Influence de la Pression d’Eau
Contexte : Stabilité d'un talus rocheux à proximité d'un barrage.
L'eau est l'un des facteurs les plus influents et souvent les plus problématiques en géotechnique. La présence d'eau dans les pores et les fissures d'un massif rocheux génère une pression interstitiellePression exercée par le fluide (généralement de l'eau) contenu dans les vides (pores, fissures) d'un sol ou d'une roche. qui s'oppose aux forces de contact entre les grains de roche. Cette pression réduit la résistance au cisaillement du matériau et peut être le facteur déclenchant de glissements de terrain. Cet exercice vise à quantifier cet effet en se basant sur le principe fondamental de la contrainte effectiveConcept clé introduit par Karl Terzaghi, stipulant que la déformation et la résistance d'un sol ou d'une roche dépendent de la différence entre la contrainte totale et la pression interstitielle..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe de la contrainte effective et le critère de rupture de Mohr-Coulomb pour évaluer la stabilité d'une pente rocheuse, en calculant un facteur de sécurité.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer la contrainte totale, la pression interstitielle et la contrainte effective.
- Appliquer le critère de rupture de Mohr-Coulomb pour un massif rocheux.
- Calculer le facteur de sécurité d'un talus et interpréter le résultat.
Données de l'étude
Propriétés du massif rocheux
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Masse volumique de la roche (\(\rho_r\)) | 2600 kg/m³ |
| Angle de frottement interne (\(\phi'\)) | 35° |
| Cohésion (\(c'\)) | 100 kPa |
Schéma du talus et de la surface de rupture
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| H | Hauteur verticale du talus | 50 | m |
| Z | Profondeur verticale du point A sur la surface de rupture | 20 | m |
| \(h_w\) | Hauteur de la nappe d'eau au-dessus du point A | 5 | m |
| \(\alpha\) | Pente de la surface de rupture | 45 | ° |
Questions à traiter
On s'intéresse au point A, situé sur la surface de rupture potentielle à une profondeur verticale Z = 20 m sous la surface du talus.
- Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_v\)) au point A.
- Calculer la pression interstitielle (\(u\)) au point A.
- En déduire la contrainte normale effective (\(\sigma'_n\)) agissant sur le plan de rupture au point A.
- Calculer la résistance au cisaillement (\(\tau_f\)) du massif rocheux le long du plan de rupture au point A.
- Calculer le facteur de sécurité (\(\text{FoS}\)) local au point A et conclure sur la stabilité.
Les bases sur la Mécanique des Roches et la Pression d'Eau
Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux sont nécessaires : le principe de la contrainte effective et le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
1. Principe de la contrainte effective (Terzaghi)
La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point d'un massif est la somme de la contrainte supportée par le squelette solide (la contrainte effective \(\sigma'\)) et la pression de l'eau dans les vides (pression interstitielle \(u\)). C'est la contrainte effective qui gouverne la résistance et la déformation du matériau.
\[ \sigma = \sigma' + u \Rightarrow \sigma' = \sigma - u \]
2. Critère de rupture de Mohr-Coulomb
Ce critère définit la résistance maximale au cisaillement (\(\tau_f\)) d'un matériau en fonction de la contrainte normale effective (\(\sigma'_n\)) qui s'exerce sur le plan de rupture. Il est défini par la cohésion (\(c'\)) et l'angle de frottement interne (\(\phi'\)).
\[ \tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi') \]
Correction : Influence de la Pression d’Eau
Question 1 : Calculer la contrainte verticale totale (\(\sigma_v\)) au point A.
Principe
La contrainte verticale totale en un point est due au poids de toutes les roches situées au-dessus de ce point. On la calcule simplement en multipliant la hauteur de la colonne de roche par son poids volumique.
Mini-Cours
La contrainte est une mesure de la force par unité de surface (\(F/A\)). Dans le sol ou la roche, la force principale est la gravité agissant sur la masse du matériau. Le poids volumique (\(\gamma\), en N/m³) représente cette force par unité de volume. Ainsi, pour trouver la contrainte à une profondeur \(Z\), on multiplie le poids par unité de volume par le volume d'une colonne de 1m² de section, soit \(\gamma \times (Z \times 1\text{m}^2)/1\text{m}^2 = \gamma \cdot Z\).
Remarque Pédagogique
Commencez toujours par visualiser la colonne de matériau directement au-dessus de votre point d'intérêt. C'est le poids de cette colonne qui crée la contrainte verticale.
Normes
Les principes de calcul des contraintes géostatiques sont fondamentaux. Des normes comme l'Eurocode 7 (EN 1997) "Calcul géotechnique" encadrent la manière d'utiliser ces contraintes dans les calculs de stabilité et de fondations.
Formule(s)
Formule de la contrainte verticale totale
Hypothèses
Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :
- Le massif rocheux est homogène (mêmes propriétés partout).
- La surface du talus au-dessus du point A est approximativement horizontale.
Donnée(s)
Les données nécessaires pour cette question sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de la roche | \(\rho_r\) | 2600 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Profondeur du point A | \(Z\) | 20 | m |
Astuces
Ordre de grandeur : 10m de roche créent une contrainte d'environ 0.25 MPa (ou 2.5 bars). Pour 20m, on devrait donc s'attendre à environ 0.5 MPa (500 kPa), ce qui est un bon moyen de vérifier rapidement le résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Colonne de roche au-dessus du point A
Calcul(s)
Étape 1 : Poids volumique de la roche (\(\gamma_r\))
Étape 2 : Contrainte verticale totale (\(\sigma_v\))
Schéma (Après les calculs)
Contrainte totale appliquée au point A
Réflexions
Cette valeur de 510.2 kPa représente la contrainte totale exercée par le poids de la roche au point A. C'est la charge brute que le matériau subit avant de prendre en compte l'effet de l'eau.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreur est la confusion entre la masse volumique (\(\rho_r\) en kg/m³) et le poids volumique (\(\gamma_r\) en kN/m³). Il ne faut jamais oublier de multiplier par l'accélération de la pesanteur \(g\) et de gérer les unités (N vs kN).
Points à retenir
- La contrainte totale est due au poids du matériau sus-jacent.
- Formule clé : \(\sigma_v = \gamma \cdot Z\).
- Ne pas oublier la conversion de masse volumique en poids volumique : \(\gamma = \rho \cdot g\).
Le saviez-vous ?
Le concept de contrainte a été formalisé pour la première fois par le mathématicien et ingénieur français Augustin-Louis Cauchy au début du 19ème siècle, ce qui a jeté les bases de la mécanique des milieux continus.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte \(\sigma_v\) si le point A était situé à la base du talus (\(Z = 50 \text{ m}\)) ?
Question 2 : Calculer la pression interstitielle (\(u\)) au point A.
Principe
La pression interstitielle, ou pression de pore, est la pression de l'eau dans les vides de la roche. Elle est calculée de la même manière que la pression hydrostatique : le poids volumique de l'eau multiplié par la hauteur de la colonne d'eau au-dessus du point considéré.
Mini-Cours
La pression dans un fluide au repos (hydrostatique) augmente linéairement avec la profondeur. Elle est donnée par la loi de Pascal : \(p = \rho_w \cdot g \cdot h_w = \gamma_w \cdot h_w\). Cette pression est isotrope, c'est-à-dire qu'elle s'exerce avec la même intensité dans toutes les directions en un point donné.
Remarque Pédagogique
La pression de l'eau ne dépend que de la hauteur de la surface libre (la nappe phréatique) au-dessus du point. La quantité de roche autour ou au-dessus n'a aucune influence sur ce calcul spécifique.
Normes
Le calcul de la pression hydrostatique relève des principes de base de la physique. L'Eurocode 7 précise cependant les conditions de nappe à considérer pour les calculs (ex: nappe la plus haute observée).
Formule(s)
Formule de la pression interstitielle
Hypothèses
- L'eau est au repos (condition hydrostatique, pas d'écoulement).
- Les pores et fissures de la roche sont connectés et saturés en eau sous la nappe phréatique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique de l'eau | \(\gamma_w\) | 9.81 | kN/m³ |
| Hauteur d'eau au-dessus de A | \(h_w\) | 5 | m |
Astuces
Un moyen mnémotechnique facile : 10 mètres de hauteur d'eau correspondent environ à 1 bar de pression, soit 100 kPa. Donc, 5 mètres de hauteur d'eau devraient donner environ 50 kPa, ce qui confirme notre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Hauteur d'eau au-dessus du point A
Calcul(s)
Calcul de la pression interstitielle (u)
Schéma (Après les calculs)
Pression interstitielle au point A
Réflexions
Cette pression de 49.05 kPa agit pour "soulever" et écarter les grains de la roche. Elle ne porte aucune charge de cisaillement mais réduit la capacité des grains à se frotter les uns contre les autres, diminuant ainsi la résistance globale.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'utiliser la profondeur totale du point (\(Z\)) au lieu de la hauteur de la colonne d'eau (\(h_w\)). La pression de l'eau ne dépend que de la position de la nappe phréatique.
Points à retenir
- La pression interstitielle est une pression hydrostatique.
- Formule clé : \(u = \gamma_w \cdot h_w\).
- Elle agit dans toutes les directions et réduit la résistance au cisaillement.
Le saviez-vous ?
Le principe d'Archimède, qui explique pourquoi les objets flottent, est une conséquence directe de l'augmentation de la pression hydrostatique avec la profondeur. La pression sur la base inférieure d'un objet immergé est plus forte que sur sa base supérieure, créant une poussée vers le haut.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si une forte pluie faisait monter le niveau du lac de 3 mètres, quelle serait la nouvelle pression interstitielle au point A ?
Question 3 : En déduire la contrainte normale effective (\(\sigma'_{n}\)) agissant sur le plan de rupture au point A.
Principe
La contrainte normale effective n'est pas simplement \(\sigma_v - u\). D'abord, il faut décomposer la contrainte totale \(\sigma_v\) en une composante normale (\(\sigma_n\)) au plan de rupture. Ensuite, on applique le principe de Terzaghi en soustrayant la pression interstitielle de cette composante normale.
Mini-Cours
Un état de contrainte en un point peut être représenté par un tenseur. Pour connaître la contrainte sur un plan orienté arbitrairement, on utilise les équations de transformation de contrainte. Pour un état de contrainte simple avec seulement \(\sigma_v\), la contrainte normale \(\sigma_n\) sur un plan incliné de \(\alpha\) par rapport à l'horizontale est \(\sigma_n = \sigma_v \cos^2(\alpha)\). C'est cette contrainte normale, qui tend à presser les deux faces de la rupture l'une contre l'autre, qui est réduite par la pression d'eau \(u\).
Remarque Pédagogique
C'est une opération en deux temps : 1. Projeter la contrainte totale sur le plan pour trouver la contrainte normale totale. 2. Soustraire la pression de l'eau. L'erreur classique est d'inverser ces étapes.
Normes
L'Eurocode 7 impose l'utilisation des paramètres de résistance effectifs (\(c'\), \(\phi'\)) pour les analyses de stabilité à long terme, ce qui rend le calcul de la contrainte normale effective obligatoire.
Formule(s)
Formule de la contrainte normale totale sur le plan
Formule de la contrainte normale effective
Hypothèses
- La contrainte verticale \(\sigma_v\) est l'une des contraintes principales.
- La pression interstitielle \(u\) est hydrostatique et agit perpendiculairement à toutes les surfaces.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte verticale totale | \(\sigma_v\) | 510.2 | kPa |
| Pression interstitielle | \(u\) | 49.05 | kPa |
| Pente de la rupture | \(\alpha\) | 45 | ° |
Astuces
Pour un angle de 45°, le calcul est simplifié car \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) \approx 0.707\), et donc \(\cos^2(45^\circ) = 0.5\). C'est un cas particulier souvent utilisé dans les exercices.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la contrainte
Calcul(s)
Étape 1 : Contrainte normale totale (\(\sigma_n\))
Étape 2 : Contrainte normale effective (\(\sigma'_n\))
Schéma (Après les calculs)
Contraintes normale totale, effective et interstitielle
Réflexions
L'eau a réduit la contrainte "serrant" le plan de rupture de 255.1 kPa à 206.05 kPa, soit une diminution de près de 20%. Cette réduction de la force normale va directement impacter la composante de friction de la résistance au cisaillement.
Points de vigilance
L'erreur la plus grave est de calculer \((\sigma_v - u)\) puis de projeter le résultat. Ceci est physiquement incorrect car la pression d'eau est un scalaire (isotrope) et ne peut pas être projetée comme un vecteur de contrainte. Projeter d'abord, soustraire ensuite !
Points à retenir
- La contrainte effective agit perpendiculairement au plan de rupture.
- On doit d'abord calculer la contrainte normale totale (\(\sigma_n\)) avant de soustraire la pression interstitielle (\(u\)).
Le saviez-vous ?
Karl von Terzaghi, considéré comme le "père de la mécanique des sols", a développé le principe de la contrainte effective dans les années 1920 en étudiant la consolidation des argiles, révolutionnant ainsi toute l'ingénierie géotechnique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la contrainte normale effective \(\sigma'_n\) pour un plan de rupture moins pentu, à \(\alpha = 30^\circ\).
Question 4 : Calculer la résistance au cisaillement (\(\tau_f\)) du massif rocheux au point A.
Principe
La résistance au cisaillement est la "force" maximale que le matériau peut supporter le long d'un plan avant de rompre et de glisser. Elle est définie par le critère de Mohr-Coulomb, qui combine une composante de "colle" (cohésion) et une composante de "friction" (qui dépend de la force qui presse les surfaces l'une contre l'autre).
Mini-Cours
La résistance au cisaillement a deux composantes :
1. La cohésion (\(c'\)) : C'est la résistance intrinsèque du matériau, l'adhérence entre les particules, même sans contrainte normale. C'est la valeur de \(\tau_f\) lorsque \(\sigma'_n=0\).
2. Le frottement (\(\sigma'_n \tan(\phi')\)) : C'est la résistance due au frottement entre les grains. Elle est directement proportionnelle à la contrainte normale effective (\(\sigma'_n\)) qui presse les grains ensemble. L'angle de frottement (\(\phi'\)) caractérise la rugosité de la surface.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous essayez de faire glisser une brique sur une table. La cohésion serait une fine couche de colle sous la brique. Le frottement dépendrait du poids de la brique (contrainte normale). Si quelqu'un soulage une partie du poids de la brique en tirant dessus vers le haut (comme le fait la pression d'eau), il devient plus facile de la faire glisser.
Normes
L'Eurocode 7 spécifie les méthodes d'essais en laboratoire (comme la boîte de cisaillement ou l'essai triaxial) pour déterminer les paramètres de résistance \(c'\) et \(\phi'\) d'un sol ou d'une roche.
Formule(s)
Formule du critère de Mohr-Coulomb
Hypothèses
- Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est une représentation adéquate du comportement à la rupture du massif rocheux.
- Les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) sont constants le long de la surface de rupture.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Cohésion effective | \(c'\) | 100 | kPa |
| Contrainte normale effective | \(\sigma'_n\) | 206.05 | kPa |
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 35 | ° |
Astuces
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" avant de calculer la tangente de l'angle de frottement. C'est une erreur fréquente !
Schéma (Avant les calculs)
Droite de rupture de Mohr-Coulomb
Calcul(s)
Calcul de la résistance au cisaillement (\(\tau_f\))
Schéma (Après les calculs)
Point de résistance sur la droite de Mohr-Coulomb
Réflexions
Cette valeur de 244.28 kPa représente la résistance maximale au cisaillement que le plan de rupture peut mobiliser au point A dans les conditions actuelles. Si la contrainte de cisaillement appliquée dépasse cette valeur, la rupture se produit.
Points de vigilance
Il est impératif d'utiliser la contrainte normale effective (\(\sigma'_n\)) dans la formule de Mohr-Coulomb. L'utilisation de la contrainte totale (\(\sigma_n\)) conduirait à une surestimation irréaliste et dangereuse de la résistance.
Points à retenir
- La résistance au cisaillement est la somme de la cohésion et d'une composante de friction.
- La composante de friction dépend directement de la contrainte normale effective.
Le saviez-vous ?
Charles-Augustin de Coulomb, un ingénieur militaire français, a développé sa théorie sur le frottement et la cohésion des sols en 1773, en étudiant la stabilité des murs de soutènement des fortifications.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la résistance au cisaillement si la roche n'avait aucune cohésion (\(c' = 0 \text{ kPa}\)) ?
Question 5 : Calculer le facteur de sécurité (\(\text{FoS}\)) local au point A et conclure.
Principe
Le facteur de sécurité est le rapport entre les forces résistantes (ce que le matériau peut supporter, \(\tau_f\)) et les forces motrices (ce qui pousse le matériau à glisser, \(\tau\)). Si \(\text{FoS} > 1\), le talus est stable. Si \(\text{FoS} < 1\), il est instable. Si \(\text{FoS} = 1\), il est à la limite de la rupture.
Mini-Cours
La contrainte de cisaillement motrice (\(\tau\)) est la composante de la contrainte totale verticale qui agit parallèlement au plan de rupture. Elle est calculée par \(\tau = \sigma_v \sin(\alpha)\cos(\alpha)\). Le \(\text{FoS}\) compare directement cette contrainte "agissante" à la résistance "disponible" (\(\tau_f\)).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape finale du diagnostic. Nous avons calculé la résistance de la roche (sa capacité) et nous allons maintenant la comparer à la sollicitation (la demande). Le rapport entre les deux nous donne une mesure quantitative de la marge de sécurité.
Normes
Les codes de conception comme l'Eurocode 7 exigent des facteurs de sécurité minimaux pour les pentes. Typiquement, un \(\text{FoS}\) de 1.3 à 1.5 est requis pour les talus permanents, afin de tenir compte des incertitudes sur les paramètres du sol et les modèles de calcul.
Formule(s)
Formule de la contrainte de cisaillement motrice
Formule du Facteur de Sécurité
Hypothèses
- Le modèle en 2D est une simplification acceptable du problème réel.
- Le point A est représentatif du comportement global le long de la surface de rupture.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance au cisaillement | \(\tau_f\) | 244.28 | kPa |
| Contrainte verticale totale | \(\sigma_v\) | 510.2 | kPa |
| Pente de la rupture | \(\alpha\) | 45 | ° |
| Cohésion effective | \(c'\) | 100 | kPa |
| Contrainte normale effective | \(\sigma'_n\) | 206.05 | kPa |
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 35 | ° |
Astuces
Grâce à l'identité trigonométrique \(2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)\), on peut aussi écrire \(\tau = \frac{1}{2}\sigma_v\sin(2\alpha)\). Pour \(\alpha=45^\circ\), \(\sin(90^\circ)=1\), donc \(\tau = \sigma_v/2\).
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des contraintes
Calcul(s)
Étape 1 : Contrainte de cisaillement motrice (\(\tau\))
Étape 2 : Facteur de Sécurité (\(\text{FoS}\))
Schéma (Après les calculs)
État de contrainte : instable
Réflexions
Le facteur de sécurité de 0.96 est inférieur à 1.0. Cela signifie que les forces motrices (la contrainte de cisaillement de 255.1 kPa) sont légèrement supérieures aux forces résistantes (la résistance de 244.28 kPa). D'un point de vue théorique, la rupture est imminente.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien diviser la résistance par la sollicitation, et non l'inverse. Un \(\text{FoS}\) inférieur à 1 doit immédiatement vous alerter sur un problème de stabilité. Ne jamais conclure qu'un talus est stable si \(\text{FoS} < 1\).
Points à retenir
- FoS = Résistance / Sollicitation.
- Si \(\text{FoS} < 1.0\), la structure est considérée comme instable.
- La pression de l'eau a un impact majeur sur le \(\text{FoS}\) en réduisant la résistance.
Le saviez-vous ?
La catastrophe du barrage de Vajont en Italie en 1963, qui a causé plus de 2000 morts, a été provoquée par un glissement de terrain monumental dans le réservoir. Une des causes principales était l'augmentation dramatique de la pression interstitielle dans le flanc de la montagne due au remplissage du réservoir.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si des travaux de drainage parvenaient à éliminer complètement la pression de l'eau (\(h_w=0\)), quel serait le nouveau \(\text{FoS}\) ?
Outil Interactif : Influence de la hauteur d'eau
Utilisez le simulateur ci-dessous pour observer comment la variation de la hauteur d'eau (\(h_w\)) dans le massif rocheux impacte directement le facteur de sécurité (\(\text{FoS}\)) au point A. Les autres paramètres de l'exercice restent inchangés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le principe de Terzaghi, si la pression interstitielle augmente, la contrainte effective...
2. Le critère de Mohr-Coulomb décrit...
3. Un facteur de sécurité de 1.5 signifie que...
4. Laquelle de ces propriétés est une propriété de résistance de la roche ?
5. Dans notre exercice, si le lac de barrage était complètement vide (\(h_w = 0\)), le facteur de sécurité serait...
- Contrainte Effective (\(\sigma'\))
- La contrainte supportée par le squelette solide d'une roche, calculée comme la différence entre la contrainte totale et la pression interstitielle. Elle contrôle la résistance du matériau.
- Pression Interstitielle (\(u\))
- La pression de l'eau présente dans les pores et fissures du massif rocheux. Elle réduit la contrainte effective et donc la résistance.
- Critère de Mohr-Coulomb
- Un modèle mathématique qui décrit la condition de rupture d'un matériau. Il lie la résistance au cisaillement à la cohésion et à l'angle de frottement.
- Facteur de Sécurité (\(\text{FoS}\))
- Un rapport utilisé pour évaluer la stabilité d'une structure. C'est le rapport de la résistance disponible sur la sollicitation appliquée. Une valeur supérieure à 1 indique la stabilité.
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