypothèses
Nous faisons les hypothèses suivantes pour ce calcul :
- Les charges G et Q données sont des moyennes uniformément réparties sur toute la surface du bâtiment.
- Le poids propre du radier nervuré n'est pas inclus dans le G donné (il sera repris par le sol, mais pour l'instant on calcule la charge *apportée* par le bâtiment).
Donnée(s)
Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé pour cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charges permanentes | G | 12 | kN/m² |
| Charges d'exploitation | Q | 3 | kN/m² |
Astuces
Attention aux unités ! Les charges sont en kN/m². Le résultat sera en kN/m². 1 kN/m² est égal à 1 kPa. Cela nous sera utile pour la question suivante.
Schéma (Avant les calculs)
Ce calcul est une application directe de formule et ne nécessite pas de schéma complexe, si ce n'est de se représenter le bâtiment posé sur le sol, transmettant une pression.
Transmission des charges au sol
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la charge surfacique ELU (\(p_{\text{u}}\))
On applique la formule de combinaison ELU \( p_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \) et on remplace les valeurs (G=12, Q=3) :
La charge surfacique pondérée à l'ELU est donc de 20.7 kN/m².
Étape 2 : Détermination de la pression moyenne (\(q_{\text{u}}\))
La pression moyenne au sol \(q_{\text{u}}\) est égale à cette charge surfacique \(p_{\text{u}}\). On convertit en kPa (1 kN/m² = 1 kPa) :
Cette pression de 20.7 kPa sera utilisée pour le calcul de la résistance des éléments structuraux (nervures, dalle).
Schéma (Après les calculs)
Ce calcul ne génère pas de nouveau diagramme, il s'agit d'une valeur de pression uniforme que nous utiliserons pour la suite.
Valeur de Pression ELU
Réflexions
La pression moyenne ultime que le radier transmet au sol est de 20.7 kPa. C'est cette valeur qui sera utilisée pour calculer les efforts (moment, effort tranchant) dans la structure du radier (dalle et nervures) à l'ELU.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'appliquer les *deux* coefficients. Une erreur fréquente est d'appliquer 1.35 aux deux charges ou d'oublier 1.5 pour Q. Vérifiez toujours la combinaison de charge appropriée (ici, bâtiment).
Points à retenir
Pour un dimensionnement de résistance (ELU) d'un bâtiment, la combinaison de base est :
- \( P_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \)
Le saviez-vous ?
Pourquoi 1.35 et 1.5 ? Ces coefficients de sécurité couvrent les incertitudes. Le 1.35 sur G (charges permanentes, ex: poids du béton) est plus faible car on connaît "assez bien" le poids des matériaux. Le 1.5 sur Q (charges d'exploitation, ex: personnes) est plus élevé car ces charges sont beaucoup plus variables et incertaines.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la charge d'exploitation Q était de 5 kN/m² (ex: stockage léger), quelle serait la nouvelle charge surfacique ELU (\(p_{\text{u}}\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Combinaison de charges à l'ELU.
- Formule Essentielle : \( p_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \).
- Résultat : \( p_{\text{u}} = 20.7 \text{ kPa} \).
Question 2 : Calculer la charge surfacique à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)) et vérifier la condition de portance du sol (\( q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \)).
Principe
L'État Limite de Service (ELS) concerne le confort de l'utilisateur et la durabilité de l'ouvrage. La vérification de la portance garantit que le sol ne "casse" pas sous le poids normal (non pondéré) du bâtiment et, surtout, que les tassements resteront dans des limites acceptables.
Mini-Cours
La combinaison de charges à l'ELS est dite "quasi-permanente" ou "de service". Elle est beaucoup plus simple que l'ELU : \( P_{\text{ser}} = G + Q \).
- On additionne simplement les charges, sans coefficients de sécurité.
- Cette pression de service (\(q_{\text{ser}}\)) est ensuite comparée directement à la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\)), qui est une valeur fournie par l'étude de sol (géotechnicien).
Remarque Pédagogique
Cette vérification est fondamentale. Si \( q_{\text{ser}} > q_{\text{adm}} \), la structure n'est pas viable. Il faudrait soit augmenter la surface de la fondation (ce qui est déjà maximal avec un radier), soit changer de type de fondation (passer en fondations profondes, type pieux), soit améliorer le sol.
Normes
La combinaison \(G+Q\) est issue de l'Eurocode 0 (EN 1990). La vérification de la portance (\(q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\)) est une exigence fondamentale de l'Eurocode 7 (EN 1997) - "Calcul géotechnique".
Formule(s)
Charge surfacique ELS
Condition de portance
Hypothèses
Nous supposons que \(q_{\text{adm}}\) (80 kPa) est une contrainte admissible nette, ce qui est courant. C'est-à-dire qu'elle tient déjà compte du poids des terres excavées pour construire le radier.
- Les charges G et Q sont des moyennes uniformes.
- La pression au sol est uniformément répartie (hypothèse de radier rigide sur sol uniforme).
Donnée(s)
Données nécessaires pour cette question :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charges permanentes | G | 12 | kN/m² |
| Charges d'exploitation | Q | 3 | kN/m² |
| Contrainte admissible sol | \(q_{\text{adm}}\) | 80 | kPa |
Astuces
L'astuce est de bien gérer les unités. Les charges sont en kN/m². La contrainte admissible est en kPa (kiloPascal). Heureusement : 1 kPa = 1 kN/m². Les deux valeurs sont donc directement comparables sans conversion !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma représente la pression de service (\(q_{\text{ser}}\)) exercée par le radier, qui doit être inférieure à la "résistance" admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\)).
Vérification de la portance ELS
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la charge surfacique ELS (\(p_{\text{ser}}\))
On applique la formule de combinaison ELS \( p_{\text{ser}} = G + Q \) (G=12, Q=3) :
La charge de service (non pondérée) est donc de 15 kN/m².
Étape 2 : Vérification de la condition de portance
On convertit \(p_{\text{ser}}\) en \(q_{\text{ser}}\) (pression de service). 1 kN/m² = 1 kPa :
Maintenant, on compare cette pression de service \(q_{\text{ser}}\) à la contrainte admissible du sol \(q_{\text{adm}}\) (80 kPa) :
La condition est largement respectée, le sol peut supporter les charges de service.
Schéma (Après les calculs)
La vérification est positive, le sol peut supporter la charge de service.
Condition VÉRIFIÉE
Réflexions
Points de vigilance
Ne jamais utiliser les charges ELU (pondérées) pour vérifier la portance du sol. La contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\) est déjà une valeur de service qui inclut ses propres coefficients de sécurité géotechniques. Comparer \(q_{\text{u}}\) à \(q_{\text{adm}}\) n'a pas de sens et conduirait à surdimensionner inutilement les fondations.
Points à retenir
- La vérification de la portance du sol se fait TOUJOURS à l'ELS.
- Combinaison ELS (simple) : \( P_{\text{ser}} = G + Q \).
- Il faut vérifier que \( q_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}} \).
Le saviez-vous ?
Le vrai danger sur les sols faibles n'est pas la rupture (poinçonnement), mais le tassement différentielTassement qui ne se produit pas de manière uniforme sous toute la fondation, provoquant des distorsions et des fissures dans le bâtiment.. C'est lorsque le bâtiment s'enfonce plus d'un côté que de l'autre. Le radier nervuré, par sa grande rigidité, aide à "forcer" le bâtiment à tasser d'un seul bloc, minimisant ces désordres.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le sol était de moins bonne qualité avec \( q_{\text{adm}} = 14 \text{ kPa} \), la fondation serait-elle acceptable (Répondez 1 pour Oui, 0 pour Non) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Vérification de portance à l'ELS.
- Formule Essentielle : \( q_{\text{ser}} = G + Q \le q_{\text{adm}} \).
- Résultat : \( 15 \text{ kPa} \le 80 \text{ kPa} \). VÉRIFIÉ.
Question 3 : Calculer la charge linéique (\(P_{\text{u}}\)) sur une nervure (entraxe 5m) et le moment \( M_{\text{u}} = P_{\text{u}} \cdot L^2 / 24 \) (travée L=7.5m).
Principe
Nous passons du dimensionnement du sol (surfacique) au dimensionnement de la structure (linéique). Une nervure "récupère" les charges sur une certaine largeur, appelée "bande de chargement" ou "entraxe". Nous allons transformer la pression surfacique ELU (\(q_{\text{u}}\)) en une charge linéique (\(P_{\text{u}}\)) sur la nervure. Ensuite, nous calculons le moment de flexion maximal dans cette nervure.
Mini-Cours
Pour une poutre (nervure) recevant une charge surfacique uniforme \(q_{\text{u}}\), la charge linéique \(P_{\text{u}}\) s'obtient en multipliant \(q_{\text{u}}\) par la largeur de la bande reprise par la poutre (l'entraxe). \[ P_{\text{u}} \text{ (en kN/m)} = q_{\text{u}} \text{ (en kN/m}^2\text{)} \times \text{Entraxe (en m)} \] La formule de moment \( M_{\text{u}} = P_{\text{u}} \cdot L^2 / 24 \) est une approximation pour le moment positif (en travée) d'une poutre continue sur plusieurs appuis, sous charge uniforme.
Remarque Pédagogique
Imaginez que la nervure est une poutre. Le "plancher" qu'elle soutient est la dalle du radier, et la charge sur ce plancher est la *réaction* du sol (\(q_{\text{u}}\)) qui pousse vers le haut. La nervure reprend cette poussée sur une largeur égale à son entraxe (5m).
Normes
Le calcul des moments dans une poutre continue relève de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1). La formule \(P_{\text{u}} L^2 / 24\) est une simplification ; des méthodes plus précises (comme la méthode forfaitaire ou Caquot) existent, mais donnent des résultats proches pour des travées multiples et régulières.
Formule(s)
Charge linéique (ELU)
Moment en travée (simplifié)
Hypothèses
Nous faisons les hypothèses suivantes :
- La nervure est une poutre continue sur appuis simples (les poteaux ou les autres nervures).
- La formule \(M_{\text{u}} = P_{\text{u}} L^2 / 24\) est acceptée pour cet exercice.
- La travée de calcul est \(L = 7.5 \text{ m}\).
Donnée(s)
Données nécessaires (Q1 et énoncé) :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression ELU (de Q1) | \(q_{\text{u}}\) | 20.7 | kPa (ou kN/m²) |
| Entraxe nervure | - | 5.0 | m |
| Portée (travée) | L | 7.5 | m |
Astuces
Vérifiez les unités : \( [\text{kN/m}^2] \times [\text{m}] = [\text{kN/m}] \). C'est bien une charge linéique. Puis : \( [\text{kN/m}] \times [\text{m}]^2 = [\text{kN.m}] \). C'est bien un moment. Les unités sont cohérentes.
Schéma (Avant les calculs)
On modélise la nervure comme une poutre continue chargée par \(P_{\text{u}}\).
Modélisation de la nervure (poutre continue)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la charge linéique \(P_{\text{u}}\)
On applique la formule \( P_{\text{u}} = q_{\text{u}} \times \text{Entraxe} \) (\(q_{\text{u}}\)=20.7, Entraxe=5.0) :
Chaque mètre de nervure reprend donc une charge de 103.5 kN.
Étape 2 : Calcul du moment en travée \(M_{\text{u}}\)
On utilise la formule \( M_{\text{u}} = P_{\text{u}} \cdot L^2 / 24 \) (\(P_{\text{u}}\)=103.5, L=7.5) :
Le moment de flexion maximal en travée, qui servira au dimensionnement, est de 242.6 kN.m.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne le moment positif maximal au milieu de la travée, là où les aciers inférieurs seront les plus sollicités.
Diagramme de Moment (simplifié)
Réflexions
Points de vigilance
La formule \(P_{\text{u}} L^2 / 24\) est une simplification. Dans la réalité, le moment sur appui (négatif) est souvent plus important (ex: \(-P_{\text{u}} L^2 / 12\)) et dimensionne les aciers en partie *haute* de la nervure. Cet exercice se concentre uniquement sur le moment en travée.
Points à retenir
- La charge surfacique \(q_{\text{u}}\) devient une charge linéique \(P_{\text{u}}\) en multipliant par l'entraxe.
- Le moment de flexion (\(M_{\text{u}}\)) dépend de cette charge \(P_{\text{u}}\) et du carré de la portée \(L\).
Le saviez-vous ?
Dans un radier, la nervure est en fait une "poutre en T" car elle travaille avec une partie de la dalle de radier. La largeur de dalle participante (le "hourdis") augmente la capacité de la section en compression, ce qui est favorable. Pour simplifier, nous la calculons ici comme une poutre rectangulaire.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'entraxe était de 6m (au lieu de 5m), quel serait le nouveau moment \( M_{\text{u}} \) (en kN.m) ? (Utilisez L=7.5m)
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Charge linéique et moment de flexion.
- Formule : \( P_{\text{u}} = q_{\text{u}} \times \text{Entraxe} \)
- Formule : \( M_{\text{u}} = P_{\text{u}} \cdot L^2 / 24 \)
- Résultat : \( M_{\text{u}} = 242.6 \text{ kN.m} \)
Question 4 : Pour une nervure (b=40cm, h=80cm), calculer la hauteur utile (d=0.9h) et le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\).
Principe
Maintenant que nous avons le moment de flexion (\(M_{\text{u}}\)), nous devons vérifier si la section de béton proposée (40x80cm) est capable de le supporter. Le "moment réduit" (\(\mu_{\text{cu}}\)) est un coefficient sans dimension qui nous dit à quel point le béton est sollicité en compression. C'est l'étape clé avant de calculer les aciers.
Mini-Cours
1. Hauteur utile (d) : C'est la distance entre le haut de la section (fibre la plus comprimée) et le centre des aciers tendus. On ne connaît pas encore les aciers, donc on prend une estimation \( d \approx 0.9 \cdot h \).
2. Contrainte du béton (\(f_{\text{cd}}\)) : On utilise une valeur de calcul pour le béton, en divisant la résistance caractéristique (\(f_{\text{c28}}\)) par un coefficient de sécurité : \( f_{\text{cd}} = f_{\text{c28}} / \gamma_{\text{b}} \) (où \(\gamma_{\text{b}} = 1.5\)).
3. Moment Réduit (\(\mu_{\text{cu}}\)) : On compare le moment appliqué (\(M_{\text{u}}\)) à la capacité de la section en béton : \( \mu_{\text{cu}} = \frac{M_{\text{u}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}} \).
Remarque Pédagogique
L'approximation \( d = 0.9 \cdot h \) est une règle de prédimensionnement. En réalité, \(d = h - e - \phi_{\text{cadre}} - \phi_{\text{barre}}/2\), où \(e\) est l'enrobage (ex: 4cm pour une fondation). Pour h=80cm, on aurait \(d = 80 - 4 - 0.8 - 1.6/2 = 74.4 \text{ cm}\). Notre 0.9*h = 72cm est donc une estimation conservatrice (sécuritaire).
Normes
Les formules de calcul du béton armé, y compris la définition de \(f_{\text{cd}}\) (\(\gamma_{\text{b}}=1.5\)) et du moment réduit, proviennent de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1).
Formule(s)
Hauteur utile (estimée)
Contrainte Béton de Calcul
Moment Réduit
Hypothèses
On se place en flexion simple, sans effort normal. On néglige l'effet du "T" (hourdis) et on calcule la section comme un rectangle b x h.
- Largeur de la nervure : \( b = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m} \)
- Hauteur de la nervure : \( h = 80 \text{ cm} = 0.8 \text{ m} \)
Donnée(s)
Données nécessaires (Q3 et énoncé) :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment ELU (de Q3) | \(M_{\text{u}}\) | 242.6 | kN.m |
| Résistance béton | \(f_{\text{c28}}\) | 25 | MPa |
| Largeur / Hauteur | b / h | 0.4 / 0.8 | m |
Astuces
Vigilance maximale sur les unités ! C'est la source d'erreur n°1. Pour être cohérent, utilisez :
- Moments en MN.m (MegaNewton-mètre)
- Forces en MN (MegaNewton)
- Longueurs en m (mètre)
- Contraintes en MPa (MegaPascal, qui est égal à MN/m²)
Schéma (Avant les calculs)
On s'intéresse à la section transversale de la nervure.
Section transversale de la nervure
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des grandeurs de section
Calcul de la hauteur utile \(d\) (h=0.8m) :
La hauteur utile estimée est de 72 cm.
Calcul de la contrainte de calcul du béton \(f_{\text{cd}}\) (\(f_{\text{c28}}\)=25 MPa) :
C'est la résistance du béton que l'on utilisera dans les calculs ELU.
Étape 2 : Calcul du moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\)
On utilise la formule \( \mu_{\text{cu}} = M_{\text{u}} / (b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}) \).
Attention aux unités ! On utilise MN, m, et MPa (MN/m²) :
Le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\) est un nombre sans dimension.
Schéma (Après les calculs)
Le moment réduit est calculé. Il n'y a pas de schéma de résultat pour cette étape, c'est une valeur numérique intermédiaire.
Réflexions
Le moment réduit \(\mu_{\text{cu}} = 0.070\). C'est une valeur très faible. La limite (le "moment réduit limite" \(\mu_{\text{lim}}\)) pour un béton \(f_{\text{c28}}\)=25MPa est d'environ 0.372. Comme \(0.070 \ll 0.372\), cela signifie que la section de béton est très grande et travaille très peu en compression. Il n'y a aucun risque de rupture du béton ; le dimensionnement sera entièrement piloté par la traction dans les aciers (on est en "Pivot A").
Points de vigilance
La conversion de \(M_{\text{u}}\) en MN.m est fondamentale. Si vous calculez avec \(M_{\text{u}} = 242.6\) et \(f_{\text{cd}} = 16.67\), vous obtiendrez un \(\mu_{\text{cu}}\) de 70.1, ce qui est absurde. Une valeur de \(\mu_{\text{cu}}\) doit *toujours* être inférieure à 1 (et généralement < 0.4).
Points à retenir
- Le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\) est le paramètre clé pour le dimensionnement BA.
- Formule : \( \mu_{\text{cu}} = M_{\text{u}} / (b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}) \).
- Travailler avec des unités cohérentes est impératif : (MN, m, MPa).
Le saviez-vous ?
Si le \(\mu_{\text{cu}}\) avait été *supérieur* au \(\mu_{\text{lim}}\) (\(\approx 0.372\)), cela aurait signifié que la section de béton de 40x80cm était trop petite. Elle se serait écrasée avant que l'acier n'atteigne sa limite. Il aurait fallu soit augmenter la hauteur (h) ou la largeur (b) de la nervure, soit (si impossible) ajouter des aciers en partie haute (comprimée) pour aider le béton.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur totale de la nervure était h=1.0m (donc d=0.9m), quel serait le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\).
- Formule : \( f_{\text{cd}} = f_{\text{c28}}/1.5 \), \( d = 0.9h \).
- Formule : \( \mu_{\text{cu}} = M_{\text{u}} / (b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}) \).
- Résultat : \( \mu_{\text{cu}} \approx 0.070 \).
Question 5 : Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_{\text{s}}\)) requise à l'ELU.
Principe
Maintenant que nous savons que le béton résiste (\(\mu_{\text{cu}}\) est faible), nous allons calculer la quantité d'acier (les barres d'armature) nécessaire en partie basse de la nervure pour reprendre l'effort de traction généré par le moment de flexion \(M_{\text{u}}\). L'acier travaille en traction, le béton travaille en compression, formant un couple de forces.
Mini-Cours
Le calcul se fait en deux temps : 1. Calcul du bras de levier (\(z_{\text{b}}\)) : C'est la distance verticale entre le centre de la force de compression (dans le béton) et le centre de la force de traction (dans l'acier). Il dépend de \(\mu_{\text{cu}}\) via un coefficient \(\alpha\). \[ \alpha = 1.25 \cdot (1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{cu}}}) \] \[ z_{\text{b}} = d \cdot (1 - 0.4\alpha) \] 2. Calcul de l'acier (\(A_{\text{s}}\)) : L'effort de traction (\(F_s\)) doit équilibrer le moment : \( M_{\text{u}} = F_s \cdot z_{\text{b}} \). Comme \( F_s = A_{\text{s}} \cdot f_{\text{yd}} \), on a : \[ A_{\text{s}} = \frac{M_{\text{u}}}{z_{\text{b}} \cdot f_{\text{yd}}} \] Où \( f_{\text{yd}} = f_{\text{e}} / \gamma_{\text{s}} \) (avec \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\)).
Remarque Pédagogique
Puisque notre \(\mu_{\text{cu}}\) (0.070) est très faible, \(\alpha\) sera petit, et le bras de levier \(z_{\text{b}}\) sera très proche de \(d\). \(z_{\text{b}} = 0.72 \cdot (1 - 0.4 \cdot 0.091) \approx 0.694 \text{ m}\). C'est très proche de \(d=0.72\text{m}\). Une approximation rapide est \( A_{\text{s}} \approx M_{\text{u}} / (0.9 \cdot d \cdot f_{\text{yd}}) \).
Normes
Coefficient de sécurité de l'acier \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\) selon l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1). Les formules de \(\alpha\) et \(z_{\text{b}}\) sont issues du diagramme rectangulaire simplifié (DRS) du béton.
Formule(s)
Contrainte Acier de Calcul
Calcul du bras de levier
Calcul de l'acier
Hypothèses
On suppose que les aciers atteignent leur limite élastique (Pivot A ou B), ce qui est le cas puisque \(\mu_{\text{cu}} \le \mu_{\text{lim}}\).
- Pas d'aciers comprimés nécessaires.
Donnée(s)
Données nécessaires (Q3, Q4 et énoncé) :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment ELU | \(M_{\text{u}}\) | 0.2426 | MN.m |
| Moment réduit | \(\mu_{\text{cu}}\) | 0.0702 | - |
| Hauteur utile | d | 0.72 | m |
| Limite élastique acier | \(f_{\text{e}}\) | 500 | MPa |
Astuces
Toujours utiliser les unités cohérentes (MN, m, MPa). Le résultat pour \(A_{\text{s}}\) sera en m² ! Il faut ensuite le multiplier par 10 000 pour l'obtenir en cm², l'unité usuelle pour le ferraillage.
Schéma (Avant les calculs)
On cherche la section d'acier \(A_{\text{s}}\) en partie basse (zone tendue) de la nervure.
Section d'acier à déterminer
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte de l'acier \(f_{\text{yd}}\)
On applique le coefficient \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\) à la limite élastique \(f_{\text{e}}=500\) :
C'est la contrainte de résistance de l'acier que l'on utilisera dans les calculs ELU.
Étape 2 : Calcul du paramètre \(\alpha\)
On utilise \(\mu_{\text{cu}} = 0.0702\) de Q4 dans la formule \( \alpha = 1.25 \cdot (1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{cu}}}) \):
Ce paramètre \(\alpha\) (sans dimension) représente la hauteur relative de la zone de béton comprimé.
Étape 3 : Calcul du bras de levier \(z_{\text{b}}\)
On utilise \(\alpha=0.091\) et \(d=0.72\text{m}\) dans la formule \( z_{\text{b}} = d \cdot (1 - 0.4\alpha) \):
Le bras de levier \(z_b\) est la distance entre la force de compression du béton et la force de traction de l'acier. Il est de 69.4 cm.
Étape 4 : Calcul de la section d'acier \(A_{\text{s}}\)
On utilise \(M_{\text{u}} = 0.2426 \text{ MN.m}\), \(z_{\text{b}}=0.6938\text{m}\) et \(f_{\text{yd}}=434.8\text{MPa}\) dans la formule \( A_{\text{s}} = M_{\text{u}} / (z_{\text{b}} \cdot f_{\text{yd}}) \):
Le résultat est en m². On le convertit en cm² (1 m² = 10 000 cm²) pour le choix des barres :
La section d'acier théorique minimale est de 8.04 cm².
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une section d'acier. Le choix constructif pourrait être 4 barres HA 16 (4 x 2.01 cm² = 8.04 cm²), ce qui est parfait.
Proposition de Ferraillage
Réflexions
Points de vigilance
Ce calcul ne donne que les aciers principaux en travée (en bas). Il faut aussi calculer les aciers sur appui (en haut, dus au moment négatif), les aciers transversaux (cadres et étriers, pour l'effort tranchant) et les aciers de peau (constructifs).
Points à retenir
- La section d'acier se calcule en divisant le moment par le bras de levier et la contrainte de l'acier.
- Formule clé : \( A_{\text{s}} = M_{\text{u}} / (z_{\text{b}} \cdot f_{\text{yd}}) \).
- Le résultat théorique (en cm²) doit être traduit en choix de barres réelles (ex: 4 HA 16).
Le saviez-vous ?
HA signifie "Haute Adhérence". Les barres d'acier ne sont pas lisses (comme les "Ronds Lisses" RL utilisés autrefois), mais comportent des nervures (ou "verrous"). Ces nervures garantissent une adhérence parfaite entre l'acier et le béton, permettant aux deux matériaux de travailler ensemble.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le moment était \( M_{\text{u}} = 300 \text{ kN.m} \) (avec d=0.72m), quelle serait la section d'acier \( A_{\text{s}} \) requise (en cm²) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Calcul de la section d'acier \(A_{\text{s}}\).
- Formule : \( z_{\text{b}} = d \cdot (1 - 0.4\alpha) \)
- Formule : \( A_{\text{s}} = M_{\text{u}} / (z_{\text{b}} \cdot f_{\text{yd}}) \)
- Résultat : \( A_{\text{s}} = 8.04 \text{ cm}^2 \).
Outil Interactif : Simulateur de Nervure
Ce simulateur calcule le moment \(M_{\text{u}}\) et la section d'acier \(A_{\text{s}}\) en fonction de la charge au sol et de l'entraxe des nervures (pour L=7.5m, h=80cm).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la combinaison de charge pour un calcul de résistance à l'ELU ?
2. La vérification de la portance (\( q \le q_{\text{adm}} \)) se fait :
3. Si on augmente l'entraxe des nervures (ex: de 5m à 6m), la charge linéique (\(P_{\text{u}}\)) sur chaque nervure :
4. Un moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\) très faible (ex: 0.070) signifie que :
5. La limite élastique de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)) est :
Glossaire
- Radier Nervuré
- Type de fondation superficielle constituée d'une dalle en béton armé (le radier) rigidifiée par un réseau de poutres (les nervures) dans les deux directions. Utilisé sur sol de faible portance.
- Portance (\(q_{\text{adm}}\))
- Contrainte maximale (pression) que le sol peut supporter à l'État Limite de Service (ELS) sans risque de rupture ou de tassement excessif.
- ELU (État Limite Ultime)
- État qui correspond à la ruine ou à un dommage structurel majeur. On utilise des charges majorées (ex: 1.35G + 1.5Q) pour vérifier la résistance.
- ELS (État Limite de Service)
- État qui correspond à une perte de confort ou de fonctionnalité (ex: tassement excessif, fissure). On utilise des charges de service (ex: G + Q).
- Moment réduit (\(\mu_{\text{cu}}\))
- Paramètre adimensionnel qui compare le moment de flexion appliqué (\(M_{\text{u}}\)) à la capacité de résistance en compression du béton dans une section.
- Hauteur utile (d)
- Distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des armatures tendues. On prend souvent \( d \approx 0.9 \cdot h \).
D'autres exercices de Fondations:
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