Dimensionnement d'une Semelle Isolée Carrée

Contexte : Les fondations superficielles.

Les fondations sont l'interface entre une structure et le sol. Leur rôle est crucial : elles doivent transmettre les charges du bâtiment (poids propre, charges d'exploitation, vent, etc.) vers le sol de manière sécuritaire et durable, sans causer de tassements excessifs. Cet exercice se concentre sur le cas d'une semelle isoléeÉlément de fondation ponctuel, généralement en béton armé, situé directement sous un poteau pour répartir sa charge sur une plus grande surface de sol., l'un des types de fondations superficielles les plus courants. Nous allons dimensionner une semelle carrée sous un poteau centré, en suivant les principes des Eurocodes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers une étude de cas complète, de la détermination des dimensions de la fondation à partir des charges appliquées, jusqu'au calcul de son ferraillage. Il s'agit d'une application directe des principes de la mécanique des sols et du calcul du béton armé (Eurocodes 2 et 7).

Objectifs Pédagogiques

Déterminer les dimensions de la semelle en plan pour satisfaire à la condition de portance du sol à l'État Limite de Service (ELS).
Calculer la contrainte de calcul sur le sol à l'État Limite Ultime (ELU).
Calculer la hauteur nécessaire de la semelle pour résister aux efforts de flexion et de poinçonnement.
Déterminer la section d'armatures en nappe inférieure pour reprendre les moments de flexion.

Données de l'étude

On étudie une semelle carrée en béton armé, supportant un poteau carré en son centre. L'ensemble doit être dimensionné pour reprendre les charges de la structure et les transmettre au sol de fondation.

Fiche Technique

Élément	Caractéristique	Valeur
Poteau	Dimensions	30 cm x 30 cm
Béton	Classe de résistance	C25/30
Acier	Nuance	Fe E 500 (Classe B ou C)
Sol	Contrainte admissible (ELS)	0.15 MPa

Schéma du problème

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente	\( N_{\text{G}} \)	400	kN
Charge d'exploitation	\( N_{\text{Q}} \)	250	kN
Résistance béton	\( f_{\text{ck}} \)	25	MPa
Limite élastique acier	\( f_{\text{yk}} \)	500	MPa

Questions à traiter

Déterminer la surface minimale de la semelle à l'ELS et choisir des dimensions carrées pratiques (multiples de 5 cm).
Calculer la contrainte de calcul sur le sol à l'ELU avec les dimensions choisies.
Déterminer la hauteur utile \(d\) et la hauteur totale \(h\) de la semelle.
Calculer la section d'armatures \(A_s\) requise dans chaque direction.
Proposer un choix de barres (diamètre et nombre) et vérifier leur espacement.

Les bases sur le Dimensionnement des Fondations

Le dimensionnement des fondations superficielles selon l'Eurocode repose sur la vérification de plusieurs États Limites. L'État Limite de Service (ELS) assure le bon fonctionnement de l'ouvrage (tassements limités), tandis que l'État Limite Ultime (ELU) garantit sa stabilité (pas de rupture du sol ou de la structure).

1. Combinaisons d'Actions (Eurocode 0)
Les charges sont combinées pour représenter les scénarios les plus défavorables.

À l'ELS (combinaison quasi-permanente) : \( P_{\text{ser}} = N_{\text{G}} + N_{\text{Q}} \)
À l'ELU (combinaison fondamentale) : \( P_{\text{u}} = 1.35 \cdot N_{\text{G}} + 1.5 \cdot N_{\text{Q}} \)

Où \(N_{\text{G}}\) est la charge permanente et \(N_{\text{Q}}\) la charge d'exploitation.

2. Vérification de la Portance du Sol
La condition fondamentale est de s'assurer que la contrainte transmise par la fondation au sol ne dépasse pas sa capacité portante.

À l'ELS : \( \sigma_{\text{sol, ser}} = \frac{P_{\text{ser}}}{A^2} \le q_{\text{sol, adm}} \)

Le dimensionnement de la surface se fait à l'ELS car la contrainte admissible est une donnée géotechnique de service.

Correction : Dimensionnement d’une Semelle Isolée Carrée

Question 1 : Prédimensionnement de la semelle à l'ELS

Principe

La première étape consiste à déterminer la surface de la semelle nécessaire pour que la pression exercée sur le sol ne dépasse pas sa capacité portante en conditions de service normales. C'est une vérification à l'État Limite de Service (ELS), qui garantit que le sol ne se tassera pas de manière excessive sous les charges d'utilisation courante du bâtiment.

Mini-Cours

La contrainte (\(\sigma\)) est une mesure de la force par unité de surface. Dans le cas d'une fondation, la force est la charge totale du bâtiment transmise par le poteau, et la surface est l'aire de la semelle en contact avec le sol. Le but est d'avoir une surface suffisamment grande pour "étaler" la charge, de sorte que la pression sur le sol reste faible et supportable.

Remarque Pédagogique

On commence toujours le dimensionnement d'une fondation par l'ELS. Pourquoi ? Car la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{sol, adm}}\)) est une donnée de service issue du rapport géotechnique. Elle est directement liée aux tassements acceptables. Fixer les dimensions à l'ELS nous assure que l'ouvrage se comportera bien au quotidien.

Normes

Ce calcul est régi par l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) pour la vérification de la capacité portante et l'Eurocode 0 pour les combinaisons d'actions à l'ELS.

Formule(s)

Charge de service

P_{\text{ser}} = N_{\text{G}} + N_{\text{Q}}

Surface requise

S_{\text{req}} \ge \frac{P_{\text{ser}}}{q_{\text{sol, adm}}}

Hypothèses

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

La charge est parfaitement centrée sur la semelle.
La réaction du sol est uniformément répartie sous la semelle (hypothèse de semelle rigide).
Le poids propre de la semelle est négligé dans cette première approche (il est souvent estimé à 10% de la charge, mais le négliger va dans le sens de la sécurité pour le calcul de la surface).

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente	\(N_{\text{G}}\)	400	kN
Charge d'exploitation	\(N_{\text{Q}}\)	250	kN
Contrainte admissible du sol	\(q_{\text{sol, adm}}\)	0.15	MPa

Astuces

Attention aux unités ! Il est plus simple de convertir la contrainte du sol en kPa (ou kN/m²) pour être cohérent avec les charges en kN. Rappel : 1 MPa = 1000 kPa = 1000 kN/m².

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul vise à trouver la surface 'A x A' qui équilibre la charge \(P_{\text{ser}}\) avec la pression admissible du sol \(q_{\text{sol, adm}}\).

Équilibre des forces à l'ELS

Calcul(s)

Calcul de la charge de service \(P_{\text{ser}}\)

\begin{aligned} P_{\text{ser}} &= 400 \text{ kN} + 250 \text{ kN} \\ &= 650 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul de la surface requise \(S_{\text{req}}\)

\begin{aligned} S_{\text{req}} &\ge \frac{650 \text{ kN}}{0.15 \text{ MPa}} \\ &= \frac{650 \text{ kN}}{150 \text{ kN/m}^2} \\ &= 4.33 \text{ m}^2 \end{aligned}

Détermination du côté minimal A

\begin{aligned} A &\ge \sqrt{4.33 \text{ m}^2} \\ &\ge 2.08 \text{ m} \end{aligned}

On choisit une dimension pratique, généralement un multiple de 5 cm, en arrondissant à la valeur supérieure.

Schéma (Après les calculs)

Le choix final est une semelle carrée de 2.10m de côté.

Dimensions Adoptées (Vue en Plan)

Réflexions

Le choix d'une dimension de 2.10 m, légèrement supérieure au minimum de 2.08 m, nous donne une petite marge de sécurité. La surface réelle est de 4.41 m², ce qui est supérieur au 4.33 m² requis. Cela signifie que la contrainte réelle sur le sol sera légèrement inférieure à la contrainte admissible.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur à ce stade est une mauvaise gestion des unités. Toujours vérifier la cohérence entre les kN et les MPa (ou kPa, ou kN/m²). De plus, ne jamais arrondir les dimensions à l'inférieur, toujours au supérieur !

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : La surface de la semelle est déterminée par la capacité portante du sol en conditions de service (ELS).
Formule Essentielle : \(S_{\text{req}} \ge P_{\text{ser}} / q_{\text{adm}}\)
Point de Vigilance Majeur : Unités (kN vs MPa) et arrondissement des dimensions.

Le saviez-vous ?

L'étude de sol qui fournit la valeur de la contrainte admissible est l'une des étapes les plus critiques d'un projet de construction. Elle est réalisée par un ingénieur géotechnicien, qui analyse des échantillons de sol pour déterminer ses caractéristiques mécaniques.

FAQ

Vos questions, nos réponses.

Résultat Final

On adopte une semelle carrée de côté A = 2.10 m. La surface réelle est \(S = 2.10^2 = 4.41 \text{ m}^2\).

A vous de jouer

Si la contrainte admissible du sol était de 0.20 MPa, quel serait le côté minimal A à adopter (en m, arrondi aux 5cm sup.) ?

Question 2 : Contrainte de calcul à l'ELU

Principe

Maintenant que les dimensions sont fixées, nous calculons la pression que la semelle exercera sur le sol sous les charges ultimes (pondérées par des coefficients de sécurité). Cette valeur de contrainte servira de base pour le dimensionnement du béton armé (calculs de flexion et de poinçonnement).

Mini-Cours

L'État Limite Ultime (ELU) représente un scénario de défaillance. Pour s'en prémunir, on majore les charges (avec des coefficients \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\)) et on minore les résistances des matériaux. La contrainte calculée à l'ELU n'est pas comparée à la contrainte admissible (qui est une valeur de service), mais elle est utilisée comme une action (une charge) pour le calcul de la structure en béton armé.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que \(\sigma_{\text{sol,u}}\) est une contrainte de calcul interne à notre structure (la semelle). Ce n'est pas une vérification de la portance du sol. Cette pression est la "charge" qui fait fléchir notre semelle et qui risque de la poinçonner. C'est le point de départ de tout le calcul de béton armé qui va suivre.

Normes

La combinaison de charges est définie par l'Eurocode 0 (Bases de calcul des structures). Le principe de calcul de la contrainte est basé sur la mécanique des milieux continus.

Formule(s)

Charge ultime

P_{\text{u}} = 1.35 \cdot N_{\text{G}} + 1.5 \cdot N_{\text{Q}}

Contrainte de calcul du sol

\sigma_{\text{sol, u}} = \frac{P_{\text{u}}}{A^2}

Hypothèses

On conserve l'hypothèse d'une réaction du sol uniformément répartie, ce qui est généralement admis pour une semelle rigide sous charge centrée.

Donnée(s)

On utilise les charges initiales et les dimensions de la semelle déterminées à la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente	\(N_{\text{G}}\)	400	kN
Charge d'exploitation	\(N_{\text{Q}}\)	250	kN
Côté de la semelle	A	2.10	m

Astuces

Puisque la surface \(A^2\) est en m² et la charge \(P_{\text{u}}\) en kN, le résultat de la division sera directement en kN/m², c'est-à-dire en kPa. C'est l'unité la plus pratique pour les calculs de béton armé qui suivront.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la semelle soumise aux charges ultimes, avec la réaction du sol à déterminer.

Équilibre des forces à l'ELU

Calcul(s)

Calcul de la charge ultime \(P_{\text{u}}\)

\begin{aligned} P_{\text{u}} &= (1.35 \times 400) + (1.5 \times 250) \\ &= 540 + 375 \\ &= 915 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul de la contrainte ultime \(\sigma_{\text{sol, u}}\)

\begin{aligned} \sigma_{\text{sol, u}} &= \frac{915 \text{ kN}}{(2.10 \text{ m})^2} \\ &= \frac{915}{4.41} \\ &\approx 207.48 \text{ kN/m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La semelle est soumise à une pression uniforme de 207.5 kPa sur sa face inférieure.

Réaction du Sol à l'ELU

Réflexions

Cette contrainte de 207.5 kPa représente la réaction du sol que la semelle doit supporter à l'état ultime. C'est cette pression "vers le haut" qui génère des efforts internes dans la semelle.

Points de vigilance

Ne pas utiliser les charges de service (ELS) pour ce calcul. Les coefficients de pondération de 1.35 et 1.5 sont fondamentaux pour assurer la sécurité de la structure.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : La contrainte à l'ELU est la charge de calcul pour le dimensionnement du béton armé de la semelle.
Formule Essentielle : \(P_{\text{u}} = 1.35 G + 1.5 Q\)
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la surface réelle de la semelle (\(A^2\)) et non la surface minimale requise.

Le saviez-vous ?

Les coefficients de sécurité (1.35 et 1.5) ne sont pas arbitraires. Ils proviennent d'analyses statistiques complexes qui tiennent compte de l'incertitude sur les valeurs des charges et de la gravité des conséquences d'une défaillance.

FAQ

Vos questions, nos réponses.

Résultat Final

La contrainte de calcul sur le sol à l'ELU est \(\sigma_{\text{sol, u}} \approx 207.5 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Avec les mêmes charges, si on avait choisi une semelle de 2.20m x 2.20m, quelle aurait été la contrainte \(\sigma_{\text{sol, u}}\) en kPa ?

Question 3 : Hauteur de la semelle (h et d)

Principe

La hauteur de la semelle doit être suffisante pour qu'elle puisse résister à la flexion et, surtout, pour éviter une rupture fragile par poinçonnementRupture du béton sous une charge concentrée, où le poteau tend à 'traverser' la semelle. C'est un mode de rupture fragile à éviter.. La hauteur est souvent gouvernée par cette condition de non-poinçonnement, qui assure une bonne diffusion des efforts du poteau vers le sol.

Mini-Cours

On considère qu'une semelle est "rigide" si sa hauteur est suffisamment grande pour que sa déformation sous charge soit négligeable. Dans ce cas, la pression du sol est considérée comme uniforme. Une condition empirique de rigidité est que la hauteur \(h\) soit telle que la semelle travaille comme une console. Les efforts du poteau doivent pouvoir "diffuser" à environ 45° à travers le béton jusqu'aux bords de la semelle. Cette diffusion garantit que la semelle ne se pliera pas et répartira bien les charges.

Remarque Pédagogique

Une méthode de prédimensionnement rapide et sécuritaire pour la hauteur utile \(d\) consiste à utiliser la condition de rigidité. La formule \(d \ge (A-a)/4\) assure approximativement que les bielles de béton comprimé peuvent se développer correctement pour transmettre les charges du poteau vers les bords de la fondation sans flexion excessive.

Normes

Ce prédimensionnement s'inspire des règles de l'art et des anciennes réglementations (BAEL). Pour une justification complète, il faudrait appliquer la méthode de vérification au poinçonnement de l'Eurocode 2 (§ 6.4), qui est plus complexe.

Formule(s)

Condition de rigidité

d \ge \frac{A - a}{4}

Hauteur totale

h = d + c_{\text{nom}}

Hypothèses

On cherche à dimensionner une semelle rigide. On suppose également un enrobage suffisant pour les aciers, ce qui est crucial pour les fondations en contact avec le sol (classe d'exposition XC2 ou plus).

Donnée(s)

On utilise les dimensions géométriques.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Côté de la semelle	A	2.10	m
Côté du poteau	a	0.30	m
Enrobage (supposé)	\(c_{\text{nom}}\)	5	cm

Astuces

Pour l'enrobage des fondations, ne soyez pas timide ! 5 cm est une valeur courante et sécuritaire qui garantit la protection des armatures contre la corrosion. C'est bien plus que les 2 ou 3 cm utilisés pour les poutres ou les dalles en intérieur.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la hauteur utile \(d\) qui assure une bonne diffusion des charges à 45°.

Condition de Rigidité et Diffusion des Charges

Calcul(s)

Calcul de la hauteur utile minimale \(d\)

\begin{aligned} d &\ge \frac{2.10 \text{ m} - 0.30 \text{ m}}{4} \\ &= \frac{1.80}{4} \\ &= 0.45 \text{ m} \end{aligned}

On choisit donc une hauteur utile \(d = 45 \text{ cm}\).

Calcul de la hauteur totale \(h\)

\begin{aligned} h &= d + c_{\text{nom}} \\ &= 45 \text{ cm} + 5 \text{ cm} \\ &= 50 \text{ cm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La hauteur totale de la semelle est fixée à 50 cm, avec une hauteur utile de 45 cm.

Dimensions Finales de la Semelle (Coupe)

Réflexions

Une hauteur de 50 cm est une dimension très courante pour ce type de semelle et de charge. Elle garantit une bonne rigidité et limite les risques de poinçonnement, ce qui simplifie souvent les vérifications ultérieures.

Points de vigilance

Cette méthode est un prédimensionnement. Une vérification détaillée au poinçonnement selon l'Eurocode 2 est normalement requise pour valider définitivement la hauteur de la semelle. De plus, la hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (le haut de la semelle) et le centre de gravité des aciers tendus. Notre approximation \(h = d + c_{\text{nom}}\) est une simplification qui suppose un diamètre de barre moyen.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : La hauteur de la semelle est dictée par la nécessité d'être rigide et de résister au poinçonnement.
Formule Essentielle : Règle de prédimensionnement \(d \ge (A-a)/4\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier l'enrobage pour passer de la hauteur utile \(d\) à la hauteur totale \(h\).

Le saviez-vous ?

Dans les cas de charges très élevées ou de sols de faible portance, la hauteur de la semelle peut devenir très importante. Pour économiser du béton, on peut alors opter pour des semelles nervurées ou des radiers généraux, qui sont de grandes dalles couvrant toute l'emprise du bâtiment.

FAQ

Vos questions, nos réponses.

Résultat Final

On adopte une hauteur utile \(d = 0.45 \text{ m}\) et une hauteur totale \(h = 0.50 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la semelle avait un côté A=2.50m et le poteau a=0.50m, quelle serait la hauteur utile \(d\) minimale à adopter (en cm) ?

Question 4 : Calcul des armatures principales

Principe

La semelle se déforme sous l'action de la réaction du sol, se comportant comme une dalle console inversée encastrée au niveau du poteau. Cette flexion engendre des tractions à la base de la semelle, qui doivent être reprises par des armatures en acier, car le béton résiste très mal à la traction.

Mini-Cours

En flexion simple, une section de béton armé est soumise à un moment fléchissant \(M_{\text{u}}\). Ce moment crée un couple de forces internes : une force de compression dans le béton en partie supérieure, et une force de traction dans les aciers en partie inférieure. Le calcul consiste à déterminer la section d'acier \(A_{\text{s}}\) nécessaire pour que la force de traction qu'elle peut reprendre équilibre le moment appliqué. Le "bras de levier" \(z\) est la distance entre ces deux forces.

Remarque Pédagogique

Le calcul du moment se fait à la face du poteau. Imaginez que la partie de la semelle en porte-à-faux est une console. La charge est la pression du sol \(\sigma_{\text{sol,u}}\), et l'encastrement est le poteau. C'est là que le moment est maximal.

Normes

Le calcul des armatures de flexion est régi par l'Eurocode 2 (Calcul des structures en béton), section 6.1. Les sections minimales d'armatures sont définies à la section 9.2.1.1.

Formule(s)

Moment fléchissant ultime

M_{\text{u}} = \frac{P_{\text{u}}}{8} \frac{(A-a)^2}{A}

Section d'acier de calcul

A_{\text{s}} \ge \frac{M_{\text{u}}}{z \cdot f_{\text{yd}}} \quad \text{avec } z \approx 0.9 \cdot d \text{ et } f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}}

Hypothèses

On suppose que le bras de levier \(z\) est égal à 90% de la hauteur utile \(d\). C'est une approximation courante et sécuritaire pour les sections rectangulaires peu ou normalement armées.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge ultime	\(P_{\text{u}}\)	915	kN
Hauteur utile	d	0.45	m
Limite élastique acier	\(f_{\text{yk}}\)	500	MPa
Coefficient de sécurité acier	\(\gamma_{\text{s}}\)	1.15	-

Astuces

Pour le calcul de \(A_{\text{s}}\), veillez à utiliser des unités cohérentes. Si \(M_{\text{u}}\) est en kNm, \(z\) en m, alors \(f_{\text{yd}}\) doit être en kPa (kN/m²). \(f_{\text{yd}} = 435 \text{ MPa} = 435000 \text{ kPa}\).

Schéma (Avant les calculs)

On calcule le moment de flexion généré par la pression du sol sur la "console" que forme la semelle de part et d'autre du poteau.

Modèle de Calcul en Flexion (Demi-semelle)

Calcul(s)

Calcul du moment ultime \(M_{\text{u}}\)

\begin{aligned} M_{\text{u}} &= \frac{915 \text{ kN}}{8} \times \frac{(2.10 - 0.30)^2}{2.10} \\ &= 114.375 \times \frac{1.80^2}{2.10} \\ &\approx 176.49 \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned}

Calcul de la résistance de l'acier \(f_{\text{yd}}\)

\begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \\ &= \frac{500}{1.15} \\ &\approx 435 \text{ MPa} \end{aligned}

Calcul du bras de levier \(z\)

\begin{aligned} z &\approx 0.9 \cdot d \\ &= 0.9 \times 0.45 \\ &= 0.405 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la section d'acier \(A_{\text{s}}\)

\begin{aligned} A_{\text{s}} &\ge \frac{176.49 \text{ kN} \cdot \text{m}}{0.405 \text{ m} \times 435000 \text{ kN/m}^2} \\ &\ge 0.00100 \text{ m}^2 \\ &\Rightarrow 10.00 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Vérification du ferraillage minimum \(A_{\text{s,min}}\)

A_{\text{s,min}} = \max(0.26 \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} b_{\text{t}} d, 0.0013 b_{\text{t}} d)

\begin{aligned} A_{\text{s,min}} &= \max(0.26 \frac{2.56}{500} \cdot 210 \cdot 45, 0.0013 \cdot 210 \cdot 45) \\ &= \max(12.59 \text{ cm}^2, 12.28 \text{ cm}^2) \\ &= 12.59 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne une exigence théorique d'acier pour reprendre la traction en partie basse. Le minimum réglementaire étant supérieur, c'est lui qui est retenu.

Section d'Acier Requise (Coupe)

Réflexions

La section d'acier calculée (\(10.00 \text{ cm}^2\)) est inférieure au minimum réglementaire (\(12.59 \text{ cm}^2\)). C'est donc ce minimum qui dimensionne le ferraillage. C'est un cas fréquent pour les éléments massifs comme les semelles, où la maîtrise de la fissuration due au retrait du béton devient plus importante que la résistance à la flexion seule.

Points de vigilance

Ne pas oublier de vérifier le ferraillage minimum ! C'est une erreur classique qui peut conduire à un sous-dimensionnement des aciers et à une fissuration excessive de la semelle. De plus, la formule du moment est spécifique à une semelle carrée sous poteau centré ; elle change pour une semelle rectangulaire.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La semelle fonctionne comme une console inversée ; les aciers inférieurs reprennent la traction.
Formule Essentielle : Le calcul du moment \(M_{\text{u}}\) et de la section d'acier \(A_{\text{s}}\).
Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier et appliquer le ferraillage minimum si celui-ci est supérieur au ferraillage calculé.

Le saviez-vous ?

L'approximation du bras de levier \(z \approx 0.9d\) a été popularisée par les règles BAEL (Béton Armé aux États Limites). Bien que l'Eurocode 2 propose des méthodes de calcul plus exactes, cette simplification reste très utilisée et efficace pour le dimensionnement courant car elle est à la fois simple et sécuritaire.

FAQ

Vos questions, nos réponses.

Résultat Final

La section d'armatures à mettre en œuvre est de \(A_{\text{s}} = 12.59 \text{ cm}^2\) dans chaque direction.

A vous de jouer

Si le moment calculé était de 250 kNm, quelle serait la section d'acier \(A_{\text{s}}\) de calcul (en cm², avant de vérifier le minimum) ?

Question 5 : Choix et disposition du ferraillage

Principe

Il faut maintenant traduire la section d'acier théorique en un nombre de barres d'un diamètre commercial (ex: HA10, HA12...), et s'assurer que leur espacement respecte les règles de bonne pratique pour garantir une bonne liaison avec le béton et une mise en œuvre facile sur chantier.

Mini-Cours

Le choix des barres est un compromis. Des barres de gros diamètre sont plus rapides à poser mais peuvent poser des problèmes d'ancrage et de fissuration. Des barres de petit diamètre espacées permettent un meilleur contrôle de la fissuration. L'espacement doit respecter des limites maximales (pour que le ferraillage soit efficace) et minimales (pour que le béton puisse bien enrober les barres).

Remarque Pédagogique

L'objectif est de trouver une solution pratique. On cherche à avoir un nombre entier de barres et un espacement facile à mesurer sur le chantier (par exemple 15 cm, 20 cm...). On a le droit de mettre un peu plus d'acier que le strict minimum calculé, cela va dans le sens de la sécurité.

Normes

Les espacements minimaux et maximaux des armatures sont régis par l'Eurocode 2, section 8.2.

Formule(s)

Section d'acier réelle

A_{\text{s,reel}} = n \times \frac{\pi \phi^2}{4} \ge A_{\text{s, requis}}

Espacement

s = \frac{\text{Largeur disponible}}{\text{Nombre d'intervalles}} = \frac{A - 2c_{\text{nom}}}{n - 1}

Hypothèses

On suppose l'utilisation de barres à Haute Adhérence (HA). On choisit un diamètre courant pour les fondations, comme le HA12 ou le HA14.

Donnée(s)

On part du besoin en acier de la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section d'acier requise	\(A_{\text{s, requis}}\)	12.59	cm²
Aire d'une barre HA12	\(A_{\phi12}\)	1.13	cm²
Côté de la semelle	A	2.10	m
Enrobage	\(c_{\text{nom}}\)	5	cm

Astuces

Une bonne pratique est de viser un espacement compris entre 15 et 25 cm pour les nappes de semelles. En dessous de 15 cm, la mise en place du béton peut être difficile. Au-dessus de 25-30 cm, le contrôle de la fissuration est moins efficace.

Schéma (Avant les calculs)

On doit "remplir" la largeur de la semelle avec des barres pour atteindre au moins 12.59 cm² d'acier.

Disposition des barres (Vue en Plan)

Calcul(s)

Nombre de barres HA12 requis

\begin{aligned} n &\ge \frac{12.59 \text{ cm}^2}{1.13 \text{ cm}^2} \\ &\ge 11.14 \end{aligned}

On choisit donc \(n=12\) barres.

Section d'acier réelle

\begin{aligned} A_{\text{s,reel}} &= 12 \times 1.13 \\ &= 13.56 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Espacement des barres

\begin{aligned} s &= \frac{A - 2c_{\text{nom}}}{n - 1} \\ &= \frac{210\text{cm} - (2 \times 5\text{cm})}{12 - 1} \\ &= \frac{200\text{cm}}{11} \\ &\approx 18.18 \text{ cm} \end{aligned}

Un espacement de 18 cm est tout à fait acceptable (\(s_{\text{max}} \approx 2h = 100 \text{ cm}\), et \(s_{\text{min}} \ge \phi\)). On choisit un espacement pratique de 18 cm.

Schéma (Après les calculs)

Plan de Ferraillage Final

Réflexions

La solution de 12 barres HA12 espacées de 18 cm est une solution constructive réaliste et efficace. La section d'acier mise en place (13.56 cm²) est supérieure à celle requise (12.59 cm²), ce qui est normal et va dans le sens de la sécurité.

Points de vigilance

Vérifier que l'espacement n'est pas trop grand (perte d'efficacité) ni trop petit (difficulté de bétonnage). Ne pas oublier que le ferraillage doit être disposé dans les deux directions pour une semelle carrée.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Traduire une aire d'acier théorique en barres et espacements réels.
Démarche : Choisir un diamètre -> Calculer le nombre de barres -> Calculer l'espacement -> Vérifier que c'est constructible.
Point de Vigilance Majeur : Toujours arrondir le nombre de barres à l'entier supérieur.

Le saviez-vous ?

Sur les plans de ferraillage, la notation "12 HA12 e=18" est une abréviation standard. "HA" signifie "Haute Adhérence", désignant les nervures sur la barre qui assurent une bonne liaison avec le béton. Le premier nombre (12) est le nombre de barres, le second (12) est le diamètre en mm, et "e" est l'espacement (entraxe).

FAQ

Vos questions, nos réponses.

Résultat Final

On adopte un ferraillage composé de deux nappes inférieures de 12 barres HA12 espacées de 18 cm dans chaque direction.

A vous de jouer

Si la section d'acier requise était de 15 cm², combien de barres HA14 (aire=1.54cm²) faudrait-il au minimum ?

Outil Interactif : Simulateur de Semelle

Utilisez les curseurs pour modifier les charges permanente (G) et d'exploitation (Q) et observez en temps réel l'impact sur les dimensions requises de la semelle et sur la section d'acier minimale.

Paramètres d'Entrée

Charge Permanente N_G (kN) 400 kN

Charge d'Exploitation N_Q (kN) 250 kN

Résultats Clés

Côté de la semelle A (m) -

Section d'acier min. A_s (cm²) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À quel état limite dimensionne-t-on principalement la surface d'une semelle ?

L'État Limite Ultime (ELU)
L'État Limite de Service (ELS)
L'État Limite de Fatigue

2. Quelle est la combinaison de charge à utiliser pour calculer le ferraillage (ELU) ?

G + Q
1.35 G
1.35 G + 1.5 Q

3. Où sont placées les armatures principales dans une semelle isolée ?

En nappe inférieure, pour reprendre la traction
En nappe supérieure, pour reprendre la compression
Verticalement, pour éviter le poinçonnement

Glossaire

Semelle Isolée: Élément de fondation ponctuel, généralement en béton armé, situé directement sous un poteau pour répartir sa charge sur une plus grande surface de sol.
État Limite de Service (ELS): État au-delà duquel les critères de fonctionnement d'une structure ne sont plus satisfaits (fissuration excessive, déformations, vibrations). Le dimensionnement à l'ELS garantit le confort et la durabilité.
État Limite Ultime (ELU): État correspondant à la ruine ou à un effondrement de la structure ou d'un de ses éléments. Le dimensionnement à l'ELU garantit la sécurité des personnes.
Poinçonnement: Mode de rupture par cisaillement d'une dalle sous une charge concentrée. Le poteau tend à "percer" la semelle. C'est un phénomène fragile qui doit être évité par un dimensionnement adéquat de la hauteur.
Contrainte Admissible: Pression maximale que le sol peut supporter en conditions de service sans subir de tassements préjudiciables à la structure. C'est une donnée fournie par l'étude de sol géotechnique.