ÉTUDE GÉOTECHNIQUE

Étude de la Convergence d’une Galerie Non Soutenue

Mécanique des Roches : Étude de la Convergence d'une Galerie

Étude de la Convergence d'une Galerie Non Soutenue en Terrain Élastique

Contexte : La Roche se Referme

Lorsqu'une galerie est creusée, la roche qui se trouvait à l'intérieur de l'excavation est retirée. Le poids des terrains supérieurs, qui était auparavant supporté par cette roche, doit alors être reporté sur les parois de la galerie. Sous l'effet de cette augmentation de contrainte, la roche se déforme et les parois de la galerie se déplacent vers l'intérieur : c'est le phénomène de convergenceDéplacement radial des parois d'une excavation souterraine vers l'intérieur, dû à la redistribution des contraintes après creusement.. Le calcul de l'amplitude de cette convergence est une étape fondamentale du dimensionnement. Une convergence trop importante peut compromettre la géométrie de l'ouvrage, endommager le revêtement ou indiquer un risque d'instabilité.

Remarque Pédagogique : Ce calcul, basé sur la théorie de l'élasticité, donne une première estimation du déplacement attendu. Il permet de savoir si la déformation du massif est acceptable ou si un soutènement est nécessaire pour la limiter. C'est la base de la "méthode convergence-confinement", une approche de dimensionnement très utilisée pour les tunnels.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de convergence d'une excavation.
  • Appliquer la formule de la convergence élastique pour une galerie circulaire.
  • Calculer le déplacement radial des parois de la galerie.
  • Analyser l'influence des paramètres du massif (rigidité) et des contraintes in situ sur l'amplitude de la convergence.

Données de l'étude

On envisage de creuser une galerie circulaire de rayon \(a = 3 \, \text{m}\) à grande profondeur. Le massif rocheux est un granite considéré comme homogène, isotrope et élastique.

Schéma de la Convergence d'une Galerie
p₀ ur

Les caractéristiques du site sont :

  • Contrainte in situ hydrostatique : \(\sigma_0 = 30 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young du massif rocheux : \(E_m = 25 \, \text{GPa}\)
  • Coefficient de Poisson du massif : \(\nu = 0.25\)

Questions à traiter

  1. Calculer le déplacement radial (la convergence) \(u_r\) sur la paroi de la galerie.
  2. Exprimer cette convergence en pourcentage du rayon initial.
  3. Si le massif était deux fois plus rigide (\(E_m = 50 \, \text{GPa}\)), quelle serait la nouvelle convergence ? Conclure sur l'effet de la rigidité du massif.

Correction : Étude de la Convergence d'une Galerie Non Soutenue

Question 1 : Calcul de la Convergence (\(u_r\))

Principe :

Pour une excavation circulaire dans un massif élastique soumis à une contrainte hydrostatique \(\sigma_0\), la théorie de l'élasticité donne une formule directe pour calculer le déplacement radial (\(u_r\)) à n'importe quelle distance \(r\) du centre. La convergence de la paroi est simplement ce déplacement calculé pour \(r=a\), où \(a\) est le rayon de la galerie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette formule montre que la convergence est directement proportionnelle à la contrainte in situ (la "charge") et au rayon de la galerie, et inversement proportionnelle à la rigidité du massif (son module de Young \(E_m\)). C'est une relation très intuitive : plus on creuse gros et profond, et plus la roche est "molle", plus les parois se referment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_r = \frac{\sigma_0 a^2}{2 E_m r} (1+\nu) \]

Sur la paroi de la galerie, \(r=a\), la formule se simplifie :

\[ u_r(a) = \frac{\sigma_0 a}{2 E_m} (1+\nu) \]
Donnée(s) :
  • Contrainte in situ : \(\sigma_0 = 30 \, \text{MPa} = 30 \times 10^6 \, \text{Pa}\)
  • Rayon de la galerie : \(a = 3 \, \text{m}\)
  • Module de Young du massif : \(E_m = 25 \, \text{GPa} = 25 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
  • Coefficient de Poisson : \(\nu = 0.25\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_r &= \frac{(30 \times 10^6) \times 3}{2 \times (25 \times 10^9)} \times (1 + 0.25) \\ &= \frac{90 \times 10^6}{50 \times 10^9} \times 1.25 \\ &= (1.8 \times 10^{-3}) \times 1.25 \\ &= 0.00225 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit une convergence de 2.25 mm.

Points de vigilance :

Cohérence des unités : C'est l'erreur la plus fréquente. Toutes les unités doivent être dans le Système International (mètres, Pascals) pour obtenir un déplacement en mètres. Il est facile de se tromper entre MPa et GPa.

Le saviez-vous ?

La mesure de la convergence en tunnel est une pratique courante pour vérifier que le massif se comporte comme prévu. On utilise des "convergencemètres", qui sont des rubans ou des fils tendus entre des points fixés sur les parois, pour mesurer la variation de distance avec une grande précision.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si les contraintes ne sont pas hydrostatiques ?

Si \(\sigma_v \neq \sigma_h\), la convergence n'est plus uniforme. La galerie a tendance à s'ovaliser. La convergence est maximale dans la direction de la plus grande contrainte et minimale dans la direction de la plus faible contrainte. Les formules se complexifient mais le principe reste le même.

Résultat : Le déplacement radial de la paroi (convergence) est d'environ 2.25 mm.

Question 2 : Calcul de la Convergence Relative

Principe :

Exprimer la convergence en pourcentage du rayon permet de se faire une idée plus intuitive de l'ampleur de la déformation. Un déplacement de 2 mm est faible pour un grand tunnel de 10 m de diamètre, mais très important pour une petite galerie de 1 m.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La convergence relative est un paramètre de dimensionnement important. Les normes et les retours d'expérience définissent souvent des seuils de convergence relative acceptables (par exemple 1% ou 2%) au-delà desquels des instabilités sont à craindre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Convergence} \, (\%) = \frac{u_r}{a} \times 100 \]
Donnée(s) :
  • Convergence absolue : \(u_r = 0.00225 \, \text{m}\)
  • Rayon de la galerie : \(a = 3 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Convergence} \, (\%) &= \frac{0.00225}{3} \times 100 \\ &= 0.00075 \times 100 \\ &= 0.075 \, \% \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Pour que le rapport soit correct, \(u_r\) et \(a\) doivent être dans la même unité (ici, le mètre).

Le saviez-vous ?

Une convergence de 0.075% est très faible et typique d'une roche de bonne qualité. Dans des massifs de mauvaise qualité, les convergences peuvent atteindre plusieurs pourcents, nécessitant un soutènement lourd et déformable (dit "marchant") pour accompagner le mouvement sans rompre.

FAQ en rapport avec la question :
Cette convergence se produit-elle instantanément ?

Dans un massif purement élastique, oui. En réalité, une partie de la déformation est instantanée (élastique) et une autre partie se produit dans le temps (visco-plastique, ou fluage). Le calcul élastique donne la convergence minimale à laquelle il faut s'attendre.

Résultat : La convergence relative est de 0.075%.

Question 3 : Influence de la Rigidité du Massif

Principe :

Le module de Young (\(E_m\)) est au dénominateur de la formule de la convergence. Cela signifie que la déformation est inversement proportionnelle à la rigidité du massif. Un massif plus rigide (E plus élevé) se déformera moins sous la même charge, et inversement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la raison pour laquelle la caractérisation du module de déformation du massif est si importante. Une erreur de 50% sur l'estimation de \(E_m\) se traduit directement par une erreur de 50% sur le calcul de la convergence, ce qui peut changer radicalement le dimensionnement du soutènement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_r(a) = \frac{\sigma_0 a}{2 E_m} (1+\nu) \]
Donnée(s) :
  • Nouveau module de Young : \(E_m = 50 \, \text{GPa} = 50 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
  • Autres paramètres inchangés : \(\sigma_0 = 30\) MPa, \(a = 3\) m, \(\nu = 0.25\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_r &= \frac{(30 \times 10^6) \times 3}{2 \times (50 \times 10^9)} \times (1 + 0.25) \\ &= \frac{90 \times 10^6}{100 \times 10^9} \times 1.25 \\ &= (0.9 \times 10^{-3}) \times 1.25 \\ &= 0.001125 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit une nouvelle convergence de 1.125 mm.

Points de vigilance :

Analyse de sensibilité : Cet exercice est une analyse de sensibilité simple. Il est toujours bon de vérifier que le résultat va dans le sens attendu. Si la rigidité augmente, la déformation doit diminuer. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul.

Le saviez-vous ?

La convergence d'une galerie n'est pas forcément un problème. La "Nouvelle Méthode Autrichienne" (NATM) est une philosophie de creusement qui consiste à laisser la roche se déformer légèrement pour qu'elle mobilise sa propre résistance (effet de voûte), puis à la bloquer avec un soutènement flexible (béton projeté, cintres). On utilise la déformation naturelle du massif comme partie intégrante du soutènement.

FAQ en rapport avec la question :
Et si le coefficient de Poisson change ?

Le coefficient de Poisson \(\nu\) a une influence, mais elle est généralement secondaire par rapport à celle du module de Young. Comme il varie dans une plage assez restreinte pour la plupart des roches (0.15 à 0.35), son impact sur la convergence est moins spectaculaire que celui de \(E_m\) qui peut varier de plusieurs ordres de grandeur.

Résultat : En doublant la rigidité du massif, la convergence est divisée par deux, passant de 2.25 mm à 1.125 mm. Cela confirme que la déformation est inversement proportionnelle au module de Young.

Simulation de la Convergence

Faites varier le module de déformation du massif et la contrainte in situ pour voir leur impact sur la convergence d'une galerie de 3 m de rayon.

Paramètres du Massif
Convergence Radiale (\(u_r\))
Visualisation de la Déformation

Pour Aller Plus Loin : L'Interaction Soutènement-Terrain

La courbe de réaction du terrain : Le calcul présenté ici est celui de la convergence "libre" (sans soutènement). En réalité, on pose un soutènement qui va exercer une pression interne (\(p_i\)) sur la paroi, limitant la convergence. La courbe caractéristique du terrain (ou courbe de convergence-confinement) représente la relation entre la pression de soutènement appliquée et la convergence résultante. En superposant cette courbe avec la courbe caractéristique du soutènement (qui décrit sa propre rigidité), on trouve le point d'équilibre du système soutenu, qui donne la convergence finale et la charge dans le soutènement.

Le Saviez-Vous ?

Dans les roches très déformables, la convergence peut être si importante qu'elle continue pendant des années après la fin du creusement. Le tunnel du Mont-Cenis, l'un des premiers grands tunnels alpins, a vu son diamètre se réduire de plusieurs dizaines de centimètres au cours du siècle qui a suivi sa construction, nécessitant des travaux de reprofilage réguliers.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la roche n'est pas élastique ?

Si la contrainte autour de la galerie dépasse la résistance de la roche, un comportement plastique (irréversible) ou de rupture se produit. La convergence est alors beaucoup plus importante que celle prédite par le calcul élastique. Des modèles élasto-plastiques sont nécessaires pour analyser ces situations, qui sont très courantes en pratique.

La forme de la galerie est-elle importante ?

Oui, c'est un facteur crucial. La forme circulaire est la plus "stable" car elle minimise les concentrations de contraintes. Une galerie en fer à cheval ou rectangulaire subira des convergences différentielles (plus importantes au toit qu'aux flancs) et des concentrations de contraintes dans les angles, ce qui la rend plus sujette aux instabilités.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le rayon d'une galerie (en gardant les mêmes propriétés de roche et contraintes), la convergence va :

2. Pour réduire la convergence d'un tunnel, il est plus efficace de :

Glossaire

Convergence
Déplacement radial des parois d'une excavation souterraine vers l'intérieur, dû à la redistribution des contraintes après creusement.
Contrainte In Situ (\(\sigma_0\))
Contrainte naturelle existant dans le massif rocheux avant toute excavation. Si elle est la même dans toutes les directions, on parle de contrainte hydrostatique.
Module de Young (\(E_m\))
Paramètre mesurant la rigidité d'un matériau. Un module élevé indique un matériau rigide qui se déforme peu sous une charge donnée.
Coefficient de Poisson (\(\nu\))
Rapport de la déformation transversale à la déformation axiale. Il décrit la tendance d'un matériau à s'étendre latéralement lorsqu'il est compressé.
Étude de la Convergence d'une Galerie Non Soutenue

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