Dimensionnement d'une Fondation Compensée

Contexte : La Fondation CompenséeTechnique de fondation où le poids des terres excavées compense le poids de la nouvelle structure pour limiter le tassement..

Nous devons concevoir les fondations d'un bâtiment de 10 étages avec 2 niveaux de sous-sol. Le terrain est constitué d'une couche d'argile molle, dont la capacité portante est faible et qui est sensible au tassementEnfoncement du sol sous l'effet d'une charge, pouvant causer des désordres dans la structure.. Pour éviter un tassement excessif, nous allons utiliser le principe de la fondation compensée : le poids du sol excavé pour créer les sous-sols va "compenser" le poids du nouveau bâtiment.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à équilibrer les charges descendantes (bâtiment) et les charges "ascendantes" (poussée du sol excavé) pour calculer la contrainte netteLa contrainte réellement appliquée au sol, une fois l'effet de l'excavation pris en compte., qui est le paramètre clé pour ce type de fondation.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de la compensation de fondation.
Calculer le poids des terres excavées (poids des déblais).
Calculer la contrainte nette appliquée au sol à la base de la fondation.
Vérifier la sécurité du dimensionnement vis-à-vis de la capacité portante nette du sol.
Analyser l'impact de la profondeur d'excavation sur la compensation.

Données de l'étude

L'étude porte sur un bâtiment de bureaux avec deux niveaux de sous-sol, fondé sur un radier général.

Fiche Technique du Site

Caractéristique	Valeur
Type de sol	Argile molle à moyenne
Poids volumique moyen du sol (\(\gamma_{\text{sol}}\))	18 kN/m³
Contrainte admissible nette (\(\sigma_{\text{adm,nette}}\))	50 kPa

Schéma de Principe de la Fondation

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Surface de la fondation	\(S\)	500	m²
Profondeur d'excavation	\(D\)	6	m
Charge totale du bâtiment	\(P_{\text{tot}}\)	50 000	kN
Poids volumique du sol	\(\gamma_{\text{sol}}\)	18	kN/m³
Contrainte adm. nette	\(\sigma_{\text{adm,nette}}\)	50	kPa

Questions à traiter

Calculer le poids total des terres excavées (\(P_{\text{déblais}}\)).
Calculer la contrainte brute totale appliquée par le bâtiment (\(\sigma_{\text{brute}}\)).
Calculer la contrainte nette appliquée au sol au niveau de la fondation (\(\sigma_{\text{nette}}\)).
Comparer la contrainte nette à la contrainte admissible nette (\(\sigma_{\text{adm,nette}}\)) et conclure sur la sécurité du dimensionnement vis-à-vis du tassement.
Quelle serait la nouvelle contrainte nette (\(\sigma'_{\text{nette}}\)) si on ajoutait un niveau de sous-sol (D = 9 m), en supposant que \(P_{\text{tot}}\) reste inchangé ?

Les bases sur la Compensation de Fondation

Le principe de la fondation compensée, ou radier compensé, est similaire au principe d'Archimède. En excavant le sol, on retire un certain poids de terre. Le bâtiment que l'on construit applique une nouvelle charge. La contrainte qui causera le tassement n'est pas la contrainte totale, mais la contrainte *nette*, c'est-à-dire la différence entre ce qu'on ajoute et ce qu'on enlève.

1. Poids des déblais (\(P_{\text{déblais}}\))
C'est le poids du sol qui a été retiré. On le calcule simplement en multipliant le volume excavé par le poids volumique du sol. \[ P_{\text{déblais}} = \text{Volume}_{\text{excavé}} \times \gamma_{\text{sol}} = (S \times D) \times \gamma_{\text{sol}} \]

2. Contrainte Nette (\(\sigma_{\text{nette}}\))
C'est la charge nette (Poids du bâtiment moins Poids des déblais) divisée par la surface de la fondation. C'est cette contrainte qui doit être comparée à la capacité portante nette du sol. \[ \sigma_{\text{nette}} = \frac{P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}}}{S} \] AlternativementOn peut aussi calculer la contrainte brute \(\sigma_{\text{brute}} = P_{\text{tot}} / S\) et la contrainte de décharge \(\sigma_{\text{décharge}} = \gamma_{\text{sol}} \times D\), puis faire \(\sigma_{\text{nette}} = \sigma_{\text{brute}} - \sigma_{\text{décharge}}\). : \[ \sigma_{\text{nette}} = \frac{P_{\text{tot}}}{S} - ( \gamma_{\text{sol}} \times D ) \]

Correction : Dimensionnement d'une Fondation Compensée

Question 1 : Calculer le poids total des terres excavées (\(P_{\text{déblais}}\))

Principe

Le poids des terres excavées (ou "déblais") est la force verticale correspondant à la masse du sol retiré. On l'obtient en calculant le volume de l'excavation (Surface \(S\) fois Profondeur \(D\)) et en le multipliant par le poids volumique du sol (\(\gamma_{\text{sol}}\)).

Mini-Cours

Le poids volumique (\(\gamma\))Exprimé en kN/m³, il représente le poids d'un mètre cube de matériau. est une propriété essentielle du sol. Multiplié par un volume (en m³), il donne un poids (en kN). Cette étape est cruciale pour quantifier "l'allègement" que l'on crée en creusant.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes avant de multiplier. Ici, nous avons des m², des m et des kN/m³. Le résultat sera bien en kN.

Normes

Ce calcul relève des principes de base de la mécanique des sols et de la physique (Poids = Volume × Poids Volumique), fondamentaux dans les normes de géotechnique (comme l'Eurocode 7).

Formule(s)

La formule à appliquer est :

P_{\text{déblais}} = S \times D \times \gamma_{\text{sol}}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous faisons les hypothèses suivantes :

Le poids volumique du sol (\(\gamma_{\text{sol}}\)) est constant sur toute la profondeur \(D\).
L'excavation est verticale avec une surface constante \(S\) de 500 m².

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Surface de la fondation	\(S\)	500	m²
Profondeur d'excavation	\(D\)	6	m
Poids volumique du sol	\(\gamma_{\text{sol}}\)	18	kN/m³

Astuces

Visualisez le calcul : vous avez excavé un "pavé" de terre de 500 m² de base et 6 m de haut. Vous calculez simplement le poids de ce pavé.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien le volume à excaver : c'est le prisme de base \(S\) et de hauteur \(D\) (la partie "Sous-sols").

Volume des Déblais

Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule étape par étape en insérant les valeurs des données.

Étape 1 : Calcul du volume excavé (Volume = S × D)

D'abord, nous calculons le volume de terre retiré en multipliant la surface (S) par la profondeur (D).

\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{excavé}} &= (500 \text{ m}^2) \times (6 \text{ m}) \\ &= 3000 \text{ m}^3 \end{aligned}

Le volume excavé est de 3000 mètres cubes.

Étape 2 : Calcul du poids (Poids = Volume × Poids Volumique)

Ensuite, nous convertissons ce volume en poids (force) en le multipliant par le poids volumique du sol (\(\gamma_{\text{sol}}\)).

\begin{aligned} P_{\text{déblais}} &= \text{Volume}_{\text{excavé}} \times \gamma_{\text{sol}} \\ P_{\text{déblais}} &= (3000 \text{ m}^3) \times (18 \text{ kN/m}^3) \\ P_{\text{déblais}} &= 54 000 \text{ kN} \end{aligned}

Le poids total des déblais est de 54 000 kN. Note sur les unités : Les \(\text{m}^3\) s'annulent (\(\text{m}^3 \times \text{kN/m}^3\)), laissant des \(\text{kN}\), ce qui est bien une unité de poids (force).

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant quantifier la force de "soulagement" (décharge) due à l'excavation. C'est une force virtuelle dirigée vers le haut, qui s'oppose à la charge du bâtiment.

Réflexions

Le poids des terres excavées (54 000 kN) est du même ordre de grandeur que le poids du bâtiment (50 000 kN). Cela indique que la compensation sera très efficace.

Points de vigilance

Ne confondez pas le poids volumique (\(\gamma\)) en kN/m³ avec la masse volumique (\(\rho\)) en kg/m³. Si l'on vous donnait \(\rho = 1800 \text{ kg/m}^3\), il faudrait multiplier par \(g \approx 9.81 \text{ m/s}^2\) (souvent pris à 10) pour obtenir \(\gamma\).

Points à retenir

Le calcul du poids des déblais est la première et la plus importante étape du dimensionnement d'une fondation compensée.

Formule : \(P_{\text{déblais}} = S \times D \times \gamma_{\text{sol}}\)

Le saviez-vous ?

La Tour de Pise a été (partiellement) redressée en utilisant ce principe ! Les ingénieurs ont excavé soigneusement du sol *sous* le côté le plus élevé de la fondation, provoquant un tassement contrôlé qui a réduit l'inclinaison.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le poids total des terres excavées est de 54 000 kN.

A vous de jouer

Si la profondeur d'excavation n'était que de 5 mètres, quel serait le poids des déblais (en kN) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Poids du sol excavé.
Formule Essentielle : \(P_{\text{déblais}} = S \times D \times \gamma_{\text{sol}}\).
Résultat : 54 000 kN.

Question 2 : Calculer la contrainte brute totale appliquée par le bâtiment (\(\sigma_{\text{brute}}\))

Principe

La contrainte brute est la charge totale apportée par le bâtiment (\(P_{\text{tot}}\)), répartie sur toute la surface de la fondation (\(S\)). Cela représente la "pression" que le bâtiment exerce sur le sol, *sans* tenir compte de l'excavation.

Mini-Cours

La contrainte (\(\sigma\))Exprimée en Pascals (Pa) ou kiloPascals (kPa), où 1 kPa = 1 kN/m². est une mesure de force par unité de surface (\(\sigma = F/A\)). En fondations, on s'assure que la contrainte appliquée par la structure est inférieure à ce que le sol peut supporter (sa capacité portante).

Remarque Pédagogique

C'est un calcul simple, mais il est important de ne pas le confondre avec la contrainte *nette*. La contrainte brute est ce que l'on calculerait si l'on construisait le bâtiment directement au niveau du sol, sans creuser.

Normes

Ce calcul est la définition même de la contrainte moyenne sous une fondation, une étape de base de l'Eurocode 7 pour la vérification à l'état limite ultime (ELU) et de service (ELS).

Formule(s)

La formule de la contrainte moyenne est :

\sigma_{\text{brute}} = \frac{P_{\text{tot}}}{S}

Hypothèses

On suppose que la charge \(P_{\text{tot}}\) est uniformément réparties sur la surface \(S\) du radier.

Donnée(s)

Nous utilisons les données suivantes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale du bâtiment	\(P_{\text{tot}}\)	50 000	kN
Surface de la fondation	\(S\)	500	m²

Astuces

L'unité de sortie sera des kN/m². Rappelez-vous que \(1 \text{ kN/m}^2 = 1 \text{ kPa}\). C'est l'unité la plus courante en géotechnique.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente la force \(P_{\text{tot}}\) s'appliquant sur la surface \(S\).

Contrainte Brute

Calcul(s)

Nous substituons les valeurs de l'énoncé dans la formule de la contrainte brute.

Étape 1 : Application de la formule (\(\sigma = P/S\))

On divise la charge totale du bâtiment (P_tot) par la surface (S) sur laquelle elle s'applique.

\begin{aligned} \sigma_{\text{brute}} &= \frac{P_{\text{tot}}}{S} \\ &= \frac{50 000 \text{ kN}}{500 \text{ m}^2} \\ \sigma_{\text{brute}} &= 100 \text{ kN/m}^2 \end{aligned}

Le résultat est de 100 kilonewtons par mètre carré (kN/m²).

Étape 2 : Conversion des unités en kiloPascals (kPa)

Il est standard en géotechnique d'utiliser le kiloPascal (kPa). Heureusement, la conversion est directe.

\begin{aligned} \text{Rappel : } 1 \text{ kPa} &= 1 \text{ kN/m}^2 \\ \sigma_{\text{brute}} &= 100 \text{ kPa} \end{aligned}

La contrainte brute exercée par le bâtiment est donc de 100 kiloPascals.

Schéma (Après les calculs)

La pression moyenne exercée par le bâtiment est de 100 kPa.

Réflexions

Cette contrainte de 100 kPa est supérieure à la contrainte admissible *nette* de 50 kPa. Si nous n'avions pas creusé, le sol ne pourrait pas supporter le bâtiment sans tasser excessivement.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser la charge totale \(P_{\text{tot}}\) (charges permanentes G + charges d'exploitation Q) et non une partie seulement, sauf indication contraire (par exemple, calcul de tassement à long terme qui ne prend que G + une fraction de Q).

Points à retenir

La contrainte brute est la charge totale divisée par la surface.
Formule : \(\sigma_{\text{brute}} = P_{\text{tot}} / S\)

Le saviez-vous ?

Pour des bâtiments très élevés comme le Burj Khalifa, la contrainte brute est énorme. Ses fondations s'appuient sur un système de pieux et de radier très complexe pour transférer la charge vers des couches de sol et de roche plus profondes et plus résistantes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La contrainte brute totale appliquée par le bâtiment est de 100 kPa.

A vous de jouer

Si la charge totale \(P_{\text{tot}}\) était de 60 000 kN (bâtiment plus lourd) pour la même surface, quelle serait la contrainte brute (en kPa) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Contrainte brute (sans compensation).
Formule Essentielle : \(\sigma_{\text{brute}} = P_{\text{tot}} / S\).
Résultat : 100 kPa.

Question 3 : Calculer la contrainte nette appliquée au sol (\(\sigma_{\text{nette}}\))

Principe

C'est le cœur du principe de compensation. La contrainte nette est la contrainte *réellement* ajoutée au sol. On la calcule en prenant la charge totale du bâtiment (\(P_{\text{tot}}\)) et en soustrayant le poids du sol qu'on a enlevé (\(P_{\text{déblais}}\)). Le résultat est ensuite divisé par la surface \(S\).

Mini-Cours

Si \(\sigma_{\text{nette}}\) est positive, le bâtiment est plus lourd que le sol excavé, et il y aura un tassementEnfoncement du sol sous l'effet d'une charge.. Si \(\sigma_{\text{nette}}\) est négative, le bâtiment est plus léger que le sol excavé (sur-compensation), et il y a un risque de soulèvementGonflement du fond de fouille dû à la décompression du sol.. L'objectif est d'avoir une \(\sigma_{\text{nette}}\) faible et positive.

Remarque Pédagogique

Il y a deux façons de la calculer, qui donnent le même résultat :
1. (Charge nette) / Surface : \((P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}}) / S\)
2. (Contrainte brute) - (Contrainte de décharge) : \(\sigma_{\text{brute}} - (D \times \gamma_{\text{sol}})\)
Nous utiliserons la première méthode car nous avons déjà calculé les deux poids.

Normes

La détermination de la contrainte nette est fondamentale pour l'analyse des tassements (ELS) selon l'Eurocode 7.

Formule(s)

Formule principale

\sigma_{\text{nette}} = \frac{P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}}}{S}

Hypothèses

Nous réutilisons les hypothèses précédentes sur l'uniformité des charges et du sol.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale du bâtiment	\(P_{\text{tot}}\)	50 000	kN
Poids des terres excavées	\(P_{\text{déblais}}\)	54 000	kN
Surface de la fondation	\(S\)	500	m²

Astuces

N'ayez pas peur d'obtenir un résultat négatif ! C'est courant dans les fondations compensées et cela signifie simplement que vous avez enlevé plus de poids que vous n'en avez ajouté.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la "balance" entre le poids du bâtiment (\(P_{\text{tot}}\)) et le poids des déblais (\(P_{\text{déblais}}\)).

Balance des Charges Nettes

Calcul(s)

Nous utilisons les résultats des questions 1 et 2 pour calculer la charge nette, puis la contrainte nette.

Étape 1 : Calculer la charge nette (\(P_{\text{nette}}\))

On soustrait le poids du sol retiré (P_déblais, de Q1) de la charge totale du bâtiment (P_tot).

\begin{aligned} P_{\text{nette}} &= P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}} \\ &= 50 000 \text{ kN (Charge Bâtiment)} - 54 000 \text{ kN (Poids Déblais)} \\ &= -4 000 \text{ kN} \end{aligned}

Le résultat est négatif, ce qui signifie que le poids retiré est supérieur au poids ajouté. La charge nette est une "traction" de 4 000 kN.

Étape 2 : Calculer la contrainte nette (\(\sigma_{\text{nette}}\))

Maintenant, on répartit cette charge nette sur la surface (S) pour la convertir en contrainte.

\begin{aligned} \sigma_{\text{nette}} &= \frac{P_{\text{nette}}}{S} \\ &= \frac{-4 000 \text{ kN}}{500 \text{ m}^2} \\ &= -8 \text{ kN/m}^2 \end{aligned}

La contrainte nette est de -8 kN/m².

Étape 3 : Conversion en kPa

Comme pour la contrainte brute, nous convertissons en kPa.

\sigma_{\text{nette}} = -8 \text{ kPa (car 1 kPa = 1 kN/m}^2)

La contrainte nette finale est donc de -8 kPa.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une contrainte *nette* négative, ce qui signifie que le sol ressent une décharge (un allègement) de 8 kPa par rapport à son état initial (avant travaux).

Réflexions

Le bâtiment est "plus léger" que la terre qui a été enlevée. Cela est excellent pour limiter les tassements. Le sol, au lieu d'être comprimé, est en fait légèrement décomprimé.

Points de vigilance

Un \(\sigma_{\text{nette}}\) très négatif peut être problématique. Cela peut causer un gonflementExpansion verticale du sol (souvent les argiles) lorsqu'il est déchargé. du fond de fouille, ce qui peut endommager le radier si celui-ci n'est pas assez rigide ou ancré. Une valeur de -8 kPa est généralement considérée comme très faible et non problématique.

Points à retenir

La contrainte nette est la clé du dimensionnement en compensation.
Formule : \(\sigma_{\text{nette}} = (P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}}) / S\)
Un résultat négatif signifie une sur-compensation (risque de soulèvement).

Le saviez-vous ?

À Mexico, une ville construite sur un ancien lac (sols très compressibles), la plupart des grands bâtiments utilisent des fondations compensées "flottantes" pour éviter de s'enfoncer. Certains sont même conçus pour être ajustés avec des vérins hydrauliques afin de corriger les tassements différentiels.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La contrainte nette appliquée au sol est de -8 kPa.

A vous de jouer

Si le bâtiment était plus lourd, \(P_{\text{tot}} = 60 000 \text{ kN}\), quelle serait la contrainte nette (en kPa) ? (Utilisez \(P_{\text{déblais}} = 54 000 \text{ kN}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Contrainte nette (charge réelle ajoutée au sol).
Formule Essentielle : \(\sigma_{\text{nette}} = (P_{\text{tot}} - P_{\text{déblais}}) / S\).
Résultat : -8 kPa (sur-compensation).

Question 4 : Comparer \(\sigma_{\text{nette}}\) à \(\sigma_{\text{adm,nette}}\) et conclure

Principe

C'est l'étape de vérification. Le but de tout le calcul est de s'assurer que la contrainte que nous ajoutons (\(\sigma_{\text{nette}}\)) est inférieure à ce que le sol peut supporter en plus de sa charge initiale (la contrainte admissible netteLa charge *supplémentaire* que le sol peut supporter en toute sécurité.).

Mini-Cours

La vérification de la sécurité (à l'État Limite de Service, ELS, pour le tassement) s'écrit toujours :
Efforts appliqués \(\le\) Résistance du matériau
Ici, cela se traduit par :
\(\sigma_{\text{nette, appliquée}} \le \sigma_{\text{admissible, nette}}\)

Remarque Pédagogique

La contrainte admissible *nette* (50 kPa ici) est la capacité portante du sol *en plus* du poids des terres qui étaient là avant. Puisque notre contrainte nette est négative (-8 kPa), non seulement nous n'ajoutons pas de charge, mais nous en enlevons. La vérification devrait donc être très facile.

Normes

Cette vérification \(\sigma_{\text{nette}} \le \sigma_{\text{adm,nette}}\) est la condition de base pour le dimensionnement des fondations superficielles vis-à-vis du tassement.

Formule(s)

Critère de vérification

\sigma_{\text{nette}} \le \sigma_{\text{adm,nette}}

Hypothèses

On suppose que la valeur de \(\sigma_{\text{adm,nette}} = 50 \text{ kPa}\) fournie par l'étude géotechnique est correcte et inclut les facteurs de sécurité appropriés.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q3 et la donnée de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte nette calculée	\(\sigma_{\text{nette}}\)	-8	kPa
Contrainte admissible nette	\(\sigma_{\text{adm,nette}}\)	50	kPa

Astuces

Un nombre négatif est *toujours* inférieur à un nombre positif. La vérification est donc immédiate. Le seul risque, comme mentionné, n'est pas le tassement mais le soulèvement.

Schéma (Avant les calculs)

On compare deux valeurs sur un axe.

Vérification de Sécurité

Calcul(s)

Nous posons l'inéquation de sécurité et la vérifions avec nos valeurs.

Vérification du critère de tassement

C'est le test de sécurité : la contrainte appliquée (calculée en Q3) doit être inférieure à la contrainte permise (donnée).

\begin{aligned} \text{Critère à vérifier : } \sigma_{\text{nette}} &\le \sigma_{\text{adm,nette}} \\ \text{Substitution des valeurs : } -8 \text{ kPa} &\le 50 \text{ kPa} \end{aligned}

Cette condition est VRAIE. Un nombre négatif (-8) est mathématiquement toujours inférieur à un nombre positif (50). La contrainte appliquée est bien inférieure à la contrainte admissible.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma "avant calculs" montre déjà que notre point (-8 kPa) est bien à gauche de la limite (50 kPa), donc dans la zone de sécurité.

Réflexions

Le dimensionnement est très sécuritaire vis-à-vis du tassement. La marge de sécurité est \(\sigma_{\text{adm,nette}} - \sigma_{\text{nette}} = 50 - (-8) = 58 \text{ kPa}\). Cela signifie qu'on pourrait ajouter 58 kPa de charge (soit \(58 \text{ kPa} \times 500 \text{ m}^2 = 29 000 \text{ kN}\)) avant d'atteindre la limite admissible.

Points de vigilance

Ne jamais comparer \(\sigma_{\text{brute}}\) (100 kPa) avec \(\sigma_{\text{adm,nette}}\) (50 kPa). Cela mènerait à la conclusion erronée que le projet n'est pas faisable (100 > 50), alors qu'il l'est grâce à la compensation.

Points à retenir

Le critère de vérification du tassement est \(\sigma_{\text{nette}} \le \sigma_{\text{adm,nette}}\).
Une contrainte nette négative valide presque toujours ce critère.

Le saviez-vous ?

Pour les parkings souterrains très profonds, la sur-compensation peut être si forte que le radier doit être ancré au sol par des tirants d'ancrageCâbles ou barres en acier scellés profondément dans le sol ou la roche pour retenir la structure et l'empêcher de se soulever. pour l'empêcher de remonter (comme un bateau vide qui flotte trop haut).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La condition \(-8 \text{ kPa} \le 50 \text{ kPa}\) est vérifiée. Le dimensionnement est satisfaisant vis-à-vis du tassement.

A vous de jouer

Si votre \(\sigma_{\text{nette}}\) calculée était de 60 kPa, et la \(\sigma_{\text{adm,nette}}\) de 50 kPa, le projet serait-il validé ? (Entrez 1 pour oui, 0 pour non).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Vérification de la sécurité au tassement.
Formule Essentielle : \(\sigma_{\text{nette}} \le \sigma_{\text{adm,nette}}\).
Résultat : -8 kPa \(\le\) 50 kPa. C'est vérifié.

Question 5 : Nouvelle contrainte nette (\(\sigma'_{\text{nette}}\)) si D = 9 m ?

Principe

On refait le calcul de la question 3, mais en changeant une seule variable : la profondeur d'excavation \(D\). Augmenter \(D\) va augmenter le poids des déblais (\(P_{\text{déblais}}\)) et donc diminuer (rendre plus négative) la contrainte nette.

Mini-Cours

C'est une analyse de sensibilité. On étudie l'impact d'un paramètre de conception (la profondeur du sous-sol) sur le résultat final (la contrainte nette). C'est essentiel pour optimiser un projet.

Remarque Pédagogique

Nous devons d'abord recalculer le nouveau poids des déblais, \(P'_{\text{déblais}}\), avec \(D = 9 \text{ m}\). La charge du bâtiment \(P_{\text{tot}}\) est supposée inchangée (même si en réalité, ajouter un sous-sol ajouterait du poids de structure).

Normes

L'analyse de sensibilité est une pratique d'ingénierie standard pour évaluer la robustesse d'un design.

Formule(s)

Étape 1 : Nouveau Poids des Déblais

P'_{\text{déblais}} = S \times D_{\text{new}} \times \gamma_{\text{sol}}

Étape 2 : Nouvelle Contrainte Nette

\sigma'_{\text{nette}} = \frac{P_{\text{tot}} - P'_{\text{déblais}}}{S}

Hypothèses

Hypothèse clé : \(P_{\text{tot}}\) reste à 50 000 kN, même en ajoutant un niveau de sous-sol. C'est une simplification pour isoler l'effet de \(D\).

Donnée(s)

Données pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale du bâtiment	\(P_{\text{tot}}\)	50 000	kN
Surface de la fondation	\(S\)	500	m²
Nouvelle Profondeur	\(D_{\text{new}}\)	9	m
Poids volumique du sol	\(\gamma_{\text{sol}}\)	18	kN/m³

Astuces

On peut aussi calculer la *variation* de contrainte. Creuser 3m de plus (\(9m - 6m\)) enlève une contrainte de \(\Delta\sigma = \Delta D \times \gamma_{\text{sol}} = 3 \text{ m} \times 18 \text{ kN/m}^3 = 54 \text{ kPa}\). La nouvelle contrainte sera \(\sigma'_{\text{nette}} = \sigma_{\text{nette}} - \Delta\sigma = -8 - 54 = -62 \text{ kPa}\). Vérifions par le calcul complet.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma est le même que Q3, mais les flèches auront des valeurs différentes. La flèche "Poids Déblais" sera visiblement plus grande que "Poids Bâtiment".

Balance des Charges Nettes (D=9m)

Calcul(s)

Nous répétons le calcul de Q1 et Q3, mais avec la nouvelle profondeur \(D_{\text{new}} = 9 \text{ m}\).

Étape 1 : Calculer le nouveau poids des déblais (\(P'_{\text{déblais}}\))

D'abord, on recalcule le poids des déblais avec la nouvelle profondeur \(D_{\text{new}} = 9 \text{ m}\) (au lieu de 6 m).

\begin{aligned} \text{Volume}'_{\text{excavé}} &= S \times D_{\text{new}} \\ &= (500 \text{ m}^2) \times (9 \text{ m}) = 4500 \text{ m}^3 \\ \\ P'_{\text{déblais}} &= \text{Volume}'_{\text{excavé}} \times \gamma_{\text{sol}} \\ &= (4500 \text{ m}^3) \times (18 \text{ kN/m}^3) \\ &= 81 000 \text{ kN} \end{aligned}

Le nouveau poids des déblais est de 81 000 kN, bien supérieur aux 54 000 kN initiaux.

Étape 2 : Calculer la nouvelle charge nette (\(P'_{\text{nette}}\))

On recalcule la charge nette en soustrayant ce *nouveau* poids de déblais à la charge du bâtiment (qui reste inchangée à 50 000 kN).

\begin{aligned} P'_{\text{nette}} &= P_{\text{tot}} - P'_{\text{déblais}} \\ &= 50 000 \text{ kN} - 81 000 \text{ kN} \\ &= -31 000 \text{ kN} \end{aligned}

La charge nette est maintenant encore plus négative : -31 000 kN.

Étape 3 : Calculer la nouvelle contrainte nette (\(\sigma'_{\text{nette}}\))

Finalement, on divise cette nouvelle charge nette par la surface S (inchangée).

\begin{aligned} \sigma'_{\text{nette}} &= \frac{P'_{\text{nette}}}{S} \\ &= \frac{-31 000 \text{ kN}}{500 \text{ m}^2} \\ &= -62 \text{ kN/m}^2 \\ \Rightarrow \sigma'_{\text{nette}} &= -62 \text{ kPa} \end{aligned}

La nouvelle contrainte nette est de -62 kPa.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'astuce : -62 kPa. Le sol est maintenant déchargé de 62 kPa.

Réflexions

Avec une sur-compensation de 62 kPa, le risque de soulèvement du fond de fouille pendant les travaux (avant que le bâtiment ne soit construit) devient un enjeu majeur. Il faudra probablement prévoir des mesures spécifiques (ancrages, phasage du bétonnage, rabattement de nappe temporaire) pour gérer cet effet.

Points de vigilance

Ne pas oublier que \(P_{\text{tot}}\) est la charge totale *à la fin*. Pendant les travaux, \(P_{\text{tot}} = 0\) (ou juste le poids du radier). C'est à ce moment que la sur-compensation (\(-P'_{\text{déblais}}\)) est maximale et que le risque de soulèvement est le plus grand.

Points à retenir

Augmenter la profondeur d'excavation \(D\) augmente la compensation (rend \(\sigma_{\text{nette}}\) plus négative).
Cela réduit le tassement mais augmente le risque de soulèvement.

Le saviez-vous ?

Le "St. Regis Hotel" à San Francisco, construit à côté d'un musée sensible aux vibrations, a utilisé une fondation compensée très profonde (plus de 20m) pour créer un "sous-sol vide" (un "vide sanitaire" géant) dont le seul but était d'alléger la structure pour ne causer aucun tassement au bâtiment voisin.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Avec une profondeur de 9 m, la nouvelle contrainte nette serait de -62 kPa.

A vous de jouer

Quelle serait la "profondeur d'équilibre" (en m) pour laquelle \(\sigma_{\text{nette}} = 0\) ? (Indice: cherchez D tel que \(P_{\text{tot}} = P_{\text{déblais}}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Analyse de sensibilité (impact de D).
Formule Essentielle : Recalcul de \(P_{\text{déblais}}\) et \(\sigma_{\text{nette}}\).
Résultat : \(\sigma'_{\text{nette}} = -62 \text{ kPa}\).

Outil Interactif : Simulateur de Compensation

Utilisez cet outil pour voir comment la contrainte nette évolue en fonction de la profondeur d'excavation et de la charge totale du bâtiment. Le poids volumique du sol (18 kN/m³) et la surface (500 m²) sont fixes.

Paramètres d'Entrée

Profondeur d'excavation (D) 6 m

Charge Totale Bâtiment (P_tot) 50000 kN

Résultats Clés

Poids des déblais (kN) -

Contrainte Nette (kPa) -

Glossaire

Contrainte Admissible Nette (\(\sigma_{\text{adm,nette}}\)): La contrainte *supplémentaire* que le sol peut supporter en toute sécurité (vis-à-vis du tassement) par rapport à son état initial (avant excavation).
Contrainte Brute (\(\sigma_{\text{brute}}\)): La charge totale du bâtiment divisée par sa surface, sans tenir compte du poids du sol excavé.
Contrainte Nette (\(\sigma_{\text{nette}}\)): La contrainte réellement appliquée au sol, calculée en soustrayant le poids des terres excavées à la charge du bâtiment. C'est le paramètre clé pour le calcul du tassement.
Fondation Compensée: Technique de fondation (souvent un radier) où l'on creuse profondément pour que le poids du sol retiré compense (en tout ou partie) le poids du nouveau bâtiment, minimisant ainsi le tassement.
Poids Volumique (\(\gamma\)): Poids d'un matériau par unité de volume. Généralement exprimé en kilonewtons par mètre cube (kN/m³).
Soulèvement (Gonflement): Mouvement ascendant du fond de fouille causé par la décompression du sol après excavation. Se produit en cas de sur-compensation (\(\sigma_{\text{nette}}\) négative).
Tassement: Enfoncement vertical du sol sous l'application d'une charge (une contrainte nette positive).

Chargement...

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Site

Schéma de Principe de la Fondation

Questions à traiter

Les bases sur la Compensation de Fondation

Correction : Dimensionnement d'une Fondation Compensée

Question 1 : Calculer le poids total des terres excavées (\(P_{\text{déblais}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Volume des Déblais

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la contrainte brute totale appliquée par le bâtiment (\(\sigma_{\text{brute}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Contrainte Brute

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la contrainte nette appliquée au sol (\(\sigma_{\text{nette}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Balance des Charges Nettes

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Comparer \(\sigma_{\text{nette}}\) à \(\sigma_{\text{adm,nette}}\) et conclure

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces