Dimensionnement d'une Fondation par Puits

Contexte : La conception d'une fondation profondeType de fondation qui transfère les charges de la structure vers des couches de sol profondes et résistantes (ex: pieux, puits). pour un pilier de viaduc.

Vous êtes ingénieur géotechnicien chargé de dimensionner un puits de fondation pour un viaduc autoroutier. Le sol de surface étant de mauvaise qualité, il est nécessaire d'aller chercher le "bon sol" en profondeur. L'objectif est de déterminer la capacité portante de ce puits en calculant séparément la résistance offerte par la base (pointe) et celle offerte par le frottement sur les parois latérales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en application le principe de superposition des résistances en géotechnique : Résistance Totale = Résistance de Pointe + Résistance par Frottement Latéral. C'est la base du calcul de tous les éléments de fondations profondes.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la géométrie d'une fondation cylindrique (surface, périmètre).
Déterminer la résistance de pointe (\(R_{\text{b}}\)) à partir de la contrainte limite.
Déterminer la résistance par frottement latéral (\(R_{\text{s}}\)).
Vérifier la capacité portante totale avec un coefficient de sécurité.

Données de l'étude

On considère un puits en béton armé, de section circulaire, ancré dans une couche de sable dense.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de fondation	Puits foré
Forme	Cylindrique
Nature du sol porteur	Sable dense

Coupe schématique du Puits

Paramètre	Description	Valeur	Unité
D	Diamètre du puits	1.20	m
H	Profondeur ancrée (hauteur utile)	8.00	m
\(q_{\text{u}}\)	Contrainte de rupture en pointe	4.0	MPa
\(f_{\text{s}}\)	Frottement latéral unitaire moyen	60	kPa

Questions à traiter

Calculer la géométrie de la fondation : Aire de la base (\(A_{\text{b}}\)) et Périmètre (\(P\)).
Calculer la résistance limite de pointe (\(R_{\text{b}}\)).
Calculer la résistance limite par frottement latéral (\(R_{\text{s}}\)).
En déduire la résistance totale limite (\(R_{\text{u}}\)) de la fondation.
Déterminer la charge admissible (\(Q_{\text{adm}}\)) avec un coefficient de sécurité global \(F_{\text{s}} = 3\).

Les bases sur les Fondations Profondes

La capacité portante d'une fondation profonde (pieu, puits, barrette) provient de deux mécanismes distincts qui s'additionnent.

1. L'Effet de Pointe (\(R_{\text{b}}\))
C'est la résistance du sol directement sous la base de la fondation, comme pour une semelle classique, mais à grande profondeur. \[ R_{\text{b}} = A_{\text{b}} \times q_{\text{u}} \]

2. Le Frottement Latéral (\(R_{\text{s}}\))
C'est la résistance générée par le frottement du sol sur toute la surface latérale (le fût) de la fondation. \[ R_{\text{s}} = A_{\text{s}} \times f_{\text{s}} = (P \times H) \times f_{\text{s}} \]

Correction : Dimensionnement d'une Fondation par Puits

Question 1 : Géométrie de la fondation

Principe

Avant de calculer des forces, nous devons connaître les caractéristiques géométriques de l'objet. Pour un cylindre, deux grandeurs sont cruciales : la surface de sa base (pour l'effet de pointe) et son périmètre (pour calculer la surface latérale de frottement).

Mini-Cours

Rappel de géométrie élémentaire pour un cercle de diamètre \(D\) :
- L'aire \(A = \pi \times R^2 = \frac{\pi \times D^2}{4}\).
- Le périmètre \(P = \pi \times D\).

Remarque Pédagogique

La précision géométrique est la base de tout calcul. Une erreur ici se répercutera sur tout le reste de l'exercice. Prenez le temps de visualiser la forme en 3D : un puits est un cylindre.

Normes

Dans l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique), les dimensions géométriques nominales sont utilisées pour les calculs de portance, sauf indication contraire spécifique liée aux tolérances d'exécution.

Formule(s)

Aire de la base

A_{\text{b}} = \frac{\pi \cdot D^2}{4}

Périmètre

P = \pi \cdot D

Hypothèses

On suppose que le puits est parfaitement cylindrique et vertical, avec un diamètre constant sur toute sa hauteur.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre	D	1.20	m

Astuces

Pour vérifier rapidement votre périmètre, rappelez-vous que \(\pi \approx 3.14\). Donc le périmètre doit être un peu plus de 3 fois le diamètre. \(1.2 \times 3 = 3.6\). Notre résultat de 3.77 est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la section transversale du puits (vue de dessus).

Section du Puits (Vue de dessus)

Calcul(s)

Calcul de l'aire

Pour calculer l'aire de la base, on utilise la formule de l'aire d'un disque en fonction de son diamètre. On remplace D par sa valeur de 1.20 m.

\begin{aligned} A_{\text{b}} &= \frac{\pi \times D^2}{4} \\ &= \frac{3.14159 \times (1.20 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{3.14159 \times 1.44 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 1.131 \text{ m}^2 \end{aligned}

On obtient ainsi une surface de base d'environ 1.131 m².

Calcul du périmètre

Pour le périmètre, on multiplie simplement le diamètre par la constante PI.

\begin{aligned} P &= \pi \times D \\ &= 3.14159 \times 1.20 \text{ m} \\ &\approx 3.77 \text{ m} \end{aligned}

Le périmètre du cercle est donc de 3.77 mètres linéaires.

Schéma (Après les calculs)

Les valeurs géométriques calculées sont maintenant disponibles pour la suite.

Propriétés Géométriques

Aire Ab = 1.131 m²
Périmètre P = 3.77 m

Réflexions

Une surface de base de plus de 1 m² est conséquente. Cela permet de mobiliser une forte réaction du sol. Comparé à un micropieu de 25cm de diamètre, un puits de 1.20m a une surface de base \( (1.2/0.25)^2 = 23 \) fois plus grande !

Points de vigilance

Ne confondez pas rayon et diamètre dans la formule de l'aire. Si vous utilisez \( \pi R^2 \), n'oubliez pas de diviser le diamètre par 2 d'abord.

Points à retenir

Aire d'un cercle : \(\pi D^2 / 4\).
Périmètre d'un cercle : \(\pi D\).
Toujours vérifier les unités (tout en mètres).

Le saviez-vous ?

Historiquement, les puits étaient creusés à la main ! Aujourd'hui, on utilise des tarières mécaniques géantes ou des bennes preneuses, ce qui permet d'atteindre des diamètres et des profondeurs bien plus importants en toute sécurité.

FAQ

Questions fréquentes sur la géométrie.

Résultat Final

Aire \(A_{\text{b}} \approx 1.13 \text{ m}^2\) et Périmètre \(P \approx 3.77 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si le diamètre était de 1.50 m, quelle serait l'aire de la base ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : La maîtrise de la géométrie de base (cercle) est le prérequis absolu pour tout calcul de fondation cylindrique.

Question 2 : Résistance limite de pointe (\(R_{\text{b}}\))

Principe

La résistance de pointe correspond à la charge maximale que le sol peut supporter juste sous le bas du puits. C'est une force verticale dirigée vers le haut qui s'oppose à l'enfoncement.

Mini-Cours

La résistance de pointe est analogue à la portance d'une semelle superficielle, mais située à grande profondeur. Elle dépend directement de la surface de contact et de la qualité du sol (exprimée par la contrainte de rupture \(q_{\text{u}}\)).

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous appuyez votre pouce sur une table. La force que la table peut supporter dépend de la surface de votre pouce et de la dureté de la table. Ici, le pouce est le puits et la table est le sol.

Normes

Selon la méthode pressiométrique (très utilisée en France - NF P 94-262), la contrainte de rupture \(q_{\text{u}}\) est reliée à la pression limite \(p_{\text{l}}\) du sol via un facteur de portance \(k_{\text{p}}\) : \(q_{\text{u}} = k_{\text{p}} \times p_{\text{le}}\).

Formule(s)

R_{\text{b}} = A_{\text{b}} \times q_{\text{u}}

Hypothèses

On considère que le sol sous la pointe est homogène et que la contrainte de rupture \(q_{\text{u}}\) est une valeur moyenne représentative de la couche d'ancrage.

Donnée(s)

\(A_{\text{b}} \approx 1.131 \text{ m}^2\) (calculé précédemment)
\(q_{\text{u}} = 4.0 \text{ MPa} = 4000 \text{ kPa} = 4000 \text{ kN/m}^2\) (Attention aux unités !)

Astuces

Pour convertir mentalement des MPa en force : 1 MPa sur 1 m² donne 1 MégaNewton (MN). C'est facile à retenir !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la force de réaction sous la base.

Force en Pointe

Calcul(s)

On applique la formule liant la force à la contrainte et la surface. Nous devons faire attention aux unités : la surface est en m² et la contrainte en MPa. Pour obtenir une force en MégaNewtons (MN), il faut se rappeler que 1 MPa équivaut à 1 MN/m².

\begin{aligned} R_{\text{b}} &= A_{\text{b}} \times q_{\text{u}} \\ &= 1.131 \text{ m}^2 \times 4.0 \text{ MPa} \\ &= 1.131 \text{ m}^2 \times 4.0 \text{ MN/m}^2 \\ &= 4.524 \text{ MN} \end{aligned}

Le résultat obtenu est de 4.524 MN (MégaNewtons), ce qui correspond à 4524 kN (kiloNewtons). C'est la force maximale que la base peut supporter avant rupture.

Schéma (Après calculs)

Effet de Pointe Résultant

Réflexions

Une résistance de 4.5 MN correspond environ au poids de 450 tonnes ! C'est considérable, ce qui justifie l'utilisation de ce type de fondation pour des ouvrages d'art comme des viaducs.

Points de vigilance

Attention ! La contrainte est donnée en MPa (MégaPascals). Pour obtenir une force en kN (KiloNewtons) ou MN (MégaNewtons), il faut être cohérent.
1 MPa = 1000 kN/m² = 1 MN/m².

Points à retenir

La résistance de pointe est proportionnelle au carré du diamètre (\(D^2\)).
Les unités de pression doivent correspondre aux unités de surface.

Le saviez-vous ?

Dans certains calculs de pieux, on néglige la résistance de pointe si le sol en fond de pieu est susceptible de se dérober ou s'il est trop mou. Ici, avec du sable dense, c'est l'inverse : la pointe est essentielle.

FAQ

Questions fréquentes sur la résistance de pointe.

Résultat Final

La résistance de pointe limite est \(R_{\text{b}} = 4.52 \text{ MN}\).

A vous de jouer

Si la contrainte de rupture \(q_{\text{u}}\) était de 2 MPa, que vaudrait \(R_{\text{b}}\) (en MN) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Force = Pression x Surface. C'est la base de la mécanique.

Question 3 : Résistance limite par frottement latéral (\(R_{\text{s}}\))

Principe

Le sol "serre" le puits sur les côtés. Cette friction empêche le puits de descendre. La surface de frottement est la surface latérale du cylindre enterré.

Mini-Cours

Le frottement latéral s'exerce sur toute la hauteur enterrée du fût. Il est le produit de la surface de contact (Périmètre x Hauteur) par le frottement unitaire \(f_{\text{s}}\).

Remarque Pédagogique

Contrairement à la pointe qui agit sur une surface "horizontale", le frottement agit sur une surface "verticale". Pensez à la difficulté de retirer un piquet planté dans le sol : c'est le frottement latéral qui vous résiste.

Normes

Le frottement unitaire \(f_{\text{s}}\) est déterminé par des courbes de frottement (abaques) selon la nature du sol et le type de pieu (foré, battu...) dans les normes comme la NF P 94-262.

Formule(s)

Surface latérale (\(A_{\text{s}}\))

A_{\text{s}} = P \times H

Résistance latérale (\(R_{\text{s}}\))

R_{\text{s}} = A_{\text{s}} \times f_{\text{s}}

Hypothèses

On suppose que le frottement se mobilise uniformément sur toute la hauteur H considérée.

Donnée(s)

\(P \approx 3.77 \text{ m}\)
\(H = 8.00 \text{ m}\)
\(f_{\text{s}} = 60 \text{ kPa} = 0.060 \text{ MN/m}^2\)

Astuces

Convertissez dès le début vos kPa en MPa ou MN/m² pour être cohérent avec le calcul de la pointe. \(60 \text{ kPa} = 0.060 \text{ MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)

Zone d'application du frottement.

Surface Latérale (Déroulée)

Calcul(s)

Calcul de la surface latérale

On commence par calculer la surface totale du cylindre en contact avec le sol. C'est simplement le périmètre multiplié par la hauteur enterrée.

\begin{aligned} A_{\text{s}} &= P \times H \\ &= 3.77 \text{ m} \times 8.00 \text{ m} \\ &= 30.16 \text{ m}^2 \end{aligned}

La surface de frottement est donc d'environ 30.16 m².

Calcul de la résistance

Ensuite, on multiplie cette surface par le frottement unitaire. Attention à la conversion des unités : 60 kPa équivalent à 0.060 MN/m².

\begin{aligned} R_{\text{s}} &= A_{\text{s}} \times f_{\text{s}} \\ &= 30.16 \text{ m}^2 \times 60 \text{ kPa} \\ &= 30.16 \text{ m}^2 \times 0.060 \text{ MN/m}^2 \\ &= 1.8096 \text{ MN} \\ &\approx 1.81 \text{ MN} \end{aligned}

Le sol exerce donc une résistance par frottement d'environ 1.81 MN le long du fût du puits.

Schéma (Après calculs)

Effet de Frottement

Réflexions

Le frottement apporte environ 30% de la résistance totale ici. Pour des pieux très longs (20-30m), cette part deviendrait prépondérante.

Points de vigilance

N'oubliez pas que le périmètre est \(\pi \times D\) et non \(\pi \times D^2 / 4\). Une confusion de formule ici est fatale.

Points à retenir

Le frottement est proportionnel à la hauteur H.
Il s'oppose au mouvement du pieu.

Le saviez-vous ?

Il existe des phénomènes de "frottement négatif" : si le sol tasse autour du pieu, il "tire" le pieu vers le bas au lieu de le retenir ! C'est un cas de charge parasite dangereux.

FAQ

Questions sur le frottement.

Résultat Final

La résistance par frottement est \(R_{\text{s}} = 1.81 \text{ MN}\).

A vous de jouer

Si la profondeur \(H\) doublait (16 m), que deviendrait \(R_{\text{s}}\) (en MN) ? (Supposons \(f_{\text{s}}\) constant)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Le frottement agit sur la surface "enveloppe" du cylindre.

Question 4 : Résistance Totale Limite (\(R_{\text{u}}\))

Principe

La capacité totale du puits est simplement la somme de ce que la pointe peut supporter et de ce que le frottement peut supporter.

Mini-Cours

Le principe de superposition s'applique : \(R_{\text{ultime}} = R_{\text{pointe}} + R_{\text{latéral}}\). C'est la capacité portante géotechnique totale avant rupture.

Remarque Pédagogique

C'est le moment d'assembler les pièces du puzzle. Une fondation profonde est une équipe : la pointe et le frottement travaillent ensemble.

Normes

Les normes imposent souvent de vérifier ces termes séparément, puis combinés, avec parfois des coefficients de pondération différents sur la pointe et le frottement, mais le principe d'addition reste valable.

Formule(s)

R_{\text{u}} = R_{\text{b}} + R_{\text{s}}

Hypothèses

On suppose que la pointe et le frottement atteignent leur rupture simultanément (hypothèse simplificatrice courante en pré-dimensionnement).

Donnée(s)

\(R_{\text{b}} = 4.524 \text{ MN}\)
\(R_{\text{s}} = 1.81 \text{ MN}\)

Astuces

Vérifiez l'ordre de grandeur. Si la somme est inférieure à l'un des termes, vous avez fait une erreur de signe !

Schéma (Avant les calculs)

On additionne simplement les vecteurs forces verticaux.

Calcul(s)

On procède maintenant à l'addition des deux résistances calculées précédemment : la résistance de pointe et la résistance latérale.

\begin{aligned} R_{\text{u}} &= R_{\text{b}} + R_{\text{s}} \\ &= 4.524 \text{ MN} + 1.81 \text{ MN} \\ &= 6.334 \text{ MN} \end{aligned}

La résistance ultime totale de la fondation est de 6.334 MN.

Schéma (Après les calculs)

Bilan des Forces

Réflexions

On remarque ici que la pointe apporte la majorité de la résistance (\(4.52\) vs \(1.81\)). C'est typique des fondations dans des sols très résistants ou de grand diamètre (effet de surface \(D^2\)).

Points de vigilance

Ne confondez pas résistance ultime (de rupture) et charge admissible (de service). Ce chiffre de 6.33 MN est une limite à ne jamais atteindre.

Points à retenir

La résistance totale est la somme arithmétique.
L'importance relative de \(R_{\text{b}}\) et \(R_{\text{s}}\) dépend de la géométrie (élancée ou trapue).

Le saviez-vous ?

Pour tester cette valeur réelle, on réalise parfois des essais de chargement statique : on pose des poids énormes sur le pieu jusqu'à ce qu'il s'enfonce.

FAQ

Questions sur le total.

Résultat Final

La résistance ultime est de 6.33 MN.

A vous de jouer

Quelle est la résistance totale (en MN) si \(R_{\text{b}}=4\) et \(R_{\text{s}}=2\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : L'union fait la force : Pointe + Frottement.

Question 5 : Charge Admissible (\(Q_{\text{adm}}\))

Principe

La valeur \(R_{\text{u}}\) est une valeur de rupture (le puits s'enfonce brutalement). Pour construire en sécurité, on applique un coefficient de sécurité \(F_{\text{s}}\) (souvent égal à 3 pour les méthodes aux contraintes admissibles).

Mini-Cours

En géotechnique, les incertitudes sont grandes (le sol n'est pas un matériau industriel parfait). Le coefficient de sécurité \(F_{\text{s}}\) sert à couvrir ces aléas pour garantir que la fondation reste stable et ne tasse pas trop.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale du dimensionnement. Passer du "théorique" (rupture) au "pratique" (ce qu'on autorise sur le chantier).

Normes

Les normes anciennes utilisaient un coefficient global (souvent 3). L'Eurocode 7 utilise des coefficients partiels plus complexes, mais l'approche globale \(F_{\text{s}}=3\) reste une excellente approximation pédagogique.

Formule(s)

Q_{\text{adm}} = \frac{R_{\text{u}}}{F_{\text{s}}}

Hypothèses

On considère ici un coefficient global de sécurité de 3.

Donnée(s)

\(R_{\text{u}} = 6.334 \text{ MN}\)
\(F_{\text{s}} = 3\)

Astuces

Diviser par 3, c'est prendre un tiers. Votre résultat doit être beaucoup plus petit que la résistance ultime.

Schéma (Avant les calculs)

Réduction de sécurité.

Calcul(s)

Pour finir, on divise la résistance ultime totale par le coefficient de sécurité \(F_{\text{s}}\). C'est une simple division pour obtenir la valeur de service.

\begin{aligned} Q_{\text{adm}} &= \frac{R_{\text{u}}}{F_{\text{s}}} \\ &= \frac{6.334 \text{ MN}}{3} \\ &= 2.111... \text{ MN} \\ &\approx 2.11 \text{ MN} \end{aligned}

La charge maximale admissible est donc de 2.11 MN. C'est cette valeur que l'ingénieur utilisera pour vérifier que la charge venant du viaduc est acceptable.

Schéma (Après les calculs)

Marge de Sécurité

Réflexions

2.11 MN représente environ 210 tonnes. C'est la charge maximale que l'ingénieur structure pourra appliquer sur ce puits en toute sécurité.

Points de vigilance

Ne jamais oublier cette étape ! Un ouvrage dimensionné à la rupture s'effondrera à la moindre surcharge imprévue.

Points à retenir

\(Q_{\text{adm}} < R_{\text{u}}\).
Le coefficient de sécurité standard est souvent de 3 en fondations.

Le saviez-vous ?

Pour les structures temporaires (comme une grue de chantier), on accepte parfois un coefficient de sécurité plus faible (par exemple 2), car la durée d'exposition au risque est courte.

FAQ

Questions sur la sécurité.

Résultat Final

La charge admissible est de 2.11 MN.

A vous de jouer

Si \(F_{\text{s}} = 2\) (cas ELU simplifié par exemple), quelle serait la charge admissible (en MN) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : La sécurité avant tout : on divise la résistance par 3.

Outil Interactif : Simulateur de Portance

Faites varier le diamètre et la profondeur pour voir comment évoluent la résistance de pointe et le frottement latéral.

Paramètres d'Entrée

Diamètre D (m) 1.2 m

Profondeur H (m) 8 m

Résultats (Ultime)

Pointe \(R_{\text{b}}\) (MN) -

Frottement \(R_{\text{s}}\) (MN) -

Total \(R_{\text{u}}\) (MN) -

Glossaire

Résistance de pointe (\(q_{\text{u}}\)): Contrainte maximale que le sol peut supporter sous la base de la fondation avant rupture.
Frottement latéral (\(f_{\text{s}}\)): Contrainte de cisaillement mobilisable à l'interface entre le sol et la paroi verticale de la fondation.
Fondation profonde: Élément de fondation dont la hauteur est grande par rapport à sa largeur (H/D > 5 généralement), allant chercher le bon sol en profondeur.
Coefficient de sécurité (\(F_{\text{s}}\)): Facteur appliqué pour couvrir les incertitudes de calcul et garantir que la fondation ne sera jamais proche de la rupture en conditions normales.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Coupe schématique du Puits

Questions à traiter

Les bases sur les Fondations Profondes

Correction : Dimensionnement d'une Fondation par Puits

Question 1 : Géométrie de la fondation

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Section du Puits (Vue de dessus)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Propriétés Géométriques

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Résistance limite de pointe (\(R_{\text{b}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Force en Pointe

Calcul(s)

Schéma (Après calculs)

Effet de Pointe Résultant

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Résistance limite par frottement latéral (\(R_{\text{s}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Surface Latérale (Déroulée)

Calcul(s)

Schéma (Après calculs)

Effet de Frottement

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Résistance Totale Limite (\(R_{\text{u}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)