Étude de l'Effet du Battage d'un Pieu sur le Sol
Contexte : Le Pieu BattuUn type de fondation profonde installé en enfonçant un élément préfabriqué (béton, acier) dans le sol par chocs (battage). en Géotechnique.
L'installation de fondations profondes, telles que les pieux battus, est une pratique courante pour transférer les charges des structures vers des couches de sol plus résistantes. Lorsqu'un pieu "à déplacement" (comme un pieu en béton plein) est enfoncé dans un sol granulaire (sable), il ne retire pas de matière : il la "refoule". Ce refoulement provoque un déplacement latéral du sol, ce qui augmente sa densité et, de manière significative, les contraintes horizontales dans le massif.
Comprendre et quantifier cette augmentation de contrainte est essentiel pour évaluer l'impact sur les ouvrages voisins (bâtiments, réseaux) ou sur les pieux adjacents déjà installés (effet de groupe). Cet exercice vise à estimer cette augmentation de contrainte horizontale à l'aide d'une approche simplifiée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier l'augmentation des contraintes horizontales dans le sol due au battage d'un pieu, un paramètre crucial pour le design de fondations et l'évaluation des impacts sur les ouvrages voisins.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le mécanisme de refoulement du sol lors du battage d'un pieu.
- Calculer le volume de sol déplacé et le rayon de cavité équivalent.
- Calculer les contraintes effectives initiales (verticale et horizontale) dans le sol.
- Estimer l'augmentation de la contrainte horizontale (\(\Delta \sigma'_h\)) à une distance donnée du pieu.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de pieu | Battu, carré, à déplacement (plein) |
| Matériau | Béton préfabriqué |
| Conditions du sol | Sable moyennement dense, normalement consolidé, saturé |
Modélisation du Problème
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du pieu carré | \(b\) | 0.4 | m |
| Profondeur d'étude | \(z\) | 10 | m |
| Distance horizontale à l'axe du pieu | \(r\) | 2.0 | m |
| Poids volumique déjaugé du sol | \(\gamma'\) | 10 | kN/m³ |
| Coefficient de poussée des terres au repos | \(K_0\) | 0.5 | - |
| Module de Young effectif du sol | \(E'\) | 20 000 | kPa |
Questions à traiter
- Calculer le volume de sol déplacé par mètre linéaire de pieu (\(V_d\)).
- Calculer le rayon de la cavité équivalente (\(r_0\)) basée sur le volume déplacé.
- Calculer la contrainte verticale effective (\(\sigma'_{v0}\)) à 10m de profondeur avant battage.
- Calculer la contrainte horizontale effective initiale (\(\sigma'_{h0}\)) à 10m de profondeur.
- Estimer l'augmentation de la contrainte horizontale (\(\Delta \sigma'_h\)) à une distance \(r = 2\text{ m}\) du pieu (à \(z = 10\text{m}\)), en utilisant la théorie de l'expansion de cavité (Formule simplifiée : \(\Delta \sigma'_h \approx E' \cdot \frac{r_0^2}{r^2}\)).
Les bases sur les Fondations Profondes
Le battage d'un pieu dans un sol granulaire (sable) est un processus de "refoulement" ou "déplacement". Le volume du pieu, en pénétrant, force le sol à se tasser et à se déplacer horizontalement. Ce phénomène augmente la densité du sol et modifie radicalement l'état de contrainte, en particulier la contrainte horizontale.
1. Contraintes effectives (Concept de Terzaghi)
Dans un sol saturé, la contrainte totale (\(\sigma\)) se décompose en une contrainte supportée par le squelette du sol (contrainte effective \(\sigma'\)) et une pression supportée par l'eau (pression interstitielle \(u\)).
\[ \sigma' = \sigma - u \]
Pour les calculs de tassement et de résistance à long terme, seule la contrainte effective est pertinente. Dans un sol sous la nappe, la contrainte verticale effective \(\sigma'_{v0}\) à une profondeur \(z\) est calculée avec le poids volumique déjaugé \(\gamma'\).
\[ \sigma'_{v0} = \gamma' \cdot z \]
2. Coefficient de Poussée des Terres au Repos (\(K_0\))
Dans un sol non perturbé (au repos), les contraintes effectives horizontale (\(\sigma'_{h0}\)) et verticale (\(\sigma'_{v0}\)) sont liées par ce coefficient.
\[ \sigma'_{h0} = K_0 \cdot \sigma'_{v0} \]
Pour un sable normalement consolidé (NC), \(K_0\) est souvent estimé par \(1 - \sin(\phi')\), où \(\phi'\) est l'angle de frottement interne. Une valeur de 0.5 est typique pour les sables standards.
Correction : Étude de l'Effet du Battage d'un Pieu sur le Sol
Question 1 : Calculer le volume de sol déplacé par mètre linéaire de pieu (\(V_d\)).
Principe
Pour un pieu à déplacement total (pieu plein), le volume de sol déplacé par mètre linéaire correspond simplement à l'aire de la section transversale du pieu. Le sol ne peut pas se comprimer de manière significative (surtout s'il est saturé), il est donc "refoulé" latéralement.
Mini-Cours
L'aire d'une section carrée de côté \(b\) est donnée par \(A = b^2\). L'aire d'une section circulaire de diamètre \(D\) est \(A = \pi D^2 / 4\). Pour cette question, nous avons un pieu carré.
Remarque Pédagogique
Cette première question est une étape fondamentale. Elle établit la "source" de la perturbation. Sans déplacement de volume (\(V_d\)), il n'y aurait ni refoulement, ni augmentation de contrainte horizontale. C'est le point de départ de toute l'analyse.
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme spécifique (comme l'Eurocode 7), mais des principes de base de la géométrie. La définition du volume déplacé est une convention de calcul universelle en mécanique des sols pour les pieux à refoulement.
Formule(s)
Volume déplacé par mètre linéaire (\(V_d\)) = Aire de la section du pieu (\(A\)).
Hypothèses
Nous posons l'hypothèse fondamentale suivante :
- Le pieu est "à déplacement total" (pieu plein), signifiant que 100% de son volume est refoulé.
- Le sol est incompressible lors du battage (particulièrement vrai pour les sables saturés à court terme).
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé relatives à la géométrie du pieu.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du pieu carré | \(b\) | 0.4 | m |
Astuces
L'unité du résultat est \(\text{m}^2\). Cela peut sembler étrange pour un volume, mais il s'agit bien de \(\text{m}^3\) (volume) par \(\text{m}\) (mètre linéaire de pieu). \(\text{m}^3 / \text{m} = \text{m}^2\). C'est l'aire de la section.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous montre la section transversale du pieu dont nous calculons l'aire.
Section Transversale du Pieu
Calcul(s)
Étape 1 : Application de la formule
On part de la formule de l'aire d'un carré :
On substitue la valeur de \(b = 0.4 \text{ m}\) (donnée dans l'énoncé) :
Note : L'unité est \(\text{m}^2\), ce qui est équivalent à \(\text{m}^3/\text{m}\) (mètres cubes par mètre linéaire).
Schéma (Après les calculs)
Non applicable pour cette question. Le résultat est une valeur scalaire.
Réflexions
Ce volume de 0.16 m³ doit être "absorbé" par le sol environnant pour chaque mètre de pieu enfoncé. C'est ce refoulement qui est à l'origine des modifications de contraintes.
Points de vigilance
Ne pas confondre le côté (\(b\)) avec le périmètre. Le volume déplacé est lié à la surface de la section, pas à sa circonférence.
Points à retenir
- Pour un pieu à déplacement total, le volume de sol refoulé par mètre linéaire est égal à l'aire de sa section transversale.
Le saviez-vous ?
Pour les pieux "tubulaires" ouverts (type H), le volume déplacé est bien plus faible, car une partie du sol ("bouchon de sol") entre à l'intérieur du pieu. On parle alors de pieu à "faible déplacement".
FAQ
Aucune FAQ spécifique pour cette étape simple.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le volume déplacé (\(V_d\)) si le pieu était circulaire avec un diamètre \(D = 0.4 \text{ m}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Volume refoulé = Aire de la section.
- Formule Essentielle : \(V_d = b^2\).
- Résultat : 0.16 m³/ml.
Question 2 : Calculer le rayon de la cavité équivalente (\(r_0\)).
Principe
De nombreuses théories en mécanique des sols (comme l'expansion de cavité) sont développées pour des géométries cylindriques (symétrie radiale). Pour appliquer ces théories à notre pieu carré, nous devons le "transformer" en un pieu cylindrique fictif qui déplace le même volume de sol, c'est-à-dire qui a la même aire de section.
Mini-Cours
La conversion d'une section non circulaire en une section circulaire équivalente est une pratique courante pour simplifier les calculs. L'équivalence est basée sur la conservation de la caractéristique la plus importante pour le problème. Ici, c'est l'aire (liée au volume déplacé), car c'est elle qui dicte la quantité de sol refoulé.
Remarque Pédagogique
Cette étape est une "astuce" de modélisation. Nous remplaçons un problème 3D complexe (un carré s'enfonçant) par un problème 2D axisymétrique (un cylindre s'expanpant), qui est mathématiquement beaucoup plus simple à résoudre. C'est une simplification très courante en ingénierie.
Normes
Ce n'est pas une norme, mais une hypothèse de calcul fondamentale dans de nombreux modèles de mécanique des sols (ex: théories de l'expansion de cavité de Randolph, Carter, etc.). L'hypothèse de conservation de l'aire est la méthode standard pour ce type de conversion.
Formule(s)
Nous posons l'égalité entre l'aire du pieu carré et l'aire du pieu circulaire équivalent.
Puisque \(V_d = A_{\text{carré}}\) et \(A_{\text{cercle\_éq}} = \pi \cdot r_0^2\), on a :
En isolant \(r_0\), on obtient :
Hypothèses
On suppose que l'effet du refoulement d'un pieu carré à une certaine distance est équivalent à celui d'un pieu circulaire de même section. C'est une simplification qui est d'autant plus vraie que l'on s'éloigne du pieu.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la Question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume déplacé | \(V_d\) | 0.16 | m³/ml |
Astuces
Pour un pieu carré de côté \(b\), on peut retenir la formule directe : \(r_0 = \sqrt{b^2 / \pi} = b / \sqrt{\pi} \approx 0.564 \cdot b\). C'est plus rapide que de recalculer l'aire. Vérifions : \(0.564 \times 0.4 \text{ m} \approx 0.2256 \text{ m}\). Ça fonctionne !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'équivalence de surface entre la section carrée (réelle) et la section circulaire (fictive).
Équivalence de Section
Calcul(s)
Étape 1 : Application de la formule
On part de la formule d'équivalence des aires, isolée pour \(r_0\) :
On substitue la valeur de \(V_d = 0.16 \text{ m}^2\) (calculée à la Question 1) :
Schéma (Après les calculs)
Non applicable. Le résultat (\(r_0 \approx 0.226 \text{ m}\)) est une valeur numérique qui sera utilisée comme donnée d'entrée pour les calculs suivants (notamment la Q5).
Réflexions
Le rayon équivalent (0.226 m) est supérieur à la "demi-largeur" (0.4 m / 2 = 0.2 m). C'est logique, car pour une même aire, un cercle est plus "compact" (périmètre plus faible) qu'un carré. La surface "perdue" aux coins du carré est compensée par une extension du rayon.
Points de vigilance
L'erreur la plus classique est de mal modéliser le pieu, par exemple en prenant \(r_0 = b/2 = 0.2 \text{ m}\). Cela sous-estimerait le volume déplacé de \(\approx 21\%\) et donc sous-estimerait l'impact sur le sol.
Points à retenir
- La conversion d'une section non circulaire en rayon équivalent \(r_0\) se fait en conservant l'aire de la section.
- Formule clé : \(r_0 = \sqrt{A / \pi}\).
Le saviez-vous ?
Cette même logique est utilisée pour les essais pressiométriques (où une sonde cylindrique s'expand) afin de calculer le comportement de fondations carrées ou rectangulaires. On utilise un "facteur de forme" pour passer du cylindre (l'essai) au carré (la fondation).
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le rayon équivalent \(r_0\) si le pieu était rectangulaire, de 0.3 m x 0.5 m ? (Indice : \(V_d = 0.3 \times 0.5 = 0.15 \text{ m}^2\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Conservation de l'aire pour la modélisation.
- Formule Essentielle : \(r_0 = \sqrt{V_d / \pi}\).
- Résultat : \(\approx 0.226 \text{ m}\).
Question 3 : Calculer la contrainte verticale effective (\(\sigma'_{v0}\)) à 10m de profondeur.
Principe
La contrainte verticale effective (\(\sigma'_{v0}\)) à une profondeur \(z\) est le poids du sol situé au-dessus de ce point, en ne considérant que le squelette solide. Comme le sol est saturé (sous la nappe), nous utilisons le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)).
Mini-Cours
La contrainte effectiveContrainte supportée par le squelette solide du sol. C'est elle qui régit la résistance et la déformation du sol. est le concept le plus important en mécanique des sols, introduit par Karl Terzaghi. La contrainte totale \(\sigma_v\) (poids total, sol + eau) est \(\gamma_{sat} \cdot z\). La pression de l'eau \(u\) est \(\gamma_w \cdot z\). La contrainte effective est \(\sigma'_{v0} = \sigma_v - u = (\gamma_{sat} - \gamma_w) \cdot z = \gamma' \cdot z\). L'énoncé nous donne directement \(\gamma'\), ce qui simplifie le calcul.
Remarque Pédagogique
Cette valeur \(\sigma'_{v0}\) est notre "état initial" ou "état au repos" (souvent noté "in situ"). C'est la contrainte qui existe dans le sol avant le début des travaux. Toute notre analyse consistera à voir comment les travaux (le battage) modifient cet état initial.
Normes
Ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la mécanique des sols (principe de Terzaghi) et est universellement appliqué, y compris dans les normes de calcul géotechnique comme l'Eurocode 7.
Formule(s)
La formule de la contrainte effective verticale à la profondeur \(z\) sous la nappe :
Hypothèses
On suppose que :
- Le niveau de la nappe phréatique est à la surface du sol (z=0), comme indiqué par l'utilisation du \(\gamma'\) dès la surface.
- Le poids volumique déjaugé \(\gamma'\) est constant sur les 10m de profondeur.
- Le terrain est horizontal (pas de pente).
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé relatives au sol et à la profondeur.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique déjaugé | \(\gamma'\) | 10 | kN/m³ |
| Profondeur d'étude | \(z\) | 10 | m |
Astuces
Pour les calculs rapides, retenir qu'un sol avec un \(\gamma' \approx 10 \text{ kN/m}^3\) (valeur très courante pour les sables) génère environ 100 kPa de contrainte effective pour 10m de profondeur. C'est un bon ordre de grandeur à avoir en tête.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre le point d'étude à la profondeur \(z\) dans le massif de sol.
Calcul de la Contrainte Verticale
Calcul(s)
Étape 1 : Application de la formule
On part de la formule de la contrainte effective verticale :
On substitue les valeurs de l'énoncé, \(\gamma' = 10 \text{ kN/m}^3\) et \(z = 10 \text{ m}\) :
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme des contraintes verticales effectives en fonction de la profondeur est linéaire.
Diagramme de \(\sigma'_{v0}\)
Réflexions
Cette valeur de 100 kPa représente l'état de contrainte verticale *avant* toute perturbation due au battage du pieu. C'est notre état de référence. C'est la pression qui "serre" les grains de sol verticalement.
Points de vigilance
La principale erreur est d'oublier d'utiliser le poids déjaugé (\(\gamma'\)). Si la nappe était à 5m de profondeur, il faudrait décomposer le calcul en deux parties : (poids humide \(\times\) 5m) + (poids déjaugé \(\times\) 5m).
Points à retenir
- La contrainte effective verticale est la "pression" exercée par le squelette du sol.
- Sous la nappe : \(\sigma'_{v0} = \gamma' \cdot z\).
Le saviez-vous ?
La contrainte effective est ce qui contrôle la résistance au cisaillement du sable (la force qu'il peut reprendre). Plus \(\sigma'_{v0}\) est élevée, plus le sable est résistant. C'est pourquoi la portance des pieux augmente avec la profondeur.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte \(\sigma'_{v0}\) si le sol avait un poids volumique saturé \(\gamma_{sat} = 20 \text{ kN/m}^3\) (et \(\gamma_w = 10 \text{ kN/m}^3\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Contrainte effective verticale "in situ".
- Formule Essentielle : \(\sigma'_{v0} = \gamma' \cdot z\).
- Résultat : 100 kPa.
Question 4 : Calculer la contrainte horizontale effective initiale (\(\sigma'_{h0}\)).
Principe
Dans un sol au repos (non perturbé), la contrainte horizontale est proportionnelle à la contrainte verticale. Le facteur de proportionnalité est le coefficient de poussée des terres au repos, \(K_0\).
Mini-Cours
Le coefficient \(K_0\) décrit l'état de contrainte "gelé" dans le sol, hérité de son histoire géologique. Pour un sol "normalement consolidé" (NC), qui n'a jamais supporté plus de charge que son poids actuel, \(K_0\) est typiquement \(\approx 1 - \sin(\phi')\), où \(\phi'\) est l'angle de frottement du sol. Cela donne des valeurs entre 0.4 et 0.6 pour les sables. L'énoncé nous donne directement \(K_0=0.5\).
Remarque Pédagogique
Comprendre \(\sigma'_{h0}\) est crucial. C'est la contrainte *initiale* que le pieu devra "vaincre" et *augmenter* lors de son installation. La différence entre la contrainte finale après battage et cette valeur initiale est ce qui nous intéresse.
Normes
L'utilisation de \(K_0\) pour définir l'état de contrainte initial est une pratique standardisée dans toutes les normes de géotechnique, y compris l'Eurocode 7. La difficulté est de bien estimer la valeur de \(K_0\).
Formule(s)
La formule liant les contraintes effectives au repos :
Hypothèses
On suppose que le sol est bien "au repos" (\(K_0\)), c'est-à-dire qu'il n'a pas subi de déformation latérale. On suppose aussi que le sol est "normalement consolidé", ce qui est cohérent avec une valeur de \(K_0 = 0.5\).
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Question 3.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de poussée au repos | \(K_0\) | 0.5 | - |
| Contrainte verticale effective (Q3) | \(\sigma'_{v0}\) | 100 | kPa |
Astuces
Pour un sol NC, \(\sigma'_{h0}\) est toujours inférieure à \(\sigma'_{v0}\). Si vous trouvez l'inverse, vérifiez si le sol n'est pas "surconsolidé" (i.e., \(K_0 > 1\)). L'énoncé précise "normalement consolidé", ce qui valide notre \(K_0=0.5\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des contraintes "in situ" sur un élément de sol à z=10m, avant le calcul de la composante horizontale.
État de Contrainte au Repos (\(K_0\))
Calcul(s)
Étape 1 : Application de la formule
On part de la définition du coefficient de poussée au repos :
On substitue la valeur \(K_0 = 0.5\) (donnée) et la valeur \(\sigma'_{v0} = 100 \text{ kPa}\) (calculée à la Question 3) :
Schéma (Après les calculs)
Mise à jour du schéma précédent avec la valeur calculée. On voit que les contraintes verticales sont deux fois plus importantes que les horizontales.
État de Contrainte au Repos (\(K_0\))
Réflexions
Cette valeur de 50 kPa est la contrainte que le sol exerce horizontalement sur un élément *avant* l'installation du pieu. C'est cette contrainte qui va être drastiquement augmentée par le refoulement du sol.
Points de vigilance
Ne pas inverser le calcul (\(\sigma'_{v0} / K_0\)). La contrainte verticale est la "cause" et la contrainte horizontale est la "conséquence". Ne pas non plus confondre \(K_0\) (état de repos) avec \(K_a\) (état de poussée) ou \(K_p\) (état de butée), qui s'appliquent lorsque le sol se déforme.
Points à retenir
- L'état de contrainte horizontal "in situ" est défini par \(\sigma'_{h0} = K_0 \cdot \sigma'_{v0}\).
Le saviez-vous ?
Dans les argiles surconsolidées (comme à Londres), \(K_0\) peut valoir 2 ou 3. La contrainte horizontale est alors bien plus forte que la verticale ! Cela est dû au poids des glaciers qui ont disparu mais ont "verrouillé" une contrainte horizontale élevée dans le sol.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte \(\sigma'_{h0}\) si le sol était surconsolidé (par exemple, par le passage ancien d'un glacier) avec un \(K_0 = 1.2\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Contrainte horizontale "in situ".
- Formule Essentielle : \(\sigma'_{h0} = K_0 \cdot \sigma'_{v0}\).
- Résultat : 50 kPa.
Question 5 : Estimer l'augmentation de la contrainte horizontale (\(\Delta \sigma'_h\)).
Principe
Le battage du pieu force l'expansion d'une cavité de rayon \(r_0\) dans le sol. Cette expansion induit une déformation radiale du sol environnant, qui se traduit par une augmentation de la contrainte horizontale. Cette augmentation est maximale au contact du pieu et décroît avec la distance.
Mini-Cours
La formule \(\Delta \sigma'_h \approx E' \cdot (r_0/r)^2\) est une simplification de la théorie de l'expansion de cavité en milieu élastique. Elle montre que l'augmentation de contrainte est :
- Proportionnelle à la rigidité du sol (\(E'\)) : un sol plus rigide résiste plus à la déformation, générant plus de contrainte.
- Proportionnelle au carré du volume du pieu (\(r_0^2\)).
- Inversement proportionnelle au carré de la distance (\(1/r^2\)) : l'effet s'estompe très vite.
Remarque Pédagogique
C'est le cœur de l'exercice. Nous lions le volume de pieu (\(r_0\)), la rigidité du sol (\(E'\)) et la géométrie (\(r\)) pour prédire un changement de contrainte. C'est un exemple parfait de la démarche de l'ingénieur géotechnicien : modéliser une action et prédire sa conséquence.
Normes
Cette formule est une approche simplifiée issue de la théorie de l'élasticité. Des modèles plus complexes (comme ceux de Randolph ou Salgado utilisés dans les logiciels de calcul) sont basés sur ce principe mais intègrent la "plasticité" (le fait que le sol "casse" près du pieu), ce qui rend les calculs plus précis mais aussi plus difficiles.
Formule(s)
La formule de l'augmentation de contrainte horizontale en milieu élastique :
Hypothèses
On suppose que :
- Le sol se comporte de manière élastique (le module \(E'\) est constant), ce qui est une simplification.
- Le problème est plan (analyse 2D à une profondeur \(z\) constante).
- Le rayon \(r\) (2.0 m) est suffisamment grand pour que l'on soit hors de la "zone plastifiée" (où le sol est rompu) très proche du pieu.
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé et les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Module de Young effectif | \(E'\) | 20 000 | kPa |
| Rayon de cavité équivalent (Q2) | \(r_0\) | 0.226 | m |
| Distance horizontale | \(r\) | 2.0 | m |
Astuces
Notez que \(r_0\) et \(r\) sont dans un ratio (\(r_0/r\)). Assurez-vous simplement qu'ils sont dans la même unité (ici, les mètres) avant de calculer le ratio. Le ratio \((r_0/r)^2\) est sans dimension, donc \(\Delta \sigma'_h\) aura les mêmes unités que \(E'\) (ici, kPa).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre l'expansion de la cavité initiale (rayon \(r_0\)) et le point d'étude (à distance \(r\)) où l'on calcule l'augmentation de contrainte.
Modèle d'Expansion de Cavité
Calcul(s)
Étape 1 : Rappel de la formule et des valeurs
On part de la formule \(\Delta \sigma'_h \approx E' \cdot (r_0^2 / r^2)\). On rassemble les valeurs :
- \(E' = 20 000 \text{ kPa}\) (Donnée)
- \(r_0 = 0.226 \text{ m}\) (Calculé à Q2)
- \(r = 2.0 \text{ m}\) (Donnée)
Étape 2 : Calcul des termes au carré
On calcule séparément le numérateur et le dénominateur du ratio :
Étape 3 : Substitution et calcul final
On insère ces valeurs dans la formule :
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme suivant montre comment l'augmentation de contrainte (\(\Delta \sigma'_h\)) chute rapidement avec la distance radiale \(r\).
Distribution de l'augmentation de contrainte
Réflexions
L'augmentation de contrainte (255 kPa) est très élevée par rapport à la contrainte initiale (50 kPa). La contrainte horizontale totale devient \(\sigma'_h = \sigma'_{h0} + \Delta \sigma'_h = 50 + 255 = 305 \text{ kPa}\). C'est une augmentation de plus de 500% ! Cet effet de "verrouillage" et de densification est ce qui augmente la portance frottement d'un pieu dans le sable.
Points de vigilance
Cette formule est une approximation élastique. Dans la réalité, près du pieu (\(r\) faible), le sol se plastifie (il "casse"), et les contraintes sont limitées par la résistance du sol. Cette formule surestime donc l'effet à très courte distance (elle tend vers l'infini à r=0) mais donne un bon ordre de grandeur à quelques diamètres de distance.
Points à retenir
- L'impact du battage \(\Delta \sigma'_h\) dépend de la rigidité du sol (\(E'\)).
- L'impact décroît très vite avec la distance (en \(1/r^2\)).
- L'augmentation de contrainte peut être bien supérieure à l'état de contrainte initial.
Le saviez-vous ?
Ce même phénomène de "compactage" est utilisé volontairement pour améliorer les sols. On parle de "vibroflottation" ou "compactage dynamique", où l'on injecte des matériaux ou l'on bat le sol pour augmenter sa densité et sa portance avant de construire.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la même logique, quelle serait l'augmentation de contrainte \(\Delta \sigma'_h\) si on se place à \(r = 4.0 \text{ m}\) ? (Indice : l'effet décroît avec \(r^2\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Impact du refoulement sur les contraintes.
- Formule Essentielle : \(\Delta \sigma'_h \approx E' \cdot (r_0/r)^2\).
- Résultat : \(\approx 255 \text{ kPa}\).
Outil Interactif : Simulateur d'Impact du Battage
Utilisez cet outil pour voir comment la distance au pieu (\(r\)) et la rigidité du sol (\(E'\)) influencent l'augmentation de la contrainte horizontale, basée sur les calculs de l'exercice (avec \(r_0^2 \approx 0.051 \text{ m}^2\) et \(\sigma'_{h0} = 50 \text{ kPa}\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal du battage d'un pieu "à déplacement" dans un sable ?
2. Selon la formule utilisée (\(\Delta \sigma'_h \propto 1/r^2\)), si on double la distance \(r\) au pieu, l'augmentation de contrainte...
3. Qu'est-ce que le coefficient \(K_0\) ?
4. La contrainte effective \(\sigma'\) est définie par :
5. Un module de sol \(E'\) plus élevé (sol plus rigide) entraîne une augmentation de contrainte \(\Delta \sigma'_h\) :
Glossaire
- Contrainte Effective (\(\sigma'\))
- La contrainte dans un sol qui est supportée par le squelette solide (les grains), par opposition à la pression supportée par l'eau. Calculée comme \(\sigma' = \sigma - u\).
- Expansion de Cavité
- Une théorie en mécanique des sols utilisée pour modéliser l'effet d'une source de pression cylindrique ou sphérique (comme un pieu ou un pressiomètre) s'expanpant dans le massif de sol.
- \(K_0\) (Coefficient de Poussée au Repos)
- Le ratio de la contrainte horizontale effective \(\sigma'_{h0}\) sur la contrainte verticale effective \(\sigma'_{v0}\) dans un sol non perturbé (au repos).
- Pieu à Déplacement
- Un pieu qui, lors de son installation, déplace le sol latéralement sans extraction de matière (par opposition à un pieu foré où le sol est retiré).
- Poids Volumique Déjaugé (\(\gamma'\))
- Le poids effectif du sol lorsqu'il est immergé sous l'eau. \(\gamma' = \gamma_{sat} - \gamma_w\) (poids saturé moins poids de l'eau).
D’autres exercices de Fondations:
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