Dimensionnement d'un Radier sur Pieux

Contexte : Le radier sur pieuxFondation combinée qui utilise à la fois un radier (fondation superficielle) et des pieux (fondation profonde) pour optimiser la reprise de charge et contrôler les tassements..

Pour les structures lourdes sur des sols compressibles, un simple radier peut entraîner des tassements excessifs. Une fondation sur pieux peut être coûteuse. Le radier sur pieux (ou "piled raft") est une solution hybride optimisée. Il combine un radier en contact avec le sol (reprise de charge superficielle) avec des pieux (reprise de charge profonde) qui agissent principalement comme réducteurs de tassement. Cet exercice explore comment estimer la répartition des charges entre ces deux composants.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à estimer la répartition des charges entre le radier et les pieux en se basant sur un modèle simplifié de "ressorts équivalents" en parallèle. Nous nous concentrons sur les concepts de rigidité.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept d'interaction radier-pieux-sol.
Calculer la rigidité d'un groupe de pieux en tenant compte de l'effet de groupe.
Calculer la rigidité totale (système équivalent) d'un radier sur pieux.
Estimer la répartition des charges entre le radier et les pieux.
Calculer le tassement moyen du système de fondation.

Données de l'étude

Une tour de bureaux de 30m x 40m doit être fondée sur une couche d'argile moyenne. La charge totale de service (permanente + exploitation) est estimée à 150 MN. Une solution de radier sur pieux est retenue pour contrôler les tassements.

Fiche Technique du Projet

Caractéristique	Valeur
Charge totale de service (Qtot)	150 MN
Nombre de pieux (n)	50 pieux
Type de sol	Argile moyenne (Esol ≈ 20 MPa)

Schéma de principe du radier sur pieux

Nom du Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(K_r\)	Rigidité du radier seul (contact sol-radier)	2500	MN/m
\(K_p\)	Rigidité d'un pieu isolé	40	MN/m
\(\alpha_g\)	Facteur de groupe (interaction pieu-pieu)	0.6	-
\(Q_{\text{total}}\)	Charge totale de service	150	MN
\(n\)	Nombre de pieux	50	-

Questions à traiter

Calculer la rigidité du groupe de pieux (\(K_{pg}\)).
Calculer la rigidité totale du système radier-pieux (\(K_{\text{sys}}\)).
Calculer le tassement moyen du système (\(s\)).
Calculer la charge reprise par le groupe de pieux (\(Q_p\)).
Calculer la charge reprise par le radier (\(Q_r\)) et le pourcentage de la charge totale repris par les pieux.

Les bases du Radier sur Pieux

La méthode la plus simple pour analyser un radier sur pieux est de le modéliser comme un système de ressorts en parallèle. La charge totale s'applique à l'ensemble, et le tassement est (en théorie) uniforme.

1. Modèle de Ressorts Équivalents
Le système est décomposé en deux ressorts :

Le radier en contact avec le sol, avec une rigidité \(K_r\).
Le groupe de pieux, avec une rigidité \(K_{pg}\).

La charge totale se répartit entre ces deux ressorts. La rigidité totale du système (\(K_{\text{sys}}\)) est la somme des rigidités, car ils sont en parallèle : \[ K_{\text{sys}} = K_r + K_{pg} \]

2. Interaction et Effet de Groupe (\(\alpha_g\))
Un pieu dans un groupe est moins efficace qu'un pieu isolé. Les zones d'influence dans le sol se chevauchent, augmentant le tassement pour une même charge. Pour modéliser cela, on applique un facteur de groupeCoefficient (inférieur à 1) qui réduit la rigidité ou la capacité d'un pieu individuel lorsqu'il est placé dans un groupe de pieux rapprochés. (\(\alpha_g\)) à la somme des rigidités individuelles. \[ K_{pg} = n \cdot K_p \cdot \alpha_g \]

Correction : Dimensionnement d'un Radier sur Pieux

Question 1 : Calculer la rigidité du groupe de pieux (\(K_{pg}\))

Principe

Le groupe de pieux agit comme un seul "super-ressort". Sa rigidité globale n'est pas simplement la somme des rigidités individuelles (\(n \cdot K_p\)) car les pieux interagissent entre eux. Nous devons appliquer un facteur de réduction, l'effet de groupe \(\alpha_g\), pour tenir compte de ce comportement collectif.

Mini-Cours

La rigidité d'un groupe de pieux (\(K_{pg}\)) est liée à la rigidité d'un pieu isolé (\(K_p\)), au nombre de pieux (\(n\)) et au facteur de groupe (\(\alpha_g\)). Ce facteur \(\alpha_g\) dépend de l'espacement des pieux, de leur nombre, et des caractéristiques du sol. Dans cet exercice, il vous est donné.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus classique est d'oublier le facteur de groupe (\(\alpha_g\)). Cela reviendrait à supposer que les pieux sont infiniment éloignés les uns des autres, ce qui surestimerait fortement la rigidité du groupe (et donc sous-estimerait le tassement).

Normes

Le calcul des effets de groupe est une partie essentielle de l'Eurocode 7 (EN 1997 - Calcul géotechnique). Les méthodes peuvent être analytiques (comme la méthode de Poulos & Davis) ou numériques (éléments finis). L'utilisation d'un facteur global \(\alpha_g\) est une simplification courante pour les pré-dimensionnements.

Formule(s)

La formule à appliquer est celle de la rigidité du groupe de pieux :

K_{pg} = n \cdot K_p \cdot \alpha_g

Hypothèses

Nous faisons les hypothèses suivantes pour ce calcul :

Tous les pieux sont identiques et contribuent de manière égale.
Le facteur de groupe \(\alpha_g\) est supposé constant et s'applique uniformément.
Le radier est supposé parfaitement rigide (tous les pieux tassent de la même valeur).

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de pieux	\(n\)	50	-
Rigidité d'un pieu isolé	\(K_p\)	40	MN/m
Facteur de groupe	\(\alpha_g\)	0.6	-

Astuces

Si \(\alpha_g\) n'est pas donné, une valeur entre 0.4 (pieux très rapprochés) et 0.8 (pieux espacés) est une première estimation courante pour des grilles de pieux typiques dans l'argile.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise l'effet de groupe : les bulbes de contrainte (zones d'influence) sous chaque pieu se chevauchent, ce qui "ramollit" la réponse globale du groupe par rapport à des pieux isolés.

Visualisation de l'Effet de Groupe (Bulbes de contrainte)

Calcul(s)

Nous procédons en deux temps pour bien voir l'impact du coefficient de groupe.

Étape 1 : Rigidité théorique sans interaction

Si les pieux étaient très éloignés les uns des autres, on sommerait simplement leurs rigidités (Nombre de pieux \(\times\) Rigidité unitaire) :

50 \times 40 \text{ MN/m} = 2000 \text{ MN/m}

Étape 2 : Application de l'effet de groupe

Comme les pieux sont proches, ils se gênent. On applique le facteur de réduction \(\alpha_g = 0.6\) à ce résultat théorique :

\begin{aligned} K_{pg} &= 2000 \text{ MN/m} \times 0.6 \\ \Rightarrow K_{pg} &= 1200 \text{ MN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le groupe de 50 pieux peut maintenant être représenté par un seul ressort équivalent \(K_{pg}\).

Modélisation : Ressort Équivalent (Groupe de Pieux)

Réflexions

La rigidité totale du groupe (1200 MN/m) est bien inférieure à la simple addition des rigidités individuelles (50 pieux * 40 MN/m = 2000 MN/m). L'effet de groupe a réduit l'efficacité de 40% ! C'est un point crucial en géotechnique.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Ici, tout est en Mégapascals (MN) et mètres (m), donc il n'y a pas de conversion à faire. L'oubli de \(\alpha_g\) est l'erreur la plus fréquente.

Points à retenir

La rigidité d'un groupe de pieux n'est pas la somme des rigidités individuelles. Elle est toujours réduite par un facteur d'interaction \(\alpha_g\).

Formule clé : \( K_{pg} = n \cdot K_p \cdot \alpha_g \)

Le saviez-vous ?

Pour des fondations très importantes comme le Burj Khalifa, l'analyse du radier sur pieux a été réalisée avec des modèles numériques 3D complexes, mais le principe de base de l'interaction et de la répartition des rigidités reste le même !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La rigidité du groupe de pieux est \(K_{pg} = 1200 \text{ MN/m}\).

A vous de jouer

Recalculez \(K_{pg}\) si l'on décidait d'utiliser 60 pieux (\(n=60\)), ce qui réduirait le facteur de groupe à \(\alpha_g = 0.55\). (Kp reste à 40 MN/m)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Effet de groupe.
Formule : \(K_{pg} = n \cdot K_p \cdot \alpha_g\).
Calcul : \(50 \times 40 \times 0.6 = 1200 \text{ MN/m}\).

Question 2 : Calculer la rigidité totale du système radier-pieux (\(K_{\text{sys}}\))

Principe

Le système complet (radier + pieux) est modélisé comme deux ressorts en parallèle : le ressort "radier-sol" (\(K_r\)) et le ressort "groupe de pieux" (\(K_{pg}\)). En mécanique, la rigidité équivalente d'un système de ressorts en parallèle est simplement la somme de leurs rigidités individuelles.

Mini-Cours

Lorsque des ressorts sont en parallèle, ils subissent le même déplacement (tassement \(s\)) mais se partagent la charge totale (\(Q_{\text{total}}\)). La force totale est la somme des forces dans chaque ressort (\(Q_{\text{total}} = Q_r + Q_p\)). Puisque \(Q = K \cdot s\), on a \(K_{\text{sys}} \cdot s = (K_r \cdot s) + (K_{pg} \cdot s)\). En simplifiant par \(s\), on obtient la formule d'addition des rigidités.

Remarque Pédagogique

Cette addition simple est le cœur du modèle de Poulos & Davis pour les radiers sur pieux. C'est une simplification puissante qui suppose que le radier est parfaitement rigide, forçant le sol (sous le radier) et les pieux à tasser de la même valeur \(s\).

Normes

L'Eurocode 7 (EN 1997) impose de vérifier les fondations aux États Limites de Service (ELS), ce qui inclut le calcul des tassements. L'utilisation de modèles d'interaction sol-structure, comme ce modèle à ressorts, est une méthode reconnue pour ces vérifications.

Formule(s)

La rigidité totale du système est la somme des rigidités en parallèle :

K_{\text{sys}} = K_r + K_{pg}

Hypothèses

Nous supposons que le radier est suffisamment rigide pour imposer un tassement uniforme \(s\) à la fois au sol sous-jacent (via \(K_r\)) et à la tête du groupe de pieux (via \(K_{pg}\)).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rigidité du radier seul	\(K_r\)	2500	MN/m
Rigidité du groupe de pieux (Q1)	\(K_{pg}\)	1200	MN/m

Astuces

La rigidité totale d'un système en parallèle sera toujours supérieure à la plus grande des rigidités individuelles. C'est un bon moyen de vérifier rapidement son résultat : \(K_{\text{sys}}\) doit être > \(K_r\) et > \(K_{pg}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le modèle de calcul est une simple addition de deux ressorts agissant ensemble, sous la même charge.

Modèle Analogique : Ressorts en Parallèle

Calcul(s)

Puisque le radier et les pieux travaillent ensemble pour supporter la structure, nous additionnons leurs rigidités respectives. C'est le principe des ressorts en parallèle.

Étape 1 : Remplacer par les valeurs connues

Nous prenons la rigidité du radier (\(K_r\)) donnée dans l'énoncé et la rigidité du groupe de pieux (\(K_{pg}\)) que nous venons de calculer :

\begin{aligned} K_{\text{sys}} &= K_r + K_{pg} \\ K_{\text{sys}} &= 2500 \text{ MN/m} + 1200 \text{ MN/m} \end{aligned}

Étape 2 : Résultat final

En sommant ces deux contributions, nous obtenons la capacité de résistance à la déformation de l'ensemble de la fondation :

\Rightarrow K_{\text{sys}} = 3700 \text{ MN/m}

Ce chiffre de 3700 MN/m sera utilisé pour prédire le tassement global de la tour.

Schéma (Après les calculs)

Le système combiné peut maintenant être vu comme un unique ressort équivalent \(K_{\text{sys}}\).

Ressort Système Équivalent

Réflexions

La rigidité totale du système est de 3700 MN/m. On remarque que la rigidité du radier seul (\(K_r\)) est le composant dominant dans ce système (2500 vs 1200). Cela signifie que le radier reprendra la majorité de la charge.

Points de vigilance

Ne confondez pas avec la formule des ressorts en série (\(1/K_{eq} = 1/K_1 + 1/K_2\)), qui s'appliquerait si les éléments étaient l'un au-dessus de l'autre (par exemple, un pieu traversant une couche de sol compressible puis s'ancrant dans le rocher).

Points à retenir

Pour des ressorts en parallèle, les rigidités s'additionnent.
Formule : \( K_{\text{sys}} = K_r + K_{pg} \)

Le saviez-vous ?

Dans les modèles par éléments finis plus avancés, la rigidité du radier \(K_r\) et celle des pieux \(K_{pg}\) ne sont pas indépendantes. Les pieux modifient la façon dont le sol réagit sous le radier. Ce modèle simplifié suppose que les deux sont indépendants, ce qui est une approximation acceptable pour le pré-dimensionnement.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La rigidité totale du système radier-pieux est \(K_{\text{sys}} = 3700 \text{ MN/m}\).

A vous de jouer

Si, après une étude plus fine, on évalue \(K_r = 3000 \text{ MN/m}\) et \(K_{pg} = 1500 \text{ MN/m}\), quelle serait la nouvelle rigidité totale \(K_{\text{sys}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Ressorts en parallèle.
Formule : \(K_{\text{sys}} = K_r + K_{pg}\).
Calcul : \(2500 + 1200 = 3700 \text{ MN/m}\).

Question 3 : Calculer le tassement moyen du système (\(s\))

Principe

Maintenant que nous avons la rigidité totale du système (\(K_{\text{sys}}\)), nous pouvons la traiter comme un seul ressort équivalent. La loi de Hooke (ou la définition d'un ressort) nous dit que la Force est égale à la Rigidité multipliée par le Déplacement (\(F = K \cdot x\)). En géotechnique, la Force est la charge (\(Q\)) et le déplacement est le tassement (\(s\)).

Mini-Cours

La rigidité \(K\) est définie comme la charge \(Q\) nécessaire pour produire un tassement unitaire \(s\). Par conséquent, \(K = Q/s\). En réarrangeant cette définition fondamentale, on obtient la relation pour trouver le tassement : \(s = Q/K\). Nous appliquons cela à l'ensemble de notre système.

Remarque Pédagogique

Le tassement calculé ici est un tassement *moyen*. Dans la réalité, un radier (surtout s'il est flexible) ne tassera pas uniformément. Il tassera davantage au centre et moins sur les bords. L'hypothèse du radier rigide simplifie cela en un seul tassement \(s\).

Normes

L'Eurocode 7 (EN 1997) spécifie les tassements admissibles pour différents types de structures (État Limite de Service - ELS). Par exemple, pour des bâtiments courants, un tassement total de 50 mm est souvent une limite acceptable, et un tassement différentiel de 1/500 à 1/300 est surveillé pour éviter les dommages structurels.

Formule(s)

La loi de Hooke appliquée à notre système :

Q_{\text{total}} = K_{\text{sys}} \cdot s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{Q_{\text{total}}}{K_{\text{sys}}}

Hypothèses

Nous supposons que le comportement du sol est linéaire-élastique, c'est-à-dire que la rigidité \(K_{\text{sys}}\) est constante quel que soit le niveau de charge (ce qui est une simplification).

Donnée(s)

Nous utilisons la charge totale et le résultat de la Q2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale de service	\(Q_{\text{total}}\)	150	MN
Rigidité totale du système (Q2)	\(K_{\text{sys}}\)	3700	MN/m

Astuces

Vérifiez toujours les unités ! Si la charge est en Méganewtons (MN) et la rigidité en Méganewtons par mètre (MN/m), le résultat \(MN / (MN/m)\) sera bien en mètres (m). C'est une vérification simple pour éviter des erreurs d'un facteur 1000.

Schéma (Avant les calculs)

On représente la charge totale appliquée au ressort système équivalent.

Charge Appliquée sur Système Équivalent

Calcul(s)

Nous cherchons de combien la fondation va s'enfoncer (\(s\)) sous le poids de la tour (\(Q\)). Nous utilisons la relation fondamentale \(s = Q / K\).

Étape 1 : Division de la charge par la rigidité totale

On divise la charge totale (150 MN) par la rigidité totale du système calculée précédemment (3700 MN/m). Notez que les unités de force (MN) s'annulent, laissant le résultat en mètres.

\begin{aligned} s &= \frac{150 \text{ MN}}{3700 \text{ MN/m}} \\ &\approx 0.04054 \text{ m} \end{aligned}

Nous obtenons un résultat brut en mètres, qui est l'unité standard du système international, mais peu parlante pour un chantier.

Étape 2 : Conversion en millimètres

Pour rendre ce chiffre plus concret et comparable aux critères de tolérance, on le convertit en millimètres en multipliant par 1000 :

\begin{aligned} s_{mm} &= 0.04054 \text{ m} \times 1000 \\ &= 40.54 \text{ mm} \end{aligned}

Un tassement d'environ 4 cm est un ordre de grandeur réaliste pour ce type d'ouvrage.

Schéma (Après les calculs)

Le système s'est déplacé (a tassé) d'une valeur \(s\).

Tassement Résultant (s)

Réflexions

Le tassement moyen estimé est d'environ 40.5 mm. C'est ce chiffre que l'ingénieur compare aux tassements admissibles pour la structure (par exemple, 50 mm pour un tassement total). On peut voir l'intérêt des pieux : si le radier seul (\(K_r = 2500\)) avait dû tout prendre, le tassement aurait été de \(150 / 2500 = 0.06 \text{ m}\) (60 mm), soit près de 50% de plus.

Points de vigilance

Vérifiez toujours les unités. Si la charge est en Kilonewtons (kN) et la rigidité en Méganewtons/m (MN/m), une conversion est nécessaire. Ici, MN et MN/m s'annulent pour donner des mètres (m), ce qui est correct.

Points à retenir

Le tassement est la charge totale divisée par la rigidité totale.
La vérification des tassements est une vérification à l'État Limite de Service (ELS).

Le saviez-vous ?

Dans une argile comme celle de l'énoncé, ce tassement ne serait pas instantané. Il y aurait un tassement immédiat (élastique) suivi d'un tassement de consolidation à long terme, qui pourrait prendre plusieurs années pour se stabiliser complètement.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Le tassement moyen du système est \(s \approx 0.0405 \text{ m}\) (soit 40.5 mm).

A vous de jouer

Si la charge totale était de 200 MN et la rigidité totale de 4000 MN/m, quel serait le tassement en mètres ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi de Hooke (\(F=Kx\)).
Formule : \(s = Q_{\text{total}} / K_{\text{sys}}\).
Calcul : \(150 / 3700 \approx 0.0405 \text{ m}\).

Question 4 : Calculer la charge reprise par le groupe de pieux (\(Q_p\))

Principe

Puisque le tassement \(s\) (calculé à la Q3) est le même pour le radier et pour le groupe de pieux (hypothèse des ressorts en parallèle), nous pouvons utiliser la loi de Hooke sur le ressort "groupe de pieux" uniquement. La charge reprise par les pieux (\(Q_p\)) est simplement la rigidité de ce groupe (\(K_{pg}\)) multipliée par le tassement commun (\(s\)).

Mini-Cours

Dans un système de ressorts en parallèle, la charge totale \(Q_{\text{total}}\) se divise. La part de la charge prise par un ressort est proportionnelle à sa rigidité. La charge sur le ressort 1 (\(Q_1\)) est \(Q_1 = K_1 \cdot s\). La charge sur le ressort 2 (\(Q_2\)) est \(Q_2 = K_2 \cdot s\). Nous appliquons cela à notre ressort "pieux".

Remarque Pédagogique

C'est une conséquence directe de l'hypothèse du radier rigide. Si le radier était flexible, le tassement ne serait pas uniforme, et les pieux au centre (où le tassement est plus grand) reprendraient plus de charge que les pieux sur les bords.

Normes

Après avoir trouvé \(Q_p\), l'ingénieur doit vérifier la sécurité à l'État Limite Ultime (ELU). Il calcule la charge par pieu (\(Q_{\text{pieu}} = Q_p / n\)) et la compare à la capacité portante admissible du pieu (\(R_{c,d}\)). On doit avoir \(Q_{\text{pieu}} \le R_{c,d}\).

Formule(s)

Q_p = K_{pg} \cdot s

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que le tassement \(s\) est uniforme pour le radier et le groupe de pieux.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des Q1 et Q3 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rigidité du groupe de pieux (Q1)	\(K_{pg}\)	1200	MN/m
Tassement moyen (Q3)	\(s\)	0.04054	m

Astuces

Il est préférable de garder la valeur non arrondie de \(s\) (soit 150/3700) pour ce calcul afin de minimiser les erreurs d'arrondi. \(Q_p = 1200 \times (150/3700)\).

Schéma (Avant les calculs)

On isole le ressort "groupe de pieux" pour calculer la charge qu'il reprend, sachant qu'il tasse de \(s\).

Force interne dans le groupe de Pieux

Calcul(s)

Pour savoir quelle part du poids est portée par les pieux, on applique la loi de Hooke (\(F = K \times x\)) spécifiquement au "ressort pieux".

Formulation du calcul

La charge des pieux (\(Q_p\)) est égale à leur rigidité (\(K_{pg}\)) multipliée par le tassement (\(s\)) que nous venons de trouver.

Q_p = K_{pg} \times s

Calcul détaillé avec précision

Pour éviter les erreurs d'arrondi liées à la valeur "0.04054", il est plus précis d'utiliser la fraction d'origine (\(150/3700\)) pour le tassement :

\begin{aligned} Q_p &= 1200 \text{ MN/m} \times \frac{150 \text{ MN}}{3700 \text{ MN/m}} \\ &= \frac{1200 \times 150}{3700} \\ &= \frac{180000}{3700} \\ &\approx 48.65 \text{ MN} \end{aligned}

Sur les 150 MN totaux de la tour, les pieux n'en portent donc que 48.65 MN.

Réflexions

Le groupe de 50 pieux reprend 48.65 MN sur les 150 MN totaux. Cela signifie que la majorité de la charge est en fait reprise par le radier. Les pieux agissent ici principalement comme des "réducteurs de tassement" plutôt que comme l'élément porteur principal.

Points de vigilance

Ne calculez pas la charge par pieu en utilisant la rigidité d'un pieu isolé (\(K_p\)) ! L'utilisation de \(K_{pg}\) tient déjà compte de l'effet de groupe. La charge moyenne par pieu est simplement \(Q_p / n = 48.65 / 50 \approx 0.97 \text{ MN/pieu}\).

Points à retenir

La charge reprise par un composant est sa rigidité multipliée par le tassement commun.
Formule : \(Q_p = K_{pg} \cdot s\).

Le saviez-vous ?

Le "coefficient de répartition des charges" \(\alpha_{\text{pr}}\) (pour "piled raft") est le rapport \(Q_p / Q_{\text{total}}\). Dans notre cas, il est de \(48.65 / 150 \approx 0.32\). Ce coefficient est un résultat clé du dimensionnement des radiers sur pieux.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La charge reprise par le groupe de pieux est \(Q_p \approx 48.65 \text{ MN}\).

A vous de jouer

Si la rigidité du groupe de pieux était \(K_{pg} = 1000 \text{ MN/m}\) et que le tassement était de 0.05 m, quelle charge \(Q_p\) les pieux reprendraient-ils ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Tassement uniforme.
Formule : \(Q_p = K_{pg} \cdot s\).
Calcul : \(1200 \times 0.04054 \approx 48.65 \text{ MN}\).

Question 5 : Calculer \(Q_r\) et le pourcentage de charge repris par les pieux

Principe

Nous avons deux façons de trouver la charge reprise par le radier (\(Q_r\)) :
1. Utiliser la loi de Hooke pour le ressort "radier" : \(Q_r = K_r \cdot s\).
2. Utiliser l'équilibre global : \(Q_r = Q_{\text{total}} - Q_p\).
Utiliser les deux méthodes est une excellente façon de vérifier nos calculs. Ensuite, le pourcentage est un simple ratio.

Mini-Cours

La répartition des charges est directement proportionnelle aux rigidités. Le pourcentage de charge pris par les pieux peut aussi se calculer sans connaître le tassement : \[ \%_{\text{pieux}} = \frac{K_{pg}}{K_{\text{sys}}} \times 100 = \frac{K_{pg}}{K_r + K_{pg}} \times 100 \] De même pour le radier : \[ \%_{\text{radier}} = \frac{K_r}{K_{\text{sys}}} \times 100 = \frac{K_r}{K_r + K_{pg}} \times 100 \] Nous pouvons utiliser cela pour vérifier notre Étape 3.

Remarque Pédagogique

Cette vérification croisée est cruciale. Si \(K_r \cdot s\) n'est pas égal à \(Q_{\text{total}} - Q_p\), vous avez fait une erreur d'arrondi ou une erreur de calcul dans les étapes précédentes. Utiliser les valeurs exactes (fractions) est le meilleur moyen de l'éviter.

Normes

Une fois \(Q_r\) connu, l'ingénieur vérifie la contrainte moyenne sous le radier (\(q_r = Q_r / A_r\), où \(A_r\) est la surface du radier). Cette contrainte doit être inférieure à la capacité portante admissible du sol à ce niveau.

Formule(s)

Q_r = K_r \cdot s \quad \text{OU} \quad Q_r = Q_{\text{total}} - Q_p

\%_{\text{pieux}} = \frac{Q_p}{Q_{\text{total}}} \times 100

Hypothèses

L'équilibre statique est respecté : la somme des charges reprises par les composants (\(Q_r + Q_p\)) est égale à la charge totale appliquée (\(Q_{\text{total}}\)).

Donnée(s)

Toutes les données et résultats précédents :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale	\(Q_{\text{total}}\)	150	MN
Charge pieux (Q4)	\(Q_p\)	48.65	MN
Rigidité radier	\(K_r\)	2500	MN/m
Tassement (Q3)	\(s\)	0.04054	m

Astuces

La somme des pourcentages doit faire 100%. C'est la vérification la plus simple ! Le pourcentage de charge pris par un composant est simplement sa rigidité divisée par la rigidité totale.
\(\%_{\text{pieux}} = K_{pg} / K_{\text{sys}} = 1200 / 3700 \approx 32.4\%\).
\(\%_{\text{radier}} = K_r / K_{\text{sys}} = 2500 / 3700 \approx 67.6\%\).
Total = 32.4 + 67.6 = 100%.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme en barres ci-dessous est la meilleure visualisation pour cette étape.

Calcul(s)

1. Calcul de la charge Radier (\(Q_r\))

Le moyen le plus simple est d'utiliser l'équilibre global : ce que les pieux ne portent pas, le radier doit le porter. On fait donc une soustraction :

\begin{aligned} Q_r &= Q_{\text{total}} - Q_p \\ &= 150 \text{ MN} - 48.65 \text{ MN} \\ &= 101.35 \text{ MN} \end{aligned}

Le radier porte donc plus de 100 MN, c'est l'élément principal.

2. Calcul du pourcentage Pieux

Pour obtenir le pourcentage, on divise la charge des pieux par la charge totale pour avoir la proportion :

\begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{Q_p}{Q_{\text{total}}} \\ &= \frac{48.65}{150} \\ &\approx 0.3243 \end{aligned}

Enfin, on multiplie par 100 pour avoir une valeur en pourcents lisible :

\begin{aligned} \%_{\text{pieux}} &= 0.3243 \times 100 \\ &\approx 32.4 \% \end{aligned}

Conclusion : Les pieux soulagent le radier d'environ un tiers de la charge totale.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la répartition des charges.

Répartition Finale (Graphique en Barres)

Réflexions

Les résultats sont clairs : le radier reprend environ 2/3 de la charge (67.6%) et les pieux 1/3 (32.4%). Dans ce cas, les pieux ne sont pas l'élément porteur principal, mais leur contribution a été essentielle pour réduire le tassement de 60 mm (radier seul) à 40.5 mm (système combiné).

Points de vigilance

Assurez-vous que la somme des charges partielles (\(Q_r + Q_p\)) est bien égale à \(Q_{\text{total}}\). Une petite différence peut exister à cause des arrondis, c'est pourquoi il est bon de garder plusieurs décimales (ou des fractions) pendant les calculs intermédiaires.

Points à retenir

La charge se répartit proportionnellement aux rigidités.
Vérification : \(Q_r + Q_p = Q_{\text{total}}\).
Vérification : \(K_r \cdot s + K_{pg} \cdot s = (K_r + K_{pg}) \cdot s = K_{\text{sys}} \cdot s = Q_{\text{total}}\).

Le saviez-vous ?

La conception d'un radier sur pieux est un exercice d'optimisation. L'ingénieur cherche le "juste" nombre de pieux pour amener le tassement sous la limite admissible, sans en mettre trop (ce qui coûte cher). On n'essaie pas de ramener le tassement à zéro, mais juste "suffisamment bas".

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Charge reprise par le radier : \(Q_r \approx 101.35 \text{ MN}\).
Pourcentage repris par les pieux : \(\approx 32.4 \%\).

A vous de jouer

Si les pieux reprenaient 50 MN et que la charge totale était de 200 MN, quel serait le pourcentage de charge repris par les pieux ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Équilibre des forces.
Formule : \(Q_r = Q_{\text{total}} - Q_p\).
Calcul : \(150 - 48.65 = 101.35 \text{ MN}\). \((48.65/150)*100 \approx 32.4\%\)

Outil Interactif : Simulateur de Répartition

Utilisez les curseurs pour modifier la rigidité du radier (\(K_r\)) et la rigidité du groupe de pieux (\(K_{pg}\)). Observez en temps réel comment la répartition des charges (en pourcentage) est affectée.

Paramètres d'Entrée

Rigidité Radier (K_r) (MN/m) 2500 MN/m

Rigidité Groupe Pieux (K_pg) (MN/m) 1200 MN/m

Résultats Clés

% Charge Radier -

% Charge Pieux -

Glossaire

Radier sur Pieux (Piled Raft): Fondation combinée qui utilise à la fois un radier (fondation superficielle) et des pieux (fondation profonde) pour optimiser la reprise de charge et contrôler les tassements.
Rigidité (K): En mécanique, mesure de la résistance d'un objet à la déformation. Elle est définie comme la force nécessaire pour provoquer un déplacement unitaire (ex: en MN/m).
Tassement (s): Affaissement vertical du sol sous l'effet d'une charge. On distingue le tassement total (absolu) et le tassement différentiel (variation de tassement entre deux points).
Effet de Groupe (\(\alpha_g\)): Phénomène d'interaction entre des pieux rapprochés. Le chevauchement de leurs zones d'influence dans le sol réduit l'efficacité (rigidité et capacité) de chaque pieu par rapport à un pieu isolé.
Loi de Hooke: Principe de physique qui stipule que la force (\(F\)) requise pour étirer ou comprimer un ressort d'une certaine distance (\(x\)) est directement proportionnelle à cette distance. \(F = K \cdot x\), où \(K\) est la rigidité.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Projet

Schéma de principe du radier sur pieux

Questions à traiter

Les bases du Radier sur Pieux

Correction : Dimensionnement d'un Radier sur Pieux

Question 1 : Calculer la rigidité du groupe de pieux (\(K_{pg}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'Effet de Groupe (Bulbes de contrainte)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Modélisation : Ressort Équivalent (Groupe de Pieux)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la rigidité totale du système radier-pieux (\(K_{\text{sys}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modèle Analogique : Ressorts en Parallèle

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Ressort Système Équivalent

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le tassement moyen du système (\(s\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Charge Appliquée sur Système Équivalent

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Tassement Résultant (s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la charge reprise par le groupe de pieux (\(Q_p\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)