Modèle de Cam-Clay Modifié
Contexte : Le modèle de Cam-Clay ModifiéUn modèle mathématique utilisé en mécanique des sols pour décrire le comportement des sols argileux normalement consolidés et légèrement surconsolidés..
Cet exercice porte sur l'application du modèle de Cam-Clay Modifié (MCC), un outil fondamental en géotechnique pour prédire le comportement des sols fins sous charge. Nous allons analyser l'état de contrainte d'un échantillon d'argile prélevé à 15 mètres de profondeur, sur lequel une nouvelle construction appliquera une surcharge. L'objectif est de déterminer si cette nouvelle charge entraînera un comportement élastique (déformations réversibles) ou plastique (déformations irréversibles et tassements significatifs) du sol.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les invariants de contrainte (p' et q) pour visualiser l'état d'un sol dans un plan de contrainte, et à le comparer à sa "mémoire" de charge, matérialisée par la surface de charge.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les invariants de contrainte effective : pression moyenne p' et déviateur q.
- Déterminer la pression de préconsolidation p'c d'un sol surconsolidé.
- Représenter un état de contrainte et une surface de charge dans le plan (p', q).
- Évaluer si un chemin de contrainte reste dans le domaine élastique ou atteint la plasticité.
Données de l'étude
Propriétés du Sol
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Pente de la droite de consolidation normale | \(\lambda\) | 0.18 |
| Pente de la droite de gonflement | \(\kappa\) | 0.04 |
| Pente de la droite d'état critique | M | 1.2 |
| Rapport de surconsolidation | \(\text{OCR}\) | 3.0 |
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|---|
| Poids volumique total | \(\gamma_{\text{sat}}\) | Nappe phréatique à la surface | 20 | \(\text{kN/m³}\) |
| Coefficient des terres au repos | \(K_0\) | Ratio \(\sigma'_h / \sigma'_v\) | 0.6 | - |
| Surcharge verticale | \(\Delta\sigma'_v\) | Apportée par la fondation | 100 | \(\text{kPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer les contraintes effectives initiales (verticale et horizontale) au point A.
- Déterminer les invariants de contrainte initiaux, p'₀ et q₀.
- Calculer la pression de préconsolidation initiale, p'c₀.
- Calculer les invariants de contrainte finaux, p'f et qf, après application de la surcharge.
- Positionner l'état de contrainte final par rapport à la surface de charge initiale et conclure sur le comportement du sol (élastique ou plastique).
Les bases sur le modèle de Cam-Clay Modifié
Le modèle MCC utilise deux invariants de contrainte pour décrire l'état du sol, et une surface de charge en forme d'ellipse pour séparer les comportements élastique et plastique.
1. Invariants de Contrainte (cas axisymétrique)
La pression moyenne effective, \(p'\), représente la partie sphérique de la contrainte, tandis que le déviateur, \(q\), représente la partie qui cause la distorsion.
\[ p' = \frac{\sigma'_v + 2\sigma'_h}{3} \]
\[ q = |\sigma'_v - \sigma'_h| \]
2. Surface de Charge du MCC
L'équation de l'ellipse de charge est donnée par :
\[ f(p', q, p'_c) = q^2 + M^2 \cdot p' \cdot (p' - p'_c) = 0 \]
Si \(f < 0\), le point est dans le domaine élastique. Si \(f = 0\), le sol est en état de plasticité.
Correction : Modèle de Cam-Clay Modifié
Question 1 : Calculer les contraintes effectives initiales
Principe
L'état de contrainte initial dans le sol est dû au poids des terres sus-jacentes. La contrainte effective, concept clé de la mécanique des sols, est la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle. C'est elle qui gouverne le comportement mécanique du sol (déformation, rupture).
Mini-Cours
Le principe des contraintes effectives de Terzaghi stipule que \(\sigma' = \sigma - u\), où \(\sigma\) est la contrainte totale, \(\sigma'\) la contrainte effective et \(u\) la pression interstitielle. Lorsque la nappe phréatique est à la surface, la pression de l'eau à une profondeur \(z\) est \(u = \gamma_w \cdot z\). La contrainte totale verticale est \(\sigma_v = \gamma_{\text{sat}} \cdot z\). La contrainte effective verticale devient donc \(\sigma'_v = (\gamma_{\text{sat}} - \gamma_w) \cdot z = \gamma' \cdot z\).
Remarque Pédagogique
Le premier réflexe en géotechnique est toujours de localiser la nappe phréatique. Sa position conditionne tous les calculs de contrainte effective, et donc l'analyse de la stabilité et des tassements.
Normes
Ce calcul est un fondamental de la mécanique des sols, décrit dans toutes les normes de conception géotechnique, comme l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) qui définit les bases du calcul des actions et des résistances des sols.
Formule(s)
Contrainte verticale effective
Contrainte horizontale effective
Hypothèses
- Le sol est considéré comme un milieu continu, homogène et isotrope.
- La surface du sol est horizontale et le chargement est uniforme sur une grande surface.
- Le poids volumique de l'eau \(\gamma_w\) est pris égal à \(10 \text{ kN/m³}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique saturé | \(\gamma_{\text{sat}}\) | 20 | \(\text{kN/m³}\) |
| Profondeur | z | 15 | \(\text{m}\) |
| Coeff. des terres au repos | \(K_0\) | 0.6 | - |
Astuces
Pour une première estimation rapide, de nombreux sols saturés ont un poids volumique déjaugé \(\gamma'\) proche de 10 kN/m³. Ainsi, la contrainte effective verticale en kPa est souvent proche de 10 fois la profondeur en mètres.
Schéma (Avant les calculs)
Profil de sol et point d'étude
Calcul(s)
Calcul de la contrainte verticale effective initiale
Calcul de la contrainte horizontale effective initiale
Schéma (Après les calculs)
État de contrainte initial au point A
Réflexions
Les résultats montrent que la contrainte verticale est significativement plus grande que l'horizontale (\(150 > 90\)), ce qui est typique pour un sol sous son propre poids sans chargement latéral. Cette différence est à l'origine du cisaillement dans le sol.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de soustraire la pression de l'eau et de faire les calculs en contraintes totales. Cela mène à une surestimation drastique de la résistance du sol. Toujours vérifier si on est en contraintes totales ou effectives.
Points à retenir
- La contrainte effective verticale est \(\sigma'_v = \gamma' \cdot z\).
- La contrainte effective horizontale est \(\sigma'_h = K_0 \cdot \sigma'_v\).
- Le calcul se fait toujours avec le poids volumique déjaugé \(\gamma'\) sous la nappe.
Le saviez-vous ?
Le concept de contrainte effective a été introduit par Karl von Terzaghi en 1923. Cette idée a révolutionné la mécanique des sols et est considérée comme le point de départ de la discipline en tant que science de l'ingénieur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la contrainte effective verticale \(\sigma'_{\text{v0}}\) si la nappe phréatique se situait à 5 m de profondeur (poids volumique du sol sec \(\gamma_{d}\) = 18 kN/m³ au-dessus de la nappe).
Question 2 : Déterminer les invariants de contrainte initiaux, p'₀ et q₀
Principe
Un état de contrainte en un point est un tenseur (un objet mathématique complexe). Les invariants p' et q sont une manière de synthétiser ce tenseur en deux scalaires (deux nombres) qui capturent ses caractéristiques essentielles : sa partie "pression" (p') et sa partie "cisaillement" (q). Cela permet de transformer un problème 3D en un graphique 2D beaucoup plus simple à analyser.
Mini-Cours
Physiquement, la pression moyenne effective \(p'\) est liée aux changements de volume du sol. Une augmentation de \(p'\) (compression isotrope) tend à réduire le volume du sol (tassement). Le déviateur de contrainte \(q\) est lié à la distorsion et au changement de forme du sol à volume constant. C'est l'augmentation de \(q\) qui mène le sol vers la rupture par cisaillement.
Remarque Pédagogique
Pensez au plan (p', q) comme à une "carte d'identité" de l'état de contrainte du sol. Chaque point sur cette carte décrit complètement comment le sol est "pressé" et "cisaillé". Notre but est de suivre le déplacement de ce point lorsque l'on applique de nouvelles charges.
Normes
Les invariants p' et q ne sont pas directement mentionnés dans les codes de construction prescriptifs, mais ils sont le fondement des modèles de comportement avancés (comme Cam-Clay) utilisés dans les logiciels de calcul par éléments finis (ex: Plaxis, Z-Soil) qui, eux, sont employés pour des justifications de projets complexes selon l'Eurocode 7.
Formule(s)
Pression moyenne effective
Déviateur de contrainte
Hypothèses
Le calcul est effectué pour un état de contrainte axisymétrique, où deux des trois contraintes principales sont égales (\(\sigma'_2 = \sigma'_3 = \sigma'_h\)). C'est une hypothèse courante pour les problèmes de chargement vertical sur un sol horizontal.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte verticale eff. | \(\sigma'_{\text{v0}}\) | 150 | \(\text{kPa}\) |
| Contrainte horizontale eff. | \(\sigma'_{\text{h0}}\) | 90 | \(\text{kPa}\) |
Astuces
Le déviateur \(q\) est toujours positif car il représente l'amplitude de la différence des contraintes. La pression moyenne \(p'\) est également toujours positive en compression, ce qui est la convention standard en mécanique des sols.
Schéma (Avant les calculs)
Plan des invariants (p', q)
Calcul(s)
Calcul de la pression moyenne effective initiale
Calcul du déviateur de contrainte initial
Schéma (Après les calculs)
Position de l'état initial A
Réflexions
Ce point unique A(110, 60) encapsule toute l'information sur l'état de contrainte initial. Il nous servira de point de départ pour analyser l'effet des nouvelles charges.
Points de vigilance
Attention au facteur 2 dans le calcul de p' pour les cas axisymétriques : \(p' = (\sigma'_1 + 2\sigma'_3)/3\). Une erreur fréquente est de faire une moyenne simple des deux contraintes.
Points à retenir
- Les deux invariants clés sont la pression moyenne \(p'\) et le déviateur \(q\).
- Le plan (p', q) est l'outil graphique fondamental pour les modèles de sol avancés.
Le saviez-vous ?
Le concept d'invariants vient de la mécanique des milieux continus. Quel que soit le système de coordonnées que vous choisissez pour analyser un point, les invariants (comme p') garderont toujours la même valeur, d'où leur nom.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez p' et q pour un état de contrainte isotrope (le sol est pressé de la même manière dans toutes les directions) où \(\sigma'_{\text{v}} = \sigma'_{\text{h}} = 200 \text{ kPa}\).
Question 3 : Calculer la pression de préconsolidation initiale, p'c₀
Principe
La pression de préconsolidation, \(p'_c\), représente la "mémoire" de la contrainte maximale que le sol a subie dans son passé. Cette mémoire définit la frontière entre le comportement élastique (où le sol a déjà "vu" cette contrainte) et le comportement plastique (où la contrainte est nouvelle et cause des déformations irréversibles).
Mini-Cours
Le Rapport de Surconsolidation (OCR) quantifie cette mémoire. Un sol normally consolidé (\(\text{OCR}=1\)) subit actuellement la plus grande contrainte de son histoire. Un sol surconsolidé (\(\text{OCR}>1\)) a subi une contrainte plus élevée dans le passé (par ex, sous un glacier qui a depuis fondu). Il est donc plus "raide" et résistant tant que la nouvelle contrainte ne dépasse pas l'ancienne valeur maximale.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous pliez une feuille de papier. La première fois, c'est difficile. Si vous la dépliez et la repliez au même endroit, c'est beaucoup plus facile. Le sol surconsolidé est comme la feuille déjà pliée : il se déforme peu pour des charges qu'il a déjà connues.
Normes
La détermination de la pression de préconsolidation en laboratoire se fait via un essai oedométrique, normalisé par exemple par la norme ASTM D2435 ou NF P94-090-1. La méthode graphique de Casagrande est la plus célèbre pour interpréter les résultats de cet essai.
Formule(s)
Relation de préconsolidation
Hypothèses
On suppose que la valeur de l'OCR fournie, issue d'essais en laboratoire ou de corrélations, est représentative du point A étudié dans le massif de sol.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rapport de Surconsolidation | \(\text{OCR}\) | 3.0 | - |
| Pression moyenne initiale | \(p'_0\) | 110 | \(\text{kPa}\) |
Astuces
L'OCR est un des paramètres les plus importants pour estimer les tassements d'un projet. Un OCR élevé (> 2-3) est généralement une bonne nouvelle, car il implique des tassements plus faibles.
Schéma (Avant les calculs)
Localisation de p'c₀
Calcul(s)
Calcul de la pression de préconsolidation
Schéma (Après les calculs)
Cette valeur de \(p'_{\text{c0}}\) définit la taille de l'ellipse de charge initiale. L'état de contrainte A se trouve sur cette ellipse.
Représentation de l'état initial dans le plan (p', q)
Réflexions
Le sol au point A a une "mémoire" d'une pression moyenne de 330 kPa. Tant que les nouvelles contraintes ne définissent pas une ellipse plus grande que celle-ci, le comportement restera élastique.
Points de vigilance
Dans le modèle Cam-Clay, on utilise l'OCR par rapport à p'. Dans la pratique courante des ingénieurs, l'OCR est souvent défini par rapport à la contrainte verticale \(\sigma'_v\). Il faut être vigilant sur la définition utilisée pour rester cohérent.
Points à retenir
- La pression de préconsolidation \(p'_c\) définit la taille de la surface de charge.
- \(p'_{\text{c0}} = \text{OCR} \cdot p'_0\) dans le cadre du modèle MCC.
- Un OCR > 1 indique un sol qui a été plus chargé dans le passé.
Le saviez-vous ?
De vastes régions d'Amérique du Nord et d'Europe du Nord sont recouvertes de sols surconsolidés. Ceci est dû au poids des immenses calottes glaciaires qui les recouvraient lors de la dernière ère glaciaire, il y a plus de 10 000 ans.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez \(p'_{\text{c0}}\) si le sol était seulement légèrement surconsolidé, avec un OCR de 1.5.
Question 4 : Calculer les invariants de contrainte finaux, p'f et qf
Principe
Le but est de déterminer le nouvel état de contrainte après la construction de la fondation. Pour cela, on ajoute l'augmentation de contrainte (\(\Delta\sigma'\)) due à la fondation à l'état de contrainte initial. Le trajet entre le point initial A et le point final B est appelé "chemin de contrainte".
Mini-Cours
L'application d'une charge en surface (un bâtiment, un remblai) génère un champ de contraintes qui diminue avec la profondeur. Pour une semelle de fondation, cette augmentation de contrainte est principalement verticale (\(\Delta\sigma'_v\)). L'augmentation de contrainte horizontale (\(\Delta\sigma'_h\)) est plus complexe à calculer et dépend de l'élasticité du sol. Dans cet exercice, nous utilisons une simplification courante.
Remarque Pédagogique
Ici, nous regardons l'état final à long terme (état "drainé"), où les surpressions interstitielles se sont dissipées. La simplification \(\Delta\sigma'_h = 0\) est raisonnable pour une première analyse, elle suppose que le sol ne peut pas s'étendre latéralement pendant le chargement.
Normes
Le calcul de la diffusion des contraintes dans le sol sous une fondation est une étape clé du dimensionnement selon l'Eurocode 7. Des méthodes comme celle de Boussinesq (pour un massif élastique) ou des abaques sont utilisées. Ici, la valeur de \(\Delta\sigma'_v\) est donnée pour simplifier.
Formule(s)
Contraintes finales
Invariants finaux
Hypothèses
L'hypothèse majeure ici est que la surcharge n'induit pas de variation de contrainte horizontale : \(\Delta\sigma'_h = 0\), donc \(\sigma'_{\text{hf}} = \sigma'_{\text{h0}}\). C'est une simplification acceptable pour ce type d'exercice académique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contraintes initiales | \(\sigma'_{\text{v0}}, \sigma'_{\text{h0}}\) | 150, 90 | \(\text{kPa}\) |
| Surcharge verticale | \(\Delta\sigma'_v\) | 100 | \(\text{kPa}\) |
Astuces
Une charge purement verticale sur le sol va toujours augmenter à la fois la pression moyenne \(p'\) et le déviateur \(q\). Le point de contrainte se déplacera donc vers le haut et vers la droite dans le plan (p', q).
Schéma (Avant les calculs)
Chemin de contrainte attendu
Calcul(s)
Calcul de la contrainte verticale finale
Contrainte horizontale finale (inchangée)
Calcul de la pression moyenne effective finale
Calcul du déviateur de contrainte final
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant positionner le point final B sur le graphique des invariants.
Position du point final B
Réflexions
L'application de la charge a déplacé l'état de contrainte. La pression moyenne \(p'\) a augmenté de \(110\) à \(143.3\) kPa, et le déviateur \(q\) a fortement augmenté, passant de \(60\) à \(160\) kPa. Cela signifie que le sol est à la fois plus comprimé et plus cisaillé.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'utiliser les contraintes effectives dans les formules des invariants. L'utilisation des contraintes totales donnerait un résultat physique incorrect.
Points à retenir
Un chargement en surface modifie l'état de contrainte en profondeur. On calcule le nouvel état en ajoutant les variations de contraintes (\(\Delta\sigma'\)) à l'état initial.
Le saviez-vous ?
La théorie de l'élasticité, sur laquelle se base le calcul de la diffusion des contraintes (comme la méthode de Boussinesq), a été développée au début du 19ème siècle, bien avant la mécanique des sols, avec des pionniers comme Navier, Cauchy et Saint-Venant.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quels seraient les invariants finaux \(p'_f\) et \(q_f\) si la surcharge verticale \(\Delta\sigma'_v\) n'était que de 50 kPa ?
Question 5 : Positionner l'état final et conclure
Principe
C'est l'étape cruciale : on vérifie si le chemin de contrainte a atteint la frontière du domaine élastique. Pour cela, on injecte les coordonnées du point final (p'f, qf) dans l'équation de la surface de charge initiale (définie par p'c₀). Le signe du résultat nous dira si le point est à l'intérieur, sur, ou à l'extérieur de cette surface.
Mini-Cours
La fonction de charge \(f(p', q, p'_c) = 0\) décrit la frontière. Si un point de contrainte (p', q) donne \(f < 0\), il est dans la zone élastique. Si \(f=0\), il est sur la frontière et le sol commence à se déformer plastiquement. Un état où \(f > 0\) est physiquement impossible ; si un chemin de chargement atteint la surface, le sol va se déformer plastiquement de telle manière que la surface de charge va grandir (p'c augmente) pour "rattraper" le point de contrainte.
Remarque Pédagogique
C'est le cœur de la théorie de la plasticité : on compare un "effort" (le nouvel état de contrainte) à une "résistance" (la position de la surface de charge). Tant que l'effort est inférieur à la résistance, tout va bien (comportement élastique).
Normes
Cette vérification est directement liée à la justification des États Limites de Service (ELS) selon l'Eurocode 7. Un dépassement de la limite élastique est le début des tassements importants, que l'on cherche à limiter pour garantir le bon fonctionnement de l'ouvrage.
Formule(s)
Fonction de charge de Cam-Clay Modifié
Hypothèses
On suppose que les paramètres du modèle (M) et la pression de préconsolidation déterminée précédemment sont corrects et constants durant ce chargement.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Point final | (p'f, qf) | (143.3, 160) | \(\text{kPa}\) |
| Préconsolidation | \(p'_{\text{c0}}\) | 330 | \(\text{kPa}\) |
| Pente état critique | M | 1.2 | - |
Astuces
Avant même le calcul, on peut souvent le deviner sur le graphique. Si le point B semble visuellement bien à l'intérieur de l'ellipse, le calcul de \(f\) devrait donner un résultat négatif. C'est une bonne manière de vérifier son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous montre l'état initial du sol, avec le point de contrainte A sur sa surface de charge initiale. Nous allons vérifier si le point final B se situe à l'intérieur de cette surface.
État initial avant vérification
Calcul(s)
Vérification avec la fonction de charge
Schéma (Après les calculs)
Positionnement de l'état final (B)
Réflexions
La valeur de la fonction de charge \(f\) est négative (\(-12918 < 0\)). Cela confirme que le point de contrainte final B se trouve strictement à l'intérieur de la surface de charge initiale. Le chemin de contrainte n'a donc pas atteint la frontière élasto-plastique.
Points de vigilance
Attention aux signes dans le calcul de f. Le terme \((p'_f - p'_{\text{c0}})\) doit être négatif si le point est à gauche de p'c₀, ce qui est le cas ici. Une erreur de signe peut transformer un résultat sûr en un résultat non valide.
Points à retenir
- La fonction de charge \(f\) permet de vérifier la position d'un état de contrainte.
- Si \(f < 0\), le comportement est élastique.
- Si \(f = 0\), le comportement devient plastique.
Le saviez-vous ?
Le modèle original de "Cam-Clay" a été développé par le Professeur Kenneth H. Roscoe et son équipe à l'Université de Cambridge dans les années 1950-60. Il a été nommé d'après la rivière Cam qui traverse Cambridge, et le fait qu'il modélise le comportement de l'argile ("clay" en anglais).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la surcharge \(\Delta\sigma'_v\) maximale que l'on pourrait appliquer pour rester exactement à la limite du comportement élastique (c'est-à-dire pour que le point final soit sur l'ellipse) ?
Outil Interactif : Simulateur Cam-Clay
Utilisez les curseurs pour faire varier le rapport de surconsolidation (OCR) et la surcharge appliquée (\(\Delta\sigma'_v\)). Observez comment la taille de la surface de charge et la position du point de contrainte final évoluent. Le graphique vous indique si le comportement résultant est élastique ou plastique.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente la ligne d'état critique (CSL) dans le plan (p', q) ?
2. Si un sol est normalement consolidé, que vaut son OCR ?
3. Que se passe-t-il si un chemin de contrainte sort de la surface de charge du MCC ?
4. À quoi correspond le paramètre M du modèle ?
5. Un chemin de contrainte purement déviatorique (sans changement de p') est...
Glossaire
- Pression moyenne effective (p')
- Partie isotrope du tenseur des contraintes effectives. Elle est responsable des changements de volume du sol.
- Contrainte déviatorique (q)
- Partie du tenseur des contraintes qui provoque la distorsion ou le changement de forme du sol, menant à la rupture.
- Surface de Charge
- Frontière dans l'espace des contraintes qui sépare le domaine de comportement purement élastique du domaine élasto-plastique.
- Rapport de surconsolidation (OCR)
- Indicateur de l'histoire de contrainte d'un sol, défini comme le rapport de la contrainte de préconsolidation sur la contrainte effective actuelle.
- État Critique
- État théorique d'un sol dans lequel il continue de se déformer en cisaillement sous une contrainte constante, sans changement de volume.
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